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期末复习 二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　）
A．
B．Dx＝﹣14
C．Dy＝27
D．方程组的解为
2．在山区生活的小明每天上学需要翻阅一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是3km/h，下山速度是6km/h，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为xkm，下坡山路为ykm，则列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．7
4．《算法统宗》中有这样的问题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托约5尺）．”大意是：现有一根竿子和一条绳子，绳子比竿子长5尺，如果将绳子对折后去量竿，它比竿子短5尺．求竿子长几尺？设竿子x尺，绳长y尺，根据题意，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
5．《九章算术》中有一个数学问题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？若根据题意列出的二元一次方程组中一个方程是，则另一个方程是（　　）
A． B． C． D．
6．若是二元一次方程组的解，则6m+n的值是（　　）
A．18 B．20 C．22 D．25
7．已知是关于x，y的二元一次方程ax+y＝1的一个解，那么a的值为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
8．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根木棍，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？设绳长x尺，井深y尺，则以下列出的方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（　　）
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
二．填空题（共5小题）
11．某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种进行种植对比研究．2024年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：5.2025年，三种水果的平均亩产量和种植面积有所调整，甲品种水果的平均亩产量在2024年的基础上提高了50%，乙品种水果的平均亩产量在2024年的基础上提高了20%，丙品种的平均亩产量不变，2025年甲、乙两种品种水果的产量之比为3：1，乙、丙两种品种水果的产量之比为6：5，丙品种水果增加的产量占2025年水果总产量的，则：
（1）2025年甲、乙两种水果的种植面积的比值为　 　 ；
（2）三种水果2024年的种植总面积与2025年的种植总面积的比值为　 　 ．
12．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①若方程组的解互为相反数，则；②若方程组的解也满足4x+3y＝﹣20，则k＝﹣2；③当k＝1时，方程组的解也是关于x，y的二元一次方程3y﹣x＝k+1的解；
④无论k取何值，代数式10y﹣5x的值不变，始终为定值．其中正确的有　 　 ．（填序号）
13．如果方程组与方程组的解相同，则（m+n）2＝　 　 ．
14．中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人，设团鱼有x只，龟有y只，则可列方程组为　 　 ．
15．实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元．现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，C型号的盒子的个数分别为6，1，其余购买B型号盒子．则购买总费用为　 　 元；
（2）一次性购买所需盒子总费用最少为　 　 元．
三．解答题（共5小题）
16．2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“天宫”和“嫦娥”两种模型．已知1个“天宫”模型和4个“嫦娥”模型的进价共1750元；4个“天宫”模型和3个“嫦娥”模型的进价共3100元．求每个“天宫”和“嫦娥”模型的进价各为多少元？
17．对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”：
当a+b为偶数时，规定a⊙b＝2|a+b|+|a﹣b|；
当a+b为奇数时，规定a⊙b＝2|a+b|﹣|a﹣b|．
（1）当a＝2，b＝﹣4时，求a⊙b的值；
（2）已知x＞y＞0且为整数，（x﹣y）⊙（x+y﹣1）＝5，请用含x的代数式表示y；
（3）已知（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，直接写出a的值．
18．2025年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．12月14日常规赛结束，部分球队的积分如表：
队伍 场次 胜 平 负 积分
长沙队 13 11 2 0 35
永州队 13 3 22
岳阳队 13 4
（1）请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？
（2）求永州队一共胜了多少场？
（3）岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为20分，你认为可能吗？为什么？
19．如图，某校的饮水机有温水，开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s，整个接水的过程不计热量损失．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．
阅读并结合以上信息解决下列问题：
（1）甲同学要接一杯700ml的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为多少秒；
（2）乙同学先接温水，再接开水，得到一杯480ml的水，如果接水的时间是27秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间；
