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期末复习 二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
2．方程2x0，3x+y＝0，2x+xy＝1，3x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（　　）
A．±2 B． C．4 D．2
5．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（　　）
A．±3 B．3 C． D．
6．已知关于x，y的方程组和的解相同，则（a+b）2021的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2021
7．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒．则下列方程组中符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
8．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
9．八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长等于（　　）
A．15cm B．30cm C．40 cm D．45 cm
10．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（　　）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
二．填空题（共5小题）
11．如果是方程6x+by＝32的解，则b＝　 　 ．
12．若关于x，y的二元一次方程的解也是二元一次方程x+y＝4的解，则k的值为　 　 ．
13．已知关于x，y的二元一次方程（2m﹣1）x+（m+1）y﹣m+2＝0，无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是　 　 ．
14．已知3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b＝　 　 ．
15．若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
17．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×14得：14x+14y＝14④
①﹣④得：y＝2，从而得x＝﹣1
所以原方程组的解是
（1）请你运用上述方法解方程组
（2）请你直接写出方程组的解是 　 　 ；
（3）猜测关于x、y的方程组（m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
18．某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如下表所示：
A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？
19．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
20．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二元一次方程组的定义．
【专题】一次方程（组）及应用；模型思想．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组进行分析即可．
【解答】解：A、该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，故此选项错误；
B、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误；
C、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误；
D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
2．方程2x0，3x+y＝0，2x+xy＝1，3x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】二元一次方程的定义．
【专题】模型思想．
【答案】D
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
【解答】解：2x0是分式方程，不是二元一次方程；
3x+y＝0是二元一次方程；
2x+xy＝1不是二元一次方程；
3x+y﹣2x＝0是二元一次方程；
x2﹣x+1＝0不是二元一次方程．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】常规题型．
【答案】D
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
4．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（　　）
A．±2 B． C．4 D．2
【考点】二元一次方程组的解；算术平方根．
【答案】D
【分析】把代入二元一次方程组求出m，n，再求出2m﹣n的算术平方根即可．
【解答】解：把代入二元一次方程组得，
解得，
所以2m﹣n＝6﹣2＝4，则2m﹣n的算术平方根是2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解及算术平方根，解题的关键是正确求出m，n的值．
5．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（　　）
A．±3 B．3 C． D．
【考点】二元一次方程组的解；算术平方根．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】将x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可确定出的算术平方根．
【解答】解：将x＝2，y＝1代入方程组得：，
①+②×2得：5n＝10，即n＝2，
将n＝2代入②得：4﹣m＝1，即m＝3，
∴m+3n＝3+6＝9，
则3，3的算术平方根为．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．已知关于x，y的方程组和的解相同，则（a+b）2021的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2021
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出所求．
【解答】解：联立得：，
①×5+②×3得：29x＝58，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
代入得：，
解得：，
则原式＝（﹣2+2）2021＝0．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
7．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒．则下列方程组中符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是：（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；（2）制作盒身的铁皮张数+制作盒底的铁皮张数＝35，再列出方程组即可．
【解答】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，
根据题意可列方程组：，
故选：C．
【点评】此题考查从实际问题中抽出二元一次方程组，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．
8．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y＝6，即可求出k．
【解答】解：，
①+②，得
2x＝14k，
∴x＝7k，
把x＝7k代入①，得
7k+y＝5k，
∴y＝﹣2k，
∴，
∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，
∴2×7k+3×（﹣2k）＝6，
解得k，
故选：A．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解等知识点，能得出关于k的方程是解此题的关键．
9．八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长等于（　　）
A．15cm B．30cm C．40 cm D．45 cm
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】D
【分析】就从右边长方形的宽60cm入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长+一个小长方形的宽＝60．
【解答】解：设每块长方形地砖的长为xcm，宽为ycm．
依题意得，
解得．
即：长方形地砖的长为45cm．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．应从题中所给的已知量60入手，找到最简单的两个等量关系，列出方程组是解题的关键．
10．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（　　）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
【考点】三元一次方程组的应用．
【答案】D
【分析】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论．
