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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.3.1古算问题第五章二元一次方程组5.3.1古算问题同步知识点+练习题【核心知识点精讲】一、古算问题解题核心古算题全部来自古代数学典籍（《九章算术》《孙子算经》等），文字偏文言、晦涩，本质都是二元一次方程组应用题。解题核心：翻译古文→找两个等量关系→列二元一次方程组求解。二、古算题标准解题六步法（满分模板）1.翻译：把文言文翻译成现代数学大白话，提取已知条件；2.设元：设题目中两个未知量为$$x、y$$；3.找等量：古算题必有两组独立等量关系（固定套路：和、差、倍、分、盈、不足）；4.列方程：根据两组等量关系列二元一次方程组；5.求解：用代入/加减消元法解方程；6.验答：检验结果为正整数（人数、物品数必为整数），规范作答。三、古算四大必考模型（考试原题高频）1.和差倍分模型古文关键词：共、和、多、少、倍、半。等量形式：甲+乙=总数、甲 乙=差数、甲=几倍乙。2.盈不足模型（最经典）古文关键词：盈（多、剩）、不足（少、缺）。题意：众人分物，分则多、分则少，求人数、物价。3.鸡兔同笼模型（必考）已知：总头数、总脚数，求两种动物数量。4.收支持钱模型两人持钱，甲给乙则相等/甲得乙则多，求两人原有钱数。四、高频文言词汇翻译（秒读懂题）盈=多、剩余｜不足=少、不够｜适足=刚好、恰好共、合=和、总和｜差、少=相减｜倍=倍数关系人均、每人=平均分配｜余=多余｜缺=缺少五、易错扣分点1.读不懂古文，找错等量关系；2.只列出一个方程，漏找第二组关系；3.结果算出小数、负数，未舍去（人、物必为正整数）；4.不检验、不写答，步骤残缺扣分。---【四大经典古算例题（考试原题）】例题1：鸡兔同笼（必考原题）今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？翻译：鸡和兔一共35只，总脚数94只，求鸡、兔各多少只。解：设鸡有$$x$$只，兔有$$y$$只。根据题意得：$$\begin{cases} x+y=35 \\ 2x+4y=94 \end{cases}$$解得：$$\begin{cases} x=23 \\ y=12 \end{cases}$$答：鸡有23只，兔有12只。例题2：盈不足问题（课本重点）今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？翻译：多人合伙买物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱。求人数和物品价格。解：设共有$$x$$人，物价为$$y$$钱。$$\begin{cases} 8x-y=3 \\ y-7x=4 \end{cases}$$解得：$$\begin{cases} x=7 \\ y=53 \end{cases}$$答：共7人，物价53钱。例题3：持钱问题甲乙二人持钱，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲乙各持钱几何？翻译：甲得到乙一半的钱则有50，乙得到甲三分之二的钱也有50，求甲乙原有钱数。解得：$$\begin{cases} x=37.5 \\ y=25 \end{cases}$$答：甲原有37.5钱，乙原有25钱。例题4：和倍古算题两数和为60，大数三倍比小数五倍多20，求两数。解：设大数$$x$$，小数$$y$$$$\begin{cases} x+y=60 \\ 3x-5y=20 \end{cases}$$解得：$$\begin{cases} x=40 \\ y=20 \end{cases}$$---【同步专项练习题】一、基础填空题1.古算问题的本质是________方程组应用题。2. “盈”对应数量________，“不足”对应数量________。3.解古算题第一步是________题意，找出两组等量关系。二、经典古算解答题（考试真题）1.今有鸡兔同笼，上有二十头，下有五十六足，鸡兔各几只？2.众人买物，人出9，盈5；人出8，不足2。求人数、物价。3.甲乙两数和为50，甲数2倍比乙数多10，求甲乙两数。4.今有二人持钱，甲给乙10钱，两人钱数相等；乙给甲10钱，甲是乙的2倍，求原来两人各有多少钱？---【参考答案】一、填空题1.二元一次2.多余、缺少3.翻译（读懂）二、解答题1.解：设鸡$$x$$只，兔$$y$$只$$\begin{cases}x+y=20\\2x+4y=56\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x=12\\y=8\end{cases}$$答：鸡12只，兔8只。2.