（3）丙同学要接一杯700ml的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接m秒的温水，再接开水；方案二：先接m秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高．
20．列方程（组）解下列问题：
旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟．
（1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟；
（2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　）
A．
B．Dx＝﹣14
C．Dy＝27
D．方程组的解为
【考点】二元一次方程组的解；有理数的混合运算．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据行列式定义计算D、Dx、Dy及方程组的解，对比选项判断正误即可．
【解答】解：根据新定义运算逐项分析判断如下：
，
则A正确，不符合题意；
，
则B正确，不符合题意；
，
则C错误，符合题意；
，，
因此方程组的解为，
则D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查新定义运算，正确理解行列式定义及计算方法是解题的关键．
2．在山区生活的小明每天上学需要翻阅一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是3km/h，下山速度是6km/h，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为xkm，下坡山路为ykm，则列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】利用时间＝路程÷速度，结合“他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵上山速度是3km/h，下山速度是6km/h，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．7
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】通过将方程组的两个方程相减，得到x﹣y与m的关系式，再代入已知条件x﹣y＝4求解m的值．
【解答】解：方程组，
①﹣②可得2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
又∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．
故选：B．
【点评】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键．
4．《算法统宗》中有这样的问题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托约5尺）．”大意是：现有一根竿子和一条绳子，绳子比竿子长5尺，如果将绳子对折后去量竿，它比竿子短5尺．求竿子长几尺？设竿子x尺，绳长y尺，根据题意，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意可得等量关系：绳长＝竿长+5尺，绳索长的一半＝竿长﹣5尺，根据等量关系可得方程组．
【解答】解：根据题意，列出方程组得．
故选：C．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，列出方程组．
5．《九章算术》中有一个数学问题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？若根据题意列出的二元一次方程组中一个方程是，则另一个方程是（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题目所给方程可知，设甲带了x钱，乙带了y钱，结合“乙得到甲所有钱的后共有50钱”的条件，分析甲、乙钱数的关系列出对应方程．
【解答】解：根据题意可知，设甲带了x钱，乙带了y钱，
∵乙得到甲所有钱的后共有50钱
∴乙原有的钱数加上甲钱数的等于50，即
∴另一个方程为，
故选：B．
【点评】本题考查根据实际问题列二元一次方程，解题的关键是找到等量关系．
6．若是二元一次方程组的解，则6m+n的值是（　　）
A．18 B．20 C．22 D．25
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】先求出m和n的值，再计算得到6m+n的值．
【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
∴，
∴6m+n，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程是解题的关键．
7．已知是关于x，y的二元一次方程ax+y＝1的一个解，那么a的值为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【考点】二元一次方程的解；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，﹣a+2＝1．
∴a＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
8．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根木棍，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，绳子比木长4.5尺，可得x﹣y＝4.5；对折绳子量木，木比对折绳子长1尺，可得，即，可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：根据题意可得：
，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是关键．
9．《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？设绳长x尺，井深y尺，则以下列出的方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】需结合绳子折成三等份、四等份时与井深的数量关系，找出两个等量关系来列方程组即可．
【解答】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意可列方程组为：
．
故选：A．
