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2026年广东省深圳市初中学业水平模拟测试数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）2025年中国新能源汽车销量预计达1650万辆（含出口），将数据1650万用科学记数法表示为（　　）
A．1.65×103 B．1.65×107 C．16.5×106 D．1650×104
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a2﹣a＝2
B．a2 a3＝a6
C．6m2n2÷3m2n＝2n
D．（m+4n）（m﹣4n）＝m2﹣4n2
4．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，∠DCE的平分线交BE于点F，下列结论：①∠1＝∠2；②∠F＝∠1+∠3；③CE⊥BF；④若CE⊥BF，则∠4＝2∠3．其中正确的结论有（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
5．（3分）在2025年9月3日举行的中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日的阅兵仪式上，受阅仪仗方队的女队员的身高标准为173cm至180cm，前期训练中，一组6名队员的身高（单位：cm）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为176cm的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和方差与原6名队员相比（　　）
A．平均数变大，方差变小
B．平均数变小，方差不变
C．平均数不变，方差变大
D．平均数变小，方差变大
6．（3分）如图， ABCD的对角线交于点O，下列条件不能判定 ABCD是菱形的是（　　）
A．AB＝AD B．∠ABD＝∠ADB C．∠AOB＝90° D．AB＝CD
7．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，经过C，D两点的⊙O分别与AB，AE相切于点M，N，连接CM，CN，则∠MCN＝（　　）
A．18° B．36° C．48° D．54°
8．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB＞CD，点Q沿AB从点A出发向点B匀速移动．过点Q作PQ⊥AB，交折线AD﹣DC﹣CB于点P，记△APQ的面积为y，则y关于时间t的函数图象大致（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）如果的整数部分为b，则b的值为　 　 ．
10．（3分）如图，点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，F在AD上，延长EH交CD于点I，连接BF交EI于点G，连接BI，则S△BCI：S△FGH的值为 　 　 ．
11．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＜180°，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线OP，若OA＝2，∠AOP＝35°，则扇形AOB的面积为 　 　 （结果保留π）．
12．（3分）如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，D分别在反比例函数的图象上，AB过点O，矩形的边BC与x轴交于点E，且BE＝CE，若点A的横坐标为1，则k＝　 　 ．
13．（3分）如图，已知点A（2，0），⊙A的半径为1，OB切⊙A于点B，点P为⊙A上的动点，当△POB是等腰三角形时，点P的坐标为 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：．
15．（8分）（1）解不等式：；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1，y＝3．
16．（8分）为应对全球气候变化的挑战，截止到2022年4月，已有约130个国家和地区提出了碳中和目标，绿色低碳和可持续发展已成为国际共识．在该目标的引导下，某校组织全校2600名学生进行了环保知识竞赛．竞赛结束后，从甲、乙两班各随机抽取了20名学生的成绩p（百分制，单位：分），并分组整理，制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图．其中A组为90≤p≤100，B组为80≤p＜90，C组为70≤p＜80，D组为60≤p＜70，E组为p＜60．
已知甲班B组学生的成绩分别为83、86、85、83、89、86、86、82．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）全校A组学生的人数是 　 　 ，甲班B组学生的成绩的方差为 　 　 分；
（2）学校要给环保知识竞赛成绩前50名的学生发放奖励，甲、乙两班各有3名学生获得奖励，老师记录的两班环保知识竞赛班级内部排名前6的（部分）成绩如下表所示：
甲班 乙班
学生 a b c d e f g h i j k l
成绩 91 98 90 96 94 99 93
其中有5名学生的成绩还未记录，但已知甲班这6为学生的成绩的中位数为m，且92≤m＜93．判断乙班g学生是否一定能得到奖励，并说明理由；
（3）学校想要从甲、乙两班汇总后的所有A组学生中，抽取2位不同性别的学生参加街头宣传活动，已知全校男生人数：女生人数＝2：3．请用画树状图或列表的方法求出一男一女相搭档的概率．
