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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末小结第六章数据的分析第六章数据的分析全章满分总复习本章整体框架：两大考点体系①集中趋势（平均数、众数、中位数）②波动程度（方差、标准差、平方和）③综合应用（箱线图、团队数据对比），全是期末选择、填空、大题必考内容。---6.1平均数（基础核心）6.1.1众数与算术平均数1.算术平均数公式：$$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$特点：利用全部数据、唯一、极易受极端值影响，反映整体平均水平。2.众数定义：一组数据中出现次数最多的数。重点性质：①众数是数据本身，不是次数；②可一个、可多个、可无；③不受极端值影响，反映最普遍、最集中水平。6.1.2加权平均数（必考计算）核心公式：$$\bar{x}=\dfrac{x_1w_1+x_2w_2+\dots+x_nw_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}$$权重三种形式：①次数权重②比例权重③百分比权重（直接相乘求和）关键结论：权重越大，对平均数影响越大；算术平均数是权重相等的特殊加权平均数。6.1.3离差平方和、方差、标准差（波动核心）1.离差：$$x_i-\bar{x}$$，所有离差和为02.离差平方和：$$(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$$3.方差（波动核心）公式：$$S^2=\dfrac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$$4.标准差公式：$$S=\sqrt{S^2}$$意义：和方差一致，单位与原数据一致。数据变换规律（必背）原数据方差为$$S^2$$：①数据±同一个数：方差不变；②数据乘$$a$$：方差变为$$a^2$$倍。6.1.4方差的应用（大题必考）核心判断逻辑：先比平均水平，再比稳定程度1.平均数相同：方差越小→波动越小、越稳定、质量越好、发挥越平稳；2.平均数不同：优先选平均数高的，兼顾稳定性；3.方差大：数据起伏大、不稳定、风险高、上限高。---6.2中位数与箱线图（抗干扰统计）6.2.1中位数求解四步法：排序→数个数→判奇偶→求值1.奇数个数据：取最中间一个数；2.偶数个数据：取中间两个数的平均数；核心特点：唯一存在、不受极端值影响，反映数据中等水平。6.2.2箱线图（五数概括）1.五大核心数：最小值、下四分位数Q 、中位数Q 、上四分位数Q 、最大值2.四分位距：$$IQR=Q_3-Q_1$$3.图形含义：①箱体：包含中间50%数据，箱体越窄数据越集中；②须：代表数据整体范围，须越长波动越大；4.优势：不受极端异常数据影响，适合多组数据对比。---6.3哪个团队收益大（全章综合压轴）本节为全章综合应用题，统一答题标准：双维度评价，缺一扣分1.水平维度：平均数、中位数→判断收益高低、整体优劣2.稳定维度：方差、IQR、箱线图宽窄→判断风险高低、稳定性三类万能答题模板1.均值高、方差小：整体收益更高，且波动小、更稳定，综合最优；2.均值相近、方差不同：平均水平持平，方差更小的更稳定、风险更低；3.箱线图对比：中位数看水平，箱体宽窄看集中程度，须长短看波动大小。---全章四大统计量终极对比表（背诵）统计量是否受极端值影响唯一性作用算术平均数极易受影响唯一反映整体平均水平众数不受影响不唯一反映最普遍数据水平中位数不受影响唯一反映中等水平方差/标准差受影响唯一反映数据波动、稳定性---全章高频易错10点（期末防扣分）1.求中位数必须先排序，不排序直接判数直接错；2.众数是数据，不是出现的次数；3.偶数个数据的中位数是中间两数平均数，不是单个数字；4.方差计算最后必须除以n，平方和不用除；5.方差越小越稳定，方差越大越不稳定；6.加权计算百分比权重可直接相乘求和，无需除总权重；7.箱线图箱体只包含中间50%数据，不是全部数据；8.数据平移方差不变，数据缩放方差变平方倍；9.综合对比大题，必须同时分析水平+稳定性；10.有极端数据时，中位数、众数比平均数更真实。---全章必考公式汇总（考前速背）1.算术平均数：$$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$2.加权平均数：$$\bar{x}=\dfrac{x_1w_1+x_2w_2+\dots+x_nw_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}$$3.方差：$$S^2=\dfrac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$$4.标准差：$$S=\sqrt{S^2}$$5.四分位距：$$IQR=Q_3-Q_1$$全章总结一句话平均数看高低，中位数看中间，众数看多数，方差看稳定，箱线图看整体分布数据的分析
学习思路
学习内容
学习方法
模型思想
数形结合
众数
平均数
中位数
方差
反映数据的集中趋势
反映数据的离散程度
“数”的角度
“形”的角度
实际应用
箱线图
哪个团队收益最大
一、平均数与方差
1.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据.