【点评】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，理解题意是关键．
10．将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（　　）
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设图中长方体木块的长边减短边的长为xcm，根据两图形给定的数据，得出关于x、h的二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设图中长方体木块的长边减短边的长为xcm，
依题意得：，
解得：，
即桌子的高度h为70cm，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种进行种植对比研究．2024年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：5.2025年，三种水果的平均亩产量和种植面积有所调整，甲品种水果的平均亩产量在2024年的基础上提高了50%，乙品种水果的平均亩产量在2024年的基础上提高了20%，丙品种的平均亩产量不变，2025年甲、乙两种品种水果的产量之比为3：1，乙、丙两种品种水果的产量之比为6：5，丙品种水果增加的产量占2025年水果总产量的，则：
（1）2025年甲、乙两种水果的种植面积的比值为　　 ；
（2）三种水果2024年的种植总面积与2025年的种植总面积的比值为　　 ．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】根据已知比例设出参数，表示出调整后的平均亩产量，再根据产量比得到2025年各水果种植面积的关系，最后结合丙增加产量的占比列方程求解，得到所求比值．
【解答】解：（1）设2024年甲、乙、丙三种水果的种植面积分别为5x，3x，2x，平均亩产量分别为6a，3a，5a，其中x＞0，a＞0，
则2025年甲的平均亩产量为6a×（1+50%）＝9a，
乙的平均亩产量为3a×（1+20%）＝3.6a，
丙的平均亩产量为5a，
设2025年甲、乙、丙的种植面积分别为m，n，f，
由2025年甲、乙产量之比为3：1，可得，
约去a化简得，
即2025年甲、乙两种水果种植面积的比值为，
故答案为：；
（2）由乙、丙产量之比为6：5，可得，
约去a化简得f＝0.6n，
2025年总产量为9a m+3.6a n+5a f＝9a 1.2n+3.6an+5a 0.6n＝17.4an，
丙2024年产量为5a 2x＝10ax，丙2025年产量为5a f＝3an，
因此丙增加的产量为3an﹣10ax，
由题意列三元一次方程得，
整理得n＝10x，
2024年种植总面积为5x+3x+2x＝10x，
2025年种植总面积为m+n+f＝1.2n+n+0.6n＝2.8n＝2.8×10x＝28x，
，即2024年种植总面积与2025年种植总面积的比值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了三元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
12．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①若方程组的解互为相反数，则；②若方程组的解也满足4x+3y＝﹣20，则k＝﹣2；③当k＝1时，方程组的解也是关于x，y的二元一次方程3y﹣x＝k+1的解；
④无论k取何值，代数式10y﹣5x的值不变，始终为定值．其中正确的有　②③④　 ．（填序号）
【考点】解二元一次方程组；相反数；二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】②③④．
【分析】先求出方程的解，然后根据二元一次方程的解的意义进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：，
解得：，
若方程组的解互为相反数，则x+y＝0，
即2kk0，
解得：k，
故①不正确；
若方程组的解也满足4x+3y＝﹣20，
∴4（2k）+3（k）＝20，
解得：k＝﹣2，
故②正确；
当k＝1时，x，y，
把x，y代入方程3y﹣x＝k+1，
∵左边＝32，右边＝1+1＝2，
∴左边＝右边，
∴当k＝1时，方程组的解也是关于x，y的二元一次方程3y﹣x＝k+1的解，
故③正确；
当时，
10y﹣5x＝10（k）﹣5（2k）
＝10k+4﹣10k﹣1
＝3，
∴无论k取何值，代数式10y﹣5x的值不变，始终为定值，
故④正确；
所以，上列说法，其中正确的有②③④，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，相反数，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键，
13．如果方程组与方程组的解相同，则（m+n）2＝　25　 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】25．
【分析】先解方程组得，进而把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案．
【解答】解：解方程组得，
∵方程组与方程组的解相同，
∴是方程组的解，
∴，
解得，
∴（m+n）2＝（3+2）2＝25，
故答案为：25．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组，熟练掌握以上知识点是关键．
14．中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人，设团鱼有x只，龟有y只，则可列方程组为　　 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】设团鱼有x只，龟有y只，根据共有93只脚乱划水可得方程3x+4y＝93，根据102只眼睛偷看人可得方程2x+6y＝102，据此列出方程组即可．
【解答】解：根据题意可得方程组为：
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，理解题意是关键．
15．实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元．现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，C型号的盒子的个数分别为6，1，其余购买B型号盒子．则购买总费用为　59　 元；