解：设$$x$$人，物价$$y$$$$\begin{cases}9x-y=5\\y-8x=2\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x=7\\y=58\end{cases}$$答：7人，物价58。3.解：设甲$$x$$，乙$$y$$$$\begin{cases}x+y=50\\2x-y=10\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x=20\\y=30\end{cases}$$答：甲20，乙30。4.解：设甲原有$$x$$，乙原有$$y$$$$\begin{cases}x-10=y+10\\x+10=2(y-10)\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x=70\\y=50\end{cases}$$答：甲原有70钱，乙原有50钱。【本节满分总结】1.古算题不怕文言，先翻译、找两组等量是关键；2.题型固定：鸡兔同笼、盈不足、持钱、和倍差倍；3.人、物数量必为正整数，算出小数负数直接检查错题；4.严格按六步解题，方程组规范、答案完整不丢分。能根据简单问题中的数量关系，建立方程组解决问题，归纳并掌握列方程组解决实际问题的一般步骤.
能正确找出“鸡兔同笼”“调配问题”问题中的等量关系，并根据等量关系列出方程.
通过教师讲评，学生能掌握不同类型题目的数学模型，培养学生总结问题的能力．
视频导入
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
导入新知
问题 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问：雉兔各几何
这个问题涉及哪些量 这些量之间有怎样的等量关系
鸡的数量、兔的数量、头的总数、足的总数.
鸡的数量+兔的数量=头的总数，
鸡的数量×2+兔的数量×4=足的总数.
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问：雉兔各几何
你能列方程组解决这个有趣的问题吗
知识点1 鸡兔同笼问题
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问：雉兔各几何
解：设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组
解这个方程组，得
所以，笼中有鸡23只、兔12只.
知识点1 鸡兔同笼问题
你能用一元一次方程解决吗？
知识点1 鸡兔同笼问题
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问：雉兔各几何
解：设鸡的数量为x只，则兔的数量为(35-x)只.
根据“鸡的足数+兔的足数=足的总数”，可列方程：
2x+4×(35-x)=94.
解得 x=23.
35-23=12(只)，
所以，鸡有23只，兔有12只.
知识点1 鸡兔同笼问题
知识点1 鸡兔同笼问题
检查解是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解
解方程组
列出二元一次方程组
实际问题
分析题意
找出两个
等量关系
用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路.
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
(1) 审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量.
(2) 找：找出能够表示题意的两个等量关系.
(3) 设：用字母表示题中的两个未知数.
(4) 列：根据找出的两个等量关系列出所需的代数式，从而列出方程组.
(5) 解：解方程组.
(6) 验：检验所得的解是不是方程组的解，并且要检验是否符合题意，不符合的要舍去.
(7) 答：写出答案，包括单位名称.
知识点1 鸡兔同笼问题
跟踪训练 某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如果每台挖掘机每天平均挖土750m3，每台装卸机每天平均运土300m3，正好能使每天挖出的土及时运走，挖掘机有多少台？装卸机有多少台？
知识点1 鸡兔同笼问题
解：设挖掘机有 x 台，装卸机有 y 台，
根据题意列出方程组得
解得
所以，挖掘机有 6 台，装卸机有 15 台.
列方程组求解下面的问题：
若甲从乙处得到1个钱币，则甲拥有的钱币数量与乙相同；若乙从甲处得到1个钱币，则乙拥有的钱币数量是甲的2倍.甲、乙两人原来分别拥有多少个钱币
分析：设甲原来有x个钱币，乙原来有y个钱币，
当甲从乙处得到1个钱币后，甲的数量与乙相同：x+1=y-1，
当乙从甲处得到1个钱币后，乙的数量是甲的2倍：y+1=2(x-1).
