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2026年安徽省合肥市初中学业水平模拟测试数学试卷
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．若当时，都有，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
2．以如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为Y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，则这时C点的坐标可能是（ ）
A．（1，3） B．（2，-1） C．（2， 1） D．（3，1）
3．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》《骆驼祥子》《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》《骆驼祥子》《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（ ）
A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断
5．函数（为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点O是正六边形的中心，与相切于点P，连接AP．若，，则正六边形的面积是（ ）

A． B． C． D．
8．已知分别与相切于为上一点，则的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．
二、填空题
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．
10．已知抛物线的顶点为，与轴交于点，（在的左边），直线过，两点．当时，自变量的取值范围是_____．
11．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，如图1，为水面截线，为台面截线，，，，．将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2，则操作后剩余水的截面周长为__________．

12．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，及点均在格点上．
（Ⅰ）线段的长等于___________；
（Ⅱ）为上一点，连接．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等腰直角三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________．
13．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ACB=60°，则∠AOB的度数为___________.
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是边AC的中点，CE⊥BD于E．若F是边AB上的点，且使△AEF为等腰三角形，则AF的长为_____．
三、解答题
15．（1）计算：；
（2）先化简，再求值；，其中为满足的整数．
16．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进30海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离CD的长（结果保留根号）．
17．某运动品牌店欲购进一批单价为20元/套的球服，如果按每套40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即每套售价每提高1元，每个月的销售量相应减少5套．设销售单价为元/套，销售量y套．
(1)y与x之间的函数表达式是__________；
(2)设销售总利润为w（元），求w与x的函数关系式，并求出当销售单价为多少元/套时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
(3)若该店要求一个月内获利不低于2500元，则销售单价x的取值范围为__________；
18．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E于点F，延长和的延长线交于点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积．
19．如图，在边长均为1的正方形网格中有一个△ABC，顶点A、B、C及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：
(1)将△ABC向上平移4个单位，得到△A1B1C1(不写作法，但要标出字母)；
(2)将△ABC绕点O旋转180°，得到△A2B2C2(不写作法，但要标出字母)；
(3)求点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长l.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据“开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小”可知：，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由抛物线可知：开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵点在抛物线上，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
故选：C．
2．B
【分析】首先正确确定坐标轴的位置，原点的位置，再确定C点的坐标．
【详解】解：根据A点与B点关于原点对称，MN所在的直线为y轴，可以确定x轴和原点的位置．
所以点C的坐标是（2，-1）．
故选B．
【点睛】此题关键是根据题意确定原点的位置，然后写出点C的坐标．注意：两点关于原点对称，则两个点的坐标都是互为相反数．
3．A
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键．
运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，分别用表示《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》，
共有9种等可能结果，其中相同的结果有2种，
∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是，
故选：A ．
4．B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此解方程求出即可得到答案．
【详解】解：解方程得，
∴，
∴点在的内部，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了反比例函数的性质，先由函数值的正负判断点是否在同一支上，确定自变量的正负，再用反比例函数的性质判断自变量的大小，即可求解．掌握性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
6．A
【分析】设DE=x，则AD=8-x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．
【详解】过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE=x，则AD=8-x，
根据题意得：（8-x+8）×3×3=3×3×6，
解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
由勾股定理得：CD=，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△BCF，
∴，
即，
∴CF=．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
7．C
【分析】连接，由点O为正六边形的中心，则经过点O且是等边三角形，过点A作交的延长线于点G，则，进一步得到，则，，在中，，由中位线的判定和性质得到，，即可得到，过点O作于点H，则，再求出，得到，即可得到正六边形的面积．
【详解】解：连接，

