资源简介

2026年浙江省杭州市初中学业水平模拟测试数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，属于无理数的是（　　）
A． B． C．0.101001 D．
2．（3分）打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，如图中是一款陀螺的示意图，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）根据科学家估计，地球的年龄大约是4500000年，将数据4500000用科学记数法表示为（　　）
A．45×107 B．0.45×106 C．45×108 D．4.5×106
4．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（3a2）3＝9a6
C．a6÷a2＝a3 D．a2 a3＝a5
5．（3分）在三个数字0，1，5中，再加入一个大于0的数字x，使这四个数字的中位数为2，则加入的数字x是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（　　）
A．30° B．15° C．45° D．20°
7．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0时，配方后的方程是（　　）
A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34
8．（3分）如图，将△ABC绕点O顺时针旋转80°变为△DEF，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．AB＝DE B．∠CAB＝∠FDE C．∠AOD＝80° D．AB∥DF
9．（3分）如图，长方形ABCD被分割成两个全等的小长方形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知长方形ABCD的周长，则能够求出长度的线段是（　　）
A．AE B．ED C．EF D．FG
10．（3分）计算最简便的方法是（　　）
A．（﹣99）×13 B．（﹣99）×13
C．（﹣100）×13 D．﹣（100）×13
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以是　 　 ．（写一个即可）
12．（3分）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是　 　 ．
13．（3分）如图，B是⊙O外一点，BO的延长线交⊙O于点A，BC切⊙O于点C．若∠A＝30°，则∠B＝ 　 　 ．
14．（3分）若A（﹣1，y1），B（2，y2）是反比例函数图象上的两个点，则y1　 　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
15．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（2，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是　 　 ．
16．（3分）如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若且，则的值是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分，每小题9分）
17．（9分）计算：．
18．（9分）先化简，再求值：，其中x＝1．
19．（9分）已知△ABC中，∠A＝30°，AB＝6．
（1）如图1，若∠C＝90°，则AC＝ 　 　 ；
（2）如图2，若∠C＝45°，求AC的长．
20．（9分）为进一步深化素质教育，落实“双减”政策，挖掘学生潜能，某学校开展了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲五种兴趣课程，全校学生每人都参加且只参加了其中一个兴趣课程，校团委从全校学生中随机选取m名学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果制成了如下不完整的统计图表．
课程 学生人数（名） 百分比
书法 36 15%
音乐 a p%
美术 72 30%
舞蹈 b 20%
演讲 24 10%
根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　 ，a＝　 　 ，p＝　 　 ；
（2）请根据以上信息补全条形统计图；
（3）如果这所学校共有学生2000名，请你估算该校学生中选择舞蹈兴趣课程的学生人数．
21．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O．
（1）尺规作图，作BD的垂直平分线MN（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在第（1）问的基础上，若直线MN交AD于点E，交BC于点F，试判断四边形BFDE是不是平行四边形，并说明理由．
22．（9分）小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝　 　 分，b＝　 　 分，m＝　 　 米/分；
（2）若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是 　 　 分，此时距图书馆的距离是 　 　 米；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是 　 　 分．
23．（9分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）写出一种将它平移成抛物线y＝﹣2x2的方法．
24．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交⊙O于点D，连接AD．
（1）如图甲，证明∠BAD＝∠CAD；
（2）如图甲，若，求⊙O的半径；
（3）如图乙，过点B作BK⊥AD于点K，连接HK，若，试说明线段AB与AC的差为定值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，属于无理数的是（　　）
A． B． C．0.101001 D．
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：A．，是整数，不是理数，不符合题意；
B．是分数，不是理数，不符合题意；
