资源简介

2026年上海市初中学业水平模拟测试数学试卷
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（　　）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
2．（4分）已知关于x的方程x2﹣4x+n＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（　　）
A．n＜4 B．n≤4 C．n＞4 D．n＝4
3．（4分）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
… ﹣1 …
那么下列说法中正确的是（　　）
A．该函数的图象关于y轴对称
B．该函数的图象没有最低点也没有最高点
C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限
D．沿x轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的
4．（4分）下表是某公司25位员工收入的资料．
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（　　）
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．中位数和众数 D．平均数和方差
5．（4分）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且AB＝26，CD＝24，则AH的长是（　　）
A．3 B．5 C．8 D．18
6．（4分）下列命题中，假命题是（　　）
A．有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似
B．有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似
C．有两边及其中一条边上的高对应成比例的两个三角形相似
D．有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）已知与x4yn是同类项，则m+n＝　 　 ．
8．（4分）方程的解是 　 　 ．
9．（4分）如果直线y＝kx﹣1经过点A（2，0），那么不等式kx﹣1＜0的解集为 　 　 ．
10．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色），甲转盘被分成面积相等的2个扇形，乙转盘被分成面积相等的3个扇形．则配得紫色的概率为　 　 ．
11．（4分）已知一组数据x1，x2，x3， ，xn的平均数是a，方差是b，那么mx1+n，mx2+n，mx3+n，…，mxn+n的平均数和方差分别是　 　 ．（结果用代数式表示）
12．（4分）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　 　 米．
13．（4分）已知点（﹣4，y1），（6，y2）都在反比例函数的图象上，则y1　 　 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
14．（4分）如图，在线段AB上找到一个点C，且AC＜BC，满足AC：CB＝CB：AB，若AB＝6，则BC＝　 　 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝16，则CE的长为　 　 ．
16．（4分）一家餐厅有两种套餐：
A套餐：2份拉面；
B套餐：2份拉面、2杯饮料；
小华和同学在该餐厅吃饭，他们的点餐中（A、B套餐均有）共有10份拉面，m杯饮料，则他们点A套餐的数量为　 　 ．（用含m的代数式表示）
17．（4分）如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，则AD　 　 BD（填“＞”或“＝”或“＜”）．
18．（4分）如图，等腰△ABC中，AD为底边中线，若∠BAD＝55°，则∠C的度数为　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：（结果用幂的形式表示）．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BD＝1，tanB．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
22．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点M．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作⊙O，使得⊙O经过点B，且与AM相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，设AB与半径OG相交于点D，⊙O交BC于点E，连接GE．若DG＝GM＝2，∠GEM＝45°，则弓形BEG的面积为 　 　 ．（如需画草图，请使用图2）
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M，N都以2cm/s的速度分别从C，F两点沿CB，FE向B，E两点运动，判断当M，N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似．
24．（14分）设二次函数y＝2x2+bx+4的图象为图象P．
（1）若图象P的对称轴为直线x＝1，求其顶点坐标．
（2）将图象P向下平移4个单位长度后得到图象T，求证：图象T与x轴有交点．
（3）设m（m＞0）为常数，当﹣m＜b＜m时，图象P与x轴无交点，结合函数图象，求m的最大值．
25．（14分）如图1，⊙O为△ABC的外接圆，点B为的中点，点F为劣弧AC上除弧中点外一动点，连接AF，∠AFB＝60°，连接BF交AC于D点，过F点作⊙O的切线交直线AC于E点，连接BE．
（1）连接OA，OB，则∠AOB＝　 　 °，若AB＝3，则⊙O的面积＝　 　 ；
