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第十章 二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．一辆甲型卡车每次可运货物2吨，一辆乙型卡车每次可运货物3吨，某公司有20吨货物，计划同时租用两种型号卡车若干辆一次运完，且每辆车都装满货物，则租车方案共有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．”意思是：9枚黄金与11枚白银重量恰好相等；若在黄金袋与白银袋中交换1枚，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两．设1枚黄金重x两，1枚白银重y两，下列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．某班准备购买篮球和足球作为期末奖品．据了解，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元．该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买），该班共有（　　）种采购方案
A．2 B．3 C．4 D．5
4．某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
6．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有m人，n辆车，下列四个方程：①3（n﹣2）＝2n+9；②3（n+2）＝2n﹣9；③；④其中符合题意的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
7．我国古代数学著作《算法统宗》中记载着这样一道题，其大意是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒各饮了多少瓶？设他们醇酒饮了x瓶，薄酒饮了y瓶，根据题意可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
9．某村为推广农作物大米品牌，计划将100千克的大米分装成3千克和5千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于10盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（　　）
A．6种 B．5种 C．3种 D．2种
10．阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　）
A．
B．Dx＝﹣14
C．Dy＝27
D．方程组的解为
二．填空题（共5小题）
11．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形ABCD中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是　 　 ．
12．如图1，2用四个完全相同的直角三角形分别拼出正方形，边长分别为6与2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝　 　 ．
13．算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位…，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是　 　 ．
14．已知是关于x，y的二元一次方程组的一个解，则8m﹣4n﹣1的值是　 　 （用含k的式子表示）．
15．一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30克．设蛋白质、脂肪的含量分别为x克，y克，可列出方程　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表：
类别 素材内容
素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为20km/h，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为60km/h，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长＝行驶时长+固定消耗时长）
素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．
素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼A型”和“旋翼B型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼A型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼B型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买．
问题解决：
任务 内容
任务1 现有一份紧急文件需要从A地送往B地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省　 　 分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离）
任务2 根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？
任务3 根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的总载重最大？最大总载重是多少？
17．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少．
18．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少．
19．为丰富学生的课余生活，某班计划购买若干篮球和足球．据了解，买6个篮球和10个足球需要1700元：买10个篮球和20个足球需要3100元．
（1）求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
（2）该班计划恰好用3000元购买篮球和足球（两种均购买），求该班共有哪几种采购方案．
20．贴春联是中国人过年的重要习俗．马年春节临近，沃尔玛超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如表所示．全部销售后可获得利润810元．
A种春联 B种春联
进价（元/副） 15 12
售价（元/副） 18 14.5
（1）沃尔玛超市购进A、B两种春联各多少副？
（2）由于两种春联的销量比较好，沃尔玛超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问沃尔玛超市可以有哪几种购买方案？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．一辆甲型卡车每次可运货物2吨，一辆乙型卡车每次可运货物3吨，某公司有20吨货物，计划同时租用两种型号卡车若干辆一次运完，且每辆车都装满货物，则租车方案共有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设租用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，根据某公司有20吨货物，计划同时租用两种型号卡车若干辆一次运完，且每辆车都装满货物，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．
【解答】解：设租用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，
由题意得：2x+3y＝20，
整理得：x＝10y，
∵x、y均为正整数，
∴或或，
∴租车方案共有3种，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
