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2026年江苏省南京市初中学业水平模拟测试数学试卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）已知5x2﹣2＝8，则x的值为（　　）
A． B． C．±2 D．
2．（2分）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．π
3．（2分）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2分）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为41cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间
5．（2分）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　）
A．π B．3π C．2π D．2π
6．（2分）如图，在△ABF中，D，E分别为AB，AF的中点，ED的延长线恰好经过Rt△ABC的直角顶点C，若AC＝12，BC＝5，BF＝8，则CE的长为（　　）
A．10 B．10.5 C．11 D．11.5
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）要使分式有意义，则x应满足的条件是　 　 ．
8．（2分）我国刑法规定，走私、贩卖、运输、制造海洛因50克以上的，处15年有期徒刑、无期徒刑或死刑，并处没收财产．2023年3月16日美国政府在毒贩查理的家中搜出2.023亿美元现金，2.023亿这个数用科学记数法表示为　 　 ．
9．（2分）计算：　 　 ．
10．（2分）多项式3x2﹣mx+6的一个因式为x﹣3，则m的值为　 　 ．
11．（2分）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则mn﹣4m﹣4n的值为　 　 ．
12．（2分）学校举行投篮比赛，某班有8名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，5，6，4，6．则这组数据的方差为 　 　 ．
13．（2分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A，B两点，则△AOB的面积是　 　 ．
14．（2分）一个正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，则这个正多边形是正 　 　 边形．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△A′BE，延长BA′交CD于点F．若CF＝4，FD＝6，则AD的长为 　 　 ．
16．（2分）如图，⊙O的半径是4，AB是⊙O的弦，点C在⊙O外，连接AC，BC，OC．若∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，则OC长的最大值为　 　 ．
三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分）
17．（8分）解方程与化简：
（1）解方程：x（x﹣2）+x＝2．
（2）化简：．
18．（7分）已知x＝4，y＝﹣2，与x＝﹣2，y＝﹣5都是方程y＝kx+b的解，求b﹣k的值．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，D是边BC上一点，且AB＝BD，∠BAD＝50°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）取AD的中点E，连接BE并延长交AC于点F．求证：△ABF是等腰三角形．
20．（8分）化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）
（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为 　 　 ；
（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．
21．（8分）某区举办中学生科普知识竞赛，各学校分别派出一支代表队参赛．知识竞赛满分为100分，规定85分及以上为“合格”，95分及以上为“优秀”．现将A，B两个代表队的竞赛成绩分布图及统计表展示如下：
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
A队 88 90 61 70% 30%
B队 a b 71 75% 25%
（1）成绩统计表中，a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（2）小明的成绩虽然在本队排名属中游，但是竞赛成绩低于本队的平均分，那么小明应属于哪个队？
（3）哪一个队成绩比较稳定，请选择一个恰当的统计角度进行分析．
22．（8分）在下列各数中：，﹣1，0，，2，4．
（1）x取哪些数能使不等式x﹣2＜0成立？
（2）满足x﹣2＜0的数有什么特点？
23．（8分）夏日阳光明媚，某小食店打开了遮阳棚让顾客乘凉．如图，在其侧面的平面示意图中，遮阳篷AB长为5m，与水平面的夹角为15°，房屋外墙BC高度为4.3m，当太阳光线AD与地面CE的夹角为60°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1m；参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，点O是AC边上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得到△ACD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果∠ABC＝30°，BC＝2，求菱形ABCD的面积．
25．（8分）如图，C是线段AB外一点，按要求画图：
（1）画射线CB；
（2）过点C画直线CD∥AB．
26．（9分）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标；
