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北师大版数学八年级上册培优精做课件
授课教师： .
班 级： 8年级（ ）班 .
时 间： .

5.3.2应用二元一次方程组
——增收节支
第五章 二元一次方程组
5.3.2 应用二元一次方程组——增收节支 同步知识点+练习题
【核心知识点精讲】
一、本节核心题型
增收节支问题是二元一次方程组经典应用题，主要包含：利润盈亏、增长率、降低率、收入支出、成本利润五类实际问题，核心是通过两组收支、增减的等量关系列方程组求解。
二、必考基础公式（解题万能依据）
1. 收入、支出、结余关系
$$\text{收入}-\text{支出}=\text{结余}$$
2. 增长率公式
$$\text{新量}=\text{原量}\times(1+\text{增长率})$$
3. 降低率公式
$$\text{新量}=\text{原量}\times(1-\text{降低率})$$
4. 利润公式
$$\text{利润}=\text{总收入}-\text{总成本}$$
三、标准解题六步模板（考试满分）
1. 审题：梳理原收入、现收入、原支出、现支出、增长率、降低率等已知条件；
2. 设元：通常设原来的收入为x，原来的支出为y（最通用设元方式）；
3. 找双等量：① 原来的收支结余关系 ② 增减后的收支结余关系；
4. 列方程组：根据两组收支、增减关系列二元一次方程组；
5. 求解：用代入/加减消元法解方程；
6. 验答：收入、支出必为正数，舍去不合理结果，规范作答。
四、两类核心出题模型（必考）
模型1：基础收支结余模型
已知：原收入、原支出、原结余；收入增加、支出减少，得到新结余。
核心两组关系：
① 原收入 ? 原支出 = 原结余
② 现收入 ? 现支出 = 现结余
模型2：增长率/降低率增收节支模型（重难点）
收入增长一定百分比，支出降低一定百分比，已知新旧结余，求原收入、原支出。
现收入 = $$x(1+\text{增长率})$$
现支出 = $$y(1-\text{降低率})$$
五、高频易错扣分点
1. 混淆增长率和降低率公式，符号用反；
2. 误将“增长后总量”当成“增长量”，概念混淆；
3. 漏找两组等量关系，只列单个方程无法求解；
4. 设元不规范，不带单位，作答不完整；
5. 忽略实际意义，出现负数收支不检验舍去。
六、解题口诀
增收加、节支减，原量乘率得新量；收支结余两组式，二元消元求原值；正数合理负数舍
---
【经典满分例题（课本原题）】
例题：增长率增收节支问题
某工厂去年总收入、总支出共结余50万元，今年总收入比去年增加10%，总支出比去年节约20%，今年结余100万元。求去年的总收入、总支出各是多少万元？
解：设去年总收入为$$x$$万元，总支出为$$y$$万元。
根据题意列方程组：
$$\begin{cases} x-y=50 \\ (1+10\%)x-(1-20\%)y=100 \end{cases}$$
整理得：$$\begin{cases} x-y=50 \\ 1.1x-0.8y=100 \end{cases}$$
解得：$$\begin{cases} x=200 \\ y=150 \end{cases}$$
答：去年总收入200万元，总支出150万元。
---
【同步专项练习题】
一、填空题
1. 收支核心公式：________ ? ________ = 结余。
2. 增长后总量 = 原量 × ________，降低后总量 = 原量 × ________。
3. 增收节支问题需找________组独立等量关系，列二元一次方程组求解。
二、解答题（规范步骤解题）
1. 某公司去年结余30万元，今年收入增加20%，支出减少10%，今年结余66万元，求去年的收入和支出。
2. 商店经营某种商品，上月总收入比总支出多8000元，本月收入增加15%，支出减少5%，本月比上月多结余9500元，求上月收入、支出各多少元。
3. 农户养殖，去年收支相抵结余4000元，今年收入提高35%，支出降低10%，今年结余11800元，求去年收入与支出。
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【参考答案与详细解析】
一、填空题答案
1. 收入、支出 2. $$(1+\text{增长率})$$、$$(1-\text{降低率})$$ 3. 两
二、解答题标准解析
1. 解：设去年收入$$x$$万元，支出$$y$$万元
$$\begin{cases} x-y=30 \\ 1.2x-0.9y=66 \end{cases}$$
解得：$$\begin{cases} x=130 \\ y=100 \end{cases}$$
答：去年收入130万元，支出100万元。
2. 解：设上月收入$$x$$元，支出$$y$$元
$$\begin{cases} x-y=8000 \\ 1.15x-0.95y=8000+9500 \end{cases}$$
整理：$$\begin{cases} x-y=8000 \\ 1.15x-0.95y=17500 \end{cases}$$
解得：$$\begin{cases} x=20000 \\ y=12000 \end{cases}$$
答：上月收入20000元，支出12000元。
3. 解：设去年收入$$x$$元，支出$$y$$元
$$\begin{cases} x-y=4000 \\ 1.35x-0.9y=11800 \end{cases}$$