17．（8分）为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果﹣草莓，周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多1kg．”小明说：“甲、乙种草莓的单价之比为4：5．”
（1）根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价；
（2）由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过4kg，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共40kg，已知采摘的乙种草莓不少于10kg且不多于甲种草莓的一半，则如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）．
18．（11分）如图是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫作格点．在△ABC中，A，B，C三点均为格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）在图1的圆上作一点D，使得∠ACD＝∠ACB；
（2）在图2上利用网格图，过点B作圆的切线BE．
19．（9分）已知抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）无论k取何值，此抛物线必经过一个定点，这个定点的坐标是　 　 ；
（2）如图1：若k＝2，点P为抛物线上一点，且在B、C两点之间运动．是否存在点P使得△PAC的面积取得最大值？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2：若k＝4，并将此抛物线上下平移，它的顶点是D，与x轴有两个交点E、F，如果△DEF是一个等腰直角三角形，问如何平移？
20．（11分）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
理解：
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）　 　 ；
（2）如图1，在正方形ABCD中，点F，G分别在边DC，BC上，且BG＝CF，连接AG，FG，求证：四边形ADFG是等角线四边形；
运用：
（3）如图2，Rt△ABC中，已知AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，点E为线段AB中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断即可．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）2025年中国新能源汽车销量预计达1650万辆（含出口），将数据1650万用科学记数法表示为（　　）
A．1.65×103 B．1.65×107 C．16.5×106 D．1650×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1650万＝16500000＝1.65×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a2﹣a＝2
B．a2 a3＝a6
C．6m2n2÷3m2n＝2n
D．（m+4n）（m﹣4n）＝m2﹣4n2
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：2a2﹣a不能合并，故选项A错误，不符合题意；
a2 a3＝a5，故选项B错误，不符合题意；
6m2n2÷3m2n＝2n，故选项C正确，符合题意；
（m+4n）（m﹣4n）＝m2﹣16n2，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，∠DCE的平分线交BE于点F，下列结论：①∠1＝∠2；②∠F＝∠1+∠3；③CE⊥BF；④若CE⊥BF，则∠4＝2∠3．其中正确的结论有（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先证明∠2＝∠FBC，∠1＝∠FBC，可判断①，由∠ABC+∠BCD＝180°，∠FBC+∠F+∠FCB＝180°可判断②，由CE⊥BF可得，可判断③，再结合平行线的性质证明∠4＝∠ECB可判断④，从而可得答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠FBC，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠1＝∠FBC，
∴∠1＝∠2，故①符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠1+∠FBC+∠FCB+∠3＝180°，
∵∠FBC+∠F+∠FCB＝180°，
∴∠F＝∠1+∠3，故②符合题意；
∵∠ABC+∠BCD＝180°，
∴，
若CE⊥BF，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，而，
∴，与题干条件不符，故③不符合题意；
由③可得：当CE⊥BF，
∴，
∵CF平分∠DCE，
∴，
∴∠ECB＝2∠3，
∵AD∥BC，
∴∠4＝∠ECB，
∴∠4＝2∠3，故④符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用以上知识解决问题是关键．
