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第十一章 不等式与不等式组
一．选择题（共10小题）
1．已知关于x的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数m的和为（　　）
A．21 B．24 C．15 D．30
2．若关于x的不等式组的解集为x≥a，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
3．不等式﹣2x≤﹣6的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知数轴上点A，B分别表示实数a，b，若点A在点B的右边，则下列不等式成立的有（　　）
（1）a﹣1＜b﹣1；（2）；（3）﹣2a＜﹣2b；（4）；（5）a2＜b2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知关于x的不等式3x﹣a＜0的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　）
A．9＜a＜12 B．9≤a＜12 C．9＜a≤12 D．9≤a≤12
7．已知实数a，b满足a﹣b+2＝0，0＜a+b+2＜1，则下列判断正确的是（　　）
A．﹣1＜a＜0 B．0＜b＜1
C．﹣4＜2a+4b＜﹣1 D．﹣2＜4a+2b＜0
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m＜﹣2 D．﹣3≤m≤﹣2
10．不等式组的解集在数轴上表示正确的为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．已知不等式6x﹣1＞5x﹣2的最小整数解是方程2x﹣kx＝4﹣2k的解，则k＝　 　 ．
12．小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为m（m＞10），选择在甲窗口排队取餐．他观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐．
（1）2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队轮到他取餐所需时间为　 　 ；（用含m的式子表示）
（2）在（1）的条件下，若小明在乙窗口取到餐所需时间比不换队伍继续在甲窗口排队轮到他取餐所需时间少，不考虑其他因素，则m的最小值为　 　 ．
13．阅读：我们知道，于是要解不等式|x﹣3|≤4，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：①当x﹣3≥0，即x≥3时，x﹣3≤4，解得x≤7，所以3≤x≤7；
②当x﹣3＜0，即x＜3时，﹣（x﹣3）≤4，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜3．
所以原不等式的解集为﹣1≤x≤7．
根据以上思想，不等式|x﹣1|≤2的解集是　 　 ．
14．18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中i≤n，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i＝1时，．若，则n＝　 　 ，m＝　 　 ．
15．已知m，n为实数，且，则m﹣n＝ 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．某体育场馆为保障足球赛事顺利进行，计划采购甲、乙两类设备，助力场地修复．已知采购2台甲设备和1台乙设备需13万元，采购1台甲设备和3台乙设备需19万元．
（1）求甲设备和乙设备的单价分别是多少万元？
（2）该体育场馆计划采购甲、乙两种设备共计6台，且投入资金不超过28万元，请问至少需采购甲设备多少台？
17．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的“相伴方程”．
（1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是 　 　 ；（填序号）
①x﹣1＝0；②2x+1＝0；③﹣2x﹣2＝0．
（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程2x+6＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中m≠1，求m的取值范围．
18．“智能引领未来，科技赋能生活”．为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下：
①机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息；
②系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时；
③系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作．
由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队．
已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为（a2﹣b2）平方米，第二层需清扫的面积为（a﹣b）2平方米，其中0＜b＜a＜5b．
任务一：计算机器人的工作效率
原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积．
任务二：比较机器人的清洁时长
体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务．
任务三：设计人工清洁方案
某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算．
表1
任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min）
P1 观众席 甲 75
P2 比赛场地 乙 40
P3 出入通道 甲、乙合作 35
P4 内场角落 乙 70
表2
团队 基础收费（元） 工时费（元/小时）
甲 500 1200
乙 800 1000
请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计）