（2）判断△DEF的形状，并进行证明；
（3）已知⊙O的半径为r，如图2，取AC延长线上一点G，连接BG，且BC平分∠GBF．
①求AF BG；（结果用r表示）
②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用r表示）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（　　）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】首先解x+6＜4x﹣3，再根据不等式组无解确定m的取值范围即可．
【解答】解：x+6＜4x﹣3，
﹣3x＜﹣9
x＞3，
由题意可得：m≤3，
故选：D．
【点评】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
2．（4分）已知关于x的方程x2﹣4x+n＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（　　）
A．n＜4 B．n≤4 C．n＞4 D．n＝4
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据方程x2﹣4x+n＝0有两个不相等的实数根，构建不等式求解．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+n＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣4）2﹣4n＞0，
∴n＜4．
故选：A．
【点评】考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（4分）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
… ﹣1 …
那么下列说法中正确的是（　　）
A．该函数的图象关于y轴对称
B．该函数的图象没有最低点也没有最高点
C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限
D．沿x轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】根据图标即可得出函数的特征，逐一判断即可．
【解答】解：A．该函数的图象关于x＝﹣1对称，故本选项不符合题意；
B．该函数的图象有最低点（﹣1，﹣1），没有最高点，故本选项不符合题意；
C．该函数的图象经过第三、四象限，故本选项不符合题意；
D．沿x轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查关于x轴、y轴的对称点的坐标及函数的图象，从图象获得正确信息是解题的关键．
4．（4分）下表是某公司25位员工收入的资料．
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（　　）
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．中位数和众数 D．平均数和方差
【考点】统计量的选择；方差；众数；中位数；加权平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念；应用意识．
【答案】C
【分析】求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可．
【解答】解：该公司员工月收入的众数为3000元，在25名员工中有13人在这些数据之上，
所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平；
因为公司共有员工25人，
所以该公司员工月收入的中位数为第13人的收入，故为3400元；
由于在25名员工中在此数据及以上的有13人，
所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平；
故选：C．
【点评】此题考查了统计量的选择，众数、中位数，用到的知识点是众数、中位数的定义，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，众数即出现次数最多的数据．
5．（4分）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且AB＝26，CD＝24，则AH的长是（　　）
A．3 B．5 C．8 D．18
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CH，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，AB＝26，CD＝24，
∴，，
在Rt△OCH中，，
∴AH＝OH+AO＝13+5＝18，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
6．（4分）下列命题中，假命题是（　　）
A．有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似
B．有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似
C．有两边及其中一条边上的高对应成比例的两个三角形相似
D．有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似
【考点】命题与定理；相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意；
B、有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意；
C、有两边及其中一条边上的高对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意；
D、如图：AG与DH分别为△ABC与△DEF的高，，但△ABC与△DEF不相似，