5．（3分）在2025年9月3日举行的中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日的阅兵仪式上，受阅仪仗方队的女队员的身高标准为173cm至180cm，前期训练中，一组6名队员的身高（单位：cm）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为176cm的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和方差与原6名队员相比（　　）
A．平均数变大，方差变小
B．平均数变小，方差不变
C．平均数不变，方差变大
D．平均数变小，方差变大
【考点】方差；算术平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】C
【分析】求出前后2次的平均数和方差进行判断即可．
【解答】解：原6名队员身高的平均数为：（174+178+176+179+174+75）＝176（cm）；
方差为：；
现在5名队员身高的平均数为（174+178+179+174+75）＝176（cm）；
方差为：；
；
所以现在5名队员身高的平均数和方差与原6名队员相比，平均数不变，方差变大；
故选C．
【点评】本题考查求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的方法是解题的关键．
6．（3分）如图， ABCD的对角线交于点O，下列条件不能判定 ABCD是菱形的是（　　）
A．AB＝AD B．∠ABD＝∠ADB C．∠AOB＝90° D．AB＝CD
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可解决问题．
【解答】解：A、∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；
B、∵∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，故B不符合题意；
C、∵∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．故C不符合题意；
D、∵AB＝CD是平行四边形的性质，
∴不能判定 ABCD是菱形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是记住邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，四边相等的四边形是菱形，属于中考常考题型．
7．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，经过C，D两点的⊙O分别与AB，AE相切于点M，N，连接CM，CN，则∠MCN＝（　　）
A．18° B．36° C．48° D．54°
【考点】正多边形和圆；圆周角定理；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；正多边形与圆；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据切线性质求出∠OMA＝∠ONA＝90°，再求出五边形内角∠A，根据四边形内角和360°，即可求出∠O，再根据圆周角定理求出∠MCN即可解答．
【解答】解：如图，连接OM、ON，
∵AB、AE与⊙O相切，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A108°，
由四边形AMON内角和360°得∠MON＝72°，
∴∠MCN∠MON＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键．
8．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB＞CD，点Q沿AB从点A出发向点B匀速移动．过点Q作PQ⊥AB，交折线AD﹣DC﹣CB于点P，记△APQ的面积为y，则y关于时间t的函数图象大致（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】动点型；函数及其图象；梯形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】设点Q的运动速度为v，时间为t，设梯形高为h，设AB＝a，分别求出当点P运动在AD上时，当点P在DC上时，当点P在BC上时的函数关系式，即可判断出图象．
【解答】解：设点Q的运动速度为v，时间为t，
∴AQ＝vt，
当点P运动在AD上时，PQ＝vt tan∠A，
∴yAQ PQv2 tan∠A t2，
∴图象为开口向上的抛物线，
设梯形高为h，
当点P在DC上时，yAQ PQvht，
∴图象为直线，
设AB＝a，
当点P在BC上时，BQ＝a﹣vt，PQ＝（a﹣vt） tan∠B，
∴yAQ PQv2 tan∠B t2va tan∠B t，
∴图象为开口向下的抛物线，
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）如果的整数部分为b，则b的值为　3　 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，而9＜13＜16
∴34，
∴的整数部分b＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查无理数的估算，注意找出最接近的整数范围是解决本题的关键．
10．（3分）如图，点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，F在AD上，延长EH交CD于点I，连接BF交EI于点G，连接BI，则S△BCI：S△FGH的值为 　　 ．