（要求：①每个任务包由系统分配的团队完成；②每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；③甲乙合作的任务需两个团队同时开始；④设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；⑤所有的任务包的任务都要完成）．
19．小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元．
（1）求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本；
（2）若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算．
20．若关于x、y的二元一次方程组的解满足0＜x+y＜2．
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|5﹣a|﹣|a﹣4|．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．已知关于x的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数m的和为（　　）
A．21 B．24 C．15 D．30
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，先求出原不等式组的解集为x≤6，结合原不等式组有四个整数解，从而23，进而可以得解．
【解答】解：解不等式3x﹣m＞0得，x；
解不等式x﹣1≤5得，x≤6，
∴原不等式组的解集为x≤6．
∵原不等式组有四个整数解，
∴原不等式组有四个整数解为3，4，5，6．
∴23．
∴6≤m＜9．
∵m是整数，
∴满足条件的整数m为：6，7，8．
∴满足题意的所有整数m的和6+7+8＝21．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
2．若关于x的不等式组的解集为x≥a，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，先分别解两个不等式，得到x＞3和x≥a，由于解集为x≥a，则需满足a＞3即可．
【解答】解：由题意，∵，
∴解不等式2（x﹣1）＞4得，x＞3；
解不等式x﹣a≥0得，x≥a，
∵不等式组的解集为x≥a，
∴a＞3，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．不等式﹣2x≤﹣6的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先解不等式，再在数轴上表示解集即可．
【解答】解：﹣2x≤﹣6，
解得：x≥3，则：
．
故选：D．
【点评】本题考查了解不等式和在数轴上表示不等式解集，解题关键是准确的解不等式，会在数轴上表示解集．
4．已知数轴上点A，B分别表示实数a，b，若点A在点B的右边，则下列不等式成立的有（　　）
（1）a﹣1＜b﹣1；（2）；（3）﹣2a＜﹣2b；（4）；（5）a2＜b2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】不等式的性质；实数与数轴；不等式的定义．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，结合举反例逐一分析判断即可．
【解答】解：已知数轴上点A，B分别表示实数a，b，若点A在点B的右边，则：
∵a＞b，
∴a﹣1＞b﹣1，，﹣2a＜﹣2b，
当a＝3，b＝1时，a＞b，而a2＞b2，
当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，而，
∴不等式成立的有1个．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，分别求出两个不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式4﹣2x＞0得，
x＜2，
解不等式3（x﹣1）≤﹣6得，
x≤﹣1，
数轴表示如下：
，
显然只有D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
6．已知关于x的不等式3x﹣a＜0的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　）
A．9＜a＜12 B．9≤a＜12 C．9＜a≤12 D．9≤a≤12
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】C
【分析】再解不等式时要根据不等式的基本性质．
先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可求解．
【解答】解：由题意解得：，
∵由题意可得：正整数解为1，2，3，
∴，
∴9＜a≤12．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．
7．已知实数a，b满足a﹣b+2＝0，0＜a+b+2＜1，则下列判断正确的是（　　）
A．﹣1＜a＜0 B．0＜b＜1
C．﹣4＜2a+4b＜﹣1 D．﹣2＜4a+2b＜0
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】由a﹣b+2＝0得出b＝a+2，代入0＜a+b+2＜1可得﹣2＜a，再求0＜b，分别代入选项判断即可．
【解答】解：∵a﹣b+2＝0，
∴b＝a+2，
∵0＜a+b+2＜1，
∴0＜a+a+2+2＜1，即0＜2a+4＜1，
∴﹣2＜a，故选项A不合题意；
∵b＝a+2，﹣2＜a，
∴0＜b，故选项B不合题意；
由﹣2＜a，得﹣4＜2a＜﹣3，﹣8＜4a＜﹣6，
由0＜b，得0＜2b＜1，0＜4b＜2，
∴﹣4＜2a+4b＜﹣1，﹣8＜4a+2b＜﹣5，故选项C符合题意，选项D不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并将解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由2x﹣2＜x得，x＜2；
由2（x﹣1）≥x﹣5得，x≥﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
