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2026年江苏省南京市初中学业水平模拟测试数学试卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）2024年上半年，安徽省居民人均可支配收入累计为18923元，相比上年同期增加了925元．将数据18923用科学记数法表示为（　　）
A．18.923×103 B．1.8923×105
C．0.18923×105 D．1.8923×104
2．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．a3 a4＝a12 B．（a3）2＝a5
C．（a2b）3＝a2b3 D．（﹣a2）3＝﹣a6
3．（2分）一个正方体的体积为26，估计这个正方体的棱长在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
4．（2分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（　　）
A．r＝Rcos36° B．a＝2Rsin36°
C．a＝2rtan36° D．R＝rsin36°
5．（2分）下列运算中，正确的是（　　）
A．x3 x2＝x6 B．（﹣2x2）3＝﹣2x6
C．2x3÷x2＝2x D．（x+4）2＝x2+16
6．（2分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A． B．y＝2x C．y＝2x2﹣1 D．y＝x+3
二．填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）
7．（2分）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a、b为实数，i为虚数单位，规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，则（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是 　 　 ．
8．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝　 　 ．
9．（2分）某校在一段时间核酸检测过程中，甲班的m个男生和11个女生的核酸总次数与乙班的9个男生和n个女生的核酸总次数相等，都是（m n+9m+11n+145）次，已知每人的核酸次数相同，则每人的核酸次数为 　 　 次．
10．（2分）方程的解是 　 　 ．
11．（2分）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，则∠2+∠3﹣∠1＝　 　 ．
12．（2分）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，弧AB的长为2π，则∠ACB＝　 　 °．
13．（2分）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B在格点上，在该网格中取一个格点M，能使A、B、M为顶点的等腰三角形中为等腰直角三角形的概率为 　 　 ．
14．（2分）在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足一次函数y＝0.5x+10．若在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大3.5cm，则物体A比B重 　 　 kg．
15．（2分）已知抛物线P：y＝x2﹣4ax﹣3（a＞0）将抛物线P关于x轴对称得到抛物线p′，当1≤x≤3时，在抛物线p′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是 　 　 ．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD长是 　 　 ．
17．（2分）在同一平面内，已知直线a∥b∥c，若直线a与直线b之间的距离为5cm，直线b与直线c之间的距离为2cm，则直线a与直线c之间的距离为 　 　 cm．
三．解答题（共12小题，满分95分）
18．（7分）解不等式：．
19．（7分）化简：．
20．（7分）已知点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C．若B，C两点都在函数y＝2x+1的图象上，求点A的坐标．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．
求证：四边形DEFG为平行四边形．
22．（8分）如图，画出从左面和上面看该物体的视图．
23．（8分）（1）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0，若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值．
（2）从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，求关于x的方程x2+bx+c＝0有实数根的概率．
24．（8分）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．A种礼盒每个进价160元，售价220元；B种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
25．（8分）为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用．如图，在侧截面示意图中，遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°，且靠墙端离地的高AB为4米，当太阳光线CD与地面DA的夹角为67°时，求AD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin67°，cos67°，tan67°）
26．（8分）如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是BC的中点，连接DO并延长至点E，连接AE，且∠ABC＝∠E．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为4，，连接AD，求AD的长．
27．（8分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，D是抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）P为抛物线上一点，若使得S△PAB＝10，求出点P的坐标；