C．0.101001是有限小数，不是理数，不符合题意；
D．是无理数，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无理数是无限不循环小数是解题的关键．
2．（3分）打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，如图中是一款陀螺的示意图，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案．
【解答】解：该几何体的主视图的底层是一个等腰三角形，上层是一个等腰梯形．
故选：A．
【点评】本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
3．（3分）根据科学家估计，地球的年龄大约是4500000年，将数据4500000用科学记数法表示为（　　）
A．45×107 B．0.45×106 C．45×108 D．4.5×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4500000＝4.5×106．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（3a2）3＝9a6
C．a6÷a2＝a3 D．a2 a3＝a5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】D
【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方与幂的乘方，同底数幂的除法和乘法法则判断即可．
【解答】解：A．2a与3b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．（3a2）3＝27a6，故本选项不合题意；
C．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
D．a2 a3＝a5，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则，积的乘方与幂的乘方，同底数幂的除法和乘法法则，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）在三个数字0，1，5中，再加入一个大于0的数字x，使这四个数字的中位数为2，则加入的数字x是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】在三个数字0，1，5中，再加入一个大于0的数字x，使这四个数字的中位数为2，则这四个数字是0，1，x，5，根据中位数为2求出x即可．
【解答】解：∵在三个数字0，1，5中，再加入一个大于0的数字x，使这四个数字的中位数为2，
∴这四个数字排序后是0，1，x，5，
∵中位数为2，
∴2，
解得x＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（3分）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（　　）
A．30° B．15° C．45° D．20°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】当EF第一次与AB平行时，过点D作直线DM∥AB，则AB∥DM∥EF，由平行线的性质可得∠B＝∠BDM＝30°，∠E＝∠EDM＝45°，进而得到∠BDE＝75°，再利用平角的定义即可求解．
【解答】解：如图，过点D作直线DM∥AB，
由题意得，∠B＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝90°，
∵AB∥EF，DM∥AB，
∴AB∥DM∥EF，
∴∠B＝∠BDM＝30°，∠E＝∠EDM＝45°，
∴∠BDE＝∠BDM+∠EDM＝75°，
∴∠CDF＝180°﹣∠BDE﹣∠EDF＝180°﹣75°﹣90°＝15°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．平行线性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
7．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0时，配方后的方程是（　　）
A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先将常数项移项，再两边加上一次项系数一半的平方，据此即可求解．
【解答】解：由条件可知x2﹣6x＝2，
∴x2﹣6x+9＝2+9，
∴（x﹣3）2＝11．
故选：A．
【点评】本题考查配方法解一元二次方程，使用配方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
8．（3分）如图，将△ABC绕点O顺时针旋转80°变为△DEF，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．AB＝DE B．∠CAB＝∠FDE C．∠AOD＝80° D．AB∥DF
【考点】旋转的性质；平行线的判定．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】由旋转得，AB＝DE，∠CAB＝∠FDE，∠AOD＝80°，由已知条件不能得出AB∥DF，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC绕点O顺时针旋转80°变为△DEF，
∴AB＝DE，∠CAB＝∠FDE，∠AOD＝80°，
故A，B，C选项正确，不符合题意；
由已知条件不能得出AB∥DF，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
9．（3分）如图，长方形ABCD被分割成两个全等的小长方形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知长方形ABCD的周长，则能够求出长度的线段是（　　）
A．AE B．ED C．EF D．FG
【考点】中心对称图形；全等图形；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，则可得l＝2（2a+b+c），由题意，得，①﹣②，得b﹣a＝a﹣c，即可得出2a＝b+c，再根据矩形的周长公式计算，进而得出答案．
【解答】解：设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，
则l＝2（2a+b+c），