（2）一次性购买所需盒子总费用最少为　56　 元．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）59；
（2）56．
【分析】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，一次性购买所需盒子总费用为W，根据题意2x+3y+4z＝28，W＝5x+6y+9z﹣4（x≥3），然后根据x，y，z都为正整数求解即可．
【解答】解：（1）由题意，设B型号盒子买了m个，
∴6×2+3m+1×4＝28，
∴m＝4．
∴购买费用为：6×5﹣4+1×9+4×6＝59（元），
故答案为：59；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，一次性购买所需盒子总费用为W，
根据题意得：2x+3y+4z＝28，
W＝5x+6y+9z﹣4（x≥3），
∵x，y，z都为正整数，
∴①当x＝3时，y＝2，z＝4，
W＝5x+6y+9z﹣4＝15+12+36﹣4＝59；
②当x＝3时，y＝6，z＝1，
W＝5x+6y+9z﹣4＝15+36+9﹣4＝56；
③当x＝4时，y＝4，z＝2，
W＝5x+6y+9z﹣4＝20+24+18﹣4＝58；
④当x＝5时，y＝2，z＝3，
W＝5x+6y+9z﹣4＝25+12+27﹣4＝60；
⑤当x＝6时，y＝4，z＝1，
W＝5x+6y+9z﹣4＝30+24+9﹣4＝59；
⑥当x＝6时，y＝4，z＝1，
W＝5x+6y+9z﹣4＝30+24+9﹣4＝59；
综合所述，一次性购买所需盒子总费用最少为56．
故答案为：56．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，分类讨论思想及列出方程求整数解是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“天宫”和“嫦娥”两种模型．已知1个“天宫”模型和4个“嫦娥”模型的进价共1750元；4个“天宫”模型和3个“嫦娥”模型的进价共3100元．求每个“天宫”和“嫦娥”模型的进价各为多少元？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】每个“天宫”模型的进价为550元，每个“嫦娥”模型的进价为300元．
【分析】设每个“天宫”模型的进价为x元，每个“嫦娥”模型的进价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
【解答】解：设每个“天宫”模型的进价为x元，每个“嫦娥”模型的进价为y元，
由题意列二元一次方程组得，，
解得：，
即每个“天宫”模型的进价为550元，每个“嫦娥”模型的进价为300元，
答：每个“天宫”模型的进价为550元，每个“嫦娥”模型的进价为300元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式．
17．对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”：
当a+b为偶数时，规定a⊙b＝2|a+b|+|a﹣b|；
当a+b为奇数时，规定a⊙b＝2|a+b|﹣|a﹣b|．
（1）当a＝2，b＝﹣4时，求a⊙b的值；
（2）已知x＞y＞0且为整数，（x﹣y）⊙（x+y﹣1）＝5，请用含x的代数式表示y；
（3）已知（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，直接写出a的值．
【考点】解二元一次方程；有理数的混合运算．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）10；
（2）y＝2x﹣3；
（3）a的值为15或﹣30或10．
【分析】（1）先求出（﹣2）+4的结果，判断奇数还是偶数，根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算即可；
（2）先求出x﹣y与x+y﹣1的和，判断奇数还是偶数，根据已知条件中的新定义，列出算式，然后根据2x﹣1＞0，﹣2y+1＜0，化简等式，最后用含x的代数式表示y即可；
（3）先求出a+a的结果，判断其奇数还是偶数，然后分两种情况讨论：当a为负数和当a为非负数时，分别通过新定义，进行计算推导即可．
【解答】解：（1）∵a＝4，b＝﹣2，
∴a+b＝4+（﹣2）＝2，为偶数，
∴a⊙b＝2|a+b|+|a﹣b|
＝2×|4+（﹣2）|+|4﹣（﹣2）|
＝2×|2|+|6|
＝2×2+6
＝4+6
＝10；
（2）∵（x﹣y）+（x+y﹣1）＝2x﹣1，
∴2x﹣1为奇数，
∴（x﹣y）⊙（x+y﹣1）＝2|（x﹣y）+（x+y﹣1）|﹣|（x﹣y）﹣（x+y﹣1）|＝5，即2|2x﹣1|﹣|﹣2y+1|＝5，
∵x＞y＞0，且为整数，
∴2x﹣1＞0，﹣2y+1＜0，
∴2（2x﹣1）+（﹣2y+1）＝5，即4x﹣2﹣2y+1＝5，
∴y＝2x﹣3；
（3）∵a+a＝2a为偶数，
∴a⊙a＝2|a+a|+|a﹣a|＝4|a|是偶数，
分两种情况讨论：
当a为负数时：
（a⊙a）⊙a＝4|a|⊙a＝﹣4a⊙a，
∵﹣4a+a＝3a；
①当a为负奇数时：3a为奇数，
∴﹣4a⊙a＝2|﹣4a+a|﹣|﹣4a﹣a|，
＝2×（﹣3a）﹣（﹣5a）
＝﹣a；
∴﹣a＝180﹣5a，即4a＝180，
解得：a＝45＞0（舍去）；
②当a为负偶数时：3a为偶数，
∴﹣4a⊙a＝2|﹣4a+a|+|﹣4a﹣a|，
＝2×（﹣3a）+（﹣5a）
＝﹣11a；
∴﹣11a＝180﹣5a，即﹣6a＝180，
解得：a＝﹣30；
当a为非负数时：
（a⊙a）⊙a＝4|a|⊙a＝4a⊙a，
∵4a+a＝5a；
①当a为非负奇数时：5a为奇数，
∴4a⊙a＝2|4a+a|﹣|4a﹣a|，
＝2×5a﹣3a
＝7a；
∴7a＝180﹣5a，即12a＝180，
解得：a＝15；
②当a为非负偶数时：5a为偶数，
∴4a⊙a＝2|4a+a|+|4a﹣a|，
＝2×5a+3a
＝13a；
∴13a＝180﹣5a，即18a＝180，
解得：a＝10；
综上可知：a的值为15或﹣30或10．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值化简，整式的加减运算，正确进行计算是解题关键．
18．2025年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．12月14日常规赛结束，部分球队的积分如表：
队伍 场次 胜 平 负 积分
长沙队 13 11 2 0 35
永州队 13 3 22
岳阳队 13 4
（1）请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？
（2）求永州队一共胜了多少场？
