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期末复习 不等式与不等式组
一．选择题（共10小题）
1．（2026 安徽一模）不等式的解集是（　　）
A．x＞3 B．x＞2.5 C． D．
2．（2026 雁塔区校级二模）不等式﹣2（x﹣1）≥6的解集是（　　）
A．x≥﹣4 B．x≤4 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2
3．（2025 吉林二模）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，那么a的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
4．（2025 镜湖区校级一模）在数轴上表示不等式5x+4≤3x的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 广汉市模拟）若关于x的不等式组无解，则a的值可以是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．（2025 营山县二模）已知不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1
7．（2025 宁江区一模）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打几折销售．（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2025 东港区校级一模）关于x的不等式组恰好有2个整数解，则a满足的范围是（　　）
A．3≤a＜4 B．4≤a＜5 C．4≤a≤5 D．a＞5
9．（2025 关岭县一模）下面的数轴表示的不等式是（　　）
A．﹣1＜x≤2 B．x≥2 C．﹣1≤x＜2 D．x＜﹣1或x≥2
10．（2025 开原市二模）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过30km/h．用v（km/h）表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（　　）
A．v≤30 B．v＜30 C．v＞30 D．v≥30
二．填空题（共5小题）
11．（2026 浙江一模）不等式组的解集是 　 　 ．
12．（2026 湖北一模）x减去y不大于﹣5，用不等式表示为 　 　 ．
13．（2025 长沙模拟）如图，若整式3x﹣2（x﹣1）的值落在数轴上的区间①内，则整数x＝　 　 ．
14．（2025 迎江区三模）已知关于x的方程3x﹣2＝2x﹣a的解是负数，则a的取值范围是　 　 ．
15．（2025 铁东区校级模拟）已知关于x的不等式组，给出下面四个结论：
①当m＝2时，不等式组的解集是﹣3＜x＜2；
②若不等式组的解集是﹣3＜x＜0，则m＝0；
③若不等式组恰有3个整数解，则0＜m≤1；
④若不等式组无解，则m＜﹣3．
上述结论中，正确结论的序号有　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 重庆模拟）求不等式组所有整数解的积．
17．（2026 黄石一模）根据以下素材，探究完成任务．
背景 2025年3月14日是第六个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元．
素材二 2025年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折．
解决问题
任务一 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（0＜m＜35）， 若林老师按方式一购买，共需　 　 元； 若林老师按方式二购买，共需　 　 元． （均用含m的代数式表示）
任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？
18．（2025 碑林区校级模拟）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
19．（2025 罗湖区校级模拟）【问题背景】
蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．
素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
【问题解决】
（1）某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
（2）小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40），若在线下商店购买，共需要 　 　 元；若在线上淘宝店购买，共需要 　 　 元．（均用含m的代数式表示）
请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
20．（2025 朝阳区校级模拟）为了筹备数学知识大赛，小星借读了一本与此相关的500页的书籍，计划10天内读完．前6天因种种原因只读了240页，那么从第七天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2026 安徽一模）不等式的解集是（　　）
A．x＞3 B．x＞2.5 C． D．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据解一元一次不等式解答即可．
【解答】解：原不等式两边同乘6去分母，得3（x﹣1）﹣6x＞2，
去括号得3x﹣3﹣6x＞2，
移项合并同类项得﹣3x＞5，
不等式两边同时除以﹣3，不等号方向改变，得，
∴原不等式的解集为．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2026 雁塔区校级二模）不等式﹣2（x﹣1）≥6的解集是（　　）
A．x≥﹣4 B．x≤4 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解．
【解答】解：原不等式去括号得﹣2x+2≥6，
移项得﹣2x≥6﹣2，
合并同类项得﹣2x≥4，
系数化为1得x≤﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025 吉林二模）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，那么a的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先求出不等式的解集，然后根据数轴写出不等式的解集，从而可以得到关于a的方程，再求解即可．
【解答】解：由不等式2x﹣a≤﹣1可得x，
由数轴可得，该不等式的解集为x≤1，
∴1，
解得a＝3，
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
4．（2025 镜湖区校级一模）在数轴上表示不等式5x+4≤3x的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先求出不等式的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可求解．
【解答】解：5x+4≤3x，
5x﹣3x≤﹣4，
2x≤﹣4，
x≤﹣2，
∴不等式的解集在数轴上表示为，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键．
5．（2025 广汉市模拟）若关于x的不等式组无解，则a的值可以是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】解不等式①得x＞2，解不等式②得x＜a，根据不等式组无解，即可得出答案．
【解答】解：
解①得：x＞2，
