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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.5三元一次方程组第五章二元一次方程组5.5三元一次方程组同步知识点+练习题【核心知识点精讲】一、三元一次方程组定义1.三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程。2.三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组。3.方程组的解：同时满足方程组中三个方程的一组未知数的值$$\begin{cases}x= \\y= \\z= \end{cases}$$。二、核心解题思想（重中之重）消元思想：三元→二元→一元通过代入消元或加减消元，先消去同一个未知数，把三元一次方程组转化为熟悉的二元一次方程组，再消元转化为一元一次方程，逐步求解。三、标准满分解题六步法第一步：观察：观察三个方程，挑选最容易消去的未知数（优先选系数为1、-1或系数最小的未知数）；第二步：首次消元：任选两个方程消去选定未知数，得到第一个二元一次方程；第三步：二次消元：再选另外两个方程，消去同一个未知数，得到第二个二元一次方程；第四步：解二元组：联立两个新二元方程，用代入/加减消元求出两个未知数；第五步：回代求元：将求出的两个未知数代入原简易方程，求出第三个未知数；第六步：写解+检验：大括号联立三组解，草稿代入三个原方程检验。四、消元选择最优技巧（提速关键）1.优先消系数为±1的未知数，无需配平，计算零难度；2.无±1系数时，消系数绝对值最小、最小公倍数最小的未知数；3.全程固定消同一个未知数，切忌一会消x、一会消y，导致无法联立；4.有缺项方程（某未知数系数为0），优先利用缺项方程，简化计算。五、高频易错扣分点1.消元不统一：两次消元消去不同未知数，无法组成二元方程组；2.配平系数时漏乘常数项，计算出错；3.回代时代入错误方程，导致第三个未知数求解错误；4.只检验两个方程，未代入第三个方程验证，解出错遗漏；5.书写不规范，未用大括号联立三个解，步骤残缺扣分。六、满分解题口诀三消二、二消一，固定消元不乱移；两次同消一个元，回代三数全解齐---【经典满分例题（课本标准题型）】例题：常规三元一次方程组求解解方程组：$$\begin{cases} x+y+z=6 \ \ \ \①\\ x-y+z=2 \ \ \ \②\\ 2x+y-z=5 \ \③\end{cases}$$解：观察方程组，优先消去$$y$$①+②得：$$2x+2z=8$$，化简得：$$x+z=4$$④②+③得：$$3x+2z=7$$⑤联立④⑤组成二元一次方程组：$$\begin{cases} x+z=4 \\ 3x+2z=7 \end{cases}$$解得：$$\begin{cases} x=-1 \\ z=5 \end{cases}$$把$$x=-1，z=5$$代入①得：$$-1+y+5=6$$，解得$$y=2$$∴方程组的解为$$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \\ z=5 \end{cases}$$---【同步专项练习题】一、填空题1.解三元一次方程组的核心思想是________，转化顺序是三元→______→一元。2.消元时必须两次消去________的未知数，才能得到二元一次方程组。3.三元一次方程组的解需要求出________个未知数的值。二、解答题（按标准六步法规范解题）1. $$\begin{cases} x+y+z=12 \\ x+2y+z=14 \\ 2x+y-z=18 \end{cases}$$2. $$\begin{cases} x-y=1 \\ y-z=1 \\ x+y+z=6 \end{cases}$$3. $$\begin{cases} 2x+y+z=15 \\ x+2y+z=16 \\ x+y+2z=17 \end{cases}$$---【参考答案与详细解析】一、填空题答案1.消元、二元2.同一个3.三二、解答题标准解析1.解：设$$\begin{cases} x+y+z=12 \ \ \①\\ x+2y+z=14 \②\\ 2x+y-z=18 \③\end{cases}$$② ①得：$$y=2$$④①+③得：$$3x+2y=30$$⑤把$$y=2$$代入⑤得：$$3x+4=30$$，解得$$x=\dfrac{26}{3}$$回代①得：$$z=\dfrac{4}{3}$$∴ $$\begin{cases} x=\dfrac{26}{3} \\ y=2 \\ z=\dfrac{4}{3} \end{cases}$$2.解：设$$\begin{cases} x-y=1 \ \ \①\\ y-z=1 \ \ \②\\ x+y+z=6 \③\end{cases}$$由①得：$$x=y+1$$，由②得：$$z=y-1$$代入③：$$(y+1)+y+(y-1)=6$$，解得$$y=2$$回代得：$$x=3，z=1$$∴ $$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \\ z=1 \end{cases}$$3.解：设$$\begin{cases} 2x+y+z=15 \①\\ x+2y+z=16 \②\\ x+y+2z=17 \③\end{cases}$$① ②得：$$x-y=-1$$④②$$\times2-$$③得：$$x+3y=15$$⑤联立④⑤解得：$$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}$$回代①得：$$z=5$$∴ $$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \\ z=5 \end{cases}$$【本节满分总结】1.三元方程组唯一思路：两次同消一个元，化三元为二元；2.优先消系数简单的未知数，最大程度减少计算量；3.解题核心禁忌：两次消元不统一，导致解题失败；4.最终必须三组解联立，代入三个原方程全部检验才算完整。知道三元一次方程组的定义，会解简单的三元一次方程组.
会用三元一次方程组解决简单的实际问题.
通过探索发现解三元一次方程组的基本思想仍是“消元”进一步体会数学的化归思想.
旧识回顾
1．什么是二元一次方程组？
2．求解二元一次方程组的方法有哪些？
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组
代入消元法、加减消元法
问题导入
1.什么叫二元一次方程组？什么叫“元”，什么叫“次”？
2.解二元一次方程组有哪几种方法？
3.它们的实质是什么？
4.前面我们学习了一元一次方程，二元一次方程（组），今天我们继续学习三元一次方程（组）.