由题意，得，
①﹣②，得b﹣a＝a+d﹣c﹣d＝a﹣c，即2a＝b+c，
∴l＝2（2a+b+c）＝2（b+c+b+c）＝2（2b+2c）＝4（b+c）或l＝2（2a+b+c）＝2（2a+2a）＝2×4a＝8a，
∴已知矩形ABCD的周长，则能够求出a，即能够求出线段ED的长度．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，全等图形，矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
10．（3分）计算最简便的方法是（　　）
A．（﹣99）×13 B．（﹣99）×13
C．（﹣100）×13 D．﹣（100）×13
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；应用意识．
【答案】D
【分析】按实数的运算法则，若把带分数化为假分数再相乘，运算量比较大，考虑变形带分数为两个数的和或差的形式，利用乘法的分配律．
【解答】解：计算，先把﹣99写成（﹣100）或﹣（100），再利用乘法的分配律比较简便．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握乘法的分配律是解决本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以是　0　 ．（写一个即可）
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】0（答案不唯一）．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式，再计算即可．
【解答】解：∵2﹣x≥0，
∴x≤2．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12．（3分）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是m+n＝8　 ．
【考点】概率公式．
【专题】统计与概率；运算能力．
【答案】m+n＝8
【分析】由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．
【解答】解：根据概率公式，摸出白球的概率，
摸出不是白球的概率，
由于二者相同，故有，
整理得m+n＝8．
故答案为：m+n＝8．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
13．（3分）如图，B是⊙O外一点，BO的延长线交⊙O于点A，BC切⊙O于点C．若∠A＝30°，则∠B＝ 　30°　 ．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】30°．
【分析】连接OC，由BC切⊙O于点C，推导出∠OCB＝90°，根据圆周角定理得∠COB＝2∠A＝60°，则∠B＝90°﹣∠COB＝30°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OC，
∵BC切⊙O于点C，
∴BC⊥OC，
∴∠OCB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠COB＝30°，
故答案为：30°．
【点评】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．（3分）若A（﹣1，y1），B（2，y2）是反比例函数图象上的两个点，则y1　＞　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】＞．
【分析】根据反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣3＜0，
∴此函数图象的两个分支分别位于二、四象限．
∵A（﹣1，y1），B（2，y2）是反比例函数图象上的两个点，
∴A（﹣1，y1）在第二象限，B（2，y2）在第四象限
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
15．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（2，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是　﹣2a+6　 ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】平面直角坐标系；三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】﹣2a+6．
【分析】如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，过点B′作B′E⊥x轴于点E，得△BCD∽△B′CE，，结合题意得到，代入计算即可求解．
【解答】解：如图所示，过点B′作B′E⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴BD∥B′E，
∴△BCD∽△B′CE，
∴，
∵设点B的横坐标是a，C（2，0），
∴CD＝a﹣2，
∵在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，以点C为位似中心，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，
∴△ABC∽△A′B′C，，
∴，即，
∴CE＝2a﹣4，
∴OE＝CE﹣OC＝2a﹣4﹣2＝2a﹣6，
∵点B′在第三象限，
∴点B的横坐标是a，点B′的横坐标为﹣2a+6，
故答案为：﹣2a+6．
【点评】本题主要考查位似的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
16．（3分）如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若且，则的值是 　5　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】5．
【分析】设AD＝6a，CD＝5a，由平行四边形的性质得到BC＝AD＝6a，BC∥AD，证明△ADE∽△HCE，得到，，则CHAD＝4a，，由折叠的性质可得S△AEF＝S△ADE，则可证明S△CEFS△ADE进而推出S△CEF：S△CEH＝1：2＝CE：CH，则CF＝2a，证明S△ABF：S△AFH＝BF：HF＝2：3，则可得到S△ABF，据此可得答案．