【考点】黄金分割；正方形的性质；矩形的判定与性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】根据题意，令正方形ABCD的边长为2a，结合黄金分割的定义用a表示出AE，再结合相似三角形的性质用a表示出HG，最后用a表示出两个三角形的面积即可解决问题．
【解答】解：令正方形ABCD的边长为2a，
∵点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝（）a，
∴BE＝AB﹣AE＝（）a．
∵BC＝2a，IC＝BE＝（）a，
∴．
∵FH∥BE，
∴△FHG∽△BEG，
∴，
则，
解得GH，
∴，
∴S△BCI：S△FGH．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了黄金分割、三角形的面积、矩形的判定与性质、正方形的性质及相似三角形的判定与性质，能根据矩形和正方形的性质及相似三角形的性质用a表示出△BCI和△FGH的底和高是解题的关键．
11．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＜180°，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线OP，若OA＝2，∠AOP＝35°，则扇形AOB的面积为 　　 （结果保留π）．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】运算能力．
【答案】．
【分析】根据所给作图方式，可得出OP平分∠AOB，再根据扇形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：根据题中所给作图方式可知，
OP平分∠AOB，
∵∠AOP＝35°，
∴∠AOB＝2∠AOP＝70°，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算，熟知扇形的面积计算公式是解题的关键．
12．（3分）如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，D分别在反比例函数的图象上，AB过点O，矩形的边BC与x轴交于点E，且BE＝CE，若点A的横坐标为1，则k＝　　 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】．
【分析】过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，过点A作AF⊥x轴于点F，设A点坐标为（1，a），则OB、BE、EM均可用a表示，易知△CNE≌△BME，通过线段等量关系可求用a表示的C点坐标，继而求得D点坐标，根据A、D都在反比例函数图象上，得到k＝3a（1﹣2a2）＝a 1，求解a值，进一步求得k的值．
【解答】解：设A点坐标为（1，a），过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，过点A作AF⊥x轴于点F，如图所示，
由A（1，a），
由对称性质有B（﹣1，﹣a），
∴OB＝OA，BM＝AF＝﹣a，OM＝OF＝1，
∵tan∠BOE＝tan∠AOF，
∴，即，
∴BE＝﹣a，
∴EMa2，
∵BE＝CE，∠CEN＝∠BEM，∠CNE＝∠BME，
∴△CNE≌△BME，
∴CN＝BM＝﹣a，NE＝EM＝a2，CE＝BE＝﹣a，
∴ON＝2a2+1，
∴C（﹣2a2﹣1，a），
∵A（1，a），B（﹣1，﹣a），BC∥AD，AD＝BC，
∴D（1﹣2a2，3a），
∵A、D都在反比例函数图象上，
∴k＝3a（1﹣2a2）＝a 1，
解得a，
∴k＝a 1
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上的点的坐标特征，解决反比例函数问题要把握图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
13．（3分）如图，已知点A（2，0），⊙A的半径为1，OB切⊙A于点B，点P为⊙A上的动点，当△POB是等腰三角形时，点P的坐标为 　（1，0）或（3，0）或（，）　 ．
【考点】切线的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】分类讨论；平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1，0）或（3，0）或（，）
【分析】连接AB，过点B作BE⊥x轴于点E，延长BE交⊙A于点F，连接OF，BC，BD，利用圆的切线的性质定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质，线段垂直平分线的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】解：设⊙A与x轴交于点C，D，
∵点A（2，0），⊙A的半径为1，
∴OC＝1，OD＝3，AO＝2．
连接AB，过点B作BE⊥x轴于点E，延长BE交⊙A于点F，连接OF，BC，BD，如图，
∵OB切⊙A于点B，
∴AB⊥OB，
∵AB＝1OA，
∴∠AOB＝30°，
∴∠OAB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝1，
∴CO＝CB＝1，
∴点P与点C重合时，△POB是等腰三角形，此时点P（1，0）．
∵AE⊥BF，
∴BE＝EF，
在等边三角形ABC中，
∵AE⊥BF，
∴CE＝AEAC，