2．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．”意思是：9枚黄金与11枚白银重量恰好相等；若在黄金袋与白银袋中交换1枚，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两．设1枚黄金重x两，1枚白银重y两，下列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意找到等量关系：两袋的重量恰好相等，交换一枚后，原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，列方程组即可得到答案．
【解答】解：由题意得，．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系．
3．某班准备购买篮球和足球作为期末奖品．据了解，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元．该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买），该班共有（　　）种采购方案
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元，根据题意，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出篮球和足球每个进价；）设采购m个篮球，n个足球，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案．
【解答】解：设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元．
依题意得：，
解得：，
则每个篮球的进价是150元，每个足球的进价是80元，
设采购m个篮球，n个足球，
依题意得：150m+80n＝4500，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴或或，
答：该班共有3种采购方案．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组，正确进行计算是解题关键．
4．某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意知：该玩具厂共有300名生产工人，且生产车轮的总数量是车架总数量的4倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵该玩具厂共有300名生产工人，
∴x+y＝300；
∵1个车架与4个车轮可配成一套，即生产车轮的总数量是车架总数量的4倍，
∴4×20x＝40y．
∴根据题意可列方程组．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设两种产品的定制数量，根据总花费列出二元一次方程，结合两种产品都需定制，即数量均为正整数的条件，找出方程的正整数解个数，得到方案数．
【解答】解：设定制书签x张，定制笔记本y本，x，y均为正整数．
根据题意列方程得6x+15y＝180，
整理得，
∵x，y均为正整数，
∴或或或或，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
6．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有m人，n辆车，下列四个方程：①3（n﹣2）＝2n+9；②3（n+2）＝2n﹣9；③；④其中符合题意的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立等式即可．
【解答】解：设共有m人，n辆车．
对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为n﹣2，因此人数m＝3（n﹣2）；
对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为m﹣9，因此车辆数，即m＝2n+9，
所以3（n﹣2）＝2n+9，故①正确，符合题意，②错误，不符合题意．
“每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数，
所以，故③正确，符合题意，④错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查根据实际问题列二元一次方程，关键是理解两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立等式．
7．我国古代数学著作《算法统宗》中记载着这样一道题，其大意是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒各饮了多少瓶？设他们醇酒饮了x瓶，薄酒饮了y瓶，根据题意可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据“醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒”列出方程组，即可求解．
【解答】解：根据题意得：．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
8．我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意列出二元一次方程组，即可作答．
【解答】解：根据题意有：，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组在古代问题中的应用，明确题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
9．某村为推广农作物大米品牌，计划将100千克的大米分装成3千克和5千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于10盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（　　）
A．6种 B．5种 C．3种 D．2种
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先设两种礼盒的盒数，根据总重量列方程，再结合盒数的限制条件，找出所有符合要求的整数解，统计方案数即可．
【解答】解：计划将100千克的大米分装成3千克和5千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于10盒）．
设3千克装礼盒有x盒，5千克装礼盒有y盒，x，y均为正整数，
根据题意可得3x+5y＝100，且x≥10，y≥10，
∵x≥10，
∴3x≥30，可得5y＝100﹣3x≤70，即y≤14，
∵y≥10，
∴10≤y≤14，且y为正整数，
∴当y＝10时，，不是整数，不符合，
当y＝11时，x＝15，满足x≥10，符合要求，
当y＝12时，，不是整数，不符合，
当y＝13时，，不是整数，不符合，
当y＝14时，x＝10，满足x≥10，符合要求，
∴符合条件的方案共有2种．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
10．阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　）
A．
B．Dx＝﹣14
C．Dy＝27
D．方程组的解为
【考点】二元一次方程组的解；有理数的混合运算．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据行列式定义计算D、Dx、Dy及方程组的解，对比选项判断正误即可．
【解答】解：根据新定义运算逐项分析判断如下：
，
则A正确，不符合题意；
，
则B正确，不符合题意；
，
则C错误，符合题意；
，，
因此方程组的解为，
