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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.1.2实数及相关概念第二章实数北师大版八年级上册2.1.2实数及相关概念练习题【核心知识点回顾】1.实数完整分类：实数分为有理数和无理数；也可按正负分为正实数、0、负实数，0是唯一不带正负的实数。2.实数三大基本概念：①相反数：实数$$a$$的相反数为$$-a$$，互为相反数的两数和为0；②绝对值：正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数；③倒数：非零实数$$a$$的倒数为$$\frac{1}{a}$$，0没有倒数。3.实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应，数轴上右边的数始终大于左边的数，可利用数轴比较任意实数大小。4.实数的通用性：有理数的所有性质、运算法则、运算规律，在整个实数范围内全部成立。###一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于实数的说法正确的是（）A.整数都是实数B.无理数都是整数C.实数就是有理数D.实数就是无理数2.实数$$2-\sqrt{3}$$的相反数是（）A. $$2+\sqrt{3}$$ B. $$\sqrt{3}-2$$ C. $$-2-\sqrt{3}$$ D. $$2-\sqrt{3}$$3.下列实数中，绝对值最大的是（）A. $$-\sqrt{6}$$ B. 2 C. 0 D. $$\sqrt{3}$$4.数轴上与原点距离为$$\sqrt{5}$$的点表示的数是（）A. $$\sqrt{5}$$ B. $$-\sqrt{5}$$ C. $$\pm\sqrt{5}$$ D. 55.已知$$a$$为实数，则下列式子一定正确的是（）A. $$|a|＞0$$ B. $$|a|\geq0$$ C. $$-a＜0$$ D.$$\frac{1}{a}$$有意义###二、填空题（每题4分，共20分）1.实数分为正实数、________和________。2.实数$$\sqrt{10}-4$$的绝对值是________。3.若实数$$a$$的相反数是$$\sqrt{7}$$，则$$a=$$________。4.最小的正实数不存在，最小的非负实数是________。5.与数轴上的点一一对应的数是________。###三、解答题（共60分）1.（20分）已知实数$$x=3-\sqrt{6}$$，分别求出$$x$$的相反数、绝对值和倒数。2.（20分）比较下列各组实数的大小：（1）$$\sqrt{7}$$与2.6；（2）$$-\sqrt{5}$$与$$-\sqrt{6}$$3.（20分）将实数$$-\sqrt{8}、0、\sqrt{3}、-2、3$$在数轴上大致表示，并按从小到大的顺序排列。###参考答案与解析选择题答案：1.A 2.B 3.A 4.C 5.B填空题答案：1.0、负实数2.$$4-\sqrt{10}$$ 3.$$-\sqrt{7}$$ 4.0 5.实数解答题解析1.相反数：$$-(3-\sqrt{6})=\sqrt{6}-3$$；因为$$\sqrt{6}\approx2.45＜3$$，$$3-\sqrt{6}＞0$$，绝对值为本身，即$$|3-\sqrt{6}|=3-\sqrt{6}$$；倒数为$$\frac{1}{3-\sqrt{6}}=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$$。2.（1）$$\sqrt{7}\approx2.646$$，故$$\sqrt{7}＞2.6$$；（2）负数比较大小，绝对值大的数更小，$$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$$，故$$-\sqrt{5}＞-\sqrt{6}$$。3.化简$$-\sqrt{8}\approx-2.828$$，结合数轴大小规律，排序为：$$-\sqrt{8}＜-2＜0＜\sqrt{3}＜3$$。###易错知识总结1. 0的相反数、绝对值都是本身，0没有倒数；2.化简无理数绝对值时，需先判断式子正负，再去绝对值符号；3.负实数比较大小，切勿直接看根号数值，需反向判断；4.所有实数都能在数轴上表示，数轴是比较实数大小最直观的方法。了解无理数的概念，会判断一个数是不是无理数.
了解实数的概念，类比有理数，能按要求对实数进行分类.
了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
知识点1 无理数
那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，
无限不循环小数不是有理数.
无限不循环小数称为无理数.
无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.
知识点1 无理数
上一节课得到的a2=2,b2=5中，a,b都是无理数.
还有我们十分熟悉的圆周率π=3.141 592 65...也是一个无理数.
再如0.585 885 888 588 885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)，
也是无理数.
知识点1 无理数
例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数
3.14，-，0.，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
解：有理数有：3.14，-，0..
无理数有：0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
知识点1 无理数
(1)π及化简后含π的数，如，π+1等；
(2)具有特殊结构的数，如0.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加1 )；
(3)开方开不尽的数的方根，如等.（下节课学）
常见的无理数的三种形式
知识点1 无理数
跟踪训练 下列各数：3.1415926，，1.212212221...(相邻的两个1之间依次多一个2)，2-π，-2032中，无理数的个数为______.
解析：根据无理数的定义可知1.212 212 221...(相邻的两个1之间2的个数逐次加1) ，2-π是无理数.
2
知识点1 无理数
有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数.
知识点2 实数
注意：(1)在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数.
(2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后我们研究问题或计算时，若没有特殊说明，则应在实数范围内进行.
思考 无理数和有理数一样，也有正负之分.
