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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.3.2二次根式的化简及加减运算第二章实数北师大版八年级上册2.3.2二次根式的化简及加减运算练习题【核心知识点回顾】1.最简二次根式：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，二次根式运算的最终结果必须化为最简形式。2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，只有同类二次根式才能进行加减合并运算。3.二次根式加减运算法则：先化简、再合并。第一步将所有二次根式化为最简形式；第二步合并同类二次根式，合并方式与整式合并同类项一致，只合并根式外的系数，被开方数和根指数保持不变。4.运算公式：$$a\sqrt{m}\pm b\sqrt{m}=(a\pm b)\sqrt{m}$$，非同类二次根式不能合并，直接保留原式。###一、选择题（每题4分，共20分）1.下列二次根式中，与$$\sqrt{2}$$是同类二次根式的是（）A. $$\sqrt{4}$$ B. $$\sqrt{8}$$ C. $$\sqrt{12}$$ D. $$\sqrt{18}$$2.下列计算正确的是（）A. $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ B. $$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=2$$ C. $$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$ D. $$\sqrt{3}+\sqrt{3}=3$$3.化简$$\sqrt{27}$$的结果是（）A.$$3\sqrt{3}$$ B. $$9\sqrt{3}$$ C. 3 D. 94.可以与$$\sqrt{12}$$合并的二次根式是（）A. $$\sqrt{2}$$ B. $$\sqrt{27}$$ C. $$\sqrt{5}$$ D. $$\sqrt{6}$$5.计算$$\sqrt{18}-\sqrt{8}$$的结果是（）A. $$\sqrt{2}$$ B. 2 C. $$2\sqrt{2}$$ D. 4###二、填空题（每题4分，共20分）1.二次根式加减运算的核心步骤是先________，再________。2. $$\sqrt{48}$$化为最简二次根式是________。3.计算：$$5\sqrt{3}+2\sqrt{3}=$$________。4.$$\sqrt{12}$$与$$\sqrt{27}$$________（填“是”或“不是”）同类二次根式。5.计算：$$\sqrt{50}-\sqrt{32}=$$________。###三、解答题（共60分）1.（20分）将下列二次根式化为最简二次根式：（1）$$\sqrt{72}$$（2）$$\sqrt{\frac{9}{2}}$$（3）$$\sqrt{45}$$2.（20分）计算下列二次根式加减运算：（1）$$\sqrt{12}+\sqrt{27}$$（2）$$\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}}$$3.（20分）计算：$$3\sqrt{48}-9\sqrt{\frac{1}{3}}+3\sqrt{12}$$###参考答案与解析选择题答案：1.B 2.C 3.A 4.B 5.A填空题答案：1.化简、合并同类二次根式2.$$4\sqrt{3}$$ 3.$$7\sqrt{3}$$ 4.是5.$$\sqrt{2}$$解答题解析1.解：（1）$$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}$$；（2）$$\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$；（3）$$\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}$$。2.解：（1）原式$$=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$；（2）原式$$=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$。3.解：原式$$=3\times4\sqrt{3}-9\times\frac{\sqrt{3}}{3}+3\times2\sqrt{3}=12\sqrt{3}-3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=15\sqrt{3}$$。###易错知识总结1.非同类二次根式绝对不能直接加减合并，避免出现$$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$$的错误；2.运算前必须彻底化简根式，否则无法准确判断同类二次根式；3.分数型二次根式化简需有理化分母；4.合并时仅系数相加减，根式部分保持不变，切勿改动被开方数。通过熟练掌握二次根式的四则运算的算理，可以对二次根式进行准确的计算，提高运算能力．
通过灵活运用二次根式的四则运算解决问题，发展学生探究能力．
通过增强学生的符号、应用意识，培养学生合作交流、合情推理及表达能力．
旧识回顾
1．二次根式的定义是什么？
2．最简二次根式的定义是什么？
一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式
=· (a≥0，b≥0)， =(a≥0，b>0).
积的算术平方根=各因数(式)算术平方根的积，
商的算术平方根=各因数(式)算术平方根的商.