（3）E在y轴上，若△ADE为直角三角形，直接写出点E的坐标．
28．（8分）（1）如图1，在△ABC与△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，连结BD，CE，求BD和CE的数量关系；
（2）如图2，在△ABC与△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠CDE＝60°，边BC和DE交于点F．点D在边AB上，，求．
（3）如图3，若∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝4，AC＝2，当AD的值最大时，直接写出tan∠ABC的值．
29．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，点P的横坐标为t，连接PA，PB，设△PAB的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不需要写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点Q在抛物线上，点Q的横坐标为，连接PQ，点R在第四象限的抛物线上，连接PR交x轴于点D，点E在x轴上，连接ER，ED＝ER，过点P作ER的垂线，点F为垂足，过点R作PQ的垂线，点G为垂足，FH平分∠RFP交PR于点H，连接HG交x轴于点l，点M在y轴正半轴上，点N在AP上，连接CN，MN，BM，CN⊥BM，CN＝CM，∠MNA＝∠DIH＝45°，求点R的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）2024年上半年，安徽省居民人均可支配收入累计为18923元，相比上年同期增加了925元．将数据18923用科学记数法表示为（　　）
A．18.923×103 B．1.8923×105
C．0.18923×105 D．1.8923×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：18923＝1.8923×104．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．a3 a4＝a12 B．（a3）2＝a5
C．（a2b）3＝a2b3 D．（﹣a2）3＝﹣a6
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】由同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方分别进行判断，即可得到答案．
【解答】解：A、a3 a4＝a7，故A错误；
B、（a3）2＝a6，故B错误；
C、（a2b）3＝a6b3，故C错误；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
3．（2分）一个正方体的体积为26，估计这个正方体的棱长在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】根据正方体的体积，求出正方体的棱长，估算的范围．
【解答】解：∵正方体的体积为26，
∴正方体的棱长为，
∵，
∴23，
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算无理数的范围．
4．（2分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（　　）
A．r＝Rcos36° B．a＝2Rsin36°
C．a＝2rtan36° D．R＝rsin36°
【考点】正多边形和圆；解直角三角形；函数关系式；圆周角定理．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1＝36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BOC360°＝72°，
∴∠1∠BOC72°＝36°，
R2﹣r2＝（a）2a2，
a＝Rsin36°，故B不符合题意；
a＝2Rsin36°，
a＝rtan36°，
a＝2rtan36°，故C不符合题意；
cos36°，
r＝Rcos36°，故A不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接五边形、解直角三角形的知识，掌握圆内接正五边形的性质，并求出中心角的度数是解题的关键．
5．（2分）下列运算中，正确的是（　　）
A．x3 x2＝x6 B．（﹣2x2）3＝﹣2x6
C．2x3÷x2＝2x D．（x+4）2＝x2+16
【考点】整式的混合运算；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，单项式除以单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、x3 x2＝x5，故A不符合题意；
B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故B不符合题意；
C、2x3÷x2＝2x，故C符合题意；
D、（x+4）2＝x2+4x+16，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（2分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A． B．y＝2x C．y＝2x2﹣1 D．y＝x+3
【考点】正比例函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义，形如y＝kx（k 为常数且 k≠0）的函数是正比例函数．逐项判断即可．
【解答】解：A．选项函数中x位于分母，不符合正比例函数的定义，不符合题意；
B．y＝2x符合y＝kx的形式（k＝2），是正比例函数，符合题意；
C．y＝2x2﹣1含x2项和常数项，不符合正比例函数的定义，不符合题意；
D．y＝x+3含常数项3，不符合正比例函数的定义，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是关键．
二．填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）
7．（2分）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a、b为实数，i为虚数单位，规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，则（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是 　5　 ．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】直接利用已知定义得出实部、虚部，进而得出答案．
