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第十章 二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的取值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4
3．关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
4．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．解方程组时，一学生把c看错得，已知方程组的正确解是，则a，b，c的值是（　　）
A．a，b不能确定，c＝﹣2 B．a＝4，b＝5，c＝﹣2
C．a＝4，b＝7，c＝﹣2 D．a，b，c都不能确定
7．在方程组，，，， 中，是二元一次方程组的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．若（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
9．已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么2a+b值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于m，n的二元一次方程组的解为　 　 ．
12．已知关于x、y的方程的解满足x+y＝﹣3，则a的值为 　 　 ．
13．若方程组的解是，则方程组的解为 　 　 ．
14．若二元一次方程组的解为，则a﹣b＝　 　 ．
15．如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据图中所示，则图中阴影部分的面积为 　 　 （平方单位）．
三．解答题（共5小题）
16．已知关于x，y的方程组
（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）m≠﹣3时，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．
17．解方程组
（1）
（2）．
18．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，求k的值．
19．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．例如：方女士家5月份用电500度，电费＝180×0.6+220×二档电价+100×三档电价＝352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？
阶梯 电量 电价
一档 0～180度 0.6元/度
二档 181～400度 二档电价
三档 401度及以上 三档电价
20．为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】D
【分析】设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．
【解答】解：设男生有x人，女生有y人，
根据题意可得：，
故选：D．
【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
2．若二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的取值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；符号意识；运算能力．
【答案】D
【分析】由题意建立关于x，y的方程组，求得x，y的值，再代入y＝kx﹣9中，求得k的值．
【解答】解：解得：
，
代入y＝kx﹣9得：﹣1＝2k﹣9，
解得：k＝4．
故选：D．
【点评】本题先通过解二元一次方程组，求得后再代入关于k的方程而求解的．
3．关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组；二元一次方程的解．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y＝6，即可求出k．
【解答】解：解方程组得：，
∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，
∴代入得：14k﹣6k＝6，
解得：k，
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解等知识点，能得出关于k的方程是解此题的关键．
4．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】B
【分析】根据题意可得等量关系：①甲2小时的路程+乙2小时的路程＝18千米；②甲5小时的路程﹣乙4小时的路程＝18千米，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，
由题意得：，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系再列出方程．
5．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】C
【分析】根据题意中的两种分法，分别找到等量关系：
①组数×每组7人＝总人数﹣3人；②组数×每组8人＝总人数+5人．
【解答】解：根据组数×每组7人＝总人数﹣3人，得方程7y＝x﹣3；根据组数×每组8人＝总人数+5人，得方程8y＝x+5．
列方程组为．
故选：C．
【点评】此题的关键是注意每一种分法和总人数之间的关系．
6．解方程组时，一学生把c看错得，已知方程组的正确解是，则a，b，c的值是（　　）
A．a，b不能确定，c＝﹣2 B．a＝4，b＝5，c＝﹣2
C．a＝4，b＝7，c＝﹣2 D．a，b，c都不能确定
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】是否看错了c值，并不影响两组解同时满足方程1，因此把这两组解代入方程1，可得到一个关于a、b的二元一次方程组，用适当的方法解得即可求出a、b．至于c，可把正确结果代入方程2，直接求解．
【解答】解：把代入ax+by＝2，得
﹣2a+2b＝2①，
把代入方程组，得，
则①+②，得a＝4．
把a＝4代入①，得﹣2×4+2b＝2，解得b＝5．
解③得c＝﹣2．
故a＝4，b＝5，c＝﹣2．
故选：B．
【点评】注意理解方程组的解的定义，同时要正确理解题意，看错方程了，不是解错方程了．
7．在方程组，，，， 中，是二元一次方程组的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】二元一次方程组的定义．
【答案】A
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解答】解：有三个未知数，故不是二元一次方程组；
符合二元一次方程组的定义；
符合二元一次方程组的定义；
xy的次数是二次，不是二元一次方程组；
中有分式不是二元一次方程组，
故选：A．
【点评】一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
8．若（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
【考点】二元一次方程的定义．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程可得：|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0，解可得答案．
【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0，
解得：a＝﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
9．已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么2a+b值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据关于x，y的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可．
【解答】解：，
求得，
∵关于x，y的方程组和有相同的解，
将代入，
得，
解得，
∴2a+b＝2×（﹣2）+8＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到出方程组求出x、y的值．