（3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，在点P运动过程中，是否能够使得∠PBC＝45°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
27．（9分）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题发现】如图1，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，若点E是弧AB上的一点，F是DE上的一点，且DF＝BE．①试说明：△ADF≌△ABE；②若，求⊙O半径．
【解决问题】如图2，若点E在弧AD上，过点A作AM⊥BE，请说明线段BE、DE、AM之间满足等量关系：BE﹣DE＝2AM．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）已知5x2﹣2＝8，则x的值为（　　）
A． B． C．±2 D．
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平方根的定义解方程，先移项，然后根据平方根的定义，解方程，即可求解．
【解答】解：∵5x2﹣2＝8，
∴5x2＝10，
∴x2＝2，
解得：，
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根，平方根，解题的关键是理解题意，学会构建方程求解．
2．（2分）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．π
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：是分数，2，3是整数，它们不是无理数；
π是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（2分）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【考点】负整数指数幂．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：，
故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查的知识点是负整数指数幂，解题关键是熟记负整数指数幂的运算法则，．
4．（2分）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为41cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【考点】估算无理数的大小；立方根．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据题意可得铁块的体积为41cm3，则铁块的棱长为，再估算出的范围即可得到答案．
【解答】解：由条件可知铁块的体积为41cm3，
∴铁块的棱长为，
∵27＜41＜64，
∴，
∴铁块的棱长在3和4之间，
故选：B．
【点评】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．
5．（2分）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　）
A．π B．3π C．2π D．2π
【考点】弧长的计算；等边三角形的性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】由等边三角形的性质得到，由弧长公式求出的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴，
∵的长π，
∴该“莱洛三角形”的周长是3π．
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出的长．
6．（2分）如图，在△ABF中，D，E分别为AB，AF的中点，ED的延长线恰好经过Rt△ABC的直角顶点C，若AC＝12，BC＝5，BF＝8，则CE的长为（　　）
A．10 B．10.5 C．11 D．11.5
【考点】三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CD，根据三角形中位线定理求出DE，进而求出CE．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
则AB13，
∵D为AB的中点，
∴CDAB＝6.5，
∵D，E分别为AB，AF的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DEBF，
∵BF＝8，
∴DE＝4，
∴CE＝CD+DE＝10.5，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）要使分式有意义，则x应满足的条件是x≠1　 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x≠1．
【分析】要使分式 有意义，则分母x﹣1≠0，进而即可求解．
【解答】解：∵要使分式有意义，则分母x﹣1≠0，
解得x≠1．
∴则x应满足的条件是x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查分式有意义的条件，关键是掌握分式的分母不为零．
8．（2分）我国刑法规定，走私、贩卖、运输、制造海洛因50克以上的，处15年有期徒刑、无期徒刑或死刑，并处没收财产．2023年3月16日美国政府在毒贩查理的家中搜出2.023亿美元现金，2.023亿这个数用科学记数法表示为　2.023×108 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】2.023×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2.023亿＝202300000＝2.023×108．
故答案为：2.023×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（2分）计算：　23　 ．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】23．
【分析】首先把二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝422，
