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第十一章 不等式与不等式组
一．选择题（共10小题）
1．关于x的不等式组有解，那么m的取值范围为（　　）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≥﹣1 D．m＞﹣1
2．关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜0
3．关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣5＜a＜﹣3 B．﹣5≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣3
4．已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：
①；②；③；④
其中不等式正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
5．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
6．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（　　）
A．x2 B．x＜x2 C．x D．x＜x2
7．已知方程组：的解x，y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m≥1 D．m≤1
8．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
9．已知关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
10．已知不等式2x﹣a≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞10 B．10≤a≤12 C．10＜a≤12 D．10≤a＜12
二．填空题（共5小题）
11．x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为 　 　 ．
12．若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为　 　 ．
13．如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是　 　 ．
14．已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是　 　 ．
15．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a b＝a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式3 x＜13的解集为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均为非零常数）．例如：T（1，1）＝3m+3n．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．
①求m，n的值；
②若关于p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围；
（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．
17．已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小正整数解是方程3xax＝6的解，求a的值．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．某文化用品商店计划同时购进一批A、B两种型号的计算器，若购进A型计算器10只和B型计算器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元．
（1）求A、B两种型号的计算器每只进价各是多少元？
（2）该经销商计划购进这两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一只A型计算器可获利10元，销售一只B型计算器可获利15元．该经销商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元．则该经销商有哪几种进货方案？
20．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或 ②．
解①得x；解②得x＜﹣3．
∴不等式的解集为x或x＜﹣3．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．
（2）求不等式0的解集．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．关于x的不等式组有解，那么m的取值范围为（　　）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≥﹣1 D．m＞﹣1
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解可得答案．
【解答】解：，
解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，
解不等式3x﹣1＞2（x﹣1），得：x＞﹣1，
∵不等式组有解，
∴m＞﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜0
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质3，两边都除以m+1后得到x＜1，可知m+1＜0，解之可得．
【解答】解：∵不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，
∴m+1＜0，即m＜﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣5＜a＜﹣3 B．﹣5≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣3
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；符号意识；运算能力．
【答案】C
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值．
【解答】解：解不等式2x+a≤1得：x，
不等式有两个正整数解，一定是1和2，
根据题意得：23，
解得：﹣5＜a≤﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
4．已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：
①；②；③；④
其中不等式正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【考点】不等式的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】A
【分析】由，a、b、c、d都是正实数，根据不等式不等式的性质不等式都乘以bd得到ad＜bc，然后两边都加上ac得到ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），然后两边都除以（c+d）（a+b）得到，得到①正确，②不正确；同理可得到，则③正确，④不正确．
【解答】解：∵，a、b、c、d都是正实数，
∴ad＜bc，
∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），
∴，所以①正确，②不正确；
∵，a、b、c、d都是正实数，
∴ad＜bc，
∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c），
∴，所以③正确，④不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
5．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【答案】D
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
【解答】解：由（1）得，x＜m，
由（2）得，x≥3，
故原不等式组的解集为：3≤x＜m，
∵不等式组的正整数解有4个，
∴其整数解应为：3、4、5、6，
∴m的取值范围是6＜m≤7．
故选：D．
【点评】本题是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．
6．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（　　）
A．x2 B．x＜x2 C．x D．x＜x2
【考点】不等式的性质．
【答案】A
【分析】先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．
【解答】解：当0＜x＜1时，
在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，
在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1，
又∵x＜1，
∴x2、x、的大小顺序是：x2＜x．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式，解决问题的关键是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或．
7．已知方程组：的解x，y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m≥1 D．m≤1
【考点】解一元一次不等式；解二元一次方程组．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】A
【分析】本题首先要解这个关于x、y的一元一次方程，求出方程组的解，根据题意，可以得到一个关于m的不等式，就可以求出m的范围．
【解答】解：，
②﹣①×2得，
7x＝﹣m+1，
解得x③；
把③代入①得，
y④；
∵2x+y≥0，
∴20，
解得m．
故选：A．
【点评】本题是一个方程组与不等式的综合题目．解关于m的不等式是本题的一个难点．解答此题，需要对以下问题有一个深刻的认识：①使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解；②二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
