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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.7.3.2平行线的性质第七章命题与证明7.3.2平行线的性质同步知识点+练习题【本节核心定位】本节与上一节《平行线的判定》互为互逆定理，是几何考试最高频易错考点。判定是由角推线，性质是由线推角，90%的同学容易混淆，本节课彻底区分二者，掌握规范解题格式。一、核心逻辑（必背区分）7.3.1判定：角的关系→证明直线平行（由因推果：证平行）7.3.2性质：已知直线平行→推出角的关系（已知平行，求角度）二、平行线三大性质定理（必考）前提条件：已知两直线平行，被第三条直线所截。1.两直线平行，同位角相等几何格式：∵ a ∥ b（已知）∴ ∠1 = ∠2（两直线平行，同位角相等）2.两直线平行，内错角相等几何格式：∵ a ∥ b（已知）∴ ∠3 = ∠4（两直线平行，内错角相等）3.两直线平行，同旁内角互补几何格式：∵ a ∥ b（已知）∴ ∠5 + ∠6 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）三、判定vs性质终极对比（秒杀易错）类型推理方向口诀适用场景平行线判定角相等/互补 线平行由角定线证明两条线平行平行线性质线平行 角相等/互补由线定角已知平行，求角度四、重要推论（选择填空直接用）1.两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行。2.两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行。3.两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直。五、考试标准解题步骤1.观察题干：是否已知「两直线平行」？2.已知平行 用性质（求角度）3.求证平行 用判定（证位置）4.每一步必须写准依据，不能混用！六、高频易错重灾区1.依据写反（最扣分）：求角度时写“同位角相等，两直线平行”（错）求平行时写“两直线平行，同位角相等”（错）2.没有“两直线平行”的前提，不能得出角相等！3.同旁内角是互补，永远不相等。4.复杂图形找错截线，导致认错角。七、经典例题精讲（满分格式）已知：a ∥ b，∠1 = 50°，求∠2的度数。解：∵ a ∥ b（已知）∴ ∠1 = ∠2（两直线平行，内错角相等）∵ ∠1 = 50°（已知）∴ ∠2 = 50°例题2（同旁内角）：已知a∥b，∠1=60°，求同旁内角∠2。解：∵ a∥b（已知）∴ ∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴ ∠2=180° 60°=120°---【同步练习题】一、填空题1.两直线平行，同位角________。2.两直线平行，内错角________。3.两直线平行，同旁内角________。4.已知直线a∥b，可推出角关系，这是平行线的________。二、计算题（规范写依据）1.已知a∥b，∠1=75°，内错角∠2=？2.已知a∥b，∠1=100°，同旁内角∠2=？三、辨析题请简述平行线判定与性质的区别。---【参考答案】一、填空题1.相等2.相等3.互补4.性质二、计算题1.解：∵ a∥b（已知）∴ ∠2=∠1=75°（两直线平行，内错角相等）2.解：∵ a∥b（已知）∴ ∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴ ∠2=180° 100°=80°三、辨析题答：判定是利用角相等或互补，证明两直线平行（由角推线）；性质是已知两直线平行，推出角相等或互补（由线推角），二者推理方向完全相反。【本节满分总结】1.性质核心：由线定角，前提必须是两直线平行；2.平行 同位等、内错等、同旁补；3.做题关键：求证平行用判定，已知平行用性质；4.绝对不能写反推理依据。掌握平行线的性质定理，熟练完成“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”的证明过程，逐步提升演绎推理能力.
深入理解平行线性质定理与判定定理之间的内在联系，深度感受互逆思维在几何证明中的应用，培养灵活转换思维的能力.
通过学生观察、动手操作，培养他们主动探索与合作的能力，使学生领会数形结合、转化的数学思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力．
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定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简述为：两直线平行，同位角相等.
知识点1 平行线的性质定理
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线FF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
知识点1 平行线的性质定理
C
1
2
A
F
D
B
N
E
M
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，
可知GH∥CD.
又因为AB∥ CD，这样经过点M存在
两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
知识点1 平行线的性质定理
C
1
2
A
F
D
B
N
E
M
H
G
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简述为：两直线平行，内错角相等.
知识点1 平行线的性质定理
已知：如图，直线l1∥ l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
分析：由条件l1∥ l2可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与∠1，∠2有什么联系
证明：∵ l1∥ l2(已知)，
∴ ∠1=∠3(两直线平行，同位角相等).
又∵ ∠2=∠3(对顶角相等)，∴ ∠1=∠2(等量代换).
知识点1 平行线的性质定理
l2
1
2
l1
l
3
类似地，还可以证明：
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简述为：两直线平行，同旁内角互补.
知识点1 平行线的性质定理
已知：如图，直线a∥ b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°.
证明：∵ a∥ b(已知)，
∴ ∠2=∠3(两直线平行，同位角相等).
又∵ ∠1+∠3=180°(平角的定义)，
∴ ∠1+∠2=180°(等量代换).
知识点1 平行线的性质定理
b
3
2
a
c
1
平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系
平行线的性质是判断两个角相等或互补的依据；
而平行线的判定是说明两直线平行的依据.
知识点1 平行线的性质定理
例1 已知：如图，b∥ a，c∥ a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线 d截出的同位角.求证：b∥ c.