＝23．
故答案为：23．
【点评】此题主要考查了二次根式加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
10．（2分）多项式3x2﹣mx+6的一个因式为x﹣3，则m的值为　11　 ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】11．
【分析】设分解后的另一个因式为3x+a，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
【解答】解：设分解后的另一个因式为3x+a，
根据题意得：3x2﹣mx+6＝（x﹣3）（3x+a）＝3x2+（a﹣9）x﹣3a，
可得a﹣9＝﹣m，﹣3a＝6，
解得：a＝﹣2，m＝11．
故答案为：11．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
11．（2分）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则mn﹣4m﹣4n的值为　﹣9　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣9．
【分析】利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再对所求代数式进行变形代入计算即可．
【解答】解：根据韦达定理，得m+n＝2，mn＝﹣1；
将mn﹣4m﹣4n变形为mn﹣4（m+n），代入得﹣1﹣4×2＝﹣1﹣8＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，关键是利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再对所求代数式进行变形代入计算．
12．（2分）学校举行投篮比赛，某班有8名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，5，6，4，6．则这组数据的方差为 　1　 ．
【考点】方差．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】1．
【分析】根据方差公式计算即可．
【解答】解：5，
S21，
故答案为：1．
【点评】本题考查方差，掌握方差公式是解题的关键．
13．（2分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A，B两点，则△AOB的面积是　4　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】如图所示，设直线y＝x+2与y轴交于点C，首先求出C（0，2），联立直线与反比例函数表达式求出交点坐标，再根据三角形面积公式计算面积．
【解答】解：如图所示，设直线y＝x+2与y轴交于点C，
当x＝0时，y＝x+2＝2，
∴C（0，2），
令，
整理得x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
∴．
故答案为：4．
【点评】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，熟练掌握以上知识点是关键．
14．（2分）一个正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，则这个正多边形是正 　八　 边形．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】八．
【分析】设这个正多边的外角为x°，则内角为3x°，根据内角和外角互补可得x+3x＝180，解可得x的值，再利用外角和360°除以外角度数可得边数．
【解答】解：设这个正多边的一个外角为x°，由题意得：
x+3x＝180，
解得：x＝45，
360°÷45°＝8．
∴这个正多边形是正八边形．
故答案为：八．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△A′BE，延长BA′交CD于点F．若CF＝4，FD＝6，则AD的长为 　　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】4．
【分析】连接EF，由CF＝4，FD＝6，求得CD＝10，由矩形的性质得AB＝CD＝10，∠A＝∠D＝∠C＝90°，由折叠得A′B＝AB＝10，A′E＝AE，∠BA′E＝∠A＝90°，因为DE＝AE，所以A′E＝DE，可证明Rt△A′EF≌Rt△DEF，得FA′＝FD＝6，则BF＝16，所以AD＝BC4，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接EF，
∵CF＝4，FD＝6，
∴CD＝CF+FD＝4+6＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝10，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠得A′B＝AB＝10，A′E＝AE，∠BA′E＝∠A＝90°，
∴∠EA′F＝90°，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴A′E＝DE，
在Rt△A′EF和Rt△DEF中，
，
∴Rt△A′EF≌Rt△DEF（HL），
∴FA′＝FD＝6，
∴BF＝A′B+FA′＝10+6＝16，
∴AD＝BC4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．（2分）如图，⊙O的半径是4，AB是⊙O的弦，点C在⊙O外，连接AC，BC，OC．若∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，则OC长的最大值为　　 ．
【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】．
【分析】设BC与⊙O交于点D，连接OA，OD，AD，过点O作OE⊥AD于E，连接CE，由圆周角定理得到∠AOD＝2∠ABC＝60°，则可证明△AOD是等边三角形，得到AD＝OA＝4，则点E是AD的中点，AE＝2，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，根据OC≤OE+CE，可得当C、E、O三点共线，且点E在线段OC上时，OC有最大值，最大值为．
