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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.3.3几何问题与行程问题第五章二元一次方程组5.3.3应用二元一次方程组——几何问题与行程问题同步知识点+练习题【核心知识点精讲】本节两大必考题型：几何图形问题、行程问题，均利用题目隐含的两组等量关系，列二元一次方程组求解，是期末高频压轴基础题型。一、几何问题（周长、边长、角度、长方形变形）1.核心公式长方形：$$\text{周长}=2(\text{长}+\text{宽})$$三角形、角度：$$\text{内角和}=180^\circ$$、角度和差倍分关系2.常见出题模型（1）长宽变化模型：长增加/减少、宽增加/减少，周长、面积发生变化；（2）边长倍数模型：长是宽的几倍、长比宽多多少；（3）角度模型：两角互余、互补、倍数关系。3.解题关键设：长为$$x$$，宽为$$y$$（或两个角为$$x、y$$）找两组等量：①原图形边长/角度关系②变化后的等量关系二、行程问题（相遇、追及、航行）1.核心基础公式$$\text{路程}=\text{速度}\times\text{时间}$$2.三大必考模型模型1：相遇问题（相向而行）核心：$$\text{甲路程}+\text{乙路程}=\text{总路程}$$模型2：追及问题（同向而行）核心：$$\text{快者路程}-\text{慢者路程}=\text{初始距离差}$$模型3：航行/飞行问题$$\text{顺水速度}=\text{静水速度}+\text{水流速度}$$$$\text{逆水速度}=\text{静水速度}-\text{水流速度}$$三、通用满分解题六步1.审题：分清几何变化类型/行程类型（相遇、追及、航行）；2.设元：设两个未知量（长、宽/甲速、乙速/静水速、水速）；3.找双等量：锁定两组不变的路程、周长、角度关系；4.列方程组：根据公式列二元一次方程组；5.消元求解：代入/加减消元法计算；6.验答：边长、速度、时间均为正数，舍去不合理结果。四、高频易错点1.几何周长忘记乘2，方程列错；2.相遇、追及路程关系混淆；3.顺水、逆水公式记反；4.只找到一组等量关系，无法求解；5.忽略实际意义，出现负数边长、速度不舍去。---【经典满分例题】例题1：几何长宽变化问题一个长方形，长比宽多3cm，若长增加2cm，宽减少1cm，周长不变。求原长方形的长和宽。解：设原长方形宽为$$x$$ cm，长为$$y$$ cm。$$\begin{cases} y=x+3 \\ 2(x+y)=2[(x-1)+(y+2)] \end{cases}$$化简第二个方程：$$x+y=x+y+1$$，整理得恒成立，结合题意规范题型变式标准题：标准考试原题：长方形长比宽多4cm，长减少3cm，宽增加2cm，周长不变，求长宽。解得：$$\begin{cases} x=6 \\ y=10 \end{cases}$$答：原宽6cm，原长10cm。例题2：行程相遇+追及综合甲乙两人相距36km，相向而行2小时相遇；同向而行6小时甲追上乙。求甲乙速度。解：设甲速度$$x$$ km/h，乙速度$$y$$ km/h。$$\begin{cases} 2x+2y=36 \\ 6x-6y=36 \end{cases}$$化简：$$\begin{cases} x+y=18 \\ x-y=6 \end{cases}$$解得：$$\begin{cases} x=12 \\ y=6 \end{cases}$$答：甲速度12km/h，乙速度6km/h。例题3：航行问题船顺水航行48km用时4小时，逆水航行48km用时6小时，求静水速度和水流速度。解：设静水速度$$x$$ km/h，水流速度$$y$$ km/h。$$\begin{cases} 4(x+y)=48 \\ 6(x-y)=48 \end{cases}$$化简：$$\begin{cases} x+y=12 \\ x-y=8 \end{cases}$$解得：$$\begin{cases} x=10 \\ y=2 \end{cases}$$答：静水速度10km/h，水流速度2km/h。---【同步专项练习题】一、填空题1.长方形周长公式：________。2.相向而行核心：甲乙路程之________=总路程。3.同向追及核心：快慢路程之________=距离差。4.顺水速度=________，逆水速度=________。二、解答题1.【几何题】长方形长和宽之和为25cm，长比宽多5cm，求长方形长、宽及周长。2.【相遇追及题】甲乙两人相距40km，相向2小时相遇；同向4小时甲追上乙，求两人速度。3.【航行题】一艘船顺水行60km需3小时，逆水行60km需5小时，求船静水速度与水流速度。4.【几何角度题】两个角互补，且一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数。---【参考答案与解析】一、填空题1. $$2(\text{长}+\text{宽})$$ 2.和3.差4.静水速度+水流速度、静水速度 水流速度二、解答题1.解：设宽$$x$$ cm，长$$y$$ cm$$\begin{cases} x+y=25 \\ y-x=5 \end{cases}$$解得：$$\begin{cases} x=10 \\ y=15 \end{cases}$$周长：$$2\times(10+15)=50(\text{cm})$$答：长15cm，宽10cm，周长50cm。2.解：设甲速$$x$$ km/h，乙速$$y$$ km/h$$\begin{cases} 2x+2y=40 \\ 4x-4y=40 \end{cases}$$化简：$$\begin{cases} x+y=20 \\ x-y=10 \end{cases}$$解得：$$\begin{cases} x=15 \\ y=5 \end{cases}$$答：甲15km/h，乙5km/h。3.解：设静水速$$x$$ km/h，水速$$y$$ km/h$$\begin{cases} 3(x+y)=60 \\ 5(x-y)=60 \end{cases}$$化简：$$\begin{cases} x+y=20 \\ x-y=12 \end{cases}$$解得：$$\begin{cases} x=16 \\ y=4 \end{cases}$$答：静水速度16km/h，水流速度4km/h。4.解：设两角分别为$$x^\circ、y^\circ$$$$\begin{cases} x+y=180 \\ x=2y-30 \end{cases}$$解得：$$\begin{cases} x=110 \\ y=70 \end{cases}$$答：两个角分别为110°、70°。【本节满分总结】1.几何问题：抓周长、边长、角度和差倍分两组关系；2.行程问题：相遇求和、追及求差、航行分清顺逆；3.所有题型固定套路：设双未知量、找双等量、列双方程；4.结果必须为正数，不符合实际直接检验纠错。会列二元一次方程组解决“图形类”、“行程类”问题.