则D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查新定义运算，正确理解行列式定义及计算方法是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形ABCD中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是　65　 ．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】65．
【分析】设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据图中各边之间的关系，列出关于x、y的二元一次方程组，解之可得出x、y的值，再由长方形的面积公式即可得出结果．
【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意列二元一次方程组得：，
解得，
∴29（9+3y）﹣8xy＝29（9+3×4）﹣8×17×4＝65，即阴影部分的总面积为65，
故答案为：65．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．如图1，2用四个完全相同的直角三角形分别拼出正方形，边长分别为6与2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝　12　 ．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】12．
【分析】首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解．
【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），
，
解得，
∴S1＝16，S2＝4，
S1﹣S2＝12．
则S1﹣S2的值为12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式．
13．算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位…，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是　615　 ．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】615．
【分析】设个位数字为x，十位数字为y，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，列出方程组进行求解即可．
【解答】解：设个位数字为x，十位数字为y，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，列出方程组得：，
解得：，
∴这个三位数为615．
故答案为：615．
【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意是关键．
14．已知是关于x，y的二元一次方程组的一个解，则8m﹣4n﹣1的值是　2k+1　 （用含k的式子表示）．
【考点】二元一次方程组的解；列代数式；二元一次方程组的定义．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2k+1．
【分析】把代入可得，再由①+②，可得4m﹣2n＝k+1，从而得到8m﹣4n＝2k+2，即可求解．
【解答】解：由题意可得：
，
由①+②得：4m﹣2n＝k+1，
∴8m﹣4n＝2（4m﹣2n）＝2k+2，
∴8m﹣4n﹣1＝2k+2﹣1＝2k+1．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键．
15．一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30克．设蛋白质、脂肪的含量分别为x克，y克，可列出方程　x+x+y＝30　 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】x+x+y＝30．
【分析】由碳水化合物含量是蛋白质的倍，可得出碳水化合物含量为x克，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30克，即可列出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的倍，蛋白质的含量为x克，
∴碳水化合物含量为x克．
∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30克，
∴x+x+y＝30．
故答案为：x+x+y＝30．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表：
类别 素材内容
素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为20km/h，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为60km/h，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长＝行驶时长+固定消耗时长）
素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．
素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼A型”和“旋翼B型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼A型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼B型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买．
问题解决：
任务 内容
任务1 现有一份紧急文件需要从A地送往B地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省　29　 分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离）
任务2 根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？
任务3 根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的总载重最大？最大总载重是多少？
【考点】二元一次方程组的应用；有理数的混合运算．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】任务1：29；
任务2：20；
任务3：①采购方案有：方案一：旋翼A型2台和旋翼B型7台；方案二：旋翼A型5台和旋翼B型5台；方案三：旋翼A型8台和旋翼B型3台；方案四：旋翼A型11台和旋翼B型1台；
②旋翼A型2台和旋翼B型7台总载重最大，为205 kg．
【分析】任务1：根据题意求出“传统骑手”和“无人机”的用时，然后进行求解即可；
任务2：设使用“无人机”配送了x单，“传统骑手”配送了y单，根据单数和费用列出方程组求解即可；
任务3：①设购买旋翼A型m台，旋翼B型n台，根据费用列出代数式，然后根据取值进行确定方案；
②求出每种方案的总载重量，然后进行比较即可．
【解答】解：任务1：由题意得，“传统骑手”用时＝12÷20×60+10＝46（分钟），
“无人机”用时＝12÷60×60+5＝17（分钟），
∴“无人机”比使用“传统骑手”能节省的时间＝46﹣17＝29（分钟），故答案为：29；
任务2：设“无人机”配送了x单，“传统骑手”配送了y单，
∴，
∴，
∴“无人机”配送了20单；
任务3：①设旋翼A型m台，旋翼B型n台，则0.4m+0.6n＝5，
∴，
∵m，n取正整数，
∴25﹣3n为2的正整数倍，且n取奇数，
∴或或或．
∴采购方案有：
方案一：旋翼A型2台和旋翼B型7台；
方案二：旋翼A型5台和旋翼B型5台；
方案三：旋翼A型8台和旋翼B型3台；
方案四：旋翼A型11台和旋翼B型1台；
②结合①可得：方案一总载重量为：2×15+7×25＝205（千克）；
方案二总载重量为：5×15+5×25＝200（千克）；