解得：$$\begin{cases} x=20000 \\ y=16000 \end{cases}$$
答：去年收入20000元，支出16000元。
【本节满分总结】
1. 增收节支核心：原收支结余 + 增减后收支结余两组等量；
2. 牢牢记住增减率公式，区分增长量和现总量；
3. 通用设元：设去年/原来的收入、支出为x、y，计算最简便；
4. 所有收支数值必须为正，解题后结合实际检验。
能借助表格、线段图等方法直观分析较为复杂问题中的数量关系，并建立方程组解决问题.
会列二元一次方程组解决“增收节支”“配制(或配套)”类问题.
通过问题的解决进一步感受数学与现实世界的密切联系，培养学生必要的经济意识，增强他们节约成本，有效、合理地利用资源的意识．
复习导入
列二元一次方程组解应用题的步骤：
(1)审清题意，设未知数；
(2)弄清各个量之间的关系，找出等量关系；
(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；
(4)解二元一次方程组；
(5)作答.
视频导入
问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？
(1) 这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?
(1) 已知量：前年总利润、去年总利润、去年的总收入增加的百分率，去年的总支出减少的百分率.
未知量：前年的总收入、前年的总支出、去年的总收入、去年的总支出.
问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？
(1) 这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?
等量关系：总收入-总支出=总利润.
问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？
(2) 你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗?

利用表格梳理题目中的关键信息，是一种常用的方法.
知识点1 “增收节支”类问题
问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？
知识点1 “增收节支”类问题
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
总收入/万元
总支出/万元
总利润/万元
前年
去年
x
(1+20%)x
y
(1-10%)y
200
780
知识点1 “增收节支”类问题
解：设前年的总收入和总支出分别为 x 万元和 y 万元，
根据题意，得x?y=200，???????????????????????????????(1+20%)x?(1?10%)y=780.
解方程组，得x=2000，y=1800.
所以，前年的总收入为2000万元、总支出为1800万元.
?
跟踪训练 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、乙两种商品原来的单价.
知识点1 “增收节支”类问题
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
甲/元
乙/元
合计/元
原来的单价
现在的单价
x
y
100
(1 - 10%)x
(1 + 40%)y
100×(1+20%)
知识点1 “增收节支”类问题
解：设甲商品原来的单价为 x 元，乙商品原来的单价为 y 元.
根据题意可列出方程组：x+y=100，?????????????????????????????????????????????????(1?10%)x+(1+40%)y=100×(1+20%).
解方程组，得x=40，?y=60.
所以，甲商品原来的单价为 40 元，乙商品原来的单价为 60 元.
?
医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要?
分析：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，则有
知识点2 “配制（或分配）”类问题
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}成分
甲原料x g
乙原料y g
配制的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
0.7y
35
x
0.4y
40
解：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，根据题意，得
0.5x+0.7y=35，x+0.4y=40. ?????
解这个方程组，得 x=28，y=30.
所以，每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好满足患者的需要.
?
知识点2 “配制（或分配）”类问题
跟踪训练 玻璃厂熔炼玻璃液，原料是由石英砂和长石粉混合而成的，要求原料中含二氧化硅70%.已知石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.在3.2t原料中，需石英砂和长石粉各多少?