∴OE＝OC+CE．
∴BE，
∴E（，）．
∵OA垂直平分BF，
∴OF＝OB，
∴点P与点F重合时，△POB是等腰三角形，此时点P（，）．
∵OE，OD＝3，
∴点E为OD的中点，
∴BE垂直平分OD，
∴BO＝BD，
∴点P与点D重合时，△POB是等腰三角形，此时点P（3，0）．
综上，点P的坐标为（1，0）或（3，0）或（，）．
故答案为：（1，0）或（3，0）或（，）．
【点评】本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度，连接经过切点的半径是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】3．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项负整数指数幂法计算即可得到结果．
【解答】解：原式1﹣22
12
＝3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（8分）（1）解不等式：；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1，y＝3．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）7＜x≤9；
（2）x﹣y，﹣4．
【分析】（1）根据不等式的性质、解一元一次不等式组的一般步骤解出不等式组；
（2）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案．
【解答】解：（1）23，
不等式组同乘2，得4＜x﹣3≤6，
同时加3，得7＜x≤9；
（2）原式＝（）

＝x﹣y，
当x＝﹣1，y＝3时，原式＝﹣1﹣3＝﹣4．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、一元一次不等式组的解法，掌握分式的混合运算法则、解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
16．（8分）为应对全球气候变化的挑战，截止到2022年4月，已有约130个国家和地区提出了碳中和目标，绿色低碳和可持续发展已成为国际共识．在该目标的引导下，某校组织全校2600名学生进行了环保知识竞赛．竞赛结束后，从甲、乙两班各随机抽取了20名学生的成绩p（百分制，单位：分），并分组整理，制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图．其中A组为90≤p≤100，B组为80≤p＜90，C组为70≤p＜80，D组为60≤p＜70，E组为p＜60．
已知甲班B组学生的成绩分别为83、86、85、83、89、86、86、82．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）全校A组学生的人数是 　780　 ，甲班B组学生的成绩的方差为 　4.5　 分；
（2）学校要给环保知识竞赛成绩前50名的学生发放奖励，甲、乙两班各有3名学生获得奖励，老师记录的两班环保知识竞赛班级内部排名前6的（部分）成绩如下表所示：
甲班 乙班
学生 a b c d e f g h i j k l
成绩 91 98 90 96 94 99 93
其中有5名学生的成绩还未记录，但已知甲班这6为学生的成绩的中位数为m，且92≤m＜93．判断乙班g学生是否一定能得到奖励，并说明理由；
（3）学校想要从甲、乙两班汇总后的所有A组学生中，抽取2位不同性别的学生参加街头宣传活动，已知全校男生人数：女生人数＝2：3．请用画树状图或列表的方法求出一男一女相搭档的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式；扇形统计图；条形统计图；中位数；方差．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出甲、乙两班随机抽取的学生成绩在A组的总人数，再用2600乘以其占比即可求出全校A组学生的人数，根据方差计算公式求出甲班B组学生的成绩的方差即可；
（2）根据甲班6位学生的成绩及中位数求出甲班第三名学生的成绩的范围，据此即可判断乙班g学生是否一定能得到奖励；根据男女生比例，画出树状图，根据树状图即可求解．
【解答】解：（1）乙班随机抽取20名学生的成绩在A组的有20×（1﹣10%﹣20%﹣30%﹣5%）＝7名，
∴甲、乙两班各随机抽取了20名学生的成绩在A组的共有5+7＝12名，
∴全校A组学生的人数是名，
甲班B组学生的平均成绩为，
∴甲班B组学生的成绩的方差为，
故答案为：780，4.5；
（2）能，理由如下：
设甲班第三名学生的成绩x分，
由甲班6位学生的成绩可知，甲班第四名学生的成绩≥91，
∵甲班这6位学生的成绩的中位数为m，且92≤m＜93，
∴甲班第三名学生的成绩93≤x＜95，
∵乙班g学生的成绩为94分，
∴乙班g学生一定能得到奖励；
（3）用A1、A2表示男生，B1、B2、B3表示女生，
画树状图如下：
由树状图可知，共有20中等结果，其中一男一女相搭档的有12种，
∴一男一女相搭档的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，条形统计图，中位数，方差，概率公式，看懂统计图是解题的关键．
17．（8分）为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果﹣草莓，周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多1kg．”小明说：“甲、乙种草莓的单价之比为4：5．”