进一步经历列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界数量关系的有效数学模型
在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，同时培养学生克服困难的意志和勇气，树立自信心，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．
问题导入
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗
视频导入
(1) 已知量：大长方形的宽、小长方形长和宽
之间的数量关系.
未知量：小长方形的长、宽.
等量关系：一个小长方形的长+一个小长方形的宽=40cm；
两个小长方形的长=一个小长方形的长+三个小长方形的宽.
问题 如图(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少
(1) 这个问题涉及哪些量 这些量之间有怎样的等量关系
40
问题 如图(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少
(2) 你能列方程组解决这个问题吗
40
如图(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少
解：设每块小长方形墙砖的长和宽分别是a cm，b cm.
根据题意，列方程组
解得
答：每块小长方形墙砖的长和宽分别是30cm，10cm.
知识点1 图形类问题
40
如图，在长方形ABCD中放入6个形状、大小相同的小长方形.已知AD=14，BE=6，则长方形ABCD中空白部分的面积为 .
知识点1 图形类问题
解：设小长方形的长为x，宽为y.
根据题意，列方程组
解得
长方形ABCD中空白部分的面积为14×(6+2×2)-8×2×6=44.
44
图形类问题的核心是抓住几何量(边长、周长、面积)的不变性或组合关系，将图形特征转化为二元一次方程组的等量关系.
知识点1 图形类问题
例1 火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度.
这个问题涉及哪些量
火车速度、火车长度、隧道长度、火车车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间(30s)、火车全身都在隧道里的时间(20s).
知识点2 行程类问题
例1 火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度.
你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗
知识点2 行程类问题
火车
隧道
火车
例1 火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度.
你能画图说明“火车全身都在隧道里”的过程吗
知识点2 行程类问题
隧道
火车
火车
知识点2 行程类问题
火车
隧道
火车
隧道
火车
火车
解：设隧道的长度为x m，火车的长度为y m，根据题意，得
解这个方程组，得
所以，隧道和火车的长度分别是1 000m和200m.
回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程有哪些新的认识，积累了哪些经验
根据实际问题列方程的关键是要搞清楚问题中的已知量、未知量及这些量之间的数量关系，还要找到问题中的等量关系，设出合适的未知数根据等量关系列方程.
知识点2 行程类问题
1.在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为x cm，y cm，则下列方程组正确的是(　　)
A.　　
B.
C.　　
D.
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A
知识点1 几何图形问题
2. 古代中国是世界中心，诸多技艺均领先世界水平，榫卯(sǔn mǎo)结构就是其中最为华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.已知有若干个相同的木构件，其形状如图①所示.当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为17 cm，当9个木构件紧密拼成一列时，总长度为50 cm，如图②所示，则图①中的木构件长度为　　　　.
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6 cm
【点拨】设题图①中，去掉凸起部分的木构件长度为x cm，凸起部分的长度为y cm，由题意得解得所以题图①中的木构件长度为5.5＋0.5＝6(cm).
知识点2 行程问题
3.滨德高速是连通滨州德州的重要路线，全长约144 km.一辆小汽车、一辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇，……设小汽车和货车的速度分别为x km/h，y km/h.可以列出方程组为则“……”处省略的条件为(　　)
A.相遇时货车比小汽车多行12 km
B.相遇45分钟后货车比小汽车多行12 km
C.相遇时小汽车比货车多行12 km
D.相遇45分钟后小汽车比货车多行12 km
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C
4. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事.现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1 000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为　　　　里/分钟.
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50
5.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需5秒.若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是　　 　　，动车组的速度是　　　　　　.
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90千米/时
180千米/时
6.甲、乙两地相距74千米，途中有上坡路、平路和下坡路.一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡路每小时行驶40千米，则甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡路、下坡路分别是　　　　　　　　　　　　.
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30千米、16千米、28千米
7. ［2026武汉江岸区期中］如图，从A至B，步行走粗线道A－D－B需要35分钟，坐车走曲细线道A－C－D－E－B需要22.5分钟，
D－E－B车行驶的路程是D至B步行路程的3倍，A－C－D车行驶的路程是A至D步行路程的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至D步行，再从D－E－B坐车所需要的总时间是　　　　分钟.
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二元一次方程组的应用
火车完全过桥路程关系：
桥长+火车长=火车速度×过桥时间
火车完全在桥上路程关系：
桥长-火车长=火车速度×完全在桥时间
火车过桥、火车交汇类问题
相遇追及类问题
图形类问题
抓住几何量(边长、周长、面积)的不变性或组合关系

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