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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.6.1.4方差的应用第六章数据的分析6.1.4方差的应用同步知识点+练习题【核心知识点精讲】上一节我们学会了计算方差、标准差，本节重点掌握方差的实际应用。在实际问题中，平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的稳定性、整齐程度，二者结合是考试必考答题模板。一、方差应用核心结论（答题万能依据）在两组数据平均数相同或相近的前提下：1.方差越小→数据波动越小、越稳定、成绩越整齐、发挥越平稳；2.方差越大→数据波动越大、起伏越大、不稳定、忽高忽低。关键前提：必须先对比平均数！平均数差距大时，优先看平均水平，不能只看方差。二、四大必考应用场景场景1：成绩稳定性对比（考试最常考）对比两名学生多次考试成绩，选成绩稳定、发挥平稳的学生。答题话术：两人平均分相近，某人方差更小，成绩更稳定，更适合。场景2：运动员选拔（射击、跑步、投篮）竞技比赛优先选择发挥稳定、失误少的选手，优先选方差小的。场景3：产品质量检测工厂生产零件、产品尺寸，要求数据整齐、误差小，方差越小，产品质量越稳定、合格率越高。场景4：数据整体评价（综合分析）既要比较平均水平（平均数），又要比较稳定性（方差），综合评判优劣。三、两种特殊选拔规则（重难点）1.求稳场景（常规）平均数相同，选方差小：稳定、整齐、风险小。2.冲刺突破场景（少数考题）平均数略低，但方差大：数据起伏大，爆发力强、上限高，适合需要冲刺、突破的选拔。四、标准满分答题模板（直接背诵）第一步：计算两组数据的平均数，对比平均水平；第二步：计算两组数据的方差，对比波动大小；第三步：结合题意下结论：①平均数相同、方差小：数据更稳定，发挥更平稳，推荐选择；②平均数不同：优先选择平均数更高的一组，兼顾稳定性。五、高频易错扣分点1.不对比平均数，直接凭方差下结论（逻辑不完整，必扣分）；2.概念混淆：误以为方差越大越优秀；3.答题缺少文字说明，只写数据，没有总结性话术；4.忽略特殊场景：部分冲刺选拔题，方差大代表潜力大。---【经典满分例题】例题1：常规稳定选拔（必考真题）甲乙两名同学5次数学测试成绩：甲：88、90、92、89、91乙：85、95、90、88、92经计算：$$\bar{x}_甲=90，\bar{x}_乙=90$$，$$S^2_甲=2，S^2_乙=10.4$$请分析谁的成绩更好，适合参加竞赛。解：①平均水平：甲乙平均分相等，整体水平一致；②稳定性：$$S^2_甲< S^2_乙$$，甲的成绩波动更小；③结论：甲的成绩更稳定，发挥更平稳，更适合参加竞赛。例题2：产品质量应用甲乙两台机器生产同一种零件，零件标准尺寸为10mm，两台机器产品平均数均为10mm，方差分别为$$S^2_甲=0.01$$，$$S^2_乙=0.05$$，哪台机器生产质量更好？解：甲乙产品平均尺寸均符合标准，$$S^2_甲< S^2_乙$$；甲机器产品波动更小，尺寸更整齐，误差更小；∴甲机器生产质量更好、更稳定。例题3：平均数不同的综合判断甲平均分92，方差3；乙平均分90，方差1.5。结论：甲平均水平更高，整体成绩更优；乙成绩更稳定。选拔优生选甲，选拔稳定选手选乙。---【同步专项练习题】一、填空题（基础概念）1.平均数反映数据的________，方差反映数据的________。2.平均数相同时，方差越小，数据越________。3.产品质量检测中，方差越小，代表产品误差越________，质量越稳定。二、解答题（规范答题）1.甲乙两名射击运动员射击成绩平均数相同，$$S^2_甲=0.3$$，$$S^2_乙=0.8$$，请问应该选派谁参加比赛？说明理由。2.甲乙两名学生五次英语成绩：甲：82、84、85、86、88乙：79、83、86、87、90已知两人平均分相同，甲方差小于乙方差，请分析两人成绩特点，推荐参赛人选。三、拓展应用题工厂有A、B两台设备生产配件，均值均为标准值，$$S^2_A=0.02$$，$$S^2_B=0.08$$，长期生产应选用哪台设备？为什么？---【参考答案与解析】一、填空题1.平均水平、波动程度（稳定性）2.稳定3.小二、解答题1.解：选派甲参赛。理由：甲乙平均射击水平相同，$$S^2_甲< S^2_乙$$，甲的射击成绩波动更小，发挥更稳定，更适合参赛。2.解：甲乙两人平均成绩一致，甲的方差更小，成绩波动小、分数整齐稳定；乙的方差大，成绩起伏大、不稳定。结论：推荐甲参赛，成绩更稳定，发挥更可靠。三、拓展应用题解：选用A设备。两台设备生产的配件平均尺寸均达标，A设备方差更小，产品尺寸波动小、误差小，生产质量更稳定，适合长期生产。【本节满分总结】1.做题核心：先比平均，再比方差，缺一不可；2.常规选拔：均值相同，方差小=稳定、优秀、质量好；3.答题套路：均值对比+方差对比+稳定性结论；4.方差应用全覆盖：成绩、体育、工业质量、数据评价。经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法，发展数据观念.