【解答】解：设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意，得
，
解得：2a＝152，
∴a＝76．
故选：D．
【点评】本题考查了运用列三元一次方程组解决实际问题的运用及方程组的解法的运用，在解答时设参数建立方程是关键．
二．填空题（共5小题）
11．如果是方程6x+by＝32的解，则b＝　7　 ．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】方程思想．
【答案】7
【分析】将x＝3，y＝2代入方程6x+by＝32，把未知数转化为已知数，然后解关于未知系数b的方程．
【解答】解：把x＝3，y＝2代入方程6x+by＝32，得
6×3+2b＝32，
移项，得2b＝32﹣18，
合并同类项，系数化为1，得b＝7．
【点评】本题的关键是将方程的解代入原方程，把关于x、y的方程转化为关于系数b的方程，此法叫做待定系数法，在以后的学习中，经常用此方法求函数解析式．
12．若关于x，y的二元一次方程的解也是二元一次方程x+y＝4的解，则k的值为　2　 ．
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【专题】整体思想；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2
【分析】根据加减消元法将方程组变为一个方程，再根据已知条件即可求解．
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程的解也是二元一次方程x+y＝4的解，
∴
①+②得x+y＝2k
∴2k＝4
∴k＝2
故答案为2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是整体思想的运用．
13．已知关于x，y的二元一次方程（2m﹣1）x+（m+1）y﹣m+2＝0，无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是　　 ．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】压轴题；转化思想；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】
【分析】将方程（2m﹣1）x+（m+1）y﹣m+2＝0整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：将方程（2m﹣1）x+（m+1）y﹣m+2＝0整理得：
（2x+y﹣1）m﹣x+y+2＝0
∵无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解
∴
解得：
故答案为：．
【点评】本题考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，转化思想是解答本题的关键，当然，本题也可以采用特殊值法来求解，即取两个不同的m值，解两次二元一次方程组，但此法比较麻烦，
14．已知3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b＝　9　 ．
【考点】二元一次方程的定义．
【答案】9
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面考虑，求得a、b的值，代入（a+b）b中即可求出．
【解答】解：
因为3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，
则，
利用代入法求出a＝1，b＝2．
把a＝1，b＝2代入，得（a+b）b＝9．
【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
15．若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为　　 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】计算题．
【答案】
【分析】利用整体思想可得，
【解答】解：利用整体思想可得，解得．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是学会利用整体的思想解决问题．
三．解答题（共5小题）
16．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】压轴题；方案型．
【答案】见试题解答内容
【分析】方案1：把140吨蔬菜全部粗加工，每吨获利4500元；
方案2：15天精加工，每天加工6t，每吨获利7500；剩下的50t直接销售，每吨获利1000元；
方案3：等量关系为：精加工天数+粗加工天数＝15，精加工吨数+粗加工吨数＝140．
【解答】解：①方案一获利为：4500×140＝630000（元）．
②方案二获利为：7500×（6×15）+1000×（140﹣6×15）＝675000+50000＝725000（元）．
③设x天进行粗加工，y天进行精加工，
由题意，得
解得：
所以方案三获利为：7500×6×10+4500×16×5＝810000（元）．
由于810000＞725000＞630000，所以选择方案三获利最多．
答：选择方案三获利最多．
【点评】选择获利最多方案，用到的关系式为每吨获利×吨数＝总获利，注意精加工和粗加工每吨获利不同．
17．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×14得：14x+14y＝14④
①﹣④得：y＝2，从而得x＝﹣1
所以原方程组的解是
（1）请你运用上述方法解方程组
（2）请你直接写出方程组的解是 　　 ；
（3）猜测关于x、y的方程组（m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）、（2）利用“加减消元”来解方程组；
（3）先假设该方程组的解，然后代入原方程组验证即可．
【解答】解：（1）②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×2005得：2005x+2005y＝2005④
①﹣④得：y＝2，
把y＝2代入③得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1
所以原方程组的解是：
（2）
（3）
当x＝﹣1，y＝2时，第一个方程：左边＝﹣m+（m+1）×2＝﹣m+2m+2＝m+2＝右边
第二个方程：左边＝﹣n+（n+1）×2＝﹣n+2n+2＝n+2＝右边
∴是原方程组的解．
【点评】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
18．某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如下表所示：
A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】销售问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由总价＝单价×数量，利润＝售价﹣进价建立方程组求出其解即可；
（2）分别求出打折后的价格，再根据总利润＝A种服装的利润+B中服装的利润，求出其解即可．
【解答】解：（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得
，
解得：．
答：A种服装购进50件，B种服装购进30件；
（2）由题意，得
3800﹣50（100×0.8﹣60）﹣30（160×0.7﹣100）
＝3800﹣1000﹣360
＝2440（元）．
答：服装店比按标价售出少收入2440元．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时由销售问题的数量关系建立二元一次方程组是关键．
19．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将方程x+2y﹣6＝0化为y＝3﹣二分之一x，再由x，y为正整数，即可得出结论；
（2）将x+y＝0与x+2y﹣6＝0组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：x﹣2y+mx+5＝0中，可得m的值；
（3）根据方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解．
【解答】解：（1）∵x+2y﹣6＝0，
∴y＝3x，
又因为x，y为正整数，
∴3x＞0，
即：x只能取2或4；
∴方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解：，；
（2）由题意得：，解得
把代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m；
（3）∵方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，
∴x＝0，
把x＝0代入x﹣2y+mx+5＝0中得：y＝2.5，
∴x＝0，y＝2.5．
【点评】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
20．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】把甲的结果代入第二个方程，乙的结果代入第一个方程，联立求出m与n的值，即可确定出原方程组的解．
【解答】解：把代入得：7+2n＝13，
把代入得：3m﹣7＝5，
解得：n＝3，m＝4，
∴原方程组为，
解得：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

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