【解答】解：如图所示，设BC与⊙O交于点D，连接OA，OD，AD，过点O作OE⊥AD于E，连接CE，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OA＝4，
∵OE⊥AD，
∴E是AD的中点，
∴AE＝2，
∴，
∵∠ACD＝90°，
∴，
∵OC≤OE+CE，
∴当C、E、O三点共线，且点E在线段OC上时，OC有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最值问题，能够正确作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分）
17．（8分）解方程与化简：
（1）解方程：x（x﹣2）+x＝2．
（2）化简：．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；分式的加减法．
【专题】分式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣1；
（2）．
【分析】（1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0 或 x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：（1）x（x﹣2）+x＝2，
x（x﹣2）+x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0 或 x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣1；
（2）原式
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了分式的混合运算．
18．（7分）已知x＝4，y＝﹣2，与x＝﹣2，y＝﹣5都是方程y＝kx+b的解，求b﹣k的值．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】4.5．
【分析】把x与y的两对值代入方程计算，即可求出k与b的值，再代入式子进行计算即可．
【解答】解：把x＝4，y＝﹣2与x＝﹣2，y＝﹣5代入方程得：，
解得：，
∴k﹣b（﹣4）＝4.5．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方掌握程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是关键．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，D是边BC上一点，且AB＝BD，∠BAD＝50°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）取AD的中点E，连接BE并延长交AC于点F．求证：△ABF是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）70°；
（2）∵AB＝BD，AD的中点E，
∴∠ABE∠ABD（180°﹣50°﹣50°）＝40°，
∵∠BAF＝70°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等腰三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和判定定理以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】（1）解：∵AB＝BD，∠BAD＝50°，
∴∠BAD＝∠BDA＝50°，
∵∠C＝30°，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝50°﹣30°＝20，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°；
（2）证明：∵AB＝BD，AD的中点E，
∴∠ABE∠ABD（180°﹣50°﹣50°）＝40°，
∵∠BAF＝70°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（8分）化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）
（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为 　　 ；
（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“Al”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“Al”的结果有1种，
∴小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
Mg Al Zn Cu
Mg （Mg，Mg） （Mg，Al） （Mg，Zn） （Mg，Cu）
Al （Al，Mg） （Al，Al） （Al，Zn） （Al，Cu）
Zn （Zn，Mg） （Zn，Al） （Zn，Zn） （Zn，Cu）
Cu （Cu，Mg） （Cu，Al） （Cu，Zn） （Cu，Cu）
共有16种等可能的结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有：（Mg，Mg），（Mg，Al），（Mg，Zn），（Al，Mg），（Al，Al），（Al，Zn），（Zn，Mg），（Zn，Al），（Zn，Zn），共9种，
∴小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．（8分）某区举办中学生科普知识竞赛，各学校分别派出一支代表队参赛．知识竞赛满分为100分，规定85分及以上为“合格”，95分及以上为“优秀”．现将A，B两个代表队的竞赛成绩分布图及统计表展示如下：
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
A队 88 90 61 70% 30%
B队 a b 71 75% 25%
（1）成绩统计表中，a＝　87　 ，b＝　85　 ．
（2）小明的成绩虽然在本队排名属中游，但是竞赛成绩低于本队的平均分，那么小明应属于哪个队？
