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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.3.1二次根式及乘除运算法则第二章实数北师大版八年级上册二次根式及乘除运算法则练习题【核心知识点回顾】1.二次根式定义：形如$$\sqrt{a}$$（$$a\geq0$$）的式子叫做二次根式，其中被开方数$$a$$必须是非负数，二次根式的结果也恒为非负数，具备双重非负性。2.最简二次根式条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足两点即为最简二次根式。3.二次根式乘法法则：$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$（$$a\geq0，b\geq0$$），两个非负二次根式相乘，等于被开方数乘积的算术平方根。4.二次根式除法法则：$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$（$$a\geq0，b>0$$），二次根式相除，等于被开方数商的算术平方根，分母不能为0。5.基础化简公式：$$(\sqrt{a})^2=a$$（$$a\geq0$$）、$$\sqrt{a^2}=|a|$$，是二次根式化简、运算的核心依据。###一、选择题（每题4分，共20分）1.下列式子中，属于二次根式的是（）A. $$\sqrt{-5}$$ B. $$\sqrt{3}$$ C. $$\sqrt[3]{4}$$ D. $$\frac{1}{\sqrt{-2}}$$2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. $$\sqrt{8}$$ B. $$\sqrt{12}$$ C. $$\sqrt{7}$$ D. $$\sqrt{\frac{1}{3}}$$3.计算$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$$的结果是（）A. 4 B. $$\sqrt{10}$$ C. 16 D. 24.计算$$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$$的结果是（）A. 3 B. 9 C. $$\sqrt{9}$$ D. $$3\sqrt{3}$$5.式子$$\sqrt{x-2}$$有意义，则x的取值范围是（）A. $$x>2$$ B. $$x\geq2$$ C. $$x<2$$ D. $$x\leq2$$###二、填空题（每题4分，共20分）1.二次根式乘法法则：$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=$$________（$$a\geq0，b\geq0$$）。2.计算：$$\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=$$________。3.计算：$$\sqrt{48}\div\sqrt{3}=$$________。4.化简：$$\sqrt{18}=$$________。5.若$$\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-3}=\sqrt{x(x-3)}$$成立，则x的取值范围是________。###三、解答题（共60分）1.（20分）化简下列二次根式：（1）$$\sqrt{50}$$（2）$$\sqrt{\frac{4}{25}}$$（3）$$\sqrt{27\times3}$$2.（20分）计算下列二次根式乘除算式：（1）$$\sqrt{6}\times\sqrt{24}$$（2）$$\sqrt{72}\div\sqrt{8}$$3.（20分）先化简，再计算：$$\sqrt{12}\times\sqrt{3}-\sqrt{48}\div\sqrt{4}$$###参考答案与解析选择题答案：1.B 2.C 3.A 4.A 5.B填空题答案：1.$$\sqrt{ab}$$ 2.10 3.4 4.$$3\sqrt{2}$$ 5.$$x\geq3$$解答题解析1.解：（1）$$\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$$；（2）$$\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}=\frac{2}{5}$$；（3）$$\sqrt{27\times3}=\sqrt{81}=9$$。2.解：（1）原式$$=\sqrt{6\times24}=\sqrt{144}=12$$；（2）原式$$=\sqrt{72\div8}=\sqrt{9}=3$$。3.解：原式$$=2\sqrt{3}\times\sqrt{3}-4\sqrt{3}\div2=6-2\sqrt{3}$$。先将根式化为最简，再依据乘除法则运算，最后合并化简结果。###易错知识总结1.二次根式运算必须满足定义域，被开方数非负，除法中被开方数分母不为0；2.乘除运算可先合并再化简，也可先化简再计算，优先简化大数更简便；3.运算结果必须化为最简二次根式，保留规范形式；4.切勿忽略公式取值范围，避免出现无意义运算。通过掌握二次根式的概念，能确定被开方式中字母的取值范围，理解二次根式的双重非负性，提高学生的理解能力．
通过借助实例，应用归纳法，抽象得出二次根式的概念，体会抽象概括的思想
通过从实际生活中抽象出二次根式，感受数学模型思想和应用价值，发展应用意识；
旧识回顾
1．什么是平方根？
2．什么是算术平方根？
3．算术平方根的性质是什么？
平方根又叫二次方根，表示为±
其中属于非负数的平方根称之为算术平方根
双重非负性： ≥0(a≥0)．互逆性： ＝|a|＝
( )2＝a(a≥0)
问题 观察下列代数式：
， ， ，， (其中b=24，c=25).
这些式子它们有什么共同特征呢
它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.
一般地，形如(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.
，，(a≥0)都是二次根式.
二次根式的
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”；
②内在特征：被开方数a≥0.
知识点1 二次根式的概念
二次根式的被开方数a可以是一个非负数，也可以是一个非负的代数式，如(其中m-1≥0即m≥1).
一般地，形如(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.