【解答】解：∵复数（3﹣mi）2的虚部是12，
∴原式＝9+m2i2﹣6mi，
则﹣6m＝12，
解得：m＝﹣2，
∴实部是：9+m2i2＝9﹣4＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
8．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝y（x﹣6）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】y（x﹣6）2．
【分析】提取公因式后用完全平方公式分解即可．
【解答】解：x2y﹣12xy+36y＝y（x2﹣12x+36）＝y（x﹣6）2，
故答案为：y（x﹣6）2．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是关键．
9．（2分）某校在一段时间核酸检测过程中，甲班的m个男生和11个女生的核酸总次数与乙班的9个男生和n个女生的核酸总次数相等，都是（m n+9m+11n+145）次，已知每人的核酸次数相同，则每人的核酸次数为 　25或37　 次．
【考点】数的整除性．
【专题】分式；推理能力．
【答案】25或47．
【分析】由题意可得m+11＝9+n，然后再将m n+9m+11n+145化成（m+11）（n+9）+46，即m+11，n+9都整除46，然后运用列举法可得或，最后分两种情况求得核酸次数即可．
【解答】解：每人的核酸次数为x次，则：mx+11x＝9x+nx，即m+11＝9+n，
则有：m n+9m+11n+145＝（m+11）（n+9）+46，
∴m+11，n+9都整除46，则或，
当时，每人核酸次数为25；
当时，每人核酸次数为47．
综上，每人的核酸次数为25或47次．
故答案为：25或47．
【点评】本题主要考查了整数的整除性，根据整除确定m、n的值是解答本题的关键．
10．（2分）方程的解是 x＝﹣5　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣5．
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验．
【解答】解：
3+2x＝x﹣2，
x＝﹣5，
经检验：x＝﹣5是原方程的解，
∴原方程的解为x＝﹣5．
故答案为：x＝﹣5．
【点评】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
11．（2分）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，则∠2+∠3﹣∠1＝　180°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】180°．
【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可找到关系式．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠2+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，
∵O在EF上，
∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，
∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，
即∠2+∠3﹣∠1＝180°，
故答案为：180°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等 两直线平行，②内错角相等 两直线平行，③同旁内角互补 两直线平行．
12．（2分）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，弧AB的长为2π，则∠ACB＝　20　 °．
【考点】弧长的计算；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】20．
【分析】连接OA、OB．先由弧AB的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB＝40°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到∠ACB∠AOB＝20°．
【解答】解：连接OA、OB，
设∠AOB＝n°．
∵弧AB的长为2π，
∴2π，
∴n＝40，
∴∠AOB＝40°，
∴∠ACB∠AOB＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查了弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），同时考查了圆周角定理．
13．（2分）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B在格点上，在该网格中取一个格点M，能使A、B、M为顶点的等腰三角形中为等腰直角三角形的概率为 　　 ．
【考点】概率公式；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】求出等腰三角形的个数和等腰直角三角形的个数，用概率公式求解即可．
【解答】解：如图，使A、B、M为顶点的等腰三角形中的M点，共有7个：M1，M2，M3，M4，M5，M6，M7，
为等腰直角三角形的M点为M2，M4，M5，M6共4个，
∴能使A、B、M为顶点的等腰三角形中为等腰直角三角形的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度较小．
14．（2分）在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足一次函数y＝0.5x+10．若在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大3.5cm，则物体A比B重 　7　 kg．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】7．
【分析】设物体A质量为akg，则在弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度y＝0.5a+10，根据在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大3.5cm，知在弹簧秤上挂物体B后弹簧的长度y'＝0.5a+9.5，故物体B质量为（a﹣5）kg，即可得物体A比B重5kg．
【解答】解：设物体A质量为akg，则在弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度y＝0.5a+10，