有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗.上、中、下禾每束各可得米多少斗
在这个问题中，设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，根据题意可得方程组：
知识点1 三元一次方程组
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系
区别：含有三个未知数；三个方程.
联系：含未知数的项的次数都是1；都是整式方程.
知识点1 三元一次方程组
3x+2y+z=39，2x+3y+z=34和x+2y+3z=26都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程.
知识点1 三元一次方程组
知识点1 三元一次方程组
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解.
跟踪训练 下列方程组中，不是三元一次方程组的是(　　)．
知识点1 三元一次方程组
B
　　A． B．
　
　　C． 　 D．
　　
.
知识点1 三元一次方程组
三元一次方程组满足的条件：
(1) 方程组中一共含有三个未知数；
(2) 含未知数的项的次数都是1；
(3) 必须是整式方程.
怎样解上述这个三元一次方程组呢
解二元一次方程组的基本思路是什么
你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗
解二元一次方程组的基本思路是消元，即“二元”化成“一元”，
用类似的思路可以求解这个三元一次方程组.
知识点2 解三元一次方程组
例1 解方程组：
知识点2 解三元一次方程组
解：由①，得 z=39-3x-2y. ④
把④分别代入②③并化简，得 x-y=5， ⑤
8x+4y=91. ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
把，代入④，得z=.
经检验，，，z=满足原方程组.
知识点2 解三元一次方程组
例1 解方程组：
（1）你能用代入消元法先消去未知数x(或y)，从而得到方程组的解吗
知识点2 解三元一次方程组
解：(1) 能. 由③，得 x=26-2y-3z. ④
把④分别代入①②并化简，得 4y+8z=39. ⑤
y+5z=18. ⑥
解由⑤⑥组成的方程组，得
知识点2 解三元一次方程组
把，z=代入①，得.所以原方程组的解为
例1 解方程组：
（2）你还有其他方法吗 并思考不同方法之间的区别和联系.
(2) 有，也可以采用加减消元法进行求解.
不同方法之间的联系：都是通过消元解方程组.
知识点2 解三元一次方程组
知识点2 解三元一次方程组
三元一次方程组
解三元一次方程组的基本思路是：
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
消元
一元一次方程
二元一次方程组
消元
知识点2 解三元一次方程组
消元法解三元一次方程组的两点注意：
(1) 确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
(2) 消去的未知数一定是同一个未知数，否则就达不到消元的目的．
知识点1 三元一次方程组的相关概念
1.下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
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D
2.若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－｜a｜＝10是一个三元一次方程，则a＝　　　，b＝　　　.
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1
0
3. 请写出一个以为解的三元一次方程：　　　　　　　 　　.
返回
(答案不唯一)2x＋y－z＝8
知识点2 三元一次方程组的解法
4.解方程组最简便的消元方法是(　　)
A.先消去x　　 B.先消去y
C.先消去z　　 D.先消去常数项
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B
5.若方程组的解满足k＝a＋b＋c，则点P
(k＋2，1－2k)在第　　　象限.
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四
【点拨】①＋②＋③，得a＋b＋b＋c＋c＋a＝3＋2＋1，整理得2(a＋b＋c)＝6，所以a＋b＋c＝3.所以k＝3.所以P(5，－5).所以点P(k＋2，1－2k)在第四象限.
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6. 解方程组：
(1)
返回
【解】将①代入②，得3(y＋)＋y＝18，整理得4y＋3＝18，④
将①代入③，得y＋z＋y＋z＝10，整理得y＋z＝5，⑤
⑤×3，得3y＋3z＝15，⑥　④－⑥，得y＝3.
把y＝3代入⑤，得3＋z＝5，解得z＝2.
把y＝3，z＝2代入①，得x＝5.
所以原方程组的解为
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(2)
返回
【解】①＋②，得3x－y＝1.④
把④代入③，得1＋2＝－5，解得＝－3.
把＝－3分别代入①②，
得 解得
所以原方程组的解为
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7.设 ， ， 分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，右边应放“ ”的个数为(　　)
A.1　　
B.2　　
C.3　　
D.4
返回
B
8.有A，B，C三种货物，甲购A 3件，B 5件，C 1件，共200元.乙购A 4件，B 7件，C 1件，共250元，则丙购A，B，C各1件，应付　　　　元.
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100
【点拨】设A，B，C的单价分别为x元、y元、z元.
甲购A 3件，B 5件，C 1件，共200元，即3x＋5y＋z＝200①，
乙购A 4件，B 7件，C 1件，共250元，即4x＋7y＋z＝250②，
②－①，得x＋2y＝50③，
①×2－②，得2x＋3y＋z＝150④，
④－③，得x＋y＋z＝100，
所以丙购A，B，C各1件，应付100元.
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9.已知xyz≠0，满足x＋4y－3z＝0且4x－5y＋2z＝0，则x:y:z
为(　　)
A.1:2:3　　 B.1:3:2
C.2:1:3　　 D.3:1:2
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A
10.已知多项式ax2＋bx＋c中，a，b，c为常数，x的取值与多项式对应的值如下表：
则N的值为(　　)
A.15　　 B.19　　 C.21　　 D.23
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x 1 －5 2 －6
ax2＋bx＋c M M＋12 7 N
D
三元一次方程组
代入消元法；
加减消元法
共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组
定义
解法
三元一次方程
含有三个未知数；
含有未知数的项的次数都是1

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