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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.3.2估算第二章实数北师大版八年级上册2.3.2估算练习题【核心知识点回顾】1.估算原理（夹值法）：对于无理数$$\sqrt{a}$$或$$\sqrt[3]{a}$$，找到相邻两个整数的平方或立方，锁定无理数的取值范围，实现整数估算。2.平方根估算规律：若$$n^2<a<(n+1)^2$$，则$$n<\sqrt{a}<n+1$$（$$n$$为非负整数）。3.立方根估算规律：若$$n^3<a<(n+1)^3$$，则$$n<\sqrt[3]{a}<n+1$$。4.实数大小比较技巧：估算近似值比较、平方/立方后比较、作差法比较；负数估算比较时，绝对值越大，数值越小。5.应用场景：估算无理数整数部分、小数部分，解决实际取值、范围判断问题。###一、选择题（每题4分，共20分）1.估算$$\sqrt{13}$$的取值范围是（）A. 2～3之间B. 3～4之间C. 4～5之间D. 5～6之间2. $$\sqrt[3]{50}$$的整数部分是（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 63.下列各数中，最接近3的无理数是（）A. $$\sqrt{8}$$ B. $$\sqrt{10}$$ C. 2.9 D. $$\sqrt{3}$$4.比较大小：$$\sqrt{15}$$、4、$$\sqrt[3]{60}$$，最大的数是（）A. $$\sqrt{15}$$ B. 4 C. $$\sqrt[3]{60}$$ D.无法确定5.若$$\sqrt{21}$$的整数部分为$$a$$，则$$a$$的值为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6###二、填空题（每题4分，共20分）1.估算$$\sqrt{7}$$在整数________和________之间。2. $$\sqrt[3]{100}$$的整数部分是________。3.大于$$\sqrt{5}$$且小于$$\sqrt{10}$$的整数是________。4.估算比较：$$\sqrt{17}$$________4（填“＞”“＜”或“=”）。5.若$$2<\sqrt{x}<3$$，则整数$$x$$的取值为________。###三、解答题（共60分）1.（20分）用夹值法估算下列无理数的取值范围：（1）$$\sqrt{23}$$（2）$$\sqrt[3]{35}$$2.（20分）比较下列各组数的大小：（1）$$\sqrt{26}$$与5（2）$$\sqrt[3]{20}$$与33.（20分）已知$$\sqrt{29}$$的整数部分为$$a$$，小数部分为$$b$$，求$$a、b$$的值。###参考答案与解析选择题答案：1.B 2.A 3.B 4.B 5.B填空题答案：1.2、3 2.4 3.3 4.＞5.5、6、7、8解答题解析1.解：（1）因为$$4^2=16，5^2=25$$，$$16<23<25$$，所以$$4<\sqrt{23}<5$$；（2）因为$$3^3=27，4^3=64$$，$$27<35<64$$，所以$$3<\sqrt[3]{35}<4$$。2.解：（1）$$5^2=25$$，$$26>25$$，故$$\sqrt{26}>5$$；（2）$$3^3=27$$，$$20<27$$，故$$\sqrt[3]{20}<3$$。3.解：由$$5^2=25，6^2=36$$，得$$5<\sqrt{29}<6$$，因此整数部分$$a=5$$，小数部分$$b=\sqrt{29}-5$$。###易错知识总结1.估算核心是找方数、立方数，准确锁定区间；2.小数部分=原无理数 整数部分，是高频考点；3.比较无理数大小，可平方、立方转化为整数比较，避免估算误差；4.注意区分平方根与立方根的估算范围，公式不能混用。通过估算一个无理数的大致范围，会比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题，发展运算能力．
通过经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感．
通过体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情，发展应用意识．
某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米
1．公园的宽大约是多少？它有1000米吗？
2．如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？
3．该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米 ，你能估计它的半径吗？（误差小于1米）
情境导入
(1)公园的宽大约是多少 它有1 000 m吗
(1)设公园的宽为x m，则长为2x m.
根据题意，得2x2=400 000，即x2 =200 000，
因为5002=250 000，所以x≈500.
故公园的宽大约是500 m，没有1 000 m大.
问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2.
知识点1 估算无理数的大小
问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2.
知识点1 估算无理数的大小
(2)如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少
(2)因为4502=202 500，4452=198 025，
所以445＜x＜450，所以x≈450，
所以结果精确到10 m，它的宽大约是450 m.
(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800m2，你能估计它的半径吗(结果精确到1m)
(3)设圆形花圃的半径为r m.
根据题意，得πr2=800，即r2=，
因为152=225，162=256，所以15＜r＜16，所以r≈16.
估计它的半径是16 m.
知识点1 估算无理数的大小
问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2.
思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？
≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 .
≈ 0.066不正确.