∵在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大3.5cm，
∴在弹簧秤上挂物体B后弹簧的长度y'＝0.5a+10﹣3.5＝0.5a+6.5，
在y＝0.5x+10中，令y＝0.5a+6.5得：0.5a+6.5＝0.5x+10，
∴x＝a﹣7，
∴物体B质量为（a﹣7）kg，
∴物体A比B重7kg；
故答案为：7．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是用含字母的式子表示物体A，物体B的质量．
15．（2分）已知抛物线P：y＝x2﹣4ax﹣3（a＞0）将抛物线P关于x轴对称得到抛物线p′，当1≤x≤3时，在抛物线p′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是 　　 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】．
【分析】首先利用轴对称的性质得到抛物线p′，最后讨论对称轴所在范围，求参数a的取值范围．
【解答】解：由题可知y＝x2﹣4ax﹣3（a＞0）关于x轴对称得到抛物线p′为y＝﹣x2+4ax+3（a＞0）；
对称轴为：x＝2a；
①当2a≤1时；函数y＝﹣x2+4ax+3的最大值为2+4a；
∵M为抛物线上任意一点，只要满足2+4a≤3；
即；
∵；
∴；
②2a≥3，即时，把x＝3代入y中，函数y＝﹣x2+4ax+3的最大值为12a﹣6；
∴12a﹣6≤3；
∴；
∵；
∴这种情况无解；
③当1＜2a＜3时，即；
把x＝2a代入y中，函数y＝﹣x2+4ax+3的最大值为4a2+3；
∵4a2+3＞3；
∴不满足t≤3；
∵a＞0；
综上所述：；
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，此题分类讨论是关键．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD长是 　　 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】．
【分析】设圆与AB，BC，CA的切点分别为E，G，F，分别连接OE，OG，OF，OA，OB，OC，利用面积关系可求得内切圆的半径，从而利用全等三角形的性质可得BE的长，进而求得DE的长，利用勾股定理即可求得结果．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴由勾股定理得：；
∵点D是斜边AB的中点，
∴；设圆与AB，BC，CA的切点分别为E，G，F，分别连接OE，OG，OF，OA，OB，OC，如图，
则OG⊥BC，OF⊥AC，
∵AC⊥BC，
∴四边形OGCF是矩形，
∵OG＝OF，
∴四边形OGCF是正方形，
∴CG＝CF，
设⊙O的半径为r，
∵S△OAB+S△OAC+S△OBC＝S△ABC，
∴，
∴r＝2，
∴BG＝BC﹣CG＝6；
∵OG＝OE，OB＝OB，
∴Rt△OGB≌Rt△OEB（HL），
∴BE＝BG＝6，
∴DE＝BE﹣BD＝6﹣5＝1；
在Rt△OED中，，
故答案为：．
【点评】本题考查了内切圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（2分）在同一平面内，已知直线a∥b∥c，若直线a与直线b之间的距离为5cm，直线b与直线c之间的距离为2cm，则直线a与直线c之间的距离为 　3或7　 cm．
【考点】平行线之间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】3或7．
【分析】依题意有以下两种情况：①当直线c在直线a，b之间时，过直线a当的以点A作直线AB⊥直线a，交直线b于点B，交直线c于点C，则AB⊥直线b，AB⊥直线c，根据平行线间距离的定义得AB＝5cm，BC＝2cm，进而得AC＝3cm；②当直线c在直线a，b之外时，过直线a当的以点A作直线AB⊥直线a，交直线b于点B，交直线c于点C，则AB⊥直线b，AB⊥直线c，根据平行线间距离的定义得AB＝5cm，BC＝2cm，进而得AC＝7cm，综上所述即可得出答案．
【解答】解：依题意有以下两种情况：
①当直线c在直线a，b之间时，过直线a当的以点A作直线AB⊥直线a，交直线b于点B，交直线c于点C，则AB⊥直线b，AB⊥直线c，如图1所示：
根据平行线间距离的定义得：AB＝5cm，BC＝2cm，
∴AC＝AB﹣BC＝3cm；
②当直线c在直线a，b之外时，过直线a当的以点A作直线AB⊥直线a，交直线b于点B，交直线c于点C，则AB⊥直线b，AB⊥直线c，如图2所示：
根据平行线间距离的定义得：AB＝5cm，BC＝2cm，
∴AC＝AB+BC＝7cm，
综上所述：直线a与直线c之间的距离为3cm或7cm．
故答案为：3或7．
【点评】此题主要考查了平行线间的距离，理解平行线间的距离是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．
三．解答题（共12小题，满分95分）
18．（7分）解不等式：．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤进行计算即可．
【解答】解：，
，
因为，
则x，
整理得，x．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
19．（7分）化简：．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【答案】．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式

．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（7分）已知点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C．若B，C两点都在函数y＝2x+1的图象上，求点A的坐标．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】一次函数及其应用；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】点A的坐标为（1，﹣3）．
【分析】根据点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C，可得B（a，﹣b），C（a﹣3，b），代入y＝2x+1可解得，故点A的坐标为（1，﹣3）．
【解答】解：∵点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C，
∴B（a，﹣b），C（a﹣3，b），