（3）哪一个队成绩比较稳定，请选择一个恰当的统计角度进行分析．
【考点】方差；中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）87；85；
（2）B队；
（3）A队成绩比较稳定，理由见解答．
【分析】（1）结合条形图中的数据，根据平均数和中位数的概念求解即可；
（2）由A队的中位数为90分高于平均分88分，B队的中位数85分低于平均数87分可得答案；
（3）从平均分、合格率、优秀率及方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）B队成绩的平均分a87，中位数b85．
故答案为：87；85；
（2）∵A队的中位数为90分高于平均分88分，B队的中位数85分低于平均数87分，
∴小明应该属于B队；
（3）A队成绩比较稳定，理由如下：
①A组的平均数和中位数高于B队，优秀率也高于B队，说明A队的总体平均水平高于B队；
②A队的中位数高于B队，说明A队高分段学生较多；
③虽然B队合格率高于A队，但A队方差低于B队，即A队的成绩比B队的成绩整齐，
所以A队成绩比较稳定．
【点评】此题考查了条形统计图，中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解本题的关键．
22．（8分）在下列各数中：，﹣1，0，，2，4．
（1）x取哪些数能使不等式x﹣2＜0成立？
（2）满足x﹣2＜0的数有什么特点？
【考点】不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1），﹣1，0，；
（2）比2小．
【分析】（1）解不等式求得其解集后进行判断即可；
（2）根据其解集即可求得答案．
【解答】解：（1）x﹣2＜0，
则x＜2，
那么，﹣1，0，能使不等式x﹣2＜0成立；
（2）满足x﹣2＜0的数的特点是比2小．
【点评】本题考查不等式的解集，解得正确的解集是解题的关键．
23．（8分）夏日阳光明媚，某小食店打开了遮阳棚让顾客乘凉．如图，在其侧面的平面示意图中，遮阳篷AB长为5m，与水平面的夹角为15°，房屋外墙BC高度为4.3m，当太阳光线AD与地面CE的夹角为60°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1m；参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】阴影CD的长约为3.1m．
【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据题意可得：AF＝CG，CF＝AG，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AF的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AG⊥CE，垂足为G，
由题意得：AF＝CG，CF＝AG，
在Rt△ABF中，AB＝5m，∠BAF＝15°，
∴BF＝AB sin15°≈5×0.26＝1.3（m），
AF＝AB cos15°≈5×0.97＝4.85（m），
∴AF＝CG＝4.85（m），
∵BC＝4.3m，
∴CF＝AG＝BC﹣BF＝4.3﹣1.3＝3（m），
在Rt△ADG中，∠ADG＝60°，
∴DG（m），
∴CD＝CG﹣DG＝4.853.1（m），
∴阴影CD的长约为3.1m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，点O是AC边上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得到△ACD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果∠ABC＝30°，BC＝2，求菱形ABCD的面积．
【考点】中心对称；含30度角的直角三角形；菱形的判定与性质；旋转的性质．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】（1）略；
（2）2．
【分析】（1）由将△ABC绕着点O旋转180°得到△ACD，得OA＝OC，OD＝OB，又由AB＝BC，即可得四边形ABCD是菱形；
（2）作CE⊥AB，由∠ABC＝30°，BC＝2，得CEBC＝1，即可得菱形ABCD的面积＝AB CE＝2×1＝2．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕着点O旋转180°得到△ACD，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）作CE⊥AB，由∠ABC＝30°，BC＝2，
得CEBC＝1，
得菱形ABCD的面积＝AB CE＝2×1＝2．
【点评】本题主要考查了菱形，解题关键是构造直角三角形求面积．
25．（8分）如图，C是线段AB外一点，按要求画图：
（1）画射线CB；
（2）过点C画直线CD∥AB．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】尺规作图；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据射线的定义作图即可；
（2）根据平行线的做法和直线的定义，即可作图．
【解答】解：（1）如图，射线CB即为所求；
（2）如图，直线CD即为所求；
【点评】本题考查了作射线和平行线，根据相关作图步骤进行作图是解题的关键．
26．（9分）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标；
（3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，在点P运动过程中，是否能够使得∠PBC＝45°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；二次函数图象及其性质；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】（1）yx2x+2；
（2）D（0，﹣3）；
（3）存在，P（，）．
【分析】（1）利用待定系数法把点A坐标为（﹣1，0）代入抛物线yx2x+c中，则c＝2，即可得抛物线的解析式为yx2x+2；