通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系．
某日，A，B两地的气温如图所示.
知识点1 数据的分组
(1) 不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点.
A地的日温差较大，B地的日温差较小，但平均气温相近.
知识点1 数据的分组
(2) 分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，与你刚才的看法一致吗
A地24时气温(单位： ℃)分别是18，17.5，17，16，16.5，18，19，20.5， 22，23，23.5， 24，25，25.5， 24.5，23，22，20.5，20，19.5， 19.5， 19，18.5，18.
B地24时气温(单位： ℃)分别是20，19.5，19，18，19，19.5，20.5，22，22.5， 23，23， 23.5，24，24，23，22.5，22.5，22，21.5，21，21.5， 20.5，20.5，20.
知识点1 数据的分组
(18+17.5+…+18)≈20.42(℃)；
(20+19.5+…+20)≈21.35(℃)；
s2≈[(18-20.42)2+…+(18-20.42)2]≈7.76；
≈[(20-21.35)2+…+(20-21.35)2]≈2.78.
A，B两地平均气温相近，但A地日温差较大，B地日温差较小，因此与刚才看法一致.
知识点1 数据的分组
某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛.在最近的10次选拔赛中，他们的成绩(单位：cm)如下：
知识点1 数据的分组
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
(1)甲、乙的平均成绩分别是多少
(1)甲的平均成绩为601.6cm，
乙的平均成绩为599.3cm.
知识点1 数据的分组
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
(2) 甲、乙这10次选拔赛成绩的方差分别是多少
(2) 甲这10次比赛的方差为65.84，
乙这10次比赛的方差为284.21.
知识点1 数据的分组
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
(3) 这两名运动员的选拔赛成绩各有什么特点
(3) 甲这10次的平均成绩更好，成绩更稳定，但没有单次超过615cm的成绩，
乙这10次成绩不稳定，但有3次超过615cm的好成绩，其中有1次可以达到624cm.
知识点1 数据的分组
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
(4) 历届比赛成绩表明，成绩达到5.96m就很有可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛 如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢
(4) 为了夺冠应该选甲参加比赛，甲10次中有9次成绩达到5.96m，而乙只有5次.
为了破纪录应该选乙参加比赛，甲10次中有3次成绩达到6.10m，而乙有4次且乙有6.24 m的成绩.
知识点1 数据的分组
方差越小表示这组数据越稳定，但依据统计量进行数据的分析，比较和判断的时候，依据不同的统计量，得到的结果不一定相同，不要认为方差小的成绩就好，应根据实际问题进行分析推断.
知识点1 数据的分组
10个苹果的直径如图所示.
(1) 若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分 说说你分组的理由.
知识点1 数据的分组
知识点1 数据的分组
第一组苹果编号1、3、4、7；第二组苹果编号2、5、6、8、9、10 .
理由是将直径数值集中在一定范围、较为接近的苹果分为一组，使每组内苹果“个头”(直径)差不多.
(2) 一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则
在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”.
多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和.
知识点1 数据的分组
例1 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把上述的10个苹果按直径大小分成两组.
解：将10个数据由小到大排序：
65，69，70，75，76，76，78，80，80，81.