数轴表示如下：
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
9．关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m＜﹣2 D．﹣3≤m≤﹣2
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
∵不等式组的整数解只有4个，
∴整数解为1，0，﹣1，﹣2，
∴﹣3＜m≤﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，根据不等式组的解集得到整数解为1，0，﹣1，﹣2是解决本题的关键．
10．不等式组的解集在数轴上表示正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】分别计算出两个不等式的解，再求解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜﹣1，
∴原不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣1，
把不等式组的解集在数轴上表示出来，如图：
故选：D．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式组的解集，正确进行计算是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．已知不等式6x﹣1＞5x﹣2的最小整数解是方程2x﹣kx＝4﹣2k的解，则k＝　2　 ．
【考点】一元一次不等式的整数解；一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】首先解出一元一次不等式的解集，再确定出x的值，再把x的值代入方程即可得到关于k的方程，再解方程即可算出k的值．
【解答】解：由题意，∵6x+1＞5x﹣2，∴x＞﹣3，
∵x是不等式5x﹣2＜6x+1的最小整数解，
∴x＝﹣2，
把x＝﹣2代入方程2x﹣kx＝4﹣2k中得：2×（﹣2）﹣（﹣2）×k＝4﹣2k，
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解集，整数解，以及方程的解，关键是正确确定出x的值．
12．小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为m（m＞10），选择在甲窗口排队取餐．他观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐．
（1）2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队轮到他取餐所需时间为　　 ；（用含m的式子表示）
（2）在（1）的条件下，若小明在乙窗口取到餐所需时间比不换队伍继续在甲窗口排队轮到他取餐所需时间少，不考虑其他因素，则m的最小值为　17　 ．
【考点】一元一次不等式的应用；列代数式．
【专题】整式；应用意识．
【答案】（1）；（2）17．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．
【解答】解：（1）由题意得，小明在乙窗口排队取到餐所需时间为：；
故答案为：；
（2）不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间为：，
由题意得，
解得m＞16，
所以排队人数m的最小值为17，
故答案为：17．
【点评】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，正确列出代数式与一元一次不等式是解此题的关键．
13．阅读：我们知道，于是要解不等式|x﹣3|≤4，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：①当x﹣3≥0，即x≥3时，x﹣3≤4，解得x≤7，所以3≤x≤7；
②当x﹣3＜0，即x＜3时，﹣（x﹣3）≤4，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜3．
所以原不等式的解集为﹣1≤x≤7．
根据以上思想，不等式|x﹣1|≤2的解集是　﹣1≤x≤3　 ．
【考点】不等式的解集；绝对值．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1≤x≤3．
【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集
【解答】解：仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式如下：
|x﹣1|≤2，
当x﹣1≥0时，x≥1，
∴x﹣1≤2，解得x≤3，
∴1≤x≤3；
当x﹣1＜0时，x＜1，
∴﹣（x﹣1）≤2，解得x≥﹣1，
∴﹣1≤x＜1，
∴原不等式的解集为﹣1≤x≤3．
故答案为：﹣1≤x≤3．
【点评】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是关键．
14．18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中i≤n，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i＝1时，．若，则n＝　4　 ，m＝　20　 ．
【考点】一元一次不等式的整数解；规律型：数字的变化类．
【专题】整式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】4，20．
【分析】根据，把k＝2代入，然后通过法则进行计算对比即可求解．
【解答】解：∵，且3x2+px+m中二次项系数为3，
∴n＝4，
∴若（x﹣2）（x﹣1）+（x﹣3）（x﹣2）+（x﹣4）（x﹣3）
＝x2﹣3x+2+x2﹣5x+6+x2﹣7x+12
＝3x2﹣15x+20，
∴3x2﹣15x+20＝3x2+px+m，
∴m＝20，
故答案为：4，20．
【点评】本题考查了多项式乘多项式求和，恒等式的问题，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
15．已知m，n为实数，且，则m﹣n＝ 　﹣2022　 ．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2022．
