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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.6.1.3离差平方和、方差与标准差第六章数据的分析6.1.3离差平方和、方差与标准差同步知识点+练习题【核心知识点精讲】前面所学的平均数、众数，只能反映数据的集中趋势；本节所学的离差平方和、方差、标准差，用来反映数据的波动程度（稳定性），是初中统计必考重难点、期末高频考点。一、基本概念：离差离差：每个数据与平均数的差，即$$x_i-\bar{x}$$。作用：表示单个数据偏离平均水平的大小。特点：一组数据中，所有离差的和为0（正负相互抵消），因此不能直接用离差判断波动。二、离差平方和1.定义将每一个数据的离差平方后相加，得到的结果叫做离差平方和。2.公式$$S_\text{和}=(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$$3.作用消除正负抵消问题，整体反映一组数据的总偏离程度；数值越大，数据整体波动越大。三、方差（核心必考）1.定义离差平方和的平均数，叫做这组数据的方差，用$$S^2$$表示。2.方差公式（必须背诵）$$S^2=\dfrac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2\right]$$3.方差的意义方差是刻画数据波动大小、稳定程度的核心统计量：①方差越大：数据波动越大、越不稳定、起伏大；②方差越小：数据波动越小、越稳定、越整齐。四、标准差1.定义方差的算术平方根叫做标准差，用$$S$$表示。2.公式$$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2\right]}$$3.特点标准差意义和方差完全一致，标准差更贴合原数据单位，实际应用更广。五、三者关系总结1.离差平方和：总波动大小（未平均）2.方差：平均波动大小（平方单位）3.标准差：平均波动大小（原数据单位）六、数据平移、缩放对方差的影响（超重点结论）设原数据方差为$$S^2$$1.数据全部加/减同一个数：方差不变（整体平移，波动不变）2.数据全部乘$$a$$：方差变为原来的$$a^2$$倍3.数据全部乘$$a$$再加$$b$$：方差变为原来的$$a^2$$倍七、高频易错点1.计算方差忘记除以数据个数$$n$$（变成平方和）；2.分不清：方差看波动，平均数看水平；3.认为方差越大越好（错误！稳定问题中方差越小越好）；4.标准差是方差开根号，不要直接等于方差；5.所有离差和为0，不能用来判断波动。八、解题万能步骤一算平均、二求离差、三平方和、四除得方、五开得标---【经典满分例题】例题：基础计算（求平方和、方差、标准差）求数据：$$1、3、5$$的离差平方和、方差、标准差。解：①求平均数：$$\bar{x}=\dfrac{1+3+5}{3}=3$$②求离差：$$1-3=-2,\ \ 3-3=0,\ \ 5-3=2$$③离差平方和：$$(-2)^2+0^2+2^2=4+0+4=8$$④方差：$$S^2=\dfrac{8}{3}$$⑤标准差：$$S=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$答：平方和为8，方差为$$\dfrac{8}{3}$$，标准差为$$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$。例题2：波动对比判断甲成绩方差0.2，乙成绩方差1.5，谁的成绩更稳定？解：$$0.2<1.5$$，甲方差更小∴甲成绩更稳定。---【同步专项练习题】一、填空题1.数据偏离平均数的差值叫做________。2.离差平方和的平均数叫做________；方差的算术平方根叫做________。3.方差越大，数据波动越________；方差越小，数据越________。4.一组数据全部加上同一个数，数据方差________。二、计算题1.求数据$$2、4、6$$的离差平方和、方差、标准差。2.已知数据：5、5、5、5，求方差和标准差。三、应用题（稳定分析）甲乙两名选手射击成绩方差分别为$$S^2_甲=0.4$$，$$S^2_乙=0.9$$，若要选发挥稳定的选手参赛，应选谁？说明理由。---【参考答案与解析】一、填空题1.离差2.方差、标准差3.大、稳定4.不变二、计算题1.解：$$\bar{x}=\dfrac{2+4+6}{3}=4$$平方和：$$(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2=4+0+4=8$$方差：$$S^2=\dfrac{8}{3}$$标准差：$$S=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$2.解：数据全相同，无波动，离差均为0方差：$$S^2=0$$，标准差：$$S=0$$三、应用题解：选甲。理由：甲乙平均水平相同的情况下，$$S^2_甲&lt;S^2_乙$$，甲方差更小，成绩波动更小，发挥更稳定。【本节满分总结】1.平均看水平，方差看稳定；2.平方和是总波动，方差是平均波动，标准差还原单位；3.方差越小越稳定，数据整齐、起伏小；4.数据平移方差不变，数据缩放方差变平方倍。体会刻画数据离散程度的意义.
会计算一组简单数据的离差平方和、方差和标准差，知道它们都能刻画这组数据的波动(离散)程度.
通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系．
复习导入
一般地，若n个数x1, x2, …, xn的权分别是f1,f2,…,fn ，则 就是这n个数的加权平均数.
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
我们学习了上面三个量是用来刻画数据的集中趋势的，那数据的离散程度如何表示呢？
问题 甲与丁每次的射击成绩如图所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗 你对甲、丁的射击表现有什么评价
甲 丁
次序
次序
成绩/环
成绩/环
问题 (1) 你觉得谁发挥得更稳定 你的理由是什么
(1) 甲发挥得更稳定，
理由是甲的成绩数据点分布更集中.
问题 (1) 你觉得谁发挥得更稳定 你的理由是什么
(2) 你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗
在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况.
在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画.
知识点1 方差和标准差
离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即
.
方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即
其中， 是，，…，n的平均数.
标准差则是方差的算术平方根.