∵B，C两点都在函数y＝2x+1的图象上，
∴，
解得，
∴点A的坐标为（1，﹣3）．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，涉及平移变换，对称变换与坐标的关系，解题的关键是掌握查一次函数图象上点坐标的特征．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．
求证：四边形DEFG为平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据点D、E分别为AB、AC的中点，可知DE是△ABC的中位线，根据点G、F分别为BH、CH的中点，可知GF是△HBC的中位线，根据中位线定理可证DE∥GF且DE＝GF，根据平行四边形的判定定理可证结论成立．
【解答】证明：在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
在△HBC中，点G、F分别为BH、CH的中点，
∴GF是△HBC的中位线，
∴GF∥BC，，
∴DE∥GF且DE＝GF，
∴四边形DEFG为平行四边形．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定，解答本题的关键要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
22．（8分）如图，画出从左面和上面看该物体的视图．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】
【分析】根据几何体的形状准确画出从上面看和从左面看的图形即可．
【解答】解：从左面和上面看该物体的视图如下：
【点评】本题主要考查从不同方向看几何体的图形，准确画出从不同方向看几何体的图形是解题的关键．
23．（8分）（1）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0，若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值．
（2）从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，求关于x的方程x2+bx+c＝0有实数根的概率．
【考点】列表法与树状图法；根的判别式；根与系数的关系；概率公式．
【专题】一元二次方程及应用；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）m1＝﹣3，m2＝1；
（2）．
【分析】（1）根据根与系数的关系求得x1+x2＝﹣（m+3），x1 x2＝m+1；然后由已知条件可以求得，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；
（2）画树状图，共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程x2+bx+c＝0有实数根的有6种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0，x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣（m+3），x1 x2＝m+1．
∵，
∴，
∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）＝8，
∴m2+2m﹣3＝0，
解得：m1＝﹣3，m2＝1；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程x2+bx+c＝0有实数根的有6种结果，
∴关于x的方程x2+bx+c＝0有实数根的概率为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，根的判别式，根与系数的关系，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握解一元二次方程及概率的求法．
24．（8分）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．A种礼盒每个进价160元，售价220元；B种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝20x+4000；
（2）5500元．
【分析】（1）根据“获利＝A种礼盒的获利+B种礼盒的获利”计算即可；
（2）根据题意列关于x的一元一次不等式组并求出其解集，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最大，求出其最大值即可．
【解答】解：（1）y＝（220﹣160）x+（160﹣120）（100﹣x）＝20x+4000，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+4000（60≤x≤100）．
（2）根据题意，得，
解得60≤x≤75．
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵60≤x≤75，
∴当x＝75时，y值最大，y最大＝20×75+4000＝5500．
答：该专卖店获得的最大利润为5500元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握一次函数的增减性、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
25．（8分）为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用．如图，在侧截面示意图中，遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°，且靠墙端离地的高AB为4米，当太阳光线CD与地面DA的夹角为67°时，求AD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin67°，cos67°，tan67°）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】AD的长为2.7m．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥AD于点F，易知四边形CEAF为矩形，得到CE＝AF，CF＝AE，利用三角函数求出BE，CE，推出CF，AF，再利用三角函数求出DF，最后根据AD＝AF﹣DF，即可解题．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥AD于点F，
由题易知四边形CEAF为矩形，
∴CE＝AF，CF＝AE，