【分析】先根据二次根式的意义列不等式组求出n的值，再根据等式求出m的值，再代入计算．
【解答】解：由题意得：，
解得：n＝2024，
∴m＝2，
∴m﹣n＝2﹣2024＝﹣2022，
故答案为：﹣2022．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．某体育场馆为保障足球赛事顺利进行，计划采购甲、乙两类设备，助力场地修复．已知采购2台甲设备和1台乙设备需13万元，采购1台甲设备和3台乙设备需19万元．
（1）求甲设备和乙设备的单价分别是多少万元？
（2）该体育场馆计划采购甲、乙两种设备共计6台，且投入资金不超过28万元，请问至少需采购甲设备多少台？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）甲设备的单价为4万元，乙设备的单价为5万元；
（2）至少需采购甲设备2台．
【分析】（1）设甲设备的单价为x万元，乙设备的单价为y万元，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设采购甲设备m台，则采购乙设备（6﹣m）台，根据题意列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）设甲设备的单价为x万元，乙设备的单价为y万元．采购2台甲设备和1台乙设备需13万元，采购1台甲设备和3台乙设备需19万元．
根据题意，得，
解得，
答：甲设备的单价为4万元，乙设备的单价为5万元；
（2）设采购甲设备m台，
得4m+5（6﹣m）≤28
解得m≥2．
答：至少需采购甲设备2台．
【点评】本题考查一元一次不等式的一应用，正确进行计算是解题关键．
17．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的“相伴方程”．
（1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是 　①②　 ；（填序号）
①x﹣1＝0；②2x+1＝0；③﹣2x﹣2＝0．
（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程2x+6＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中m≠1，求m的取值范围．
【考点】解一元一次不等式组；一元一次方程的解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）①②；（2）3＜k≤4；（3）1＜m≤2．
【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可；
（3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m＜1时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当m＞1时，求出不等式组的解集，再判断即可．
【解答】解：（1）解不等式组，得﹣1＜x＜2，
解方程x﹣1＝0得：x＝1；
解方程2x+1＝0得：；
解方程﹣2x﹣2＝0得：x＝﹣1，
∵﹣1＜1＜2，，﹣1＝﹣1，
∴①②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：①②；
（2）解不等式组得：，
解方程2x﹣k＝2得：，
∵关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：3＜k≤4，
即k的取值范围是3＜k≤4；
（3）解方程2x+6＝0得x＝﹣3，
解方程得x＝﹣1，
∵方程2x+6＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠1，
所以分为两种情况：①当m＜1时，则m﹣1＜0，
∴不等式组为，
此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去；
②当m＞1时，不等式组的解集是m﹣5≤x＜1，
所以根据题意得：，
解得：1＜m≤2，
所以m的取值范围是1＜m≤2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
18．“智能引领未来，科技赋能生活”．为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下：
①机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息；
②系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时；
③系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作．
由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队．
已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为（a2﹣b2）平方米，第二层需清扫的面积为（a﹣b）2平方米，其中0＜b＜a＜5b．
任务一：计算机器人的工作效率
原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积．
任务二：比较机器人的清洁时长
体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务．
任务三：设计人工清洁方案
某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算．
表1
任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min）
P1 观众席 甲 75
P2 比赛场地 乙 40
P3 出入通道 甲、乙合作 35
P4 内场角落 乙 70
表2
团队 基础收费（元） 工时费（元/小时）
甲 500 1200
乙 800 1000
请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计）
（要求：①每个任务包由系统分配的团队完成；②每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；③甲乙合作的任务需两个团队同时开始；④设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；⑤所有的任务包的任务都要完成）．