解②得：x＜a，
由条件可知a≤2，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
6．（2025 营山县二模）已知不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意得出关于a的不等式，据此可解决问题．
【解答】解：解不等式﹣2x+3＜1得，
x＞1，
解不等式x﹣a＜0得，
x＜a，
因为此不等式组无解，
所以a≤1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
7．（2025 宁江区一模）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打几折销售．（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】方案型；应用意识．
【答案】C
【分析】设打x折，根据每台利润不少于2元，列出不等式进行求解即可．
【解答】解：设打x折，由题意，得：
，
解得：x≥8，
∴最多打8折出售，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用．正确的列出不等式是解答本题的关键．
8．（2025 东港区校级一模）关于x的不等式组恰好有2个整数解，则a满足的范围是（　　）
A．3≤a＜4 B．4≤a＜5 C．4≤a≤5 D．a＞5
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先求出不等式4﹣2x＜0的解集，再根据不等式组恰好有2个整数解即可得到答案．
【解答】解：解不等式4﹣2x＜0得x＞2，
∵关于x的不等式组恰好有2个整数解，
∴4≤a＜5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握该知识点是关键．
9．（2025 关岭县一模）下面的数轴表示的不等式是（　　）
A．﹣1＜x≤2 B．x≥2 C．﹣1≤x＜2 D．x＜﹣1或x≥2
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；几何直观．
【答案】A
【分析】根据数轴写出不等式解集即可．
【解答】解：由数轴可知，不等式的解集是﹣1＜x≤2．
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，找准分界点和方向是解题关键，同时注意实心点和空心圆圈的区别．
10．（2025 开原市二模）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过30km/h．用v（km/h）表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（　　）
A．v≤30 B．v＜30 C．v＞30 D．v≥30
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】由该路段行驶的速度不得超过30km/h，即可列出关于v的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：v≤30．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2026 浙江一模）不等式组的解集是 　　 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式2x+4≥0，得x≥﹣2，
解不等式4﹣2x＜﹣1，得，
不等式组的解集为．
故答案为：．
【点评】本题考查解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．
12．（2026 湖北一模）x减去y不大于﹣5，用不等式表示为 x﹣y≤﹣5　 ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】x﹣y≤﹣5．
【分析】不大于表示为≤，进而可列出关于x，y的不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：x﹣y≤﹣5．
故答案为：x﹣y≤﹣5．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．
13．（2025 长沙模拟）如图，若整式3x﹣2（x﹣1）的值落在数轴上的区间①内，则整数x＝　﹣3　 ．
【考点】解一元一次不等式组；数轴．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】根据题意和数轴，可以得到不等式组﹣1.4＜3x﹣2（x﹣1）＜﹣0.6，然后求解即可．
【解答】解：由题意可得，
﹣1.4＜3x﹣2（x﹣1）＜﹣0.6，
解得﹣3.4＜x＜﹣2.6，
∵x为整数，
∴x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查解一元一次 不等式组、数轴，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．
14．（2025 迎江区三模）已知关于x的方程3x﹣2＝2x﹣a的解是负数，则a的取值范围是a＞2　 ．
【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】a＞2．
【分析】先把a当作已知条件得出x的值，再根据关于x的方程3x﹣2＝2x﹣a的解是负数得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】解：3x﹣2＝2x﹣a，
3x﹣2x＝﹣a+2，
x＝2﹣a，
∵关于x的方程3x﹣2＝2x﹣a的解是负数，
∴2﹣a＜0，
解得a＞2，
故答案为：a＞2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于a的不等式是解题的关键．
15．（2025 铁东区校级模拟）已知关于x的不等式组，给出下面四个结论：
①当m＝2时，不等式组的解集是﹣3＜x＜2；
②若不等式组的解集是﹣3＜x＜0，则m＝0；
③若不等式组恰有3个整数解，则0＜m≤1；
④若不等式组无解，则m＜﹣3．
上述结论中，正确结论的序号有　①②③　 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解；不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】①②③．
【分析】根据取公共解集的方法，逐项判断即可．
【解答】解：当m＝2时，的解集为﹣3＜x＜2，故①正确；
不等式组的解集是﹣3＜x＜0，则m＝0，故②正确；
不等式组恰有3个整数解，则0＜m≤1，故③正确；
不等式组无解，则m≤﹣3，故④错误；
∴正确结论的序号有①②③；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查不等式组的解集，解题的关键是掌握取公共解集的方法．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 重庆模拟）求不等式组所有整数解的积．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法解答即可．
【解答】解：解不等式得，x＞﹣3，
解不等式2（x﹣3）≤x﹣5得，x≤1，
∴﹣3＜x≤1，
∴整数解是：﹣2，﹣1，0，1，
∴（﹣2）×（﹣1）×0×1＝0，
∴不等式组的所有整数解的积为0．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键．
17．（2026 黄石一模）根据以下素材，探究完成任务．
背景 2025年3月14日是第六个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元．