（2）由于⊙D经过B，C两点，则DB＝DC，设D（0，y），根据两点间距离公式列方程即可求解；
（3）分P点在x轴上方或下方两类讨论：①设当P点在x轴上方抛物线上时，设∠PBC＝45°，作PS⊥BC如图4所示，构三垂直模型后可表示出点P，证明点P不在抛物线上，此情形不存在；②设当P点在x轴下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示，构三垂直模型后可表示出点R坐标为（1，﹣1）．求出直线BR解析式，再联立抛物线解析式即可求解点P坐标．
【解答】解：（1）把点A坐标为（﹣1，0）代入抛物线yx2x+c中，
则c＝0，
解得：c＝2，
故抛物线的解析式为：yx2x+2．
（2）在yx2x+2中，当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x2x+2＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
∴B（4，0），C（0，2），
∵⊙D经过B，C两点，则DB＝DC，
设D（0，y），则CD＝2﹣y，
BD2＝（4﹣0）2+（0﹣y）2＝16+y2，CD2＝（2﹣y）2，
∴16+y2＝（2﹣y）2，
解得：y＝﹣3．
故点D坐标为（0，﹣3）．
（3）证明：在点P运动过程中，存在能够使得∠PBC＝45°的点P，理由如下：
①当P点在x轴上方抛物线上时，设∠PBC＝45°，作PS⊥BC于S，SM⊥x轴于M，PN⊥SM于N，如图4，
由（2）知：B（4，0），C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得：
，
解得：，
∴故直线BC的解析式为yx+2，
设S（s，s+2），
∵PS⊥BC，∠PBC＝45°，
∴△PBS是等腰直角三角形，
∴PS＝SB，
∵∠N＝∠BMS＝∠PSB＝90°，
∴∠PSN+∠BSM＝∠BSM+∠SBM＝90°，
∴∠PSN＝∠SBM，
∴△SNP≌△BMS（AAS），
∴SM＝PNs+2，BM＝NS＝4﹣s，
∴点P坐标为（s+2，6s），
把点P（s+2，6s）代入抛物线yx2x+2中，
得：6s（s+2）2（s+2）+2，
解得：s1＝4，s2＝6，
∵P点在x轴上方抛物线上，
∴﹣1s+2＜4，
∴﹣6＜s＜4，
∴s1＝4，s2＝6均不符合题意，即点P在x轴上方抛物线上时，不能够使得∠PBC＝45°；
当P点在x轴下方抛物线上时，作∠PBC＝45°，CR⊥PB，RT⊥y轴，BQ⊥TR于点Q，如图5，
由题意得CR＝BR，
同理可得△CTR≌△RQB（AAS），
∴TR＝BQ，CT＝RQ，
设TR＝BQ＝a，CT＝RQ＝b，
则，
解得：，
∴R点坐标为（1，﹣1）．
设直线BR的解析式为y＝k1x+b1，则，
解得：，
∴直线BR的解析式为yx，
联立得，
解得：（舍去），，
∴点P的坐标为（，）．
【点评】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，圆的性质，全等三角形的判定和性质，构造三垂直模型是解本题的关键．
27．（9分）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题发现】如图1，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，若点E是弧AB上的一点，F是DE上的一点，且DF＝BE．①试说明：△ADF≌△ABE；②若，求⊙O半径．
【解决问题】如图2，若点E在弧AD上，过点A作AM⊥BE，请说明线段BE、DE、AM之间满足等量关系：BE﹣DE＝2AM．
【考点】圆的综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】【问题发现】①见解析；②；【解决问题】证明见解析．
【分析】【问题发现】①由同弧对的圆周角相等及SAS可证明△ADF≌△ABE；②连接BD，则∠DEB＝90°；由△ADF≌△ABE得BE＝DF＝1，，∠DAF＝∠BAE，则可得△AEF是等腰直角三角形，从而求得EF与DE，由勾股定理即可求得直径BD，从而求得圆的半径；
【解决问题】在BE上取BG＝DE，连接AG，则可证明△ABG≌△ADE，得∠BAG＝∠DAE，AG＝AE，则得∠EAG＝90°；由AM⊥BE及AG＝AE，从而可得GE＝2ME，∠MAE＝∠AEM＝45°，则有AM＝ME，则BE﹣DE＝2AM．
【解答】【问题发现】①证明：∵，
∴∠ADF＝∠ABE；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°；
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
②解：如图，连接BD，
∵∠DAB＝90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°；
∵△ADF≌△ABE，
∴BE＝DF＝1，，∠DAF＝∠BAE，
∴∠EAF＝∠BAE+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠DAB＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EFAE＝4，
∴DE＝EF+DF＝5．
由勾股定理得：，
∴⊙O的半径为；
【解决问题】证明：如图，在BE上取BG＝DE，连接AG，
∵，
∴∠ADE＝∠ABG，
在△ABG和△ADE中，
，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠BAG＝∠DAE，AG＝AE，
∴∠EAG＝∠DAE+∠DAG＝∠BAG+∠DAG＝∠DAB＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形，
∵AM⊥BE，
∴GE＝2ME，，
∴∠MAE＝∠AEM＝45°，
∴AM＝ME，
∴GE＝2AM；
∵BE﹣BG＝GE，
∴BE﹣DE＝2AM．
【点评】本题考查了同弧所对的圆周角相等，90度圆周角对的弦为直径，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，涉及的知识点较多，添加恰当的辅助线，证明三角形全等是解题的关键．

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