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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末小结第四章一次函数北师大版八年级上册第四章一次函数全章复习练习题【全章核心知识点汇总】一、函数基础1.函数定义：在变化过程中，有两个变量x、y，给定一个x值，有唯一确定的y值对应，y是x的函数，x为自变量，y为因变量。2.核心判定：一个x只能对应一个y，一个y可对应多个x，一对多不是函数。3.自变量取值范围：整式取全体实数；分式分母≠0；二次根式被开方数≥0；实际问题符合现实意义。4.函数三种表示法：解析式法、列表法、图象法。二、均匀变化1.定义：自变量均匀增减，因变量增减量固定，变化速率恒定。2.特征：数值差值恒定，图象为直线；是一次函数的本质特征，分为均匀递增、均匀递减。三、正比例函数与一次函数1.正比例函数：$$y=kx(k\neq0)$$，特殊的一次函数，无常数项，图象过原点。2.一次函数：$$y=kx+b(k\neq0)$$，k、b为常数，k≠0。3.关系：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数（b≠0时）。四、函数图象与核心性质1.正比例函数$$y=kx(k\neq0)$$k>0：图象过一、三象限，y随x增大而增大；k<0：图象过二、四象限，y随x增大而减小；|k|越大，直线越陡。2.一次函数$$y=kx+b(k\neq0)$$k定增减：k>0上升递增，k<0下降递减；b定位置：b>0交y轴正半轴，b<0交y轴负半轴。3.象限分布：k正b正（一二三）、k正b负（一三四）、k负b正（一二四）、k负b负（二三四）。4.两直线平行：k相等、b不相等。五、确定一次函数表达式（待定系数法）四步法：设（设解析式）→代（代入点坐标）→求（解k、b）→写（写解析式）；正比例函数需1个点，一次函数需2个点。六、一次函数的实际应用1.单个函数应用：读取图象坐标、求坐标轴交点、利用图象解方程、解读实际变化规律。2.两个函数应用：交点坐标为两函数值相等的解；交点左右判断函数值大小，用于方案、计费、行程对比。3.计费模型：$$总费用=单价\times用量+固定费用$$，对应$$y=kx+b$$，常考分段计费、方案优选。###一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关系式中，y是x的函数的是（）A. $$y^2=x$$ B. $$y=\pm2x$$ C. $$y=3x-1$$ D. $$x^2+y^2=4$$2.关于正比例函数和一次函数，说法正确的是（）A.一次函数是正比例函数B.正比例函数是特殊的一次函数C.两者无关联D.正比例函数图象不过原点3.一次函数$$y=-2x+3$$的图象经过象限是（）A.一、二、三B.一、三、四C.一、二、四D.二、三、四4.两一次函数图象交点的意义是（）A.自变量相等B.函数值相等C.函数值为0 D.无意义5.确定一次函数表达式需要的点数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D.任意个###二、填空题（每题4分，共20分）1.一次函数$$y=kx+b$$中，决定函数增减性的是________。2.正比例函数$$y=4x$$中，y随x的增大而________。3.直线$$y=3x-6$$与x轴的交点坐标是________。4.方案优选问题中，________是两种方案费用相等的临界点。5.待定系数法四步骤：设、代、________、写。###三、解答题（共60分）1.（20分）已知一次函数$$y=(m-3)x+m+2$$：（1）若y随x增大而增大，求m取值范围；（2）若图象过原点，求m的值。2.（20分）已知一次函数图象经过点(0,-2)和(2,4)，求该函数表达式。3.（20分）两种手机套餐：A套餐$$y_1=0.2x+15$$，B套餐$$y_2=0.5x$$（x为通话时长）。（1）求两套餐费用相等时的通话时长；（2）说明通话时长较长时，哪种套餐更划算。###参考答案与全章解析选择题答案：1.C 2.B 3.C 4.B 5.B填空题答案：1.k 2.增大3.(2,0) 4.两函数交点5.求解答题解析1.解：（1）y随x增大而增大，则$$m-3>0$$，解得$$m>3$$；（2）图象过原点，常数项为0，$$m+2=0$$，解得$$m=-2$$。2.解：设解析式$$y=kx+b$$，代入(0,-2)得$$b=-2$$；代入(2,4)得$$2k-2=4$$，解得$$k=3$$，解析式为$$y=3x-2$$。3.解：（1）令$$y_1=y_2$$，$$0.2x+15=0.5x$$，解得$$x=50$$，通话50分钟时费用相等；（2）k值越小增长越慢，A套餐k更小，因此通话时长大于50分钟时，A套餐更划算。全章易错总结1.忽略一次函数、正比例函数$$k\neq0$$的隐藏条件；2.混淆k、b的作用，记错象限与增减性；3.待定系数法代入坐标x、y颠倒，计算失误；4.两个函数应用中记反交点左右函数值大小；5.实际问题忽略自变量取值范围，脱离实际意义。一
次
函
数
函数
正比例函数
一次函数
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变
量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是
x的函数
当k>0时，图象经过第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大
当k<0时，图象经过第二、四象限，y的值随着x值的增大而减小
在一次函数 y=kx+b 中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；当k＜0时， y的值随着x值的增大而减小
一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解
表格法、关系式法、图象法
①观察图象，获取关键信息
②建立一次函数模型解决实际问题
应用
一、函数
1.概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
2.表示方式：表格、关系式、图象.
