资源简介

北京市燕山区2026年初三二模数学试题
考生须知 2026.05
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，，四点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 比大 D. 与互补
3. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 六边形的内角和为（　　）
A. B. C. D.
5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 连接正五边形的对角线，得到如右图所示图形，中心为点，与交于点．连接与交于点，连接，，，．
观察后得出如下结论：
①；
②连接，则有；
③；
④连接，则有．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________．
10. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是_____．
11. 写出一个比大且比小的整数______．
12. 如图，平分，点B在射线上，若使，则还需添加的一个条件是_______（只填一个即可）．
13. 如图，在矩形中，，分别为，的中点， 则的值为__________．
14. 每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
分组 A B C D E
人数（频数） 2 8 14 12 4
该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____；
15. 反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______．
16. 小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功．
（1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功．
（2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 已知，求分式的值．
20. 如图，在中，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
21. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求k，b的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围．
22. 列方程解应用题
小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程．
23. 为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）：
b．A课程成绩在这一组的是：
85 85 83 85 84 81 80
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程 平均数 中位数 众数
A 80 m 85
B 79.9 84 86
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）；
（3）在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断：
①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数；
②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名；
其中所有正确推断的序号是__________；
（4）假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有__________人．
24. 如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求直径的长．
25. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：
a．探究活动在同一社团活动室进行，室温；
b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；
c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下：
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4
85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；
（2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为______时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为_______（结果保留小数点后一位）；
（3）在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻、、，、、对应的温度分别为、、，若，则_______（填“”“”或“”）．
26. 在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点坐标为，点与点不重合．
（1）求此抛物线的顶点坐标和对称轴（用含的代数式表示）；
（2）连接．
①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出的取值范围；
②在①的条件下，过点作轴的垂线交抛物线于点，若线段的长随的增大而减小，求的取值范围．
27. 已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点D在射线上，连接．
（1）如图1，用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）如图2，当时，过点D作的垂线交射线于点E．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点A和图形M，若存在以点A为直角顶点的直角，使得图形M都在该直角内部，就称点A是图形M的“直盖点”．如图①即为点A是图形M的“直盖点”的示例．
（1）若图形M是线段PQ，其中点，点，则以下三点：，，是线段PQ的“直盖点”的为________；
（2）若的半径为，直线l：，求直线l上的“直盖点”E的横坐标的取值范围；
（3）设的半径为，圆心T是x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于点G、H，若线段GH上存在的“直盖点”，直接写出圆心T的横坐标的取值范围．
参考答案
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C B B A C
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 【答案】
10. 【答案】
11. 【答案】3（答案不唯一）
12. 【答案】AC=AD或或．
13. 【答案】##
14. 【答案】240
15. 【答案】
16. 【答案】 ①. 5 ②. 15
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17. 【答案】5
18.【答案】
19. 【答案】，
20. 【小问详解】
证明：∵，分别为，的中点，
∴，，．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：连接，如图．
∵四边形是菱形，
∴，．
∴是等边三角形．
∵，
∴．
∴．
在中，，，
∴．
21. 【小问1详解】
解：由题意，函数的图象由函数的图象平移得到，
．
函数为．
又函数过，
．
；
【小问2详解】
解：由题意，结合（1）可得为，为，
在同一坐标系中画出，的图象如下．
当时，，
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
那么，
当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，
则，
结合图象可得，．
22. 解：设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里，
根据题意得：，
解得，
∴所走高速公路的路程为550公里．
23. 【小问1】
解：∵A课程总人数为20，
∴中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均在这一组，
∴中位数在这一组，
∵这一组的是：80，81，83，84，85，85，85，前三组共个数据，
∴A课程的中位数为 ，即；
【小问2】
解：∵该学生的成绩大于A课程的中位数，而小于B课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是A，
故答案为：A．
【小问3】
解：①两门课程总成绩的平均数为，学生乙的总成绩为，，所以①正确；
②总成绩高于平均数的人数不一定只有10人，可能有更多人总成绩高于平均数，
因此乙不一定排在前10名，所以②错误；
故选：①；
【小问4】
解：由题意可得，人，
即估计A课程成绩不低于80分的学生有人．
24. 【小问1】
证明：如图，连接．
，
，
，
，
∵是半径，
是的切线．
【小问2】
解：设与相交于点D．
，
，
∵，
．
，
，
，
，
，
设，则，
∴在中，，
，
，
，
，
，
，
则的直径为2.
25.【小问1】
解：如下图，即为与x的函数图象；
【小问2】
解：由题意可知，绿茶茶水温度降至饮用时口感最佳，
由表格可知，时，；时，，
当绿茶茶水的放置时间约为时，其饮用口感最佳，
此时普洱茶茶水的温度约为
【小问3】
解：观察图表数据可知，普洱茶放置时间每增加，茶水温度下降的速度降低，
即若，则，
故答案为：
26. 【小问1】
解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴顶点坐标为．
【小问2】
解：①∵点，点坐标为，
∴，，即，
∵点为抛物线上一点，
∴点关于抛物线的对称点为，
∵线段与抛物线有且只有1个公共点，
∴或，
解得或，
综上：且或．
②把点代入抛物线得出，
∴，
∴，
∵过点作轴的垂线交抛物线于点，
∴点C的横坐标为，
把代入，得： ，
∴，
∴，
，该函数与x轴的交点坐标为和，
对称轴为直线，
画出函数图象如下：
当时和时，线段的长随的增大而减小．
∵在①的条件下，则且或．
∴时，线段的长随的增大而减小．
27. 【小问1】
解：与的数量关系是．
证明：∵A，C，D共线，
．
，
．
∵线段绕点C旋转得到线段，
．
．
【小问2】
解：与的数量关系是．
证明：．
．
．
作，且使，
连接，．
∵，
．
．
．
．
．
．
在和中，
，
．
，．
．
，
，
在和中，
，
，
，
∵在中，，
．
．
28.
（1）根据定义可得线段PQ的“直盖点”均在以该线段为直径的圆外，如图，作以PQ长为直径的圆，线段PQ的“直盖点”为点B、C．
故答案为：B、C
（2）根据定义可得在其“直盖点”E为直角顶点的直角内部，如图，引两条切线相交于点P，
∵的半径为，
∴当两条切线夹角为90°时，．
∴的直盖点在以O为圆心，以2为半径的圆外．
作以O为圆心，2为半径的圆与直线交于、两点，
设、两点的坐标为、，
由勾股定理得，解得，，
∴点E的横坐标的取值范围为或；
（3）∵，
∴由（2）得的“直盖点”在以6为半径的圆外，
∴当线段GH全部在半径为6的圆内时不能满足题意，
①当圆心T在线段GH左侧时，如图，作以T为圆心，6为半径的圆，当线段GH全部在大圆内时，设此时的圆心为，此时大圆过点G，易得圆心的坐标为；
②当圆心T在线段GH右侧时，如图，作以T为圆心，6为半径的圆，当线段GH全部被大圆包含时，设此时的圆心为，此时大圆过点H，在中，由勾股定理得，则的坐标为；
综上所述，观察图象可得圆心T的横坐标的取值范围是或．

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