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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末小结第二章实数北师大版八年级上册2.3.3二次根式的四则运算练习题【核心知识点回顾】1.运算法则汇总：乘法$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$$；除法$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b>0)$$；加减先化简、再合并同类二次根式。2.混合运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；能运用乘法交换律、结合律、分配律简便运算。整式的平方差、完全平方公式在二次根式运算中完全适用。3.常用公式：平方差$$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b$$；完全平方$$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$$。4.运算要求：所有计算结果必须化为最简二次根式，分母不含根式。###一、选择题（每题4分，共20分）1.下列计算正确的是（）A. $$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ B. $$\sqrt{8}\div\sqrt{2}=2$$ C. $$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{10}$$ D. $$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$$2.计算$$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$$的结果是（）A. 1 B. -1 C. 7 D. $$4-2\sqrt{3}$$3. $$\sqrt{12}\times\sqrt{3}+\sqrt{18}\div\sqrt{2}$$的结果为（）A. 9 B. 15 C. $$6+3\sqrt{2}$$ D. $$9\sqrt{3}$$4.化简$$(\sqrt{5}-1)^2$$的结果是（）A. $$6-2\sqrt{5}$$ B. 4 C. $$5-2\sqrt{5}$$ D. 65.二次根式四则运算最终结果必须是（）A.整数B.小数C.最简二次根式D.带根号式子即可###二、填空题（每题4分，共20分）1.二次根式混合运算顺序是先________，后________。2.计算：$$\sqrt{6}\times\sqrt{24}=$$________。3.计算：$$\sqrt{54}\div\sqrt{6}=$$________。4. $$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=$$________。5. $$3\sqrt{12}-2\sqrt{3}=$$________。###三、解答题（共60分）1.（20分）基础四则运算：（1）$$\sqrt{27}\times\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{12}\div\sqrt{4}$$（2）$$\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}$$2.（20分）乘法公式简便运算：（1）$$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$$（2）$$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$3.（20分）综合混合运算：$$\sqrt{48}\div\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{18}-\sqrt{25}$$###参考答案与解析选择题答案：1.B 2.A 3.A 4.A 5.C填空题答案：1.乘除、加减2.12 3.3 4.$$5+2\sqrt{6}$$ 5.$$4\sqrt{3}$$解答题解析1.解：（1）原式$$=\sqrt{9}+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$$；（2）原式$$=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$。2.解：（1）原式$$=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$$；（2）原式$$=(2\sqrt{3})^2-2\times2\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=12-4\sqrt{6}+2=14-4\sqrt{6}$$。3.解：原式$$=\sqrt{16}+\sqrt{9}-5=4+3-5=2$$。先依次完成乘除运算，再化简合并，最后做加减计算。###易错知识总结1.严禁非同类根式直接加减合并；2.混合运算严格遵守运算顺序，不跳步、不错序；3.运用完全平方公式时不要遗漏中间的交叉项；4.结果务必化为最简二次根式，保证分母无根式、无开方不尽的因数。
学习思路
学习方法
实数
概念
表示
分类
性质
运算
应用
具体到抽象
特殊到一般
归纳思想
类比思想
数形结合
无理数
学习内容
实数
平方根
立方根
二次根式
一、实数
概念：有理数—有限小数和无限循环小数
无理数—无限不循环小数
常见的无理数的三种形式：
(1)开方开不尽的数的方根；如：等；
(2)π及化简后含π的数；如：，π+1等；
(3)具有特殊结构的数，如：0.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加1).
一、实数
相关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
实数相关概念的性质
相反数：若a与b互为相反数，则a+b=0.
倒数：若a与b互为倒数，则ab=1.
绝对值：任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|.
一、实数
性质：实数与数轴上的点一一对应
分类：
按概念分：有理数、无理数
按正负性分：正实数、0、负实数
一、实数
运算法则：
先乘方，再乘除，最后再算加减；同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的
运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律
考点1 实数的相关概念及分类
1.下列说法：①数轴上的点与实数成一一对应关系；②两个无理数的和还是无理数；③无限小数都是无理数；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤若一个数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0.其中正确的有(　　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
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C
2.定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作［x］.例如［］＝1，［－］＝－3.按此规定，［1－］＝　　　.
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－3
【点拨】因为9＜10＜16，所以3＜＜4.所以－4＜－＜－3.所以－3＜1－＜－2.所以［1－］＝－3.
3.将下列各数填在相应的集合里.
，π，3.141 592 6，－0.456，3.030 030 003…(相邻两个3之间依次多1个0)，0，，，，.
有理数集合：{　　　　　　　　　　 .
　　　　　…}；
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，3.141 592 6，－0.456，0，，
，
无理数集合：{　　　　　 　　　　.
　　　　　　　 　…}；
正实数集合：{　　　　　　　　 　　　.
　　　 　　　…}；
整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}.
返回
π，3.030 030 003…(相邻两个3之间依次多1
个0)，，，
，π，3.141 592 6，3.030 030 003…(相邻两个3之间依次多1个0)，， ，，，
考点2 算术平方根、平方根、立方根
4.下列说法正确的是(　　)
A.的平方根是±3
B.()2的算术平方根是5
C.(－7)2的平方根是7
D.1的平方根和算术平方根都是1
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A
5.若｜a－3｜＋(b－2)2＋＝0，则(a－b＋c)2的值是　　　　.