故有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似，是假命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查命题与定理、相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）已知与x4yn是同类项，则m+n＝　5　 ．
【考点】同类项．
【专题】整式；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，求出m，n的值，继而可求解．
【解答】解：由题意，得：m+1＝4，n＝2，
∴m＝3，
∴m+n＝3+2＝5；
故答案为：5．
【点评】此题考查的是同类项，掌握其定义是解决此题的关键．
8．（4分）方程的解是 x＝﹣2．　 ．
【考点】无理方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣2．
【分析】首先将两边同时平方得2﹣x＝x2，再解这个整式方程求出x，然后再进行检验即可得出原方程的解．
【解答】解：对于方程，两边同时平方得：2﹣x＝x2，
移项得：x2+x﹣2＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或x+2＝0，
由x﹣1＝0，解得：x＝1，
由x+2＝0，解得：x＝﹣2，
经检验得：x＝1为增根，x＝﹣2是原方程的根．
∴方程的解是x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键．
9．（4分）如果直线y＝kx﹣1经过点A（2，0），那么不等式kx﹣1＜0的解集为 x＜2　 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜2
【分析】先画出函数图象，然后观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣1，
∴函数图象还经过点（0，﹣1）．
如图，
∴当x＜2时，kx﹣1＜0．
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键．
10．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色），甲转盘被分成面积相等的2个扇形，乙转盘被分成面积相等的3个扇形．则配得紫色的概率为　　 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有6种等可能性，其中配得紫色的可能性有2种，
∴配得紫色的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
11．（4分）已知一组数据x1，x2，x3， ，xn的平均数是a，方差是b，那么mx1+n，mx2+n，mx3+n，…，mxn+n的平均数和方差分别是ma+n和m2b ．（结果用代数式表示）
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】ma+n和m2b．
【分析】依据题意，由一组数据x1，x2，x3， ，xn的平均数是a，方差S2是b，则（x1+x2+ +xn）÷n＝a，[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+…+（xn﹣a）2]÷n＝b，进而代入计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵一组数据x1，x2，x3， ，xn的平均数是a，方差S2是b，
∴（x1+x2+ +xn）÷n＝a，[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+…+（xn﹣a）2]÷n＝b．
∴x1+x2+ +xn＝an，（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+…+（xn﹣a）2＝bn．
∴mx1+n，mx2+n，…，mxn+n 的平均数＝[（mx1+n）+（mx2+n）+ +（mxn+n）]÷n＝[m（x1+x2+ +xn）+n n]÷n＝（amn+n2）÷n＝ma+n；
mx1+n，mx2+n，…，mxn+n 的方差＝[（mx1+n﹣ma﹣n）2+（mx2+n﹣ma﹣n）2+（mx3+n﹣ma﹣n）2+…+（mxn+n﹣ma﹣n）2]÷n
＝[m2（x1﹣a）2+m2（x2﹣a）2+m2（x3﹣a）2+…+m2（xn﹣a）2]÷n
＝m2[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+…+（xn﹣a）2]÷n
＝m2bn÷n
＝m2b．
故答案为：ma+n和m2b．
【点评】本题考查了算术平均数和方差，①当一组数据都扩大（缩小）a 倍时，平均数也会扩大（缩小）a倍，都增加（减少）b 时，平均数也会增加（减少）b；②当一组数据都扩大（缩小）a倍时，方差会扩大（缩小）到原来的a2 倍，都增加（减少）b时，方差不变．
12．（4分）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　4　 米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】4．
【分析】依据题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，将点O的坐标代入上式，可得解析式，然后根据当水面上升3米时，令y＝3，求出x的值即可判断得解．
【解答】解：由题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
抛物线过原点，故当x＝0时，y＝a（0﹣4）2+4＝0，
∴a，
∴y（x﹣4）2+4．
∴当水面上升3m时，令y＝3，则y（x﹣4）2+4＝3．
∴x＝2或x＝6．
∴此时水面宽为6﹣2＝4（米），
∴水面宽度减少8﹣4＝4（米）．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意确定关键点坐标求出函数表达式，是解题的关键．