∵点O为正六边形的中心，
∴经过点O且是等边三角形，
过点A作交的延长线于点G，则，
∵与相切于点P，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中， ，
∵O、P分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
∴，
过点O作于点H，则，
，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了切线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、正六边形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．分点在劣弧上和优弧上两种情况讨论求解，如图，当在劣弧上时，连接，在优弧上取点，连接，由是的切线，可得，则，由，可得，由圆内接四边形的对角互补，可得，同理可求得点在优弧上时的情形．
【详解】解：如图，当在劣弧上时，连接，在优弧上取点，连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵圆内接四边形的对角互补，
∴，
当点在优弧上时，同理可得
∴的度数为或
故选：．
9．80
【详解】∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180° 140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°．
故答案为80．
10．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，令，求出点 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴点 ，
当 时，，
解得：，
∵在的左边，
∴点 ，
当 时，直线AB位于抛物线的上方，
∴当时，自变量的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和一次函数交点坐标问题，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
11．
【分析】本题主要考查圆的基本性质，涉及垂径定理、勾股定理和弧长公式，根据题意得圆的半径，连接，过点O作交于点H，根据勾股定理可求得，利用弧长公式可求得，即可得到剩余水的截面周长．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
在中，，
连接，过点O作交于点H，如图，
∵，，
∴，，
∴，
则，
∵，
∴操作后剩余水的截面周长为．
故答案为：．
12． 见解析
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理直接求解；
（Ⅱ）先取圆与网格线的交点和，再连接与网格线相交于点，然后延长与圆交于点，最后取格点，连接，连接并延长与相交于点，点即为所求．
【详解】（Ⅰ）解：，
故答案为：；
（Ⅱ）取圆与网格线的交点和，连接与网格线相交于点；延长与圆交于点，连接并延长与圆相交于点；取格点，连接，连接并延长与相交于点，点即为所求．
理由：，
是圆的直径．
是圆的直径．
，
点是圆心．
是圆的直径，
．
，
又，
，
，
，
，
．
．
，
∵是直径，
∴，
又，
，
，
在与中，
，
．
．
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，解题关键是在于确定圆心，利用直径所对的圆周角是直角，得到圆周角是直角．
13．120°
【分析】由∠ACB=60°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．
【详解】解：∵点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°．
故答案为120°．
【点睛】此题考查了圆周角定理．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
14．或或
【分析】由相似三角形的性质可求AE的长，BE的长，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝
∵∠DCB＝90°，CE⊥BD，
∴△CDE∽△BDC，
∴CD2＝DE DB，
∵AD＝CD，
∴AD2＝DE DB，
∴，
∵∠ADE=∠ADB，
∴△DAE∽△DBA；
∴，
∴AE＝，
∵DE＝，BD＝，
∴BE＝，
如图1中，若AE＝AF时，
∴AF＝；
如图2中，若FE＝AE时，过点E作EJ⊥AB于J，
∵JE2＝AE2﹣AJ2＝EB2﹣BJ2，
∴﹣AJ2＝﹣（2﹣AJ）2，
∴AJ＝，
∵AE＝EF，EJ⊥AF，
∴AF＝2AJ＝，
如图3中，若EF＝AF时，过点E作EJ⊥AB于J，
∵EJ2＝AE2﹣AJ2＝EF2﹣FJ2，
∴﹣＝AF2﹣（﹣AF）2，
∴AF＝，
综上所述：AD的长为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．（1）（2），
【分析】（1）先将二次根式及绝对值、零次幂、特殊角的三角函数化简，然后进行加减运算即可；
（2）根据分式的运算法则化简，然后选择合适的值代入求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
∵为满足的整数且，
∴，
∴取，原式．
【点睛】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
16．海里
【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=30，然后解Rt△BCD，求出CD即可．
【详解】解：∵DA⊥AD，∠DAC=60°，
∴∠1=30°．
∵EB⊥AD，∠EBC=30°，
∴∠2=60°．
∴∠ACB=30°．
∴BC = AB=30．
在Rt△ACD中，
∵∠CDB=90°，∠2=60°，
∴tan∠2=，
∴tan60°=，
∴CD=．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
17．(1)
(2)当销售单价为50元/套时，获得最大利润，最大利润为4500元
(3)
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用：
（1）每套售价每提高1元，每个月的销售量相应减少5套，销售量计算即可；
（2）根据“总利润单件利润销售量”得到关系式，将关系式化为顶点式，即可得到最大利润；
（3）将代入（2）中的关系式，计算分析即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，，
故答案为：；
（2）解：销售单价为元/套，则利润为元/套，
总利润
，
当时，w有最大值4500，
当销售单价为50元/套时，获得最大利润，最大利润为4500元；
（3）解：将代入中，
解得：，，
，
时，获利不低于2500元，
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）如图，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线；
（2）连接，过点作于，证明四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，即可由垂径定理得到；
（3）先解直角三角形得到 ，求出，再根据进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，过点作于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，平行线的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，垂径定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
19．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）4π
【详解】试题分析：（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；
（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点O旋转180°后得到的△A2B2C2；
（3）根据弧长的计算公式列式即可求解．
试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示：
（3）∵OA=4，∠AOA2=180°，∴点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长为．
考点：1．作图-旋转变换；2．弧长的计算；3．作图-平移变换．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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