（3）岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为20分，你认为可能吗？为什么？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）91；
（2）6；
（3）不可能，
设岳阳队胜a场，平b场，
根据题意列二元一次方程组得：
，
解得，
∵a，b不是整数，故不可能．
【分析】（1）湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），每个球队比赛13场，故共14×13场，但是每次比赛数2遍，所以总场数为场；
（2）设永州队胜x场，平y场，根据永州队比赛了13场，得分22分，列方程组求解即可；
（3）设岳阳队胜a场，平b场，根据岳阳队比赛了13场，得分20分，列方程组求解得a，b不是整数，故可求解题目．
【解答】解：（1）湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），
∴（场），
答：这一次湘超常规赛中一共比了91场比赛；
（2）设永州队胜x场，平y场，
根据题意列二元一次方程组得：
，
解得，
答：永州队一共胜了6场；
（3）不可能，理由如下：
设岳阳队胜a场，平b场，
根据题意列二元一次方程组得：
，
解得，
∵a，b不是整数，故不可能．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．
19．如图，某校的饮水机有温水，开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s，整个接水的过程不计热量损失．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．
阅读并结合以上信息解决下列问题：
（1）甲同学要接一杯700ml的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为多少秒；
（2）乙同学先接温水，再接开水，得到一杯480ml的水，如果接水的时间是27秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间；
（3）丙同学要接一杯700ml的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接m秒的温水，再接开水；方案二：先接m秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）36；
（2）乙同学接温水的时间为15秒，接开水所用的时间为12秒；
（3）当x＜20时，方案一温度高，当x＝20时，两个方案一样高，当x＞20时，方案二温度高．
【分析】（1）设再接温水的时间为x秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）设乙同学接温水的时间为a秒，开水所用的时间为b秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（3）分别表示出方案一、方案二中开水和温水的体积，根据公式开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．得出t1＝100﹣2x，t2＝1.5x+30，进而列出不等式，解不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设再接温水的时间为x秒，依题意得，
8×20+15x＝700，
解得：x＝36，
答：再接温水的时间为36秒；
（2）依题意，设乙同学接温水的时间为a秒，开水所用的时间为b秒，根据题意得，
，
解得：，
答：乙同学接温水的时间为15秒，接开水所用的时间为12秒；
（3）方案一：先接m秒的温水，再接开水；方案二：先接m秒的开水，再接温水；
方案一：温水ml，则开水为（700﹣20x）ml，
设转化后的温度为t1，
依题意，（700﹣20x）×（100﹣t1）＝20x×（t1﹣30）
∴t1＝100﹣2x，
方案二：开水为15xml，温水为（700﹣15x）ml，
设转化后的温度为t2，
依题意，15x×（100﹣t2）＝（700﹣15x）×（t2﹣30），
∴t2＝1.5x+30，
当t1＝t2时，100﹣2x＝1.5x+30，
解得：x＝20，
当t1＜t2时，100﹣2x＜1.5x+30，解得：x＞20，
当t1＞t2时，100﹣2x＞1.5x+30，解得：x＜20，
∴当x＜20时，方案一温度高，
当x＝20时，两个方案一样高，
当x＞20时，方案二温度高．
【点评】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键．
20．列方程（组）解下列问题：
旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟．
（1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟；
（2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟．
【考点】二元一次方程组的应用；分式方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟；
（2）升级后制作一对“一字扣”需20分钟．
【分析】（1）设制作一对“花扣”需x分钟，制作一对“一字扣”需y分钟，根据制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设升级后制作一对“一字扣”需m分钟，制作一对“花扣”需n分钟，根据制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，列出分式方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设制作一对“花扣”需x分钟，制作一对“一字扣”需y分钟，
由题意得：，
解得：，
答：制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟；
（2）设升级后制作一对“一字扣”需m分钟，制作一对“花扣”需n分钟，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程组的解，且符合题意，
答：升级后制作一对“一字扣”需20分钟．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程组．

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