【解答】解：如图所示，延长AE，BC交于H，
可设AD＝6a，CD＝5a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6a，BC∥AD，
∴△ADE∽△HCE，
∴，，
∴CHAD＝4a，，
由折叠的性质可得S△AEF＝S△ADE，
∴，
∴，
推出S△CEF：S△CEH＝1：2＝CE：CH，
∴CF＝2a，
∴S△ABF：S△AFH＝BF：HF＝（6a﹣2a）：（2a+4a）＝2：3，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
三．解答题（共8小题，满分72分，每小题9分）
17．（9分）计算：．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
2+22
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（9分）先化简，再求值：，其中x＝1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x，1．
【分析】先把除法运算化为乘法运算，再约分后进行同分母的加法运算，则化简分式得到原式＝x，然后把x的值代入即可．
【解答】解：原式
＝x，
当x＝1时，原式＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
19．（9分）已知△ABC中，∠A＝30°，AB＝6．
（1）如图1，若∠C＝90°，则AC＝ 　　 ；
（2）如图2，若∠C＝45°，求AC的长．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）结合∠A的余弦值即可解决问题．
（2）过点B作AC的垂线，据此构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
cosA，
所以，
所以AC．
故答案为：．
（2）过点B作AC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinA，
所以，
所以BM＝3．
同理可得，AM．
在Rt△BCM中，
tanC，
所以，
所以CM＝3，
所以AC＝AM+CM．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出直角三角形及熟知正弦、余弦及正切的定义是解题的关键．
20．（9分）为进一步深化素质教育，落实“双减”政策，挖掘学生潜能，某学校开展了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲五种兴趣课程，全校学生每人都参加且只参加了其中一个兴趣课程，校团委从全校学生中随机选取m名学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果制成了如下不完整的统计图表．
课程 学生人数（名） 百分比
书法 36 15%
音乐 a p%
美术 72 30%
舞蹈 b 20%
演讲 24 10%
根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝　240　 ，a＝　60　 ，p＝　25　 ；
（2）请根据以上信息补全条形统计图；
（3）如果这所学校共有学生2000名，请你估算该校学生中选择舞蹈兴趣课程的学生人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；统计表．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）240，60，25；
（2）见解析；
（3）400人．
【分析】（1）由参加书法的人数除以所占百分比得出样本容量m，再根据频数和百分比计算a、b、p的值即可；
（2）根据a、b的值补全条形统计图即可；
（3）由该校共有学生人数乘以选择舞蹈兴趣课程的学生人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）∵m＝36÷15%＝240，
∴b＝240×20%＝48，
∴a＝240﹣36﹣72﹣48﹣24＝60，
∴p%＝60÷240×100%＝25%，
故答案为：240，60，25；
（2）补全条形统计图如下：
（3）2000×20%＝400（人），
答：估计该校学生中选择舞蹈兴趣课程的学生人数为400人．
【点评】本题考查了样本估计总体、条形统计图和频数分布表等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O．
（1）尺规作图，作BD的垂直平分线MN（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在第（1）问的基础上，若直线MN交AD于点E，交BC于点F，试判断四边形BFDE是不是平行四边形，并说明理由．
【考点】作图—基本作图；平行四边形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；尺规作图；几何直观；应用意识．
【答案】（1）见解答．
（2）四边形BFDE是平行四边形，理由见解答．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据平行四边形的性质可得OB＝OD，AD∥BC，证明△DOE≌△BOF，可得DE＝BF，结合平行四边形的判定可知，四边形BFDE是平行四边形．
【解答】解：（1）如图，直线MN即为所求．
（2）四边形BFDE是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，∠OED＝∠OFB，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点评】本题考查作图—基本作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握基本尺规作图方法、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
22．（9分）小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝　10　 分，b＝　15　 分，m＝　200　 米/分；
（2）若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是 　18.75　 分，此时距图书馆的距离是 　750　 米；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是 　17.5或20　 分．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）10，15，200；