知识点2 调配类问题
解：设甲、乙两人原来分别拥有x个钱币、y个钱币.
根据题意，得
解得
答：甲、乙两人原来分别拥有个钱币、个钱币.
知识点2 调配类问题
例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问：甲、乙怀钱各几何 (选自《张丘建算经》)
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱
知识点2 调配类问题
例1 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱
分析：题目中有哪些等量关系
甲得到乙的10钱后，甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍，
乙得到甲的10钱后，两人钱数相等.
知识点2 调配类问题
例1 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱
分析：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y.
甲得到乙的10钱后，甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍，
x+10=6(y-10)，
乙得到甲的10钱后，两人钱数相等.
x-10=y+10.
知识点2 调配类问题
例1 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱
知识点2 调配类问题
解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据题意，得
解这个方程组，得
所以，甲带了38钱，乙带了18钱.
列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系
列二元一次方程组解决问题需要找两个未知数和两个等量关系，
而列一元一次方程解决问题需要找一个未知数和一个等量关系，
能用二元一次方程组解决的问题，也能用一元一次方程解决.
知识点2 调配类问题
知识点1“鸡兔同笼”问题
1.［2026重庆期中］《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺.”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾1.2米、彩绢5米，每盏小灯用竹篾0.5米、彩绢2米.若工坊恰好用完了120米竹篾和490米彩绢，设制作大灯x盏，小灯y盏，则可列方程组为(　　)
A. B.
C. D.
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A
2.［2025盐城］我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分.问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是　　　分.
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6
知识点2 和差倍分问题
3.《孙子算经》中有这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”根据题意可得木材的长为(　　)
A.2.5尺　　 B.5.5尺　　 C.6.5尺　　 D.11尺
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C
4.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间客房.据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，其中正确的个数是(　　)
甲：设客房有x间，则7x＋7＝9(x－1)；
乙：设客人有y人，则＝；
丙：设客房有x间，客人有y人，则
A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3
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C
5.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后.甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的质量.
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【解】设黄金每枚重x两，白银每枚重y两，
根据题意，得
解得
所以4x＋4y＝143＋117＝260.
所以黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的质量为260两.
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6.在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图①、图②中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.如图①表示的方程组是在图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为　　　　.
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｜　
7. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间.已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18 cm；供水6小时，箭尺读数为42 cm.若开始记录时是上午8：00，则当箭尺读数为84 cm时的时间为　　　　.
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21：00
【点拨】设箭尺每小时上升x cm，开始高度为y cm，根据题意，得
②－①，得4x＝24，解得x＝6.
将x＝6代入①，得y＝6.
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故方程组的解为
设当箭尺读数为84 cm时，时间为t，
则6＋6(t－8)＝84，解得t＝21.
故当箭尺读数为84 cm时的时间是21：00.
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8. ［2026徐州模拟］我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)每头牛、每只羊各值多少两银子？
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【解】设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子.
根据题意，得解得
所以每头牛值3两银子，每只羊值2两银子.
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(2)若某商人准备用24两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，请问商人有几种购买方法？列出所有的方案.
【解】设该商人购买了a头牛，b只羊，根据题意，得
3a＋2b＝24，所以b＝.
因为a，b均为正整数，所以a为2的倍数.
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当a＝2时，b＝＝9；
当a＝4时，b＝＝6；
当a＝6时，b＝＝3；
当a为大于或等于8的正整数时，b≤0，不合题意.
所以该方程的正整数解为或或
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即共有三种购买方法：
方案一：购买2头牛，9只羊；
方案二：购买4头牛，6只羊；
方案三：购买6头牛，3只羊.
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鸡兔同笼问题
步骤
审，找，设，列，解，验，答
二元一次方程组的应用
调配类问题
调配问题的关键点：从甲调出一部分给乙，则乙增加了这部分，甲就相应地减少了这部分

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