13．（4分）已知点（﹣4，y1），（6，y2）都在反比例函数的图象上，则y1　＜　 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】＜．
【分析】根据反比例函数k值确定函数图象的分布及增减性进行答题即可．
【解答】解：反比例函数中，k＝2＞0，图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点（﹣4，y1）在第三象限，
∴y1＜0，
∵（6，y2）在第一象限，
∴y2＞0，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．
14．（4分）如图，在线段AB上找到一个点C，且AC＜BC，满足AC：CB＝CB：AB，若AB＝6，则BC＝　　 ．
【考点】比例线段；根的判别式．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】．
【分析】首先设BC＝x，则AC＝6﹣x，进而通过比例式列出一元二次方程，求解结果并保留正数即可．
【解答】解：设BC＝x，则AC＝6﹣x，根据题意可得：
，
解得：，
∴，即，
故答案为：．
【点评】本题主要考查成比例线段和解一元二次方程，根据比例式列方程是解题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝16，则CE的长为　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】设FD＝m，作CH∥AE，交BD的延长线于点H，由BF：FD＝3：1，得BF＝3FD＝3m，由∠CDH＝∠ADF，∠H＝∠AFD，CD＝AD，证明△CDH≌△ADF，得HD＝FD＝m，则BH＝5m，可证明△BEF∽△BCH，得，则BEBC，所以CEBC，于是得到问题的答案．
【解答】解：设FD＝m，作CH∥AE，交BD的延长线于点H，则∠H＝∠AFD，
∵BF：FD＝3：1，
∴BF＝3FD＝3m，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AD，
在△CDH和△ADF中，
，
∴△CDH≌△ADF（AAS），
∴HD＝FD＝m，
∴BH＝3m+m+m＝5m，
∵EF∥CH，BC＝16，
∴△BEF∽△BCH，
∴，
∴BEBC，
∴CE＝BCBCBC16，
故答案为：．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
16．（4分）一家餐厅有两种套餐：
A套餐：2份拉面；
B套餐：2份拉面、2杯饮料；
小华和同学在该餐厅吃饭，他们的点餐中（A、B套餐均有）共有10份拉面，m杯饮料，则他们点A套餐的数量为　5　 ．（用含m的代数式表示）
【考点】列代数式．
【专题】整式；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据饮料的数量可以确定B餐的数量，从面可以确定A餐的数量．
【解答】解：B餐的数量为，
所以A餐的数量为，
故答案为：5．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
17．（4分）如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，则AD　＝　 BD（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【考点】相交两圆的性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】＝．
【分析】连接OD，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ADO＝90°，然后根据垂径定理即可得到结论．
【解答】解：如图，连接OD，
∵OA为⊙C的直径，
∴∠ADO＝90°，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD．
故答案为：＝．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，圆周角定理，垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
18．（4分）如图，等腰△ABC中，AD为底边中线，若∠BAD＝55°，则∠C的度数为　35°　 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】35°．
【分析】根据等腰三角形三线合一即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD为底边的中线，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝55°，
∴∠B＝∠C＝35°，
故答案为：35°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：（结果用幂的形式表示）．
【考点】分数指数幂；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】先将各数变成幂的形式，再进行同底数幂相乘除运算．
【解答】解：
3
．
【点评】此题考查了同底数幂相乘除的能力，关键是能准确理解并运用该知识和分数指数幂进行求解．
20．（10分）解方程组：．
【考点】高次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】或．
【分析】先将②式因式分解为（x+3y）（x﹣y）＝0，则可得（x+3y）＝0或（x﹣y）＝0，再分别与①式联立求解即可．
【解答】解：由②得：（x+3y）（x﹣y）＝0，
∴x+3y＝0或x﹣y＝0，
∴原方程组可化为两个方程组：或，
解得：或，
∴原方程组的解为：或．