（2）18.75，750；
（3）17.5或20．
【分析】（1）根据“时间＝路程÷速度”求出爸爸在OA段所用的时间，即a的值，从而求出b的值；在BC段，根据“速度×时间＝路程”计算m的值即可；
（2）利用待定系数法分别求出BC、OD的函数关系式，根据“二人相遇时行驶的路程相等”列方程求出x的值，从而求出行驶的路程，再根据“距图书馆的距离＝3000﹣行驶的路程”计算此时距图书馆的距离即可；
（3）当15≤x≤22.5，二人相距100米时，BC、OD两函数差的绝对值为100，解出x的值即可．
【解答】解：（1）爸爸在OA段所用的时间为1500÷150＝10（分），
∴a＝10，
∴b＝a+5＝15；
根据爸爸BC段骑行的路程，得（22.5﹣b）m＝3000﹣1500，即（22.5﹣15）m＝3000﹣1500，
解得m＝200．
故答案为：10，15，200．
（2）设BC的函数表达式为y＝k1x+b（k1、b为常数，且k1≠0）．
将坐标B（15，1500）和C（22.5，3000）代入y＝k1x+b，
得，
解得，
∴BC的函数表达式为y＝200x﹣1500（15≤x≤22.5）．
小明到达图书馆用时3000÷120＝25（分），
∴点D的坐标为（25，3000）．
设OD的函数表达式为y＝k2x（k2为常数，且k2≠0）．
将坐标D（25，3000）代入y＝k2x，
得25k2＝3000，
解得k2＝120，
∴OD的函数表达式为y＝120x（0≤x≤25）．
当小明在途中与爸爸第二次相遇时，两人行驶的路程相等，得200x﹣1500＝120x，
解得x＝18.75，
此时二人距图书馆的距离是3000﹣120×18.75＝750（米）．
故答案为：18.75，750．
（3）当15≤x≤22.5，二人相距100米时，得|200x﹣1500﹣120x|＝100，
解得x＝17.5或20．
故答案为：17.5或20．
【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数表达式是解题的关键．
23．（9分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）写出一种将它平移成抛物线y＝﹣2x2的方法．
【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣2x2﹣4x+4；
（2）对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；
（3）将抛物线y＝﹣2（x+1）2+6向右平移1个单位，再向下平移6个单位，即可得到抛物线y＝﹣2x2．
【分析】（1）利用待定系数法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，从而求得函数关系式即可；
（2）利用配方法将解析式化成顶点式，即可求出图象的对称轴和顶点坐标；
（3）利用抛物线平移的规律即可求解．
【解答】解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c，
得：，
解得：，
所以此抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4；
（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4
＝﹣2（x2+2x）+4
＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4
＝﹣2（x+1）2+6，
∴此抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；
（3）∵y＝﹣2（x+1）2+6，顶点坐标为（﹣1，6），抛物线y＝﹣2x2顶点坐标为（0，0）；
由点（﹣1，6）得到点（0，0），应该向右平移1个单位，再向下平移6个单位；
∴将抛物线y＝﹣2（x+1）2+6向右平移1个单位，再向下平移6个单位，即可得到抛物线y＝﹣2x2．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，抛物线的平移．
24．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交⊙O于点D，连接AD．
（1）如图甲，证明∠BAD＝∠CAD；
（2）如图甲，若，求⊙O的半径；
（3）如图乙，过点B作BK⊥AD于点K，连接HK，若，试说明线段AB与AC的差为定值．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∵OH⊥BC于点H，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）⊙O的半径为4；
（3）如图乙，分别延长BK、AC，交于点M；
∵BK⊥AD，
∴∠AKB＝∠AKM＝90°，
而∠BAD＝∠CAD，
在△BAK与△MAK中，
，
∴△BAK≌△MAK（ASA），
∴BK＝MK，AM＝AB，
∵OD⊥BC，
∴BH＝HC，
∴HK为△BCM的中位线，
∴，
∴AB﹣AC＝AM﹣AC＝CM＝3．
【分析】（1）根据垂径定理即可得到结论；
（2）如图甲，首先求出∠BOH的度数，再利用垂径定理与三角函数即可解决问题；
（3）如图乙，作辅助线，首先证明△BAK≌△MAK，得到BK＝MK，AM＝AB，进而判断HK为△BCM的中位线，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵OH⊥BC于点H，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：如图甲，连接OB、OC，
∵OH＝DH，OB＝OD，，
∴，而OH⊥BH，
∴，，
∴∠OBH＝30°，∠BOH＝60°，
∴，
∴⊙O的半径为4．
（3）解：如图乙，分别延长BK、AC，交于点M；
∵BK⊥AD，
∴∠AKB＝∠AKM＝90°，
而∠BAD＝∠CAD，
在△BAK与△MAK中，
，
∴△BAK≌△MAK（ASA），
∴BK＝MK，AM＝AB，
∵OD⊥BC，
∴BH＝HC，
∴HK为△BCM的中位线，
∴，
∴AB﹣AC＝AM﹣AC＝CM＝3．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，锐角三角函数的应用等知识．正确作出辅助线是解题的关键．

展开更多......

收起↑