知识点1 方差和标准差
(1) 方差、标准差是描述一组数据离散程度的量.
一般而言，一组数据的方差和标准差越小，这组数据就越稳定.
(2) 只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用方差或标准差比较两组数据的离散程度.
知识点1 方差和标准差
例1 计算图中甲射击成绩的标准差(结果精确到0.01环).
知识点1 方差和标准差
解：=(6+7×3+8×5+9×3+10)=8(环)，
=(6-8)+(7-8)×3+(8-8)×5+(9-8)×3+(10-8)]=，
=≈1.04(环).
所以，甲射击成绩的标准差约为1.04环.
知识点1 方差和标准差
两组有关联的数据的平均数、方差的内在联系：
知识点1 方差和标准差
数据 平均数 方差
x1，x2，x3，x4，…，xn
x1+a，x2+a，…，xn+a
kx1，kx2，kx3，kx4，…，kxn
kx1+a，kx2+a，…，kxn+a
s2
s2
k2s2
k2s2
思考 (1) 计算图中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较.
知识点1 方差和标准差
甲 丙
次序
成绩/环
成绩/环
次数
知识点1 方差和标准差
甲成绩的平均数是8环，
方差约是1.08(环2).
丙成绩的平均数约是8.69环，
方差约是1.29(环2).
甲 丙
次序
成绩/环
成绩/环
次数
甲射击成绩的方差小于丙射击成绩的方差，
但甲的射击成绩的平均数小于丙射击成绩的平均数，
故甲射击成绩较丙更稳定，丙的射击成绩更好.
知识点1 方差和标准差
(2) 丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了.你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点
知识点1 方差和标准差
丁成绩的平均数是8环，
方差是3 (环2).
(2) 丁后面几次射击的成绩应集中在7，8，9环且这几次射击成绩的平均数为8环.
知识点1 离差平方和
1.为了推动中华传统文化进校园，某中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”为主题的传统文化知识竞赛，八年级5名参赛选手的得分如下(单位：分)：89，88，90，90，93，则这组数据的离差平方和是　　.
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14
2.已知甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9，x，如果两组数据的离差平方和相等，那么x＝　　　　.
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5或10
【点拨】甲组数据都加上4，得5，6，7，8，9，或甲组数据都加上5，得6，7，8，9，10.因为乙组数据是6，7，8，9，x，两组数据的离差平方和相等，所以x＝5或10.
知识点2 方差、标准差
3.已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是(　　)
A.2　　　 B.3　　　
C.4　　　 D.10
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A
4. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是(　　)
A.＞　　
B.＜
C.＝　　
D.无法确定
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A
5.某小组五位同学参加某次考试(满分20分)的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为(　　)
A.分　　 B.2分　　
C.分　　 D.6分
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B
【点拨】设三位男生的成绩分别为a分、b分、c分.因为两位女生的成绩分别为17分、15分，所以三位男生成绩的平均数是(16×5－17－15)÷3＝16(分).所以三位男生成绩的方差＝×［(a－16)2＋(b－16)2＋(c－16)2］＝6，所以(a－16)2＋(b－16)2＋(c－16)2＝18，所以这五位同学成绩的方差＝×［(a－16)2＋(b－16)2＋(c－16)2＋(17－16)2＋(15－16)2］＝×(18＋1＋1)＝4，所以这五位同学成绩的标准差是＝2(分).
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6.甲、乙两支仪仗队队员的身高(单位：厘米)如下：
甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；
乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180.
(1)将下表填完整：
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身高/厘米 176 177 178 179 180
甲队人数 0 3 4 0
乙队人数 2 1 1
3
4
2
(2)甲队队员身高的平均数为　　厘米，乙队队员身高的平均数为　　厘米.
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178
178
(3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由.
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【解】＝［3×(177－178)2＋4×(178－178)2＋3×(179－
178)2］＝0.6，
＝［2×(176－178)2＋(177－178)2＋4×(178－178)2＋(179－178)2＋2×(180－178)2］＝1.8.
因为＜，
所以甲仪仗队身高更为整齐.
知识点3 用计算器求一组数据的方差和标准差
7.用计算器求数据65，67，69，70，71，73，75，68，66，71的方差为　　　，标准差是　　　　(标准差精确到0.001).
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8.85
2.975
8.淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：s2＝.关于这组数据，下列结论：①平均数是4；②离差平方和是1.5；③众数是5；④n＝3.其中不正确的结论有(　　)
A.1个　　 B.2个　　
C.3个　　 D.4个
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B
9.［2026邢台期中］在田径运动会“100米短跑”比赛后，嘉嘉帮助老师将20个运动员的成绩录入电脑，得到平均成绩为13.8秒，方差为3.64.后来老师核查时发现其中有2个成绩录入有误，一个错录为9秒，实际成绩是12秒；另一个错录为17秒，实际成绩是14秒，并且还漏掉了一个运动员的成绩(即嘉嘉实际按19个运动员的成绩计算)，且漏掉的运动员的成绩和算错的平均成绩一样，老师将错录的2个成绩进行了更正，并加上了漏掉的运动员的成绩，更正后实际成绩的方差是s2，则(　　)
A.s2＝3.64　　 B.s2＜3.64
C.s2＞3.64　　 D.无法判断
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B
10.［2026烟台期末］某班数学综合与实践活动小组5位同学的一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m，若小红和小明同学也想加入该小组，并且两人成绩均为85分，若加入后该小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为　　　 .
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m＞n
标准差：方差的算术平方根
各个数据与平均数之差的平方的平均数
方差
反映数据的离散程度
离差平方和
各个数据与它们平均数之差的平方和

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