（1）根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价；
（2）由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过4kg，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共40kg，已知采摘的乙种草莓不少于10kg且不多于甲种草莓的一半，则如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）．
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）40元/kg，50元/kg．；
（2）采摘甲种草莓27kg、乙种草莓13kg，1334．
【分析】（1）设甲种草莓的单价为a元/kg，乙种草莓的单价为b元/kg，根据“采摘金额÷单价＝采摘数量”和“甲、乙种草莓的单价之比为4：5”列方程组并求解即可；
（2）设采摘乙种草莓xkg，则采摘甲种草莓（40﹣x）kg，根据“采摘的乙种草莓不少于10kg且不多于甲种草莓的一半”列关于x的一元一次不等式组并求解；设采摘的总费用为W元，根据“采摘的总费用＝采摘甲种草莓的费用+采摘乙种草莓的费用”和x的取值范围，写出W关于x的函数关系式，根据该函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W的值最小，求出其最小值及对应40﹣x的值即可．
【解答】解：（1）设甲种草莓的单价为a元/kg，乙种草莓的单价为b元/kg．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
∴甲种草莓的单价为40元/kg，乙种草莓的单价为50元/kg．
（2）设采摘乙种草莓xkg，则采摘甲种草莓（40﹣x）kg．
根据题意，得，
解得10≤x．
设采摘的总费用为W元，则W＝0.8×40（40﹣x）+50×4+0.6×50（x﹣4）＝﹣2x+1360，
∵﹣2＜0，
∴W随x的增大而减小，
∵10≤x且x为正整数，
∴当x＝13时，W的值最小，W最小＝﹣2×13+1360＝1334，40﹣13＝27（kg），
∴采摘甲种草莓27kg、乙种草莓13kg能使采摘的总费用最低，最低费用为1334元．
【点评】本题考查一次函数、分式方程和一元一次不等式组的应用，掌握分式方程和一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
18．（11分）如图是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫作格点．在△ABC中，A，B，C三点均为格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）在图1的圆上作一点D，使得∠ACD＝∠ACB；
（2）在图2上利用网格图，过点B作圆的切线BE．
【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的定义；圆周角定理；切线的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）如图1，点D即为所求；
（2）如图2，切线BE即为所求．
【分析】（1）取格点D，连接CD，点D即为所求；
（2）取格点E，作直线BE即可．
【解答】解：（1）如图1，点D即为所求；
（2）如图2，切线BE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的定义，圆周角定理，切线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19．（9分）已知抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）无论k取何值，此抛物线必经过一个定点，这个定点的坐标是　（﹣1，0）　 ；
（2）如图1：若k＝2，点P为抛物线上一点，且在B、C两点之间运动．是否存在点P使得△PAC的面积取得最大值？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2：若k＝4，并将此抛物线上下平移，它的顶点是D，与x轴有两个交点E、F，如果△DEF是一个等腰直角三角形，问如何平移？
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题．
【答案】（1）（﹣1，0）；
（2）存在，点P坐标为（3，0）；
（3）平移方式为：将二次函数向下平移8个单位．
【分析】（1）将二次函数变为y＝﹣x2+k（x+1）+1，令x+1＝0，即可求出定点坐标；
（2）根据题意先求出二次函数解析式，进而求出A、B、C三点坐标，设点P为（t，﹣t2+2t+3），直线AP的函数解析式为y＝kx+b，且直线AP与y轴交点于点D，求出直线解析式和点D，最后根据S△PAC＝S△ADC+S△PDC和二次函数的性质即可求解；
（3）先求出当k＝4时的二次函数解析式并将其转化为顶点式，可得出没平移的顶点D坐标，设抛物线上下平移h个单位，得出平移后的顶点D坐标，根据题意可设E（2﹣t，0）、F（2+t，0）（t＞0），最后根据点E、F在抛物线解析式上和等腰直角三角形的性质得出两个式子联立求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，y＝﹣x2+kx+k+1，
＝﹣x2+k（x+1）+1，
∴当x+1＝0时，即x＝﹣1，
代入得y＝﹣（﹣1）2+1＝0，
∴无论k取何值，抛物线必经过定点（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）；