由条件b∥ a，c∥ a可以得到哪些等量关系
为了证明b∥ c需要怎样的等量关系
知识点1 平行线的性质定理
1
2
）
a
b
d
c
）
）
3
例1 已知：如图，b∥ a，c∥ a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线 d截出的同位角.求证：b∥ c.
证明：∵ b∥ a，(已知)，
∴ ∠2=∠1(两直线平行，同位角相等).
∵ c∥ a(已知)，
∴ ∠3=∠1(两直线平行，同位角相等).
∴ ∠2=∠3(等量代换).
∴ b∥ ∠c(同位角相等，两直线平行).
知识点1 平行线的性质定理
1
2
）
a
b
d
c
）
）
3
一般地，我们有如下定理：
平行于同一条直线的两条直线平行.
知识点1 平行线的性质定理
思考 (1) 回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节
命题证明的一般步骤：
(1) 根据题意，画出图形；
(2) 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
(3) 经过分析，找出由已知推出求证的途径，然后用数学符号和数学语言有条理地写出证明过程.
知识点1 平行线的性质定理
(2) 对于证明思路的分析，你积累了哪些经验
(1) 从已知条件入手，综合分析探索解题途径(由因导果法)；
(2) 从结论出发，用倒推来寻求证题的思路(执果索因法)；
(3) 综合运用以上两种方法(因果夹击法)
知识点1 平行线的性质定理
知识点1 两直线平行，同位角相等
1.将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是(　　)
A.50°　　
B.60°　　
C.70°　　
D.80°
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(第1题)
C
2.把一张对边互相平行的纸条按如图所示方式对折，EF是折痕，若∠FEG＝32°，则∠FGC＝　　.
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(第2题)
64°
知识点2 两直线平行，内错角相等
3.在同一平面内，将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使边AB与CD互相平行，则∠1的大小为(　　)
A.120°　　
B.115°　　
C.105°　　
D.100°
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(第3题)
C
4.［2025深圳］如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为(　　)
A.22°　　
B.32°　　
C.35°　　
D.122°
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(第4题)
B
知识点3 两直线平行，同旁内角互补
5.五线谱是目前世界上通用的记谱法，通过在五条等距离的平行线上标记音符及其他记号来记录音乐.如图，AB和CD是五线谱上的两条平行线，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝120°，∠2＝30°，则∠BEC的度数是　　.
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(第5题)
90°
6.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD.若CD∥BE，∠1＝25°，则∠2的度数是　　.
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(第6题)
50°
【点拨】如图，延长FA，由折叠的性质得∠3＝∠1＝25°.因为∠1＋∠3＋∠4＝180°，所以∠4＝130°.因为CD∥BE，EB∥FG，所以CD∥FG，所以∠4＝∠ACD＝130°.因为AC∥BD，所以∠ACD＋∠2＝180°，所以∠2＝50°.
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7.如图，AD平分∠BAC，且与线段BC相交于点F，E是AC上一点，连接EF.若∠D＝∠BAD，∠CEF＋∠ABD＝180°.
(1)求证：AC∥BD；
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【证明】因为AD平分∠BAC，所以∠CAD
＝∠BAD.
又因为∠D＝∠BAD，
所以∠CAD＝∠D.所以AC∥BD.
(2)请判断EF与AB的位置关系，并说明理由.
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【解】EF∥AB.
理由：因为AC∥BD，所以∠BAC＋∠ABD＝180°.
又因为∠CEF＋∠ABD＝180°，
所以∠BAC＝∠CEF.所以EF∥AB.
知识点4 平行于同一条直线的两条直线平行
8.如图，直线AB∥CD，则α，β，γ之间的关系是(　　)
A.α＋β－2γ＝180°　　
B.β－α＝γ
C.α＋β＋γ＝360°　　
D.β＋γ－α＝180°
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(第8题)
D
9.如图是某工程施工云梯的工作示意图，其中AB∥CD，DE∥AF.若∠C＝70°，∠BAF＝30°，则∠CDE＝　　　.
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(第9题)
150°
【点拨】过点C作CM∥DE，过点B作BN∥AF，如图所示，因为DE∥AF，所以DE∥AF∥CM∥BN.因为∠BAF＝30°，所以∠NBA＝∠BAF＝30°.因为AB∥CD，∠BCD＝70°，所以∠ABC＝∠BCD＝70°，
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所以∠MCB＝∠NBC＝∠ABC－∠NBA＝70°－30°＝40°，所以∠MCD＝∠BCD－∠MCB＝70°－40°＝30°，因为CM∥DE，所以∠MCD＋∠CDE＝180°.所以∠CDE＝180°－∠MCD＝180°－30°＝150°.
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10. 如图，在“光的反射”科学活动课中，嘉琪同学将支架平面镜固定放置在水平桌面MN上，镜面AB与桌面MN的夹角(∠ABM)可调节，若激光笔与水平天花板(直线EF)的夹角∠EPC＝30°，激光笔发出的光束DC射到平面镜AB上，EF∥MN，则当反射光束CH与天花板的夹角∠EHC＝80°时(由平面镜的反射定律可知∠ACH＝∠DCB)，∠ABM的度数为(　　)
A.20°　　 B.25°　　
C.30°　　 D.35°
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D
命题证明的一般步骤
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
平行于同一条直线的两条直线平行
平行线的性质
1. 根据题意，画出图形
2. 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证
3. 用数学符号和数学语言写出证明过程

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