一、平均数与方差
2.算术平均数：一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数.
优点：每个数字都参与计算.
缺点：容易受最大值和最小值影响；
数据差异较大时，平均数无实际意义.
一、平均数与方差
3.加权平均数：一般而言，一组数据每个数据的“重要程度”未必相同在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的“重要程度”赋一 个“权”.
一组数据x1，x2，…，xn对应的权为f1， f2，…，fn，
=.
一、平均数与方差
3.加权平均数：一般而言，一组数据每个数据的“重要程度”未必相同在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的“重要程度”赋一 个“权”.
优点：每个数字都参与计算；
每个数字的权不同，更能够说明数据的集中趋势；
在生活中的应用广泛.
一、平均数与方差
4.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和.
]
一、平均数与方差
5.方差：各个数据与它们平均数之差的平方的平均数.
方差越大，数据的离散程度越大，数据波动性越大，数据不稳定；方差越小，数据的离散程度越小，数据的波动性越小，数据越稳定.
一、平均数与方差
6.标准差：方差的算术平方根.
二、中位数与箱线图
1.中位数：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数).
中位数是描述这组数据的“中等水平”的量.
二、中位数与箱线图
2.百分位数：一般地，一组数据由小到大排列，处于p%位置的数据称第p百分位数，记为p%分位数.
二、中位数与箱线图
3.四分位数：特别地，25%分位数、50%分位数、75%分位数它们把一组数据分为个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数、上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数.
二、中位数与箱线图
4.箱线图：箱线图是一种用作显示一组数据分散情况的统计图，因形状如箱子而得名.
箱线图中包含了最小值、最大值和四分位数信息，可以用来反映一组数据的整体分布情况特别适用于多组数据整体分布情况的比较.
考点1 众数与平均数
1. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学数学学院从本专业450人中随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)情况如图所示.这30名学生的测试成绩的众数是　　，平均数是　　　.
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7分
6.5分
2.［2025福建］某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩(百分制)按4：3：2：1的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A　　B.(填“＞”“＝”或“＜”)
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项目 员工 听 说 读 写 最终成绩
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
＞
考点2 方差
3.在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如图.则甲、乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差、大小关系正确的是(　　)
A.＞　　
B.＜
C.＝　　
D.无法确定
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B
4. 对于一次函数y＝3x＋4，自变量分别取值x1，x2，…，xn，若这组数据的方差为5，则对应的函数值为y1，y2，…，yn的这组数据的标准差为　　　.
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3
【点拨】因为数据x1，x2，…，xn的方差为5，所以对应的函数值为y1，y2，…，yn的这组数据的方差是32×5＝45，所以这组数据的标准差为＝3.
5. 在一次数学模拟测试中满分为100分，算出了李丽所在小组所有成绩的方差是4.若将该小组所有成绩按满分为150分进行换算，则换算后该小组所有成绩的方差是　　.
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9
【点拨】设成绩分别为x1，x2，…，xn，
所以＝(x1＋x2＋…＋xn).所以＝［(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2］＝4.换算后的成绩分别为1.5x1，1.5x2，…，1.5xn，所以′＝(1.5x1＋1.5x2＋…＋1.5xn)＝1.5×(x1＋x2＋…＋xn)＝1.5.所以＝［(1.5x1－1.5)2＋(1.5x2－1.5)2＋…＋(1.5xn－1.5)2］＝1.52×［(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2］＝2.25×4＝9，所以换算后该小组所有成绩的方差是9.