【点评】本题主要考查了解二元二次方程组，解题的关键是将②式进行因式分解，把原方程组转化为两个二元一次方程组．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BD＝1，tanB．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据∠B的正切及AB的长，可求出BC和AC的长，再求出CD的长即可解决问题．
（2）过点D作AB的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
tanB，
令AC＝3x，BC＝4x，
则（3x）2+（4x）2＝52，
解得x＝1，
所以AC＝3，BC＝4．
又因为BD＝1，
所以CD＝4﹣1＝3．
在Rt△ACD中，
AD．
（2）过点D作AB的垂线，垂足为M，
因为，
所以DM．
在Rt△AMD中，
sinα．
【点评】本题考查解直角三角形，过点D作AB的垂线，构造出直角三角形及熟知勾股定理是解题的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点M．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作⊙O，使得⊙O经过点B，且与AM相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，设AB与半径OG相交于点D，⊙O交BC于点E，连接GE．若DG＝GM＝2，∠GEM＝45°，则弓形BEG的面积为 　4π﹣8　 ．（如需画草图，请使用图2）
【考点】三角形的重心；垂径定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；作图—复杂作图．
【专题】与圆有关的计算；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）4π﹣8．
【分析】（1）过点G作OG⊥AM，作BG的垂直平分线交直线OG于点O，以O为圆心、以OG的长为半径作⊙O即可；
（2）设直线OG交⊙O于点T，连接BT、BO，则∠BTG＝∠GEM，先证明∠BOG＝2∠BTG＝90°，进一步证明BO∥AM得到，再设⊙O的半径为r，并根据G是△ABC的重心和DG＝GM＝2，得到AG＝2GM＝4和OD＝OG﹣DG＝r﹣4，进一步构造关于r的方程求出r＝4，最后根据S弓形BEG＝S扇形OBEG﹣S△OBG求解．
【解答】解：（1）如图，以G为圆心、以GM为半径画弧交AG于点K，分别以M、K为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于L、H，作直线LH；分别以B、G为圆心、以大于的长为半径画弧两弧交于P、Q，作直线PQ交直线LH于点O，以O为圆心、以OG的长为半径作⊙O，则⊙O即为所求；
（2）如图，设直线OG交⊙O于点T，连接BT、BO，
∵B、E、G、T四点共圆，
∴∠BTG+∠BEG＝180°，
∵∠BEG+∠GEM＝180°，
∴∠BTG＝∠GEM，
∵∠GEM＝45°，
∴∠BTG＝45°，
∴∠BOG＝2∠BTG＝90°，
∵⊙O与AM相切于G，
∴AM⊥OG，
∴BO∥AM，
∴△ADG∽△BDO，
∴，
∵G是△ABC的重心，DG＝GM＝2，
∴AG＝2GM＝2×2＝4，
设⊙O的半径为r，则OD＝OG﹣DG＝r﹣2，
解得：r＝4，
∴，
∴，
∴S弓形BEG＝S扇形OBEG﹣S△OBG＝4π﹣8．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M，N都以2cm/s的速度分别从C，F两点沿CB，FE向B，E两点运动，判断当M，N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似．
【考点】矩形的性质；相似多边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】解：设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，
由题意可得：AD＝BC＝16，AE＝DF＝8，CF＝BE＝12﹣8＝4，CM＝NF＝2t，
当FN是矩形的长时，矩形CFNM与矩形EADF相似．
∴，即，
解得：t＝4；
当FN是矩形的宽时，矩形CFNM与矩形ADFE相似．
∴，即，
解得：t＝1．
综上，当t＝1或4时，矩形CFNM与矩形ADFE相似．
【分析】设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，分FN是矩形的长和FN是矩形的宽两种情况，分别列出比例式求解即可．
【解答】解：设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，
由题意可得：AD＝BC＝16，AE＝DF＝8，CF＝BE＝12﹣8＝4，CM＝NF＝2t，
当FN是矩形的长时，矩形CFNM与矩形EADF相似．
∴，即，
解得：t＝4；
当FN是矩形的宽时，矩形CFNM与矩形ADFE相似．
∴，即，
解得：t＝1．
综上，当t＝1或4时，矩形CFNM与矩形ADFE相似．
【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边的比相等是解题的关键．
24．（14分）设二次函数y＝2x2+bx+4的图象为图象P．
（1）若图象P的对称轴为直线x＝1，求其顶点坐标．
（2）将图象P向下平移4个单位长度后得到图象T，求证：图象T与x轴有交点．
（3）设m（m＞0）为常数，当﹣m＜b＜m时，图象P与x轴无交点，结合函数图象，求m的最大值．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）（1，2）；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为直线x＝1，求得b＝﹣4，于是得到图象P对应的解析式为y＝2x2﹣4x+4，于是得到结论；
（2）根据将图象P向下平移4个单位后得到图象T，于是得到图象T的解析式为，求得图象T顶点纵坐标为，且，于是得到若将图象P向下平移4个单位后得到图象T，则图象T与x轴有交点．