∵遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°，
∴BE＝BC sin22°≈4（m），
CE＝BC cos22°（m），
∵高AB为4米，
∴CF＝AE＝AB﹣BE＝4（m），
∵，AF＝CE（m），
又∵太阳光线CD与地面DA的夹角为67°，
∴，DF（m），
∴．AD＝AF﹣DF2.7（m），
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
26．（8分）如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是BC的中点，连接DO并延长至点E，连接AE，且∠ABC＝∠E．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为4，，连接AD，求AD的长．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；平行线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）证明OD∥AC，可得∠ACB＝90°＝∠ODB，证明∠OAE＝90°，进一步可得结论；
（2）先求解，证明△AOE∽△CAB，可得，即，再进一步求解即可．
【解答】（1）证明：由题意可得：OD∥AC，
∴∠ACB＝∠ODB，
由题意可得：∠ACB＝90°＝∠ODB，
∴∠B+∠BOD＝90°，
∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠AOE，
∴∠E+∠AOE＝90°，
∴∠OAE＝90°，
∴AE⊥AB，而OA为⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：由题意可得：，
∴OA＝4，
∴，
∵∠OAE＝∠ACB＝90°，∠B＝∠E，
∴△AOE∽△CAB，
∴，即，
解得，
∵OD⊥BC，
∴，
∴．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，熟练的证明切线与相似三角形是解本题的关键．
27．（8分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，D是抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）P为抛物线上一点，若使得S△PAB＝10，求出点P的坐标；
（3）E在y轴上，若△ADE为直角三角形，直接写出点E的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（1，﹣4）；
（2）（﹣2，5）或（4，5）；
（3）或或或．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝x2+bx+c，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）设点P（x，y），根据三角形面积公式以及S△PAB＝10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标；
（3）先设E（0，e），由（1）得D（1，﹣4），结合A（﹣1，0），运用两点距离公式表示出AD2＝20，ED2＝1+（e+4）2，EA2＝1+e2，再根据△ADE为直角三角形，进行分类讨论且进行作图，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，D是抛物线的顶点．将点A、点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为D（1，﹣4）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
设点P（x，y），则，
∴|y|＝5，
当y＝5时，得：x2﹣2x﹣3＝5，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
此时P（﹣2，5）或（4，5）；
当y＝﹣5时，得：x2﹣2x﹣3＝﹣5，
此时方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
（3）点E的坐标为或或或．理由如下：
依题意，设E（0，e），
由（1）得D（1，﹣4），
∵A（﹣1，0），
∴AD2＝（﹣1﹣1）2+[0﹣（﹣4）]2＝4+16＝20，ED2＝（0﹣1）2+[e﹣（﹣4）]2＝1+（e+4）2，EA2＝[0﹣（﹣1）]2+（e﹣0）2＝1+e2，
当△ADE为直角三角形时，分三种情况讨论：
当∠EAD＝90°时，如图1，
由勾股定理得：ED2＝AE2+AD2，
∴1+（e+4）2＝1+e2+20，
解得：，
此时；
∴当∠EDA＝90°时，如图2，
由勾股定理得：AE2＝ED2+AD2，
∴1+e2＝1+（e+4）2+20，
解得：，
此时；
∴当∠DEA＝90°时，如图3，
由勾股定理得：AD2＝ED2+AE2，
∴20＝1+（e+4）2+1+e2，
∴（e+2）2＝5，
解得：，，
此时或，
综上所述，点E的坐标为或或或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与特殊直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
28．（8分）（1）如图1，在△ABC与△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，连结BD，CE，求BD和CE的数量关系；
（2）如图2，在△ABC与△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠CDE＝60°，边BC和DE交于点F．点D在边AB上，，求．
（3）如图3，若∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝4，AC＝2，当AD的值最大时，直接写出tan∠ABC的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）证明△DAB∽△EAC，得出；
（2）连接BE，证明△CFD∽△EFB，得出；
（3）如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB＝90°，∠EBA＝30°，连接BE，EA，ED，EC，同（1）可得△BDE∽△BCA，求出AE的长，进而得出D在以E为圆心，为半径的圆上运动，当点A，E，D 三点共线时，AD的值最大，进而求得cos∠BDA和sin∠BDA，根据△ABC∽△EBD得出∠BDE＝∠BCA，过点A作AF⊥BC于点F，由直角三角形的性质分别求得AF，CF，然后求出BF，最后根据正切的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝30°，