（2）当k＝2时，y＝﹣x2+kx+k+1
＝﹣x2+2x+2+1
＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴点A为（﹣1，0），点B为（3，0），
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3
＝﹣02+2×0+3
＝3，
∴点C为（0，3），
设点P为（t，﹣t2+2t+3），其中0＜t≤3，直线AP的函数解析式为y＝kx+b，且直线AP与y轴交点于点D，
将A（﹣1，0）和P（t，﹣t2+2t+3）代入，
得，
解得，
∴直线AP的函数解析式为y＝（3﹣t）x+3﹣t，
当x＝0时，y＝（3﹣t）x+3﹣t
＝（3﹣t）×0+3﹣t
＝3﹣t，
∴点D为（0，3﹣t），
∴△PAC的面积为S△PAC＝S△ADC+S△PDC
，
∵，
∴开口向上，有最小值，且当时，函数值越来越大，
又∵0＜t≤3，
∴当t＝3时，即点P与点B重合时，△PAC的面积取得最大值，
∴
＝6，
此时点P为（3，0）；
（3）当k＝4时，y＝﹣x2+kx+k+1
＝﹣x2+4x+4+1
＝﹣x2+4x+5
＝﹣（x﹣2）2+9，
∴点D为（2，9），
由题意得，设抛物线上下平移h个单位，
∴平移后的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9+h，
∴顶点D为D（2，9+h），
由题意得，点E、F关于对称轴直线x＝2对称，
则设E（2﹣t，0）、F（2+t，0）（t＞0），
∴代入二次函数得﹣（2﹣t﹣2）2+（9+h）＝0
﹣t2+（9+h）＝0
t2＝9+h，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，
∴DE2＝DF2
DF2＝t2+（9+h）2
＝t2+（9+h）2，
EF2＝[2+t﹣（2﹣t）]2
＝（2+t﹣2+t）2
＝4t2，
∴2[t2+（9+h）2]＝4t2，
2（9+h）2＝2t2，
（9+h）2＝t2，
又∵t2＝9+h，
∴（9+h）2＝9+h，
（9+h）（9+h﹣1）＝0，
解得h1＝﹣9，h2＝﹣8，
当h＝﹣9时，t＝0，
∴E、F重合，舍去，
当h＝﹣8时，t＝1，
∴此时E（1，0）、F（3，0）、D（2，1），
∴平移方式为：将二次函数向下平移8个单位．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用和一次函数的应用，灵活运用所学知识是解决本题的关键．
20．（11分）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
理解：
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）　②④　 ；
（2）如图1，在正方形ABCD中，点F，G分别在边DC，BC上，且BG＝CF，连接AG，FG，求证：四边形ADFG是等角线四边形；
运用：
（3）如图2，Rt△ABC中，已知AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，点E为线段AB中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）②④
（2）证明见解答；
（3）10或．
【分析】（1）根据“等角线四边形”的定义即可判断；
（2）连接AF、DG，根据正方形的性质，证明△ADF≌△DCG（SAS），即可得证；
（3）根据题意求出AC、BE、AE，根据题意，分两种情况：Ⅰ．当点D在AB的上方时，连接BD；Ⅱ．当点D在AB的下方时，连接CD，过点D作DF⊥BC，交CB的延长线于点F，利用勾股定理及三角形的面积即可解答．
【解答】（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故①不符合题意；
②矩形的对角线相等，是”等角线四边形”，故②符合题意；
③菱形的对角线不一定相等，故③不符合题意；
④正方形的对角线相等，是”等角线四边形”，故④符合题意；
故答案为：②④；
（2）证明：如图，连接AF、DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BG＝CF，
∴DF＝CG，
∴△ADF≌△DCG（SAS），
∴AF＝DG，
∴四边形ADFG是等角线四边形．
（3）解：∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴，
∵点E为线段AB中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝2，
根据题意，分两种情况：
Ⅰ．当点D在AB的上方时，如图，连接BD，
∵四边形ABCD为等角线四边形，
∴AC＝BD＝2，
∴，
∴10．
Ⅱ．当点D在AB的下方时，如图，连接CD，过点D作DF⊥BC，交CB的延长线于点F，
∴∠F＝90°，
∵∠BED＝90°，∠ABF＝∠ABC＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BE＝DF＝2，DE＝BF，
∵四边形ADBC为等角线四边形，
∴AB＝CD＝4．
∴CF，
∴DE＝BF＝CF﹣BC2，
∴S四边形ADBC＝S△ABC+S△ABD，
综上，这个等角线四边形的面积为10或．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键．

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