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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.2.2加减消元法第五章二元一次方程组5.2.1代入消元法同步知识点+练习题【核心知识点精讲】一、消元思想（本节核心）消元思想：二元一次方程组含有两个未知数，通过“减少未知数个数”，把二元问题转化为一元一次方程问题求解，这种化繁为简的思想叫做消元思想。核心转化：二元一次方程组→一元一次方程二、代入消元法定义把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。三、代入消元法标准六步解题模板（考试满分步骤）步骤1：变（变形）：观察方程组，选系数简单的未知数，将其中一个方程变形为：$$x=ay+b$$或$$y=ax+b$$的形式；步骤2：代（代入）：将变形后的式子整体代入另一个未变形的方程，消去一个未知数；步骤3：解（求一解）：解得到的一元一次方程，求出其中一个未知数的值；步骤4：回（回代）：把求出的未知数的值，代入变形后的简易方程，求出另一个未知数的值；步骤5：写（写解）：用大括号联立两个未知数的值，写出方程组的解；步骤6：验（检验）（可选，草稿完成）：将解代入原方程组，验证是否成立。四、最优变形选择技巧（提速关键）1.优先选择系数为1或-1的未知数变形，计算最简单，不易出错；2.无系数1/-1时，选择系数绝对值较小的未知数变形；3.切勿代入已经变形的方程，会出现恒等式，无法求解。五、高频易错扣分点1.代入错误：将式子代入原变形方程，陷入恒等循环，无解；2.回代错误：求出一个未知数后，直接乱代方程，计算出错；3.去括号、移项时符号出错，是最常见计算失误；4.解题步骤残缺，未规范写变形、代入过程，考试扣分；5.最终解未用大括号联立，书写格式不规范。六、满分解题口诀观察系数选简单，一未知数表另元；代入它方程消元，解出一回求二全；大括号联立写答案---【经典例题（标准满分步骤）】解方程组：$$\begin{cases} y=x+3 \\ 7x+5y=9 \end{cases}$$解：把$$y=x+3$$代入$$7x+5y=9$$得：$$7x+5(x+3)=9$$$$7x+5x+15=9$$$$12x=-6$$，解得$$x=-\dfrac{1}{2}$$把$$x=-\dfrac{1}{2}$$代入$$y=x+3$$得：$$y=\dfrac{5}{2}$$∴方程组的解为$$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{5}{2} \end{cases}$$---【同步基础练习题】一、选择题（每题4分，共20分）1.代入消元法的核心思想是（）A.合并同类项B.消元，化二元为一元C.移项D.约分2.解方程组$$\begin{cases}x=2y\\3x+4y=20\end{cases}$$，代入正确的是（）A. $$3\cdot2y+4y=20$$ B. $$3x+4\cdot2y=20$$ C. $$x=2y$$ D.以上都不对3.用代入法解方程组优先选择变形的未知数是（）A.系数最大的B.系数为1或-1的C.任意未知数D.常数大的4.解方程组$$\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}$$，最简便的变形是（）A.由①得$$y=5-2x$$ B.由②得$$x=y+1$$ C.由①得$$x=\dfrac{5-y}{2}$$ D.由②得$$y=x-1$$5.用代入法消元后主要转化为（）A.一元一次方程B.一元二次方程C.分式方程D.整式二、填空题（每题4分，共20分）1.代入消元法的核心是将______元方程组转化为______元一次方程。2.变形方程时，优先选择系数为______的未知数变形。3.求出一个未知数后，需要______到变形方程中求另一个未知数。4.方程组的解必须用______形式书写。5.代入时严禁代入______的方程，否则无法求解。三、解答题（共60分，用代入消元法规范解题）1.（20分）基础直接代入型：（1）$$\begin{cases} x=y+2 \\ 2x+3y=9 \end{cases}$$（2）$$\begin{cases} y=3x \\ x+2y=21 \end{cases}$$2.（20分）需要手动变形型：（1）$$\begin{cases} x+2y=3 \\ 2x-y=1 \end{cases}$$（2）$$\begin{cases} 3x+y=7 \\ x-2y=0 \end{cases}$$3.（20分）综合提升型：$$\begin{cases} 2x+3y=8 \\ 3x-y=5 \end{cases}$$---【参考答案与详细解析】一、选择题答案1.B 2.A 3.B 4.B 5.A二、填空题答案1.二、一2. 1或-1 3.回代4.大括号5.已变形三、解答题标准解析1.（1）解：把$$x=y+2$$代入$$2x+3y=9$$$$2(y+2)+3y=9$$，$$2y+4+3y=9$$，$$5y=5$$，得$$y=1$$回代得$$x=1+2=3$$∴$$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$$（2）解：把$$y=3x$$代入$$x+2y=21$$$$x+6x=21$$，$$7x=21$$，得$$x=3$$回代得$$y=9$$∴ $$\begin{cases} x=3 \\ y=9 \end{cases}$$2.（1）解：由$$x+2y=3$$得：$$x=3-2y$$代入$$2x-y=1$$：$$2(3-2y)-y=1$$$$6-4y-y=1$$，$$-5y=-5$$，得$$y=1$$回代得$$x=1$$∴ $$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$$（2）解：由$$x-2y=0$$得：$$x=2y$$代入$$3x+y=7$$：$$6y+y=7$$，得$$y=1$$回代得$$x=2$$∴ $$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$$3.解：由$$3x-y=5$$得：$$y=3x-5$$代入$$2x+3y=8$$：$$2x+3(3x-5)=8$$，$$2x+9x-15=8$$$$11x=23$$，得$$x=\dfrac{23}{11}$$回代：$$y=3\times\dfrac{23}{11}-5=\dfrac{14}{11}$$∴ $$\begin{cases} x=\dfrac{23}{11} \\ y=\dfrac{14}{11} \end{cases}$$【本节满分总结】1.代入法核心：变、代、解、回、写、验六步走；2.优先变形系数为1的未知数，计算最简、出错最少；3.代入必代另一个方程，回代必代变形简易方程；4.严格规范格式，大括号联立解，步骤完整不丢分。掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤.