因为 0.36<0.43<0.49，
所以0.62<0.43<0.72，
所以在0.6和0.7 之间，不可能是 0.066 .
知识点1 估算无理数的大小
思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？
≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 .
≈96不正确.
因为 729<900<1 000，
所以93<900<103，
所以在9和10之间，不可能是96.
知识点1 估算无理数的大小
思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？
≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 .
≈ 60.4不正确.
因为2 500 <2 536 <2 601，
所以 502<2 536 <512，
所以在 50 和51 之间，不可能是 60.4 .
知识点1 估算无理数的大小
(2)你能估算的大小吗(结果精确到1)
因为 729<900<1 000，所以93<900<103，所以9<<10.
又因为 9.63<900 <9.73，所以9.6<<9.7，所以 ≈10.
知识点1 估算无理数的大小
要估算带根号的无理数大小，常常通过平方或立方等运算，先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分，这种估算的方法称为“夹逼法”.
例1 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约
为梯子长度的，则梯子比较稳定.如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗
知识点1 估算无理数的大小
解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的.
根据勾股定理，有x2+(6) 2=62，
即 x2=32，x= .
因为5.62=31.36<32，所以>5.6.
因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能
抵达5.6 m高的墙头.
知识点1 估算无理数的大小
例1 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约
为梯子长度的，则梯子比较稳定.如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗
跟踪训练的值在( )
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
解析：因为16<24<25，所以<<，
即4<<5.
故的值在4和5之间.
C
知识点1 估算无理数的大小
除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算.
知识点2 用计算器进行开方运算
尝试·思考
(1)观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键
用计算器求下列各式的值：
(1) (2) (结果精确到0.0001)
解：(1)依次按键 ，显示2.426 932 22，
得到 = 2.426 9.
5
.
8
9
知识点2 用计算器进行开方运算
(2)依次按键 ，显示10.871 789 69，
所以 = -10.871 8.
-
1
2
8
5
(2)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算，随着开方次数的增加，结果有什么规律吗？
用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律.
(2)不管是很大的正数，还是小于1的正数，随着开方次数的增加，所得结果都不断趋近于1.
知识点2 用计算器进行开方运算
跟踪训练 利用计算器比较和的大小.
解：按键： ，显示 1.442 249 57.
按键： ，显示1.414 213 562.
所以， >.
知识点2 用计算器进行开方运算
知识点1 估算
1.［2025天津］估计1＋的值在(　　)
A.1和2之间　　　 B.2和3之间
C.3和4之间　　　 D.4和5之间
返回
C
2. 如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示数－1，1，2，3，表示数4－的点M应落在线段(　　)
A.AO上　　
B.OB上　　
C.BC上　　
D.CD上
返回
C
3. 、 写出一个比大且比小的整数：　 　.
.
返回
2(答案
不唯一)　
知识点2 比较数的大小
4.若记a＝－2，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a＜b＜c　　 B.b＜a＜c
C.c＜a＜b　　 D.c＜b＜a
返回
B
5.通过估算，比较下面各组数的大小：
(1)和；
返回
【解】因为＞3，所以－2＞3－2，即－2＞1，所以＞.
(2)和.
返回
【解】因为＝，所以要比较和的大小，只需比较和的大小.
因为5－(2＋2)＝3－2，(2)2＝20＞32，
所以3－2＜0，所以＜.
知识点3 用计算器开方
6.利用计算器，比较下列各组数的大小：
(1)　　　　；
(2)　　　　.
返回
＜
＜
7.用计算器计算.(结果精确到0.01)
(1)－＋2π－；
返回
【解】－＋2π－≈0.866－3.142＋6.283－1.414≈2.59.
(2)(－)×.
【解】(－)×≈25.205 621 73≈25.21.
8.已知a，b，n均为正整数.
(1)若n＜＜n＋1，则n＝　　　　；
返回
【点拨】因为＜＜，所以3＜＜4.因为n＜＜n＋1，n为正整数，所以n＝3.
3
(2)若n－1＜＜n，n＜＜n＋1，则满足条件的a的个数总比b的个数少　　　　个.
返回
【点拨】因为n－1＜＜n，所以(n－1)2＜a＜n2，所以n2－(n－1)2＝n2－n2＋2n－1＝2n－1.因为n＜＜n＋1，所以n2＜b＜(n＋1)2，所以(n＋1)2－n2＝n2＋2n＋1－n2＝2n＋1.因为(2n＋1)－(2n－1)＝2，所以满足条件的a的个数总比b的个数少2个.
2
估算
要估算带根号的无理数大小，常常通过平方或立方等运算，先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分，这种估算的方法称为“夹逼法”.
估算无理数的大小并比较大小
用计算器进行开方运算
无理数的大小

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