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9
6.一个正数m的两个不同的平方根分别为2n＋1和3－3n，则m的值为　　　　.
返回
81
7.比小且比－大的整数有　 　　.
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－1，0，1，2
8.比较大小：－2　　＋2.(填“＞”“＜”或“＝”)
返回
＞
9. 已知9，16和a三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的数a的值：　　　　　　　　.
返回
±12，，
10.已知与互为相反数(其中y≠0)，则＝　　　　.
返回
【点拨】由与互为相反数可得1－3y与4x－1互为相反数，所以4x－1＋1－3y＝0，整理得y＝x.将y＝x代入可得，＝＝.
考点3 二次根式的相关概念及性质
11.下列各式，，，，，中，一定是二次根式的有(　　)
A.2个　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　D.5个
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B
12.下列各式化成最简二次根式正确的是(　　)
A.＝　　　 B.＝
C.＝　　　 D.＝3
返回
C
13.已知a＞0，那么可化简为　　　　 .
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【点拨】因为a＞0，≥0，所以b＜0，所以＝＝＝－.
－
14.已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简｜a｜－＋－＝　　　　.
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【点拨】由数轴可知a＜0，a＋c＜0，c－a＜0，b＞0，则｜a｜－＋－＝－a＋a＋c－(c－a)－b＝
a－b.
a－b
15.下列计算中，正确的是(　　)
A.－＝　　 B.3－＝3
C.3×2＝6　　 D.÷＝2
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D
考点4 二次根式的运算
16.估计×＋×的值在(　　)
A.4和5之间 　　 B.5和6之间
C.6和7之间 　　 D.7和8之间
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C
17.如图是添加了便签的台历示意图，正方形ABFE为日历区，正方形EGHD为备忘录区，长方形GFCH为便签区，已知日历区的面积为270 cm2，备忘录区的面积为80 cm2，则便签区的面积为　　　　　　　cm2.
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(60－80)
18.计算：(1)－2＋｜1－｜＋(π－2)0＋；
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【解】原式＝9＋－1＋1＋2＝9＋3.
(2)(2－1)2＋(－3)(＋3)；
【解】原式＝12－4＋1＋2－9＝6－4.
(3)(＋)÷＋×－.
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【解】原式＝(2＋4)÷＋3－(－1)＝2＋4＋3－＋1＝4＋5.
19.已知a＝，b＝.
(1)求a＋b的值；
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【解】a＝＝＝＋，
b＝＝＝－.
a＋b＝＋＋－＝2.
(2)求a2－3ab＋b2的值.
返回
【解】a＝＝＝＋，
b＝＝＝－.
因为ab＝(＋)(－)＝3－2＝1，
所以a2－3ab＋b2＝(a＋b)2－5ab＝(2)2－5＝7.
思想1 方程思想
20.已知a，b为有理数，且＝＋1，求a＋b的值.
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【解】＝＋1，去分母得b－2＝(＋1)(a－3)，即b－2＝5a＋a－3－3，
所以b－5a－a＝－－3，所以b－5a＝－3，－a＝－1，解得a＝1，b＝2，所以a＋b＝1＋2＝3.
思想2 分类讨论思想
21. 设x，y为非零数，试求＋的值.
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【解】①若x，y同号，
当x＞0，y＞0时，原式＝＋＝＋＝1＋1＝2；当x＜0，y＜0时，原式＝＋＝＋＝－1－1＝－2.
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②若x，y异号，
当x＞0，y＜0时，原式＝＋＝＋＝1－1＝0；
当x＜0，y＞0时，原式＝＋＝＋＝－1＋1＝0.
综上所述，原式的值是2或－2或0.
22. 已知a＋b＝－8，ab＝12，求b＋a的值.
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【解】因为a＋b＝－8＜0，ab＝12＞0，
所以a＜0，b＜0，
所以原式＝－－＝－＝－.当a＋b＝－8，ab＝12时，原式＝－×＝－.
思想3 整体思想
23. 请阅读下列材料：
问题：已知x＝＋2，求代数式x2－4x－7的值.
小明的做法：根据x＝＋2得(x－2)2＝5，所以x2－4x＋4＝5，所以x2－4x＝1.把x2－4x的值整体代入，得x2－4x－7＝1－7＝－6.即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.
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仿照上述方法解决问题：
(1)已知x＝－3，求代数式x2＋6x－8的值；
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【解】因为x＝－3，所以x＋3＝，
所以(x＋3)2＝10，即x2＋6x＋9＝10，
所以x2＋6x＝1，所以x2＋6x－8＝1－8＝－7.
(2)已知x＝，求代数式x3＋2x2的值.
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【解】因为x＝，所以2x＝－1，所以2x＋1＝，
所以(2x＋1)2＝5，所以4x2＋4x＋1＝5，
所以4x2＋4x＝4，
所以x2＋x＝1，所以x3＋2x2＝x3＋x2＋x2＝x(x2＋x)＋x2＝x×1＋x2＝x＋x2＝1.

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