知识点1 二次根式的性质
二次根式的性质有什么作用呢？
利用二次根式的性质可将根号内含有开得尽方的数开方到根号外.
如化简.
= = ×=10.
知识点1 二次根式的性质
例1 化简：
(1) ； (2) ；(3) .
解：(1) = ×= 9×8= 72；
(2) = ×=5；
(3) = = .
知识点1 二次根式的性质
被开方数中都不含分母，
也不含能开得尽方的因数
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式.
知识点2 最简二次根式
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
例2 化简：
(1) ； (2) ；(3) .
解：(1) = = = 5；
(2) = = = ；
(3) = = = .
5是哪个数的算术平方根
知识点2 最简二次根式
思考
(1)你是怎么发现含有开得尽方的因数的 你是怎么判断是最简二次根式的
因为被开方数50可写成25×2的形式，25=52，即25是一个完全平方数，是能开得尽方的因数.
中根号内不含有能开得尽方的因数，分母中又不含根号，
所以是最简二次根式.
知识点2 最简二次根式
(2)将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会
①要找准被开方数是否有开得尽方的因数或者被开方数是否含有分母；
②通过将被开方数拆成几个整数的积来找开得尽方的因数；
③被开方数含有分母时，要对分子分母同时乘某一个数，使得分母变为开得尽方的整数.
知识点2 最简二次根式
二次根式之间能进行加减运算吗？
知识点3 二次根式的加减法运算法则
二次根式也可以进行加减运算，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.
如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并.
例3 计算：
(1)+；(2) - ；(3) (+)×.
解：(1)+ = + = += 4+= 5 ；
(2) - = - = - = ；
(3) (+)×= += += 2+= 5.
知识点3 二次根式的加减法运算法则
二次根式的加减运算法则
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式合并.
知识点3 二次根式的加减法运算法则
将其系数相加，被开方数不变，所得的和与被开方数相乘，如2+3=(2+3)=5
知识点1 积的算术平方根的性质
1.下列各式变形正确的是(　　)
A.＝×
B.＝＋
C.＝×　
D.＝×
返回
D
2.化简的结果是(　　)
A.2　　 B.－2　　
C.3　　 D.－3
返回
A
3. 小华和小刚两人分别拿一张卡片，小华在卡片上写二次根式a，小刚在卡片上写二次根式b，使得ab＝，请你写出一对满足条件的a，b的值：　　　 .
　　　　.
返回
，(答案不
唯一)
知识点2 商的算术平方根的性质
4.若＋(a－3)2＝0，则化简的结果是(　　)
A.　　 B.　　
C.±　　 D.
返回
B
5.化简二次根式(x＜0)正确的是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.－　　　　D.－
返回
C
【点拨】因为x＜0，所以＝＝－，故选C.
6.如果＋6＝20，那么x＝　　　　.
返回
【点拨】因为＋6＝20，所以×3＋6×＝20，即2＋3＝20，所以5＝20，所以＝4，所以x＝16.经检验：x＝16是原方程的解，故答案为16.
16
知识点3 最简二次根式
7.下列各式：①，②，③，④，⑤，
⑥中，最简二次根式有(　　)
A.1个　　 B.2个　　
C.3个　　 D.4个
返回
B
8.已知最简二次根式与可以合并，则a＋b的值为　　　　.
返回
【点拨】由题意得b＋1＝2，4a＋3＝2a－b＋6，解得a＝1，b＝1，则a＋b＝1＋1＝2.
2
知识点4 二次根式的加减法
9.下列计算结果正确的是(　　)
A.＋＝　　　 B.2＋＝2
C.3－＝2　　　 D.＝1
返回
C
10.若m＋－n＝5，则下列结论正确的是(　　)
A.m＝0，n＝1　　 B.m＝1，n＝1
C.m＝－1，n＝0　　 D.m＝2，n＝4
返回
B
11.一个长方形的周长为，它的一边长为，则另一边长为　　　　.
返回
2
二次根式
=· (a≥0，b≥0)， =(a≥0，b>0)
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式合并
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式
性质
加减运法则
最简二次根式

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