【考点】一元一次不等式的应用；分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】任务一：原购置的机器人每小时清洁面积为2400平方米；
任务二：原机器人先完成基础清洁任务；
任务三：人工清洁最优方案为：甲乙先合作完成P3任务，之后甲单独完成P1任务，乙依次完成P2、P4任务，总完成时间为145分钟，总外包费用为6200元．
【分析】任务一：通过设效率、列分式方程求解，先算出清洁工效率，再得到原机器人每小时清洁面积；
任务二：用作差比面积、作商比时间，结合效率关系判断出原机器人先完成任务；
任务三：按分工约束排最优流程，算总时长再按计费规则求出总外包费用．
【解答】任务一：设一个清洁工每小时清洁面积为x平方米，
则原购置机器人每小时清洁面积为6x平方米．
2，
x＝400
检验：当＝400时，6x＝2400≠0，
因此x＝400是原分式方程的解，且符合实际意义．
∴原机器人每小时清洁面积6x＝6×400＝2400（平方米）；
任务二：第一层面积；
第二层面积；
因为0＜b＜a＜5b，
所以a﹣b＞0，a+b＞a﹣b（b＞0），
故S1＞S2．
新机器人清洁S1，原机器人清洁S2，
设新机器人每小时清洁面积为y平方米，
根据题意2400＜y≤1.5×2400＝3600；
新机器人时长；
原机器人时长；
比较t1与t2，，
得2400（a+b）与y（a﹣b）；
因为y≤3600，
所以y（a﹣b）≤3600（a﹣b）；
由a＜5b得﹣1200（a﹣5b）＞0，
2400（a+b）＞3600（a﹣b）；
因此y（a﹣b）≤3600（a﹣b）＜2400（a+b），
即2400（a+b）＞y（a﹣b）；
故，即t1＞t2；
任务三：①任务包不可更换团队：P1仅甲完成，P2、P4仅乙完成，P3需甲乙同时开工合作完成；
②团队总时长为从开工到该团队所有任务结束的时间，总完成时间为两个团队时长的最大值；
③工时费不足0.5小时按0.5小时计算，基础费每个团队仅收取一次．
1．最优清洁流程（最短完成时间）为最小化总时长，将必须同步进行的P3任务放在最开始执行，流程：第0～55分钟：甲乙同时开工，合作完成P3任务；
第35分钟起：甲团队：完成P3后立即开始P1任务，P1需75分钟，在第35+75＝110分钟完成所有图队：完成P8后依次完成P2 （A0分钟）、P4（70分钟），P2在第35+40＝75分钟完成，P4在第75+70＝145分钟完成所有任务．
2．甲团队总时长：110分钟；
乙团队总时长：145分钟；
总完成时间＝max（110，145）＝145分钟（2小时25分钟）；
3．甲团队：总时长110分钟 1.83小时，按2小时计费，
费用＝500+1200x2＝2900元；
乙团队：总时长145分钟≈2.42小时，按2.5小时计费，
费用＝800+1000×2.5＝3300元，
总费用：2900+3300＝6200元；
故：最优清洁方案为：甲乙先同步合作完成P3（0～35分钟），随后甲单独完成P1（35～110分钟）；乙依次完成P2（35～75分钟）、P4（75～145分钟）；
总完成时间为145分钟，总外包费用为6200元．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19．小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元．
（1）求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本；
（2）若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元；
（2）共有17种采购方案．
【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本；
（2）根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量．
【解答】解：（1）设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元，
，
解得，
答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元；
（2）设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件（100﹣m）个，m为正整数，
根据题意可得，
解得，
因为m为正整数，所以m的取值为34，35，...，50，
m的可取值个数为50﹣34+1＝17，
答：若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王共有17种采购方案．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20．若关于x、y的二元一次方程组的解满足0＜x+y＜2．
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|5﹣a|﹣|a﹣4|．
【考点】解一元一次不等式组；绝对值；二元一次方程组的解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）﹣4＜a＜4；
（2）1．
【分析】（1）将方程组两式相加，直接得到x+y关于a的表达式，避免分别求解x，y，代入0＜x+y＜2，解关于a的不等式组，即可得到a得取值范围；
（2）根据（1）中a的取值范围﹣4＜a＜4，判断绝对值内式子的正负性，利用绝对值的性质去绝对值符号，在合并同类项完成化简．
【解答】解：（1）将方程①+②：
（3x+y）+（x+3y）＝（1+a）+3，
4x+4y＝4+a
x+y1，
∵0＜x+y＜2．代入得：
0＜12，
﹣11，
﹣4＜a＜4，
即a的取值范围为﹣4＜a＜4，
（2）由（1）知﹣4＜a＜4，
∴5﹣a＞0，a﹣4＜0，
根据绝对值性质：
|5﹣a|﹣|a﹣4|
＝（5﹣a）﹣（4﹣a）
＝5﹣a﹣4+a
＝1
【点评】本题考查了二元一次方程组的整体求解、一元一次不等式组的解法以及绝对值的化简．熟练掌握整体代入思想、不等式组解法和绝对值的性质是解题的关键．

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