，，(a≥0)都是二次根式.
知识点1 二次根式的概念
跟踪训练 判断下列各式是否一定为二次根式，并说明理由．
(1) ；(2)；(3) ；(4) +1(a≥0).
解：(1)不是. 因为的根指数是3，所以不是二次根式.
(2)是. 因为不论x为何值，都有+1>0，且的根指数为2，
所以是二次根式.
知识点1 二次根式的概念
跟踪训练 判断下列各式是否一定为二次根式，并说明理由．
(1) ；(2)；(3) ；(4) +1(a≥0).
(3)不一定是. 当-5a ≥0，即a≤0时， 是二次根式；
当a>0时，-5a<0，则不是二次根式.
所以不一定是二次根式.
(4)不是. +1(a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式.
知识点1 二次根式的概念
(1)计算下列各式，你能得到什么猜想
= ， = ；= ， = ；
= ，= ；= ，= .
6
6
猜想：
两个正数算术平方根的积（商）等于这两个数积（商）的算术平方根.
知识点2 二次根式的乘除法法则
思考
20
20
(2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证.
与， 与.
相等
相等
知识点2 二次根式的乘除法法则
(3)用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗
· = (a≥0，b≥0)，=(a≥0，b>0).
m， =n，
则m =a，n =b，
所以m n =ab，即(mn) =ab，
所以mn= ，
所以· = .
可证=
知识点2 二次根式的乘除法法则
二次根式的乘法法则和除法法则
· = (a≥0，b≥0)，=(a≥0，b>0).
知识点2 二次根式的乘除法法则
例1 计算：(1) ×； (2) .
解： (1) ×= = =2；
(2) = = = =3.
知识点2 二次根式的乘除法法则
注意：化简时，被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式.
例2 计算：
(1) 3×2；(2) ×-5；(3)(+1)2；
(4) (+3)(-3)；(5) (-)×；(6) .
解：(1) 3×2= 3= 3=6；
(2) ×-5= -5 = -5 =6-5=1；
(3) (+1)2= ()2+2+12 =5+2+1 = 6+2；
知识点2 二次根式的乘除法法则
例2 计算：
(1) 3×2；(2) ×-5；(3)(+1)2；
(4) (+3)(-3)；(5) (-)×；(6) .
解：(4) (+3)(-3) = ()2-32 =13-9=4；
(5) (-)×= ×-= -=6-1=5；
(6) = + ==2+3=5.
知识点2 二次根式的乘除法法则
知识点1 二次根式的定义
1.在式子(x＞0)，，(y＝－2)，(x＜0)，3，，，x＋y中，二次根式有(　　)
A.2个　　 B.3个　　
C.4个　　 D.5个
返回
C
返回
判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非.

2.若式子＋(3m－6)0有意义，则m的值可以是(　　)
A.　　 B.－　　
C.3　　 D.2
返回
C
知识点2 二次根式的乘法
3.计算×的结果是(　　)
A.6　　　 B.4　　　
C.2　　　 D.1
返回
C
4.［2026重庆期末］估算×(＋)的结果在(　　)
A.5和6之间　　　 B.6和7之间　
C.7和8之间　　　 D.8和9之间
返回
【点拨】×(＋)＝×＋×＝＋＝6＋.因为＜＜，所以2＜＜3，所以8＜6＋＜
9，故选D.
D
5. 若一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是　　　　　　　　.
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(答案不唯一)
6. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之一.如图是庐山云雾茶的一种包装铁盒，若其内部是底面半径为2 cm，深为6 cm的圆柱，则其容积为　　　　cm3(结果保留根号和π).
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120π
7.计算：(1)×；
返回
【解】原式＝××(×)
＝×18
＝3.
(2)(－)2(8＋2).
返回
【解】原式＝［()2＋()2－2××］(8＋2)
＝(8－2)(8＋2)
＝64－60＝4.
知识点3 二次根式的除法
8.［2026苏州期中］下列计算错误的是(　　)
A.×＝　　　　 B.÷＝2
C.÷＝9 　　　 D.＝3
返回
C
9.已知a＞0，b＞0，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为　　　　.
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10.计算：
(1)；
返回
【解】原式＝－＝－＝4－2＝2.
(2)＋5；
返回
【解】原式＝＋＋5＝＋＋5＝2＋5＋5＝12.
(3)÷(a＞0，b＞0).
【解】原式＝＝＝2a.
11.如果是整数，那么整数x是(　　)
A.6或3　　 B.3或1
C.2或18　　 D.18
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C
12.问题探究：因为(－1)2＝3－2，所以＝－1.因为(＋1)2＝3＋2，所以＝＋1.请你根据以上规律，结合你的经验化简＝　　　　　.
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－1　
二次根式
· = (a≥0，b≥0)，
=(a≥0，b>0).
一般地，形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.
乘除运算法则
定义

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