10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】C
【分析】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．
【解答】解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得
，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
二．填空题（共5小题）
11．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于m，n的二元一次方程组的解为　　 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【答案】
【分析】把代入可得，进而可得，再解即可．
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
12．已知关于x、y的方程的解满足x+y＝﹣3，则a的值为 　5　 ．
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】5
【分析】①+②可得x+y＝2﹣a，然后列出关于a的方程求解即可．
【解答】解：，
①+②，得
3x+3y＝6﹣3a，
∴x+y＝2﹣a，
∵x+y＝﹣3，
∴2﹣a＝﹣3，
∴a＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
13．若方程组的解是，则方程组的解为 　　 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【答案】
【分析】方法1、把方程组的解是代入原方程组中可得到，再把关于c1c2的代数式代入所求的方程组即可得解．
方法2、先将所求的方程组每个方程除以5，得出新的方程组再和方程组对照，得出新方程组的解，即可得出结论．
【解答】解：把方程组的解代入原方程组中得：
，此式代入所求的方程得：
，
解得．
故答案为．
方法2、方程组，每个方程左右两边同时除以5，
可化为（Ⅰ）
设x＝m，y＝n，
∴方程组（Ⅰ）可化为（Ⅱ）
∵方程组（Ⅲ）的解是，
对照方程组（Ⅱ）和（Ⅲ）的特点，得
∴，
∴，
故答案为．
【点评】本题考查了运用代入法解二元一次方程组的方法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．
14．若二元一次方程组的解为，则a﹣b＝　　 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】计算题．
【答案】
【分析】把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a﹣b的值．
【解答】解：将代入方程组，得：，
①+②，得：4a﹣4b＝7，
则a﹣b，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a﹣b的值，本题属于基础题型．
15．如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据图中所示，则图中阴影部分的面积为 　18　 （平方单位）．
【考点】二元一次方程组的应用．
【答案】18
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意有
，
解得，
9×（4+1×3）﹣5×1×9
＝9×7﹣45
＝63﹣45
＝18．
即：图中阴影部分的面积为18．
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，要求学生会根据图示找出数量关系，根据图示可以列出两个方程，联立求出小长方形的长和宽．
三．解答题（共5小题）
16．已知关于x，y的方程组
（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）m≠﹣3时，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解；解二元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可；
（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
【解答】解：（1）方程x+2y＝5，
解得：x＝﹣2y+5，
当y＝1时，x＝3；y＝2，x＝1；
（2）联立得：，
解得：，
代入得：﹣5﹣10﹣5m+9＝0，
解得：m；
（3）∵x﹣2y+mx+9＝0，即（1+m）x﹣2y+9＝0总有一个解，
∴方程的解与m无关，
∴mx＝0，x﹣2y+9＝0，
解得：x＝0，y，
则方程的公共解为；
（4），
①+②得：（m+2）x＝﹣4，
解得：x，
把x代入①得：y，
当m+2＝2，1，﹣2，﹣1，4，﹣4时，x为整数，此时m＝0．﹣1，﹣3，﹣4，2，﹣6，
当m＝﹣1时，y，不符合题意；
当m＝﹣3时，y，不符合题意；
当m＝2时，y＝3，符合题意；
当m＝﹣6时，y＝2，符合题意，
当m＝0时，y，不符合题意；
当m＝﹣4时，y，不符合题意，
综上，整数m的值为﹣6或2．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．解方程组
（1）
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：3x+2x﹣4＝1，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×2﹣②得：3y＝9，
解得：y＝3，
把y＝3代入②得：x＝5，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，求k的值．
【考点】二元一次方程组的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先解关于x的方程组，求得x，y的值，然后代入方程2x+3y＝6，即可得到一个关于k的方程，从而求解．
【解答】解：由方程组得：
∵此方程组的解也是方程2x+3y＝6的解
∴2×7k+3×（﹣2k）＝6
k．
【点评】能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
19．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．例如：方女士家5月份用电500度，电费＝180×0.6+220×二档电价+100×三档电价＝352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？
阶梯 电量 电价
一档 0～180度 0.6元/度
二档 181～400度 二档电价
三档 401度及以上 三档电价
【考点】二元一次方程组的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设二档电价是x元/度、三档电价是y元/度，根据题意列出方程组求解即可．
【解答】解：设二档电价是x元/度、三档电价是y元/度，
根据题意得，
，
解得，
答：二档电价是0.7元/度、三档电价是0.9元/度．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确列出方程组．
20．为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】压轴题；方程思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】设“基本电价”和“提高电价”分别为x、y元/千瓦时，则根据4月份电费不变得出，80x+（100﹣80）y＝68；由5月份电费不变得，80x+（120﹣80）y＝88，列方程组求解．（2）由（1）得出的“基本电价”和“提高电价”求出6月份应上缴的电费．
【解答】解：（1）设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据题意，得
解之，得
答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时．
（2）80×0.6+（130﹣80）×1＝98（元）．
答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．
【点评】此题考查的是二元一次方程组的应用，解题的关键是理解明确上缴电费的计算方法，列方程组求解．

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