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考点3 中位数和箱线图
6. 现有一列数：9，5，4，7，10，7，5，若增加一个整数x后，这列数的中位数仍不变，则x的值可能为_____
__________(填一个即可).
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7(答
案不唯一)
【点拨】将这组数据从小到大排列为4，5，5，7，7，9，10，则中位数为7，由题意可得，增加一个整数x后，这列数的中位数仍不变，①若x＜7，则中位数小于7，不符合题意，舍去，②若x≥7，则中位数为＝7，综上所述，整数x的取值范围为x≥7，故只要填大于或等于7的整数即可.
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7.甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95.
(1)求甲组数据的四分位数；
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【解】将甲组的成绩从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以m25＝70，m50＝＝90，m75＝96.
(2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图.
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【解】如图.
(3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法.
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【解】根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大.
考点4 平均数、中位数、众数和方差的应用
8.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字的个数≥150为优秀)；
③甲班成绩的波动比乙班大.
上述结论中，正确的是(　　)
A.①②　　 B.②③　　
C.①③　　 D.①②③
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班级 参加人数 平均数 中位数 方差
甲班 55 135 149 191
乙班 55 135 151 110
D
【点拨】由表格可知，甲、乙两班学生的平均成绩相同；根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大.故①②③正确.
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班级 参加人数 平均数 中位数 方差
甲班 55 135 149 191
乙班 55 135 151 110
9. ［2025山东］在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天(24小时)内每小时的pH值进行了整理、描述及分析.
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26.
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乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21.
【整理数据】
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基地 7.00≤x＜7.30 7.30≤x＜7.60 7.60≤x＜7.90 7.90≤x＜8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
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【分析数据】
根据以上信息解决下列问题：
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基地 平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
(1)补全频数直方图；
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【解】根据题意得a＝24－4－2－9－2＝7，
补全频数直方图如图.
(2)填空：b＝　　，c＝　　；
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【整理数据】
基地 7.00≤x＜7.30 7.30≤x＜7.60 7.60≤x＜7.90 7.90≤x＜8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【分析数据】
基地 平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
7.67
7.79
(3)请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
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【分析数据】
基地 平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
【解】因为甲基地水体pH值的方差为0.10，乙基地水体pH值的方差为0.13，0.10＜0.13，
所以甲基地水体的pH值更稳定.
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【分析数据】
基地 平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
(4)已知两基地对水体pH值的日变化量(pH值最大值与最小值的差)要求为0.5～1，分别判断并说明该日两基地的水体pH值是否符合要求.
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【整理数据】
基地 7.00≤x＜7.30 7.30≤x＜7.60 7.60≤x＜7.90 7.90≤x＜8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【分析数据】
基地 平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
【解】甲基地水体pH值的日变化量为8.26－7.27＝0.99，
乙基地水体pH值的日变化量为8.21－7.11＝1.1，
所以该日两基地的水体pH值甲符合要求，乙不符合要求.
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【整理数据】
基地 7.00≤x＜7.30 7.30≤x＜7.60 7.60≤x＜7.90 7.90≤x＜8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【分析数据】
基地 平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
思想1 分类讨论思想
10. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为　　　　　　.
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－9或5或19
【点拨】设丢失的数据为x，根据题意，这组数据的众数一定是4，平均数为＝，若x≤4，则中位数是4，众数为4，根据题意，得＋4＝2×4，解得x＝－9；若x是中位数，根据题意，得＋4＝2x，解得x＝5；若x≥6，则中位数是6，根据题意，得＋4＝12，解得x＝19.综上所述，丢失的数据可能是－9或5或19.
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思想2 整体思想
11. ［威海自主招生］由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则－＝(　　)
A.0　　 B.4　　
C.8　　 D.16
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B
【点拨】因为由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，
所以前后两组数据的平均数不变，设为，
设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s，则－＝＝＝4.
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