素材二 2025年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折．
解决问题
任务一 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（0＜m＜35）， 若林老师按方式一购买，共需　（384+2.4m）　 元； 若林老师按方式二购买，共需　（378+2.7m）　 元． （均用含m的代数式表示）
任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？
【考点】一元一次不等式的应用；列代数式；二元一次方程组的应用．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（任务一）线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元；
（任务二）（384+2.4m），（378+2.7m）；
（任务三）在任务二的条件下，购买玩偶的数量20＜m＜35时，选择方式一更划算．
【分析】（任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据“线上平台无促销活动时，买10个玩偶和20个徽章共需390元；买15个玩偶和15个徽章共需405元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务二）利用总价＝单价×数量，结合2025年线上平台促销活动的具体信息，即可用含m的代数式表示出林老师按方式一及方式二购买所需费用；
（任务三）根据选择方式一更划算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜35，即可得出结论．
【解答】解：（任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元；
（任务二）根据题意得：若林老师按方式一购买，共需48+15×0.8m+12×0.8（35﹣m）＝（384+2.4m）（元）；
若林老师按方式二购买，共需15×0.9m+12×0.9（35﹣m）＝（378+2.7m）（元）．
故答案为：（384+2.4m），（378+2.7m）；
（任务三）根据题意得：384+2.4m＜378+2.7m，
解得：m＞20，
又∵0＜m＜35，
∴20＜m＜35．
答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量20＜m＜35时，选择方式一更划算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（任务一）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（任务二）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出林老师按方式一及方式二购买所需费用；（任务三）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18．（2025 碑林区校级模拟）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≥3；数轴见解析．
【分析】需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，并把解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
2（2x﹣1）﹣（x+1）≥6，
4x﹣2﹣x﹣1≥6，
3x≥9，
x≥3；
将解集表示在数轴上，如图所示：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（2025 罗湖区校级模拟）【问题背景】
蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．
素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
【问题解决】
（1）某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
（2）小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40），若在线下商店购买，共需要 　（1.6m+291）　 元；若在线上淘宝店购买，共需要 　（1.8m+288）　 元．（均用含m的代数式表示）
请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
【考点】一元一次不等式的应用；列代数式；二元一次方程组的应用．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）该商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价是10元，B款盲盒的销售单价是8元；
（2）（1.6m+291），（1.8m+288），购买A款盲盒的数量超过15盒且少于40盒时，线下购买方式更合算．
【分析】（1）设该商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价是x元，B款盲盒的销售单价是y元，根据“该商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，可用含m的代数式表示出在线下商店购买及在线上淘宝店购买所需费用，结合线下购买方式更合算，可列出关于m的一元一次，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜40，即可确定结论．
【解答】解：（1）设该商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价是x元，B款盲盒的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：该商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价是10元，B款盲盒的销售单价是8元；
（2）当购买A款盲盒m个（0＜m＜40）时，若在线下商店购买，共需要35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）元；
若在线上淘宝店购买，共需要10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）元，
根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288，
解得：m＞15，
又∵0＜m＜40，
∴15＜m＜40．
答：购买A款盲盒的数量超过15盒且少于40盒时，线下购买方式更合算．
故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．（2025 朝阳区校级模拟）为了筹备数学知识大赛，小星借读了一本与此相关的500页的书籍，计划10天内读完．前6天因种种原因只读了240页，那么从第七天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】65页．
【分析】设从第七天起平均每天读x页，根据要在10天内读完这本500页的书籍，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：设从第七天起平均每天读x页，
根据题意得：240+（10﹣6）x≥500，
解得：x≥65，
∴x的最小值为65．
答：从第七天起平均每天至少要读65页，才能按计划读完这本书．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

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