∴∠EAC＝∠DAB ，
又∵∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴；
（2）连接BE，
设AD＝a，则，
同（1）可知△ACD∽△BCE，
∴，
∴BEa，
∵∠CBF＝∠CAD＝60°＝∠CDF，∠CFD＝∠EFB，
∴△CFD∽△EFB，
∴；
（3）如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB＝90°，∠EBA＝30°，连接BE，EA，ED，EC，
同（1）可得△BDE∽△BCA，
∴，
∵AC＝2，
∴DE，
在Rt△AEB中，AB＝4，AE＝AB tan，
∴D在以E为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，此时如图所示，则AD＝AE+DE，
在Rt△ABD中，BD，
∴cos∠BDA，sin∠BDA，
∵∠BEA＝60°，
∴∠BED＝120°，
∵△ABC∽△EBD，
∴∠BDE＝∠BCA，
过点A作AF⊥BC于点F，
∴CF＝AC cos∠ACB＝2，AF＝AC sin∠ACB，
∵∠DBC＝30°，
∴BCBD2，
∴BF＝BC﹣CF＝2，
Rt△AFB中，tan∠CBA．
【点评】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
29．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，点P的横坐标为t，连接PA，PB，设△PAB的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不需要写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点Q在抛物线上，点Q的横坐标为，连接PQ，点R在第四象限的抛物线上，连接PR交x轴于点D，点E在x轴上，连接ER，ED＝ER，过点P作ER的垂线，点F为垂足，过点R作PQ的垂线，点G为垂足，FH平分∠RFP交PR于点H，连接HG交x轴于点l，点M在y轴正半轴上，点N在AP上，连接CN，MN，BM，CN⊥BM，CN＝CM，∠MNA＝∠DIH＝45°，求点R的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题；压轴题．
【答案】（1）抛物线的解析式；（2）S与t之间的函数关系式为；（3）点R的坐标为（2，﹣3）．
【分析】（1）将点A和点B的坐标分别代入y＝ax2+bx﹣2可得a和b，即可得抛物线的解析式；
（2）将点P的横坐标代入抛物线的解析式，得出点P的纵坐标，即为△PAB 中，AB边上的高，代入三角形的面积公式即可；
（3）由已知条件易得点Q的坐标和线段OC的长度，推导角度之间的关系，得出线段之间的关系，求出点N的坐标，从而可得AN所在直线的解析式，与抛物线的解析式联立，可得点P的坐标，从而可得PQ所在直线的解析式，设出点G的坐标，由三角形全等的判定和性质，可表示出点R的坐标，代入抛物线的解析式，结合已知条件中点R所在的象限，即可求得点R的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），
∴，
解得，
∴，
答：抛物线的解析式为；
（2）过点P作x轴的垂线，点L为垂足，
∵点P的横坐标为t，点P在抛物线，
∴点P的纵坐标为，
∵点P在第一象限，
∴，
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，AB＝5，
∴，
答：S与t之间的函数关系式为；
（3）如图所示，
已知点Q在抛物线上，点Q的横坐标为，
∴，
∴，
∵抛物线交y轴于点C，
∴C（0，﹣2），
∴OC＝2，
设∠ANC＝α，记CN 与x轴的交点为T，
∵CN＝CM，∠MNA＝45°，
∴∠CMN＝∠CNM＝45°+α，
∴∠MCN＝90°﹣2α，
∴∠NTL＝∠OTC＝2α，
∴∠NAT＝2α﹣α ＝α＝∠ANT，
∴TA＝TN，
∵CN⊥BM，CM⊥AB，
∴∠COT＝∠BOM，∠OTC＝∠OMB，
∴△COT∽△BOM，
∴，
∴OM＝2OT，
设OT＝m，则OM＝2m，TN＝TA＝m+1，CN＝CM＝2m+2，CT＝CN﹣NT＝m+1，
在Rt△COT中，m2+22＝（m+1）2，
解得，
∴，OM＝3，，CN＝CM＝5，
作NK⊥OB于点K，
，
∴△TOC≌△TKN，
∴，OC＝KN＝2，
∴OK＝3，
∴N（3，2），
设AN所在直线的解析式为 y＝kx+d，
则，
解得，
∴AN所在直线的解析式为，
设点P的横坐标为t，（t＞0），则（t＞0），
解得t＝5，
∴，
∴P（5，3），
延长PL交GH延长线于点F'，
记PF与x轴的交点为W，
设∠PWL＝∠EWF＝2β，
∵PF⊥ER于点F，
∴∠PFE＝∠PFR＝90°，
∴∠DER＝90°﹣2β，
∵ED＝ER，
∴∠EDR＝∠ERD＝45°+β，
∴∠FPR＝45°+β﹣2β＝45°﹣β，∠RPF'＝90°﹣（45°+β）＝45°﹣β，
∵∠DIH＝45°，PF'⊥IL，
∴∠PF'H＝45°，
∵∠PFR＝90°，FH平分∠RFP，
∴∠PFH＝45°
连接RF，
在△PFH和△PF′H中，
，
∴△PFH≌△PF'H，
∴PF＝P'F，
在△PFR和△PF′R中，
，
∴△PFR≌△PF'R（SAS），
∴∠PFR＝∠PF'R＝90°，
作GS⊥PF'于点S，
则∠SGF'＝90°﹣45°＝45°＝∠SF'G，
∴SF'＝SG，
GV⊥F'R交F'R的延长线于点V，
则四边形GVF′S是正方形，
∴∠SGV＝90°，GV＝GS，
∵RG⊥PQ于点G，
∴∠RGP＝90°，
∴∠VGR＝90°﹣∠RGS＝∠SGP，
在△GVR和△GSP中，
，
∴△GVR≌△GSP（ASA），
∴RV＝PS，
设PQ所在直线的解析式为y＝px+q，
∵P（5，3），，
∴，
解得，
∴PQ所在直线的解析式为，
∵点G在PQ上，设点G的横坐标为n，则点G的纵坐标为，
∴GV＝GS＝5﹣n，，
∴点R的横坐标，
点R的纵坐标，
∵点R在抛物线，
∴，
解得，xR＝2或xR＝5，
当xR＝2时，yR＝2×2﹣7＝﹣3R（2，﹣3），符合题意，
当xR＝5时，yR＝2×5﹣7＝3，R（5，3），与已知“R在第四象限的抛物线上”矛盾，故舍去，
∴R（2，﹣3），
答：点R的坐标为（2，﹣3）．
【点评】本题考查了抛物线的解析式，用点的坐标表示三角形的面积，等腰三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线．

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