考点1 函数的概念
1.下列函数：①y＝－x；②y＝＋1；③y＝x－3；④y＝1＋；⑤y＝x2－x(x－1)，其中　　　　是一次函数，
　　　　是正比例函数.(填序号)
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①③⑤
①⑤
2.如图是某加油站地下圆柱形储油罐的示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r(d，r为常量)，油面高度为h，油面宽度为w，油量为v(h，w，v为变量)，则下面四个结论：①w是v的函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数.其中正确的结论是　　　　.
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①④
考点2 一次函数的图象和性质
3. 一次函数y＝k(x－1)与y＝k(1－x)(k≠0)在同一平面直角坐标系内的图象大致是(　　)
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A 　 B　 C 　 D
D
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【点拨】方法1：分两种情况：(1)当k＞0时，一次函数y＝k(x－1)的图象经过点(1，0)且过第一、三、四象限，一次函数y＝k(1－x)的图象经过点(1，0)且过第一、二、四象限；(2)当 k＜0时，一次函数y＝k(x－1)的图象经过点(1，0)且过第一、 二、四象限，一次函数y＝k(1－x)的图象经过点(1，0)且过第一、三、四象限，D选项符合.
方法2：一次函数y＝k(x－1)与y＝k(1－x)(k≠0)的图象都经过点(1，0)，只有D选项符合.
4.［2025扬州］已知m2 025＋2 025m＝2 025，则一次函数y＝(1－m)x＋m的图象不经过(　　)
A.第一象限　　　 B.第二象限　
C.第三象限　　　 D.第四象限
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D
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【点拨】因为m2 025＋2 025m＝2 025，所以m2 025＝2 025(1－m).当m＜0时，m2 025＜0，2 025(1－m)＞0，与m2 025＝2 025(1－m)矛盾；当m＝0时，m2 025＝0，2 025(1－m)≠0，与m2 025＝2 025(1－m)矛盾；当m＞1时，m2 025＞0，2 025(1－m)＜0，与m2 025＝2 025(1－m)矛盾；当m＝1时，m2 025＝1，2 025(1－m)＝0，与m2 025＝2 025(1－m)矛盾，所以0＜m＜1，所以1－m＞0，所以一次函数y＝(1－m)x＋m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选D.
5.如图，直线y1＝x＋3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝－x＋3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P(m，2)是△ABC内部(包括边上)的一点，则m的最大值与最小值之差为(　　)
A.1　　
B.2　　
C.4　　
D.6
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B
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【点拨】因为点P(m，2)是△ABC内部(包括边
上)的一点，所以点P在直线y＝2上，如图所示.
当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值.因为在y2＝－x＋3中，令y2＝2，则x＝1，在y1＝x＋3中，令y1＝2，则x＝－1，所以m的最大值为1，最小值为－1.故m的最大值与最小值之差为1－(－1)＝2.故选B.
6.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线y＝(－m＋1)x＋2上相异的两点，若(x1－x2)(y1－y2)＜0，则m的取值范围是　　　　.
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m＞1
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7. 已知函数y＝｜x－2a｜(a为常数)，当1≤x≤3时，y的最小值为5，则a的值为　　　　.
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－2或4
【点拨】分两种情况讨论：①当x≥2a时，y＝x－2a.因为k＝1＞0，所以当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，即当x＝1时，y＝5，则5＝1－2a，解得a＝－2.②当x＜2a时，y＝－x＋2a.因为k＝－1＜0，所以当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，即当x＝3时，y＝5，则5＝－3＋2a，解得a＝4，所以a＝－2或4.
