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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.3.3二次根式的四则运算第二章实数北师大版八年级上册2.3.3二次根式的四则运算练习题【核心知识点回顾】1.运算法则汇总：乘法$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$$；除法$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b>0)$$；加减先化简、再合并同类二次根式。2.混合运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；能运用乘法交换律、结合律、分配律简便运算。整式的平方差、完全平方公式在二次根式运算中完全适用。3.常用公式：平方差$$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b$$；完全平方$$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$$。4.运算要求：所有计算结果必须化为最简二次根式，分母不含根式。###一、选择题（每题4分，共20分）1.下列计算正确的是（）A. $$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ B. $$\sqrt{8}\div\sqrt{2}=2$$ C. $$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{10}$$ D. $$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$$2.计算$$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$$的结果是（）A. 1 B. -1 C. 7 D. $$4-2\sqrt{3}$$3. $$\sqrt{12}\times\sqrt{3}+\sqrt{18}\div\sqrt{2}$$的结果为（）A. 9 B. 15 C. $$6+3\sqrt{2}$$ D. $$9\sqrt{3}$$4.化简$$(\sqrt{5}-1)^2$$的结果是（）A. $$6-2\sqrt{5}$$ B. 4 C. $$5-2\sqrt{5}$$ D. 65.二次根式四则运算最终结果必须是（）A.整数B.小数C.最简二次根式D.带根号式子即可###二、填空题（每题4分，共20分）1.二次根式混合运算顺序是先________，后________。2.计算：$$\sqrt{6}\times\sqrt{24}=$$________。3.计算：$$\sqrt{54}\div\sqrt{6}=$$________。4. $$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=$$________。5. $$3\sqrt{12}-2\sqrt{3}=$$________。###三、解答题（共60分）1.（20分）基础四则运算：（1）$$\sqrt{27}\times\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{12}\div\sqrt{4}$$（2）$$\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}$$2.（20分）乘法公式简便运算：（1）$$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$$（2）$$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$3.（20分）综合混合运算：$$\sqrt{48}\div\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{18}-\sqrt{25}$$###参考答案与解析选择题答案：1.B 2.A 3.A 4.A 5.C填空题答案：1.乘除、加减2.12 3.3 4.$$5+2\sqrt{6}$$ 5.$$4\sqrt{3}$$解答题解析1.解：（1）原式$$=\sqrt{9}+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$$；（2）原式$$=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$。2.解：（1）原式$$=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$$；（2）原式$$=(2\sqrt{3})^2-2\times2\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=12-4\sqrt{6}+2=14-4\sqrt{6}$$。3.解：原式$$=\sqrt{16}+\sqrt{9}-5=4+3-5=2$$。先依次完成乘除运算，再化简合并，最后做加减计算。###易错知识总结1.严禁非同类根式直接加减合并；2.混合运算严格遵守运算顺序，不跳步、不错序；3.运用完全平方公式时不要遗漏中间的交叉项；4.结果务必化为最简二次根式，保证分母无根式、无开方不尽的因数。进一步进行二次根式(根号下仅限于数)的简单四则运算，并解决简单的实际问题.
发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生应用法则的灵活性和解决问题的能力.
问题 请你计算： + ， - .
小明是这样计算 + 的：
+ = + = + = .
分子、分母同乘的目的是什么
分子分母同乘的目的是将分母转化为有理数2.
知识点1 分母有理化
计算 -
- = - = 2- = .
方法二 - = - = 2- = .
方法三 - = - = 2- =2- = .
知识点1 分母有理化
例1 计算：
(1) - ； (2) - + ；
解：(1) - = - = - = ；
(2) - += - + = 3- 2+ = ；
知识点2 二次根式的四则运算
例1 计算：(3) (- )÷ ； (4) + - .
(3) (- )÷
= ÷ - ÷
= -
= -
= -
= -
= ；
知识点2 二次根式的四则运算
例1 计算：(3) (- )÷ ； (4) + - .
(4) + -
=
= -
= - .
化成最简二次根式后与，化简后的被开方数不可能相同，因此，结果中可以保留，不必将它化成最简二次根式.
知识点2 二次根式的四则运算
思考 化简( - ) ·，其中a=3，b=2.你是怎么做的
( - ) ·
= · - ·
= -
= -.
把a=3，b=2代入 -中，得原式= - 2.
知识点2 二次根式的四则运算
思考
如图，方格纸中小方格的边长均为 1.
(1)求梯形 ABCD 的周长.
(2)求梯形 ABCD 的面积.
(1)由勾股定理，得AB=，BC=，CD=.
由网格可知 AD=6，
所以梯形 ABCD 的周长为
+ + + 6 = 5 + 2 + +6 =6 + 2 + 6.
知识点2 二次根式的四则运算
思考
如图，方格纸中小方格的边长均为 1.
(1)求梯形 ABCD 的周长.
(2)求梯形 ABCD 的面积.
(2)梯形 ABCD 的面积为
( + )×3 = (5+ )×3 =18.
还可以通过数格子，割补法求梯形 ABCD的面积.
E
知识点2 二次根式的四则运算
思考
如图，方格纸中小方格的边长均为 1.
(1)求梯形 ABCD 的周长.
(2)求梯形 ABCD 的面积.
可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.
S梯形ABCD=S1+S2+S3=×3×1+×3×2+×(3+6)×3=+3+=18.
知识点2 二次根式的四则运算
知识点1 分母有理化
1.化简的结果是(　　)
A.－　　 B.－　　
C.－　　 D.－
返回
D
【点拨】＝＝＝＝－.故选D.
2.已知a＝，b＝＋3，则a与b的关系是(　　)
A.互为相反数　　 B.相等
C.互为倒数　　 D.互为负倒数
返回
A
3.下列各数中，与－2互为倒数的是(　　)
A.＋2　　 B.－－2　　
C.2＋2　　 D.＋2
返回
【点拨】－2的倒数是＝＝＋2.
A
4.已知＋(b－3)2＝＋，则化简的结果为　　　　　.
返回
【点拨】由题意得c－4≥0，4－c≥0，所以c＝4，所以＋(b－3)2＝0.所以a＝5，b＝3.所以＝＝＝＋.
＋
知识点2 二次根式的混合运算
5.如图，点A，B，C，D在数轴上，则可以近似表示×－÷的运算结果的点是(　　)
A.点A　　　　B.点B　　　　C.点C　　　　D.点D
返回
C
【点拨】×－÷＝－2× ＝6－3＝3＝.因为42＜18＜52，所以4＜＜5，所以可以近似表示×－÷的运算结果的点是点C.
返回
6.［2026西安碑林区模拟］如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为(　　)
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
返回
(第6题)
B
7.如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为　　　　.
(第7题)
返回
2
8.计算：
(1)－＋3；
返回
【解】原式＝5－＋3×＝5－＋＝5－(－)＋＝5－＋＋＝6.
(2)－4－÷；
返回
【解】原式＝3－4×－＝3－2－＝3－2－2＝－.
(3)｜－2｜＋(2 027＋π)0＋－－2.
【解】原式＝2－＋1＋3－4＝2－.
对于二次根式的除法，把分母中的根号化去的过程，叫作分母有理化
分母有理化
二次根式的四则运算
二次根式混合运算
化简求值
解决实际问题

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