8．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】先解不等式，求出解集，然后根据题中已告知的解集，进行比对，从而得出两个方程，解答即可求出a、b．
【解答】解：不等式组，
解得，，
即，2b+3＜x，
∵﹣1＜x＜1，
∴2b+3＝﹣1，，
得，a＝1，b＝﹣2；
∴（a+1）（b﹣1）＝2×（﹣3）＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9．已知关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】解不等式组和方程得出关于x的范围及x的值，根据不等式组有4个整数解和方程的解为整数得出k的范围，继而可得整数k的取值．
【解答】解：解关于x的方程9x﹣3＝kx+14得：x，
∵方程有整数解，
∴9﹣k＝±1或9﹣k＝±17，
解得：k＝8或10或﹣8或26，
解不等式组得不等式组的解集为x＜5，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴01，
解得：2＜k≤30；
所以满足条件的整数k的值为8、10、26，
故选：C．
【点评】本题主要考查方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于k的范围是解题的关键．
10．已知不等式2x﹣a≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞10 B．10≤a≤12 C．10＜a≤12 D．10≤a＜12
【考点】一元一次不等式的整数解．
【答案】D
【分析】先求出不等式的解集，再根据正整数解恰好是1，2，3，4，5，逆推a的取值范围．
【解答】解：解不等式2x﹣a≤0得：xa．
根据题意得：5a＜6，
解得：10≤a＜12．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，解答此题要先求出不等式的解集，再根据整数解的情况确定a的取值范围．本题要求熟练掌握不等式及不等式的解法，准确地理解整数解在不等式解集中的意义，并会逆推式子中有关字母的取值范围．
二．填空题（共5小题）
11．x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为 x2+y2≥0　 ．
【考点】不等式的定义．
【答案】x2+y2≥0
【分析】根据非负数是大于或等于零的数，可得答案．
【解答】解：由x与y的平方和一定是非负数，得
x2+y2≥0，
故答案为：x2+y2≥0．
【点评】本题考查了不等式的定义，利用非负数是大于或等于零的数得出不等式是解题关键．
12．若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为　　 ．
【考点】不等式的解集．
【答案】
【分析】根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：解3m﹣2x＜5，得
x．
由不等式的解集，得
3．
解得m．
故答案为：．
【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于m的方程是解题关键．
13．如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是　21　 ．
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】压轴题；图表型．
【答案】21
【分析】分x为奇数和偶数两种情况，分别求解，再比较作出判断即可．
【解答】解：若x为偶数，根据题意，得：x×4+13＞100，
解之，得：x，
所以此时x的最小整数值为22；
若x为奇数，根据题意，得：x×5＞100，
解之，得：x＞20，
所以此时x的最小整数值为21，
综上，输入的最小正整数x是21．
【点评】此类题目，属于读图解不等式，关键是依流程图列出准确的不等式．
14．已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是m　 ．
【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用．
【答案】m
【分析】先求出方程的解，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：解方程得：x，
∵方程的解为非负数，
∴0，
则4m﹣5≥0，
∴4m≥5，
∴m，
故答案为：m．
【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
15．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a b＝a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式3 x＜13的解集为 x＞﹣1　 ．
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】新定义．
【答案】x＞﹣1
【分析】根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可．
【解答】解：3 x＜13，
3（3﹣x）+1＜13，
解得：x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1．
【点评】此题考查一元一次不等式解集的求法，理解运算的方法，改为不等式是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均为非零常数）．例如：T（1，1）＝3m+3n．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．
①求m，n的值；
②若关于p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围；
（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．
【考点】一元一次不等式组的整数解；有理数的混合运算；解二元一次方程组．
【专题】数与式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题；
【解答】解：（1）①由题意，得，
∴，
②由题意，得
解不等式①，得p＞﹣1．
解不等式②，得．
∴．
∵恰好有3个整数解，∴．
∴42≤a＜54．
（2）由题意：（mx+ny）（x+2y）＝（my+nx）（y+2x），
∴mx2+（2m+n）xy+2ny2＝2nx2+（2m+n）xy+my2，
∵对任意有理数x，y都成立，
∴m＝2n．
【点评】本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小正整数解是方程3xax＝6的解，求a的值．
【考点】一元一次不等式的整数解；一元一次方程的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，然后根据不等式最小整数解是方程的解，进而求得a．
【解答】解：∵5x﹣2＜6x+1，
∴x＞﹣3，
∴不等式5x﹣2＜6x+1的最小正整数解为x＝1，
∵x＝1是方程3xax＝6的解，
∴a＝﹣2．
【点评】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．
在数轴上表示不等式组的解集为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
19．某文化用品商店计划同时购进一批A、B两种型号的计算器，若购进A型计算器10只和B型计算器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元．
（1）求A、B两种型号的计算器每只进价各是多少元？
（2）该经销商计划购进这两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一只A型计算器可获利10元，销售一只B型计算器可获利15元．该经销商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元．则该经销商有哪几种进货方案？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据A型计算器10只和B型计算器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元，得出等量关系，列出二元一次方程组即可；
（2）根据经销商计划购进这两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过2520元，可得出不等式关系，再利用销售一只A型计算器可获利10元，销售一只B型计算器可获利15元，销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元，即可得出不等式组，求出即可．
【解答】解：（1）设A型计算器进价是x元，B型计算器进价是y元，
得
解得
答：每只A型计算器进价是40元，每只B型计算器进价是60元．
（2）设购进A型计算器为z只，则购进B型计算器为（50﹣z）只，得：
解得24≤z≤26，
因为z是正整数，所以z＝24，25，26．
答：该经销商有3种进货方案：①进24只A型计算器，26只B型计算器；
②进25只A型计算器，25只B型计算器；③进26只A型计算器，24只B型计算器．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，根据题意得出有关等量关系是解决问题的关键．
20．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或 ②．
解①得x；解②得x＜﹣3．
∴不等式的解集为x或x＜﹣3．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．
（2）求不等式0的解集．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）、（2）根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得①或②，
解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x；
（2）根据“同号两数相除，积为正”可得①，②，
解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2，
故不等式组的解集为：x≥3或x＜﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

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