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根据绝对值的意义分两种情况讨论：①x≥2a时，得y＝x－2a，y随x的增大而增大；②x＜2a时，得y＝－x＋2a，y随x的增大而减小.
考点3 一次函数与一元一次方程
8.如图，一次函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m，3)，则方程ax＋4＝0的解为(　　)
A.x＝6　　
B.x＝3　　
C.x＝－6　　
D.x＝－3
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(第8题)
A
【点拨】因为点A在直线y＝2x上，所以3＝2m，解得m＝.所以点A的坐标为.因为一次函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A，所以a＋4＝3，解得a＝－.所以方程ax＋4＝0可化为－x＋4＝0，解得x＝6.
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(第8题)
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与直线y＝－x＋3交于点A，两直线分别交x轴于点B和点C.
(1)点B的坐标为　　　　，点C的坐标为　　　　；
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(第9题)
(－1，0)
(4，0)
(2)△ABC的面积为　　　　.
考点4 确定一次函数表达式
10.如图，点N(0，6)，点M在x轴负半轴上，ON＝3OM，A为线段MN上一点，AB⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C.
(1)点M的坐标为　　　　　；
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(－2，0)
(2)求直线MN的表达式；
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【解】设直线MN的表达式为y＝kx＋b，把点M(－2，0)和点N(0，6)的坐标分别代入y＝kx＋b，得－2k＋b＝0，b＝6，所以k＝3，所以直线MN的表达式为y＝3x＋6.
(3)若点A的横坐标为－1，求长方形ABOC的面积.
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【解】把x＝－1代入y＝3x＋6，得y＝3×(－1)＋6＝3，所以A(－1，3).所以AC＝1，AB＝3.所以长方形ABOC的面积＝1×3＝3.
考点5 一次函数的应用
11. ［华师一附中自主招生］一辆快车从
甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，
两车同时出发，分别以各自的速度在甲、乙两地间匀速行驶，1 h后，快车司机发现有重要文件遗忘在出发地，便立即返回拿上文件(取文件时间不计)后再从甲地开往乙地，结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车的行驶时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，y与x的函数图象如图，则a＝　　　　.
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6.2
【点拨】设慢车的速度为v1 km/h.由题图知，12.5v1＝1 000，解得v1＝80.设快车的速度为v2 km/h.因为1 h后两车相距
800 km，即1 h两车共行1 000－800＝200(km)，所以v2＝120.因为a h后两车相遇，此时慢车走80a km，快车走120(a－2)km，故有80a＋120(a－2)＝1 000，解得a＝6.2.
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12. 某游泳馆普通票价为20元/次，暑假为丰富学生的假期生活，特推出两种学生优惠卡：
①畅游卡，每张售价500元，每次游泳凭卡不再收费；
②学生卡，所需费用y(元)与游泳次数x(次)的关系
如图中射线BC所示.
暑假普通票正常出售，两种学生优惠卡仅限学
生暑假期间使用，不限次数.
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(1)填空：a＝　　　　，b＝　　　　，点A的坐标为　　　　　；
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20
30
(25，500)
(2)设小明计划暑假期间游泳x次，请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式合算？
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【解】当0＜x＜20时，选择普通票合算；当x＝20时，普通票和学生卡费用相同，均比畅游卡合算；当20＜x＜30时，选择学生卡合算；当x＝30时，畅游卡和学生卡费用相同，均比普通票合算；当x＞30时，选择畅游卡合算.
思想 分类讨论思想
13. 如图，直线y＝kx＋6与x轴、y轴分别交于点E，F.点E的坐标为(－8，0)，点P(x，y)是这条直线上的一个动点，点A的坐标为(－6，0).
(1)求k的值；
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【解】将点E的坐标(－8，0)代入y＝kx＋6，得0＝－8k＋6，解得k＝.
(2)若点P(x，y)是第二象限内这条直线上的一个动点.在点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式；
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【解】由(1)得该直线的表达式为y＝x＋6.
因为A(－6，0)，所以OA＝6.
又因为yP＝xP＋6，且点P在第二象限，
所以S＝OA ｜yP｜＝×6×＝x＋18.
所以S＝x＋18(－8＜x＜0).
(3)若△OPA的面积为，求所有符合条件的点P的坐标.
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【解】当S＝时，×6×｜yP｜＝，解得yP＝±.
当y＝时，x＋6＝，
解得x＝－，
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所以点P的坐标为.
当y＝－时，x＋6＝－，解得x＝－，
所以点P的坐标为.
综上，点P的坐标为或.

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