知识点2 “配制（或分配）”类问题
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
石英砂/t
长石粉/t
重量/t
需要量
含二氧化硅
x
99%x
y
67%y
3.2
70%×3.2
知识点2 “配制（或分配）”类问题
解：设需石英砂 x t，长石粉 y t.
根据题意可列出方程组x+y=3.2，?????????????????????????????99%x+67%y=70%×3.2
解方程组，x=0.3，y=2.9.
所以，在 3.2 t 原料中，需石英砂 0.3 t，长石粉 2.9 t.
?
在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息?对此你有哪些心得体会?
常常采用表格梳理关键信息，
能够将各个量之间的关系直观展现出来，便于列方程组.
知识点2 “配制（或分配）”类问题
知识点1 百分率问题
1.小明家种植水果，去年收支相抵后，结余1 200元，今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加5％，支出比去年减少15％，今年比去年多结余1 140元.设小明家去年收入x元，支出y元，则下列方程组正确的是(　　)
A.????＋????＝1200，????????????????????????????????(1＋5％)????＋（1＋15％)????＝1140???
B.????＋????＝1200，????????????????????????????????????(1＋5％)????－（1－15%)????＝1140????????
C.????－????＝1200，????????????????????????????????????????????????(1＋5％)????－（1－15％)????＝1140＋1200???????
D.????－????＝1200，??????????????????????????????????????????????????(1＋5％)????＋（1－15％)????＝1140＋1200????????
?
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C
2.某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付1.6万元利息，已知甲种贷款每年的利率为3％，乙种贷款每年的利率为3.5％，则该公司申请甲、乙两种贷款的数额分别为　　　 　.
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30万元、20万元
3.一个甲玩具和一个乙玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按60％的利润率标价出售，乙玩具按50％的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两种玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元.
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(1)若甲玩具每个的成本为x元，则甲玩具的标价是　　　元，甲玩具的售价是　　　　元；若乙玩具每个的成本是y元，则乙玩具的标价是　　　　元，乙玩具的售价是　　　　元.(用含x，y的式子填空)
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1.6x
1.44x
1.5y
1.35y
(2)在(1)的条件下，求甲、乙玩具每个的成本各是多少元.
【解】依题意，得????＋????＝300，???????????????????????????????1.44????＋1.35????－300＝114，??
解得????＝100，????＝200.?
所以甲玩具每个的成本是100元，乙玩具每个的成本是200元.
?
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(3)在(1)的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？
【解】设购进m个甲玩具，n个乙玩具，
依题意，得100m＋200n＝1 000，化简得m＝10－2n.
又因为m，n均为正整数，
所以????＝8，????＝1?????或????＝6，????＝2?????或????＝4，????＝3?????或????＝2，????＝4.?????
?
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所以共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具.
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知识点2 配比问题
4. 用甲、乙两种原料配制营养液，已知这两种原料的维生素C含量及价格如下表所示：
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种类
甲种原料
乙种原料
维生素C的含量/(单位?kg－1)
600
100
原料价格/(元?kg－1)
8
4
现要配制一种含5 000单位的维生素C的营养液，且买原料的费用为72元，则应买甲种原料　　kg，乙种原料　　kg.
8
2
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5.某种合金是由A，B两种金属熔炼而成，根据不同用途的需要，两种金属原材料所选的比例也不相同.当A，B两种原料按5∶4配料时，该合金材料价格为5 000元/吨；当A种原料占合金的60％时，该合金材料价格为4 860元/吨.则A种金属每吨的价格是　　　　元 .
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3 600
6. ［2026北京大兴区模拟］某公园门票价格如下表，某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为a和b
(a＞b).若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1 560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1 170元，那么这两个社团的人数为a＝　　　　，b＝　　　　.
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购票人数
1～40
41～80
80以上
门票价格
20元/人
16元/人
13元/人
60
30
二元一次方程组的应用
配制问题
配套问题
“增收节支”类问题
收入增长：
现收入=原收入×(1+增长率)
支出节约(负增长)：
现支出=原支出×(1-节约率)
1. 总量不变关系
2. 成分含量不变关系
混合前甲成分含量+混合前乙成分含量=混合后总成分含量
核心是围绕“物品之间的配套比例”建立等量关系

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