（3）根据在y＝2x2+bx+4中的二次项系数a＝2，求得对称轴为，得到点A为图象P对应的抛物线的顶点，当顶点A的纵坐标y0＞0时，图象P与x轴无交点，其图象是抛物线，记作图象Q，对称轴是纵轴，开口向下，解方程得到图象Q与x轴的两个交点分别为，，得到，于是得到m的最大值为．
【解答】（1）解：∵二次函数y＝2x2+bx+4的图象的对称轴为直线x＝1，y＝2x2+bx+4的二次项系数为2，
∴，
∴b＝﹣4．
∴y＝2x2﹣4x+4．
把x＝1代入解析式，得y＝2．
∴顶点坐标为（1，2）；
（2）证明：．
∴图象T对应的解析式为．
∴图象T顶点的纵坐标为，且．
∴图象T的顶点在x轴上或在x轴下方．
又∵图象T开口向上，
∴图象T与x轴有交点；
（3）设图象P的顶点为A（x0，y0）．
∵y＝2x2+bx+4的二次项系数a＝2，
∴，，且抛物线P的开口向上．
∴当顶点A的纵坐标y0＞0时，图象P与x轴无交点．
∵，
∴y0是关于b的二次函数，其图象是抛物线，记作图象Q，对称轴是纵轴，开口向下，画草图如下：
令y0＝0，得，解得，，
∴图象Q与横轴的两个交点分别为，．
∴结合图象可知：当时，y0＞0．
又∵﹣m＜b＜m，
∴．
∴m的最大值为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与几何变换，二次函数的图象，抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，正确地理解题意是解题的关键．
25．（14分）如图1，⊙O为△ABC的外接圆，点B为的中点，点F为劣弧AC上除弧中点外一动点，连接AF，∠AFB＝60°，连接BF交AC于D点，过F点作⊙O的切线交直线AC于E点，连接BE．
（1）连接OA，OB，则∠AOB＝　120　 °，若AB＝3，则⊙O的面积＝　3π　 ；
（2）判断△DEF的形状，并进行证明；
（3）已知⊙O的半径为r，如图2，取AC延长线上一点G，连接BG，且BC平分∠GBF．
①求AF BG；（结果用r表示）
②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用r表示）
【考点】圆的综合题．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）120；3π；（2）△DEF的形状是等腰三角形，证明见解析；（3）①3r2；②，理由见解析．
【分析】（1）连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H，利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理和直角三角形的边角关系定理解答即可；
（2）连接BO并延长交AC于点N，连接OC，OF，利用圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的判定与性质解答即可；
（3）①连接BO并延长交AC于点N，连接OC，OF，CF，利用（1）的结论得到ABOA，利用等边三角形的判定与性质得到AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
②过点C作CH∥AB，交BG于点H，设CD＝m，GC＝n，则AG＝GC+AC＝nr，利用平行线的性质，全等三角形的判定与性质得到DC＝HC＝m，再利用相似三角形的判定与性质得到m，n的关系式，将CD，CG代入即可得出结论．
【解答】解：（1）连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H，如图，
则∠AOB＝2∠AFB＝120°．
∵OA＝OB，OH⊥AB，
∴∠AOH＝∠BOH∠AOB＝60°，AH＝BHAB．
在Rt△AOH中，
∵sin∠AOH，
∴，
∴OA．
∴⊙O的面积＝π OA2＝3π．
故答案为：120；3π；
（2）△DEF的形状是等腰三角形，证明：
连接BO并延长交AC于点N，连接OC，OF，如图，
∵点B为的中点，
∴，
∴BN⊥AC，AB＝BC．
∴∠BDN＝90°﹣∠OBD．
∵EF为⊙O的切线，
∴OF⊥EF，
∴∠BFE＝90°﹣∠OFB．
∵OB＝OF，
∴∠OBD＝∠OFB，
∴∠EFB＝∠NDB．
∵∠NDB＝∠FDE，
∴∠BFE＝∠FDE，
∴EF＝ED，
∴△DEF的形状是等腰三角形；
（3）①连接BO并延长交AC于点N，连接OC，OF，CF，如图，
∵点B为的中点，
∴，
∴BN⊥AC，AB＝BC．
∵∠ACB＝∠AFB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°．
由（1）知：ABOA．
∵⊙O的半径为r，
∴AB＝BC＝ACr．
∵BC平分∠GBF，
∴∠FBC＝∠GBC．
∵∠G＝∠ACB﹣∠GBC＝60°﹣∠GBC，∠ABF＝∠ABC﹣∠FBC＝60°﹣∠FBC，
∴∠ABF＝∠G．
∵∠AFB＝∠BAC＝60°，
∴△ABF∽△BGA，
∴，
∴AF BG＝AB23r2．
②为定值，定值为，理由：
过点C作CH∥AB，交BG于点H，如图，
设CD＝m，GC＝n，
由①知：AB＝BC＝ACr，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
则AG＝GC+AC＝nr．
∵CH∥AB，
∴∠HCG＝∠BAC＝60°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB﹣∠HCG＝60°＝∠ACB．
在△BDC和△BHC中，
，
∴△BDC≌△BHC（ASA），
∴DC＝HC＝m．
∵CH∥AB，
∴△GHC∽△GBA，
∴，
∴，
∴mnmrnr，
∴r（n﹣m）＝mn．
∴．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的定义，直角三角形的边角关系定理，圆的切线的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．

展开更多......

收起↑