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专题十 探究规律
第25课时 探究规律问题
考点知识梳理
1 数字的排列规律
寻找数字的排列规律要从多个角度去分析，注意认真观察与前后 对比。数字规律的常见形式：
等差数列 一列数中，相邻两项 的差是一个固定的值 如：1，3，5，7，…，这一 列数中，后一项比前一项多 2
等比数列 一列数中，相邻两项 的比是固定的 如：3，6，12，24，…，这 一列数中，后一项和前一项 的比是2 ∶1
奇（偶）数 位上的数差 值相等 一列数中，奇数位上 的数相邻两项的差是 一个固定的值，偶数 位上的数相邻两项的 差是一个固定的值 如：2，10，4，13，6， 16，…，这一列数中，奇数 位上的数后一项总比前一项 多2，偶数位上的数后一项 总比前一项多3
奇（偶）数 位上的数倍 数相等 一列数中，奇数位上的数有相同的倍数关系，偶数位上的数也有相同的倍数关系 如：2，3，4，9，8，27，…，这一列数中，奇数位上的数后一项总是前一项的2倍，偶数位上的数后一项总是前一项的3倍
累加递增 一列数中，前n项的和等于后一项 如：0，1，2，3，6，12，23，44，85，…，这一列数中，从第五项开始，每一项都等于它前面四项的和
项数平方 （立方） 一列数中，每一项都是它所在数位置序号的平方或立方 如：1，4，9，16，…，这一列数中，每一项数都是所在数位置序号的平方，即：12，22，32，42，…
2 算式中的规律
在数学算式中探索规律，可以先认真观察算式的特点，或者算式 结果的特点，从而发现规律解决问题。
3 图形的排列规律
寻找图形的规律经常要用到数形结合的思想，并注意以下两点：
（1）图形的对称（上下对称和左右对称）、图形的移动、图形中 元素的增减等。
（2）图形中数的排列规律，通常用结合、对应等方法。
解答数图形的题目，要按一定的顺序去数，做到不遗漏，不重 复。常见的数图形中的规律有以下几种：
（1）数线段的一般公式是（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1（n 为线段的总端点数）。
4 数形结合的规律
（2）在数角、三角形等图形个数时，有时可以与数线段结合起来 思考。
5 周期中的规律
物体在排列过程中，一个物体或几个物体按一定规律多次持续重 复出现，这样的变化称为周期变化。解答周期问题的关键是找出 周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期， 结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余 数为n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开 始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续计算。
6 搭配中的规律
（1）两种不同的物体搭配方法的规律：两种物体的个数相乘得到 所有搭配方法的种数。
（2）求两两组合共有多少种搭配方法，可以用连线、举例、计算 等方法解答。
（1）加法原理
如果完成某一项任务有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的 方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这项任务一共有N=m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法。
7 加法原理和乘法原理
（2）乘法原理
如果完成一项任务有n个步骤，而完成第一个步骤有m1种不同的 方法，完成第二个步骤有m2种不同的方法……完成第n个步骤有 mn种不同的方法，那么完成这项任务一共有N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
热门考点精讲
例1 找规律填数：1，3，2，6，4，9，8，（ ），（ ），15， 32，…
数列规律问题
此题考查数列规律问题。解题的关键是通过观察，分 析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题。
本题规律：奇数项依次乘2，偶数项依次加3，据此解答即可。
12 16
1. 按规律填数：
52
65
例2 根据规律填空。
1÷9=0.1111…
2÷9=0.2222…
3÷9=0.3333…
4÷9=（ ）
5÷9=（ ）
算式规律问题
根据所给算式，发现算式的规律为都是一位数除以9， 得数为无限循环小数，这个循环小数的整数部分为0，小数部分每 一位都是这个一位数。据此解答。
0.4444… 0.5555…
2. 通过计算发现规律。
按找到的规律，再写两个算式：
8765－4567=4198
5432－1234=4198
4198
4198
4198
例3 用小棒按一定规律摆八边形（如下图所示）。
数图形规律问题
如果摆成连在一起的6个八边形，需要（ ）根小棒；如果摆成连在一起的n个八边形，需要（ ）根小棒。
本题考查数图形中的找规律问题。首先观察，得图1为8 根；图2为（8＋7）根，图3为（8＋7×2）根……利用式子表示每 一个图中的小棒数量，然后总结规律，得图n：8＋7（n－1） （根）。据此答题即可。
43 7n＋1
13
36
周期规律问题
例4 ?……照这样排下去，第 26个图形是（ ），第38个图形是（ ）。
根据图示，每5个图形一循环，计算第26个图形和第38 个图形分别是第几组循环零几个图形，零几个就是每个循环中的 第几个图形，即可判断其形状。
□
例5 小红有2顶不同的帽子，3件不同的上衣，2条不同的裤 子。若帽子、上衣和裤子搭配穿着，共有（ ）种不同的搭配方 法。
搭配规律问题
设帽子为a，b；上衣为c，d，e；裤子为f，g。每件上衣 有两种裤子作为选择：cf，cg，df，dg，ef，eg；而每顶帽子有三 种上衣作为选择：acf，acg，adf，adg，aef，aeg，bcf，bcg， bdf，bdg，bef，beg，则一共有12种选择。
12
6
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