(1)请你把3.14，－，0.，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)填入下面相应的集合内.
正数集合
3.14，0.，
0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)
…
负数集合
－
…
知识点2 实数
(2)还记得有理数的分类方法吗 你能用类似的方法对实数进行分类吗
①按概念分类：
实数
有理数
无理数
正整数
负整数
0
正无理数
负无理数
整数
分数
正分数
负分数
知识点2 实数
(2)按正负性分类：
实数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
0
负有理数
负无理数
正整数
正分数
负整数
负分数
知识点2 实数
跟踪训练 把下列各数填入相应的集合内.
0，，0.4，-，2，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，-|-3|，-，3.14，10.
(1)非负有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{
…}；
(4)负实数集合：{ …}；
0，，0.4，2，3.14，10
-，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)
知识点2 实数
，0.4，2，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，3.14，10
-，-|-3|，-
知识点3 实数的相关概念
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
表示 性质
相反数 实数a的相反数是-a a，b互为相反数 a+b=0
绝对值 实数a的绝对值是|a| |a|=
倒数 非零实数a的倒数为 a，b互为倒数 ab=1
思考
(1)相反数是_____，-π的相反数是_____，0的相反数是_____；
(2)||=_____，|-π|=_____，|0|=_____.
π
0
π
0
知识点3 实数的相关概念
思考 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间要如何计算？
知识点4 实数的运算
实数的运算:
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
例2 计算:-12024+()-2-(π-3.14)0.
解:(1)原式=-1+4-1=2.
知识点4 实数的运算
思考 前面课程讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2=2，b2=5.
(1)如图，OA=OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数
因为OA2=OB2=12+12=2=a2，
所以OA=a，所以点A 即为无理数a在数轴上对应的点.
知识点5 实数与数轴上点的关系
(2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗
能.实数b在数轴上对应的点为点C，如图所示.
知识点5 实数与数轴上点的关系
以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，
从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上
的一点由原点O到达点O′，点 O′对应的数π.
知识点5 实数与数轴上点的关系
看一看如何在数轴上表示π？
事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
实数和数轴上的点一 一对应
知识点5 实数与数轴上点的关系
1. 下列五个数：，2.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数依次加1)，－π，－0.5，3.14，其中无理数有
(　　)
A.1个　　 B.2个　　
C.3个　　 D.4个
返回
B
知识点1 无理数的概念
2.如图是由16个边长为1的小正方形组成的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到5条线段CA，CB，CD，CE，CF，其中长度是无理数的有(　　)
A.1条　　
B.2条
C.3条　　
D.4条
返回
C
3. 若m是无理数，且1＜m＜2，则m的值可以
是　　 　　.
返回
(答案不唯一)
知识点2 实数及其分类
4.下列说法：
①实数包括有理数、无理数和0；②无限不循环小数叫作无理数；③正实数和负实数统称为实数；④实数既是有理数又是无理数.
其中正确的有(　　)
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
返回
A
5.把下列各数的序号填在相应的集合里：
①7；②－2.6；③－；④｜－2｜；⑤0.6；⑥－；⑦3；
⑧0.303 003 000 3… (相邻两个3之间依次多一个0)；⑨3.14.
整数集合：{　　　…}；
负分数集合：{　　　　…}；
无理数集合：{　　　…}.
返回
①④
②⑥⑦
③⑧
知识点3 实数的性质
6. 下列比较大小正确的是(　　)
A.｜－1.5｜＞1.　　 B.＞0.667
C.π＜3.142　　 D.π＝3.141 592 6
返回
C
7.3－π的绝对值是　　　　，的倒数是　　，π－3.14的相反数是　　　　.
返回
π－3
π
3.14－π
知识点4 实数与数轴上点的关系
8. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足－a＜b＜a，则b的值可以是(　　)
A.2　　 B.－1　　
C.－2　　 D.－3
返回
B
【点拨】方法1：因为－a＜b＜a，所以｜b｜＜a，又因为1＜a＜2，所以b可以是－1.
方法2：因为｜a｜＜2，－a＜b＜a，所以实数b对应的点到原点的距离一定小于2.
返回
9.如果数轴上点A表示的数为－π，点B到点A的距离为4，那么点B表示的数为　 　.
返回
4－π或－4－π
10.已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简｜a＋2｜－｜b－3｜－｜a＋b｜＝　　　 　.
返回
2a＋2b－1
【点拨】由数轴可得a＞－2，b＜2，｜a｜＞｜b｜，所以a＋2＞
0，b－3＜0，a＋b＜0，所以原式＝a＋2－［－(b－3)］－［－(a＋b)］＝a＋2＋b－3＋a＋b＝2a＋2b－1，故答案为2a＋2b－1.
11.［2025南京］实数－a，a，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是(　　)
A.P 　　
B.Q 　　
C.R 　　
D.S
返回
C
实数
按概念分类：有理数、无理数
无理数：无限不循环小数
有理数和无理数统称实数
分类
概念
按正负性分类：正实数、0、负实数
相反数、倒数、绝对值
相关概念
与有理数一样能进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则、运算律对实数仍然适用
实数和数轴上的点是一一对应的
运算
性质

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