方案三总载重量为：8×15+3×25＝195（千克）；
方案四总载重量为：11×15+1×25＝190（千克）；
∵205＞200＞195＞190，
∴方案一的总载重量最大，最大总载重是205千克．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，利用二元一次方程组解决实际问题，列代数式确定方案，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程．
17．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元；
（2）购进甲型号90套，乙型号30套时花费最少．
【分析】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，根据每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元，得出方程组，解方程即可；
（2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”（120﹣m）套，花费为w元，根据题意得到w表达式和不等式，解不等式，根据w随m的增大而减小，即可得到结论．
【解答】解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，
则根据题意列二元一次方程组得，，
解得，
即每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元，
答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元；
（2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”（120﹣m）套，花费为w元．
则w＝100（120﹣m）+60m＝﹣40m+12000，
解得m≤30，
又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，
∴0＜m≤30且为整数．
∵﹣40＜0，
∴w随m的增大而减小，
∵m为整数，
∴当m＝30时，w最小，
此时120﹣m＝90，
故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
18．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元；
（2）购进甲型号90套，乙型号30套时花费最少．
【分析】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，根据每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元，得出方程组，解方程即可；
（2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”（120﹣m）套，花费为w元，根据题意得到w表达式和不等式，解不等式，根据w随m的增大而减小，即可得到结论．
【解答】解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，
则，
解得，
答：每套乙型号“文房四宝”的价格为60元，每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，
（2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”（120﹣m）套，花费为w元．
则w＝100（120﹣m）+60m＝﹣40m+12000，
解得m≤30，
又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，
∴0＜m≤30且为整数．
∵﹣40＜0，
∴w随m的增大而减小，
∵m为整数，
∴当m＝30时，w最小，
此时120﹣m＝90，
故学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，则当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19．为丰富学生的课余生活，某班计划购买若干篮球和足球．据了解，买6个篮球和10个足球需要1700元：买10个篮球和20个足球需要3100元．
（1）求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
（2）该班计划恰好用3000元购买篮球和足球（两种均购买），求该班共有哪几种采购方案．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每个篮球和每个足球的价格分别是x元，y元，然后根据买6个篮球和10个足球需要1700元：买10个篮球和20个足球需要3100元建立方程组求解即可；
（2）设购买篮球m个，购买足球n个，根据花费3000元，建立方程，然后讨论求解即可．
【解答】解：（1）设每个篮球和每个足球的价格分别是x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：每个篮球和每个足球的价格分别是150元，80元；
（2）设购买篮球m个，购买足球n个，
由题意得，150m+80n＝3000，
∴，
∵m、n都是正整数，
∴300﹣15m＞0，且是8的整倍数，
∴m＜20且是8的整倍数，
∴当m＝4时，n＝30；
当m＝12时，n＝15，
∴一共有两种购买方案：购买4个篮球，30个足球；购买12个篮球，15个足球．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组和方程是解题的关键．
20．贴春联是中国人过年的重要习俗．马年春节临近，沃尔玛超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如表所示．全部销售后可获得利润810元．
A种春联 B种春联
进价（元/副） 15 12
售价（元/副） 18 14.5
（1）沃尔玛超市购进A、B两种春联各多少副？
（2）由于两种春联的销量比较好，沃尔玛超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问沃尔玛超市可以有哪几种购买方案？
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）沃尔玛超市购进A种春联120副，B种春联180副；
（2）沃尔玛超市可以有4种购买方案，①购买58副A种春联，20副B种春联；②购买41副A种春联，40副B种春联；③购买24副A种春联，60副B种春联；④购买7副A种春联，80副B种春联．
【分析】（1）设沃尔玛超市购进A种春联x副，B种春联y副，根据沃尔玛超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，全部销售后可获得利润810元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A种春联m副，B种春联n副，根据沃尔玛超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．
【解答】解：（1）设沃尔玛超市购进A种春联x副，B种春联y副，
由题意得：，
解得：，
答：沃尔玛超市购进A种春联120副，B种春联180副；
（2）设购进A种春联m副，B种春联n副，
由题意得：20m+17n＝1500，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或或，
∴沃尔玛超市可以有4种购买方案：
①购买58副A种春联，20副B种春联；
②购买41副A种春联，40副B种春联；
③购买24副A种春联，60副B种春联；
④购买7副A种春联，80副B种春联．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组好二元一次方程是解题的关键．

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