熟练运用消元法解简单的二元一次方程组.
能迅速根据所给的二元一次方程组，选择一种简单的方法解方程组.
复习导入
上节课我们学习了用代入法解二元一次方程组，请同学们回顾一下，回答下面的问题：
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2、用代入法解方程组的步骤是什么？
问题导入
视频导入
知识点1 加减消元法解二元一次方程组
思考
下面二元一次方程组中未知数y的系数有什么特点
5和-5互为相反数
知识点1 加减消元法解二元一次方程组
思考
下面二元一次方程组中未知数y的系数有什么特点
方程①和方程②中，未知数y的系数互为相反数，
若利用等式的基本性质，把方程①②的左右两边分别相加，就可消去y，得到关于x的一元一次方程.
知识点1 加减消元法解二元一次方程组
两个方程相加，可以得到 5x=10，
x=2.
将x=2代入①，得 6+5y=21，
y=3.
所以方程组的解是
上面解方程组的基本思路是什么
知识点1 加减消元法解二元一次方程组
二元
一元.
相加消元：
例1 解方程组：
知识点1 加减消元法解二元一次方程组
这个方程组中，未知数x的系数有什么特点
方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
知识点1 加减消元法解二元一次方程组
解：②-①，得 8y=-8，
y=-1.
将y=-1代入①，得 2x+5=7，
x=1.
所以原方程组的解是
例1 解方程组：
知识点1 加减消元法解二元一次方程组
这个方程组中，未知数的系数既不相同也不互为相反数.
能否使两个方程中x(或y)的系数相等(或相反)呢
例2 解方程组：
知识点1 加减消元法解二元一次方程组
解：①×3，得 6x+9y=36. ③
②×2，得 6x+8y=34. ④
③-④，得 y=2.
将y=2代入①，得 x=3.
所以原方程组的解是
例2 解方程组：
通过两式相加(或相减)消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法.
知识点1 加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
① 变形：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等.
② 加减：两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减.
③ 求解：解消元后的一元一次方程.
④ 回代：把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中.
⑤ 写解：把两个未知数的值用“{”联立起来.
知识点1 加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解二元一次方程组的技巧：
(1) 若两方程中同一个未知数的系数的绝对值相等，则直接将两方程相加(减)进行消元；
(2) 若同一个未知数的系数的绝对值不相等，则应先选一个或两个方程进行变形，使同一个未知数的系数的绝对值相等；
(3) 若方程组较复杂，则应先化简整理，再求解.
知识点1 加减消元法解二元一次方程组
知识点1 直接加减消元
1. 在解二元一次方程组时，若①－②可直接消去未知数y，则m和n满足的条件是(　　)
A.m＝n　　 B.mn＝1
C.m＋n＝0　　 D.m＋n＝1
返回
C
2.［2026广州期末］已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为(　　)
A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3
返回
B
【点拨】
①－②，得2x－2y＝2m＋6，
所以x－y＝m＋3.
又因为x－y＝4，所以m＋3＝4，解得m＝1.
3.已知a，b都是有理数，观察下表中的运算，则m＝　　　.
返回
a，b的运算 a＋b a－b a＋2b
运算的结果 5 9 m
3
知识点2 先变形，再加减消元
4.数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组 下面是四位同学的求解思路，其中正确的是(　　)
A.要消去y，可以将①×5＋②×2
B.要消去x，可以将①×3－②×5
C.要消去y，可以将①×3＋②×2
D.要消去x，可以将①×5－②×2
返回
D
5.解下列方程组：
(1)　
返回
【解】整理，得
①×2－②，得－y＝－8，解得y＝8.
把y＝8代入①，得x－24＝－7，解得x＝17.
所以原方程组的解为
(2)
返回
【解】方程组变形为
由①×2－②，得y＝1.
把y＝1代入②，得2x＋3＝7，解得x＝2.
所以原方程组的解为
6.下面是数学课上小颖同学解方程组的过程，老师在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务.
解：①×3，得15x＋6y＝75.③(第一步)
②×5，得15x＋4y＝15.④(第二步)
③－④，得2y＝60，(第三步)
返回
解得y＝30.(第四步)
把y＝30代入①，得x＝－7.(第五步)
所以原方程组的解为(第六步)
返回
(1)小颖用　　　消元法解方程组；(填“代入”或“加减”)
(2)小颖的解答从第　　　步出现了错误；
加减
二
返回
(3)求该方程组的解.
【解】
①×3，得15x＋6y＝75.③
②×5，得15x＋20y＝75.④
③－④，得－14y＝0，解得y＝0.
把y＝0代入①，得x＝5.
所以原方程组的解为
返回
7. 如图，在一块纸板上裁出一款底面为正方形的长方体包装盒，另外多留三处等宽接口(图中阴影部分)，用于折叠后粘贴，若包装盒的高是底面边长的2倍，则包装盒的底面边长
为(　　)
A.4 cm　　　
B.5 cm　　　
C.6 cm　　　
D.7 cm
返回
C
解二元一次方程组
基本思路“消元”
加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
变：使两个方程中的某一个未知数的系数相等或互为相反数
加减：消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程
求：求出两个未知数的值
写：写出方程组的解

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