把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}；第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…81}；……；第一组9个数据{65，…，80}，第二组1个数据 {81}.
知识点1 数据的分组
以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和.
其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67，
故第一组数据的组内离差平方和S21=(65-67)2+(69-67)2=8；
第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80， 80，81}，
这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和
S22=(70-77)2+(75-77)2+…+(81-77)2=90.
因此，第2种分组情况的组内离差平方和S23=S21+S22=8+90=98.
知识点1 数据的分组
同理，计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
知识点1 数据的分组
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组9个 146.889
第一组2个，第二组8个 98
第一组3个，第二组7个 48
第一组4个，第二组6个 74.25
第一组5个，第二组5个 98
第一组6个，第二组4个 107.583
第一组7个，第三组3个 136.095
第一组8个，第二组2个 182.375
第一组9个，第二组1个 218
计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小.
因此，把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}.
知识点1 数据的分组
知识点1 方差的应用
1.［2025泸州］某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(　　)
A.甲　　 B.乙　　
C.丙　　 D.丁
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甲 乙 丙 丁
平均数/个 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
B
2.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位：m)，此时这组成绩的平均数是
20 m，方差是.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则　(“＞”“＝”或“＜”).
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＞
知识点2 数据的分组
3.将数据分为两组时，组内离差平方和越小，说明(　　)
A.两组数据的平均数差距越大　
B.每组数据内部越集中
C.数据的总数越少　
D.中位数越均数
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B
4.［2026郑州期中］把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是(　　)
A.{2}，{4，8，10，12}　　　
B.{2，4}，{8，10，12}
C.{2，4，8}，{10，12}　　　
D.{2，4，8，10}，{12}
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B
5.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差　　　.(填“变小”“不变”或“变大”)
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工种 人数 每人每月工资/元
电工 5 7 000
木工 4 6 000
瓦工 5 5 000
变大
【点拨】因为减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，所以这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大.
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工种 人数 每人每月工资/元
电工 5 7 000
木工 4 6 000
瓦工 5 5 000
6. 某班要从甲、乙两名同学中选拔出一人，代表班级参加学校的1 min踢毽子体能素质比赛，在一段时间内的相同条件下，甲、乙两人进行了六场1 min踢毽子的选拔测试，根据他们的成绩绘制出如下的统计表.
甲、乙两人选拔测试成绩统计表
小红计算出乙同学六场选拔测试成绩的方差：＝.
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第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数
甲成绩/(次/min) 87 94 91 85 91 92 m
乙成绩/(次/min) 87 98 87 89 100 85 91
(1)m＝　　.
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第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数
甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m
乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91
90
(2)求甲同学六场选拔测试成绩的方差.
第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数
甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m
乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91
【解】因为m＝90，
所以＝×［(87－90)2＋(94－90)2＋2×(91－90)2＋(85－90)2＋(92－90)2］＝.
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(3)分别从平均数和方差的角度分析比较甲、乙的成绩.
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第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数
甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m
乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91
【解】从平均数看，乙成绩的平均数大于甲成绩的平均数，说明乙成绩的平均水平比甲高；从方差看，甲成绩的方差小于乙成绩的方差，说明甲的成绩比乙更稳定.
(4)经查阅该校以往本项比赛的资料可知：
①成绩若达到90次/min，就有可能夺得冠军，你认为选谁参赛更有把握夺冠？为什么？
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第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数
甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m
乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91
【解】选甲参赛更有把握夺冠.理由：在六场比赛中，甲有四场比赛成绩超过90次/min，而乙只有二场，且甲的成绩更稳定，故选甲参赛更有把握夺冠.
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第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数
甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m
乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91
②该项比赛成绩的最高纪录是95次/min，若超过95次/min，就有可能夺得冠军，你认为选谁参赛更有把握夺冠？为什么？
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第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数
甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m
乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91
【解】选乙参赛更有把握夺冠.理由：在六场比赛中，乙有二场比赛成绩超过95次/min，而甲一次也没有，故选乙参赛更有把握夺冠.
第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数
甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m
乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91
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方差越小表示这组数据越稳定，但不是方差越小就表示这组数据越好，而是对具体的情况进行具体分析才能得出正确的结论
数据的选择
反映数据的离散程度
离差平方和
利用离差平方和将数据分组

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