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湖南省常德市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．含有个元素的集合的非空真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．复数在复平面上对应点的坐标为，则复数（ ）
A．实部为3 B．虚部为 C．模长为5 D．共轭复数
3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
4．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（ ）

A．15种 B．30种 C．48种 D．60种
6．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据：
4 5 6 7
标准煤 3.2 3.8 5.3
根据数据可得到的回归方程为，则（ ）
A．4.6 B．4.55 C．4.5 D．4.35
7．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9．使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量（单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（ ）
1 5 7 12 16 20
2 9 12 29 63 101
A．使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数
B．通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程
C．在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右
D．在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人
10．已知直线：与圆：相交于A，B两点，则（ ）
A．若圆C关于直线对称，则
B．的最小值为
C．当时，对，曲线：恒过直线与圆C的交点
D．若A，B，C，O（O为坐标原点）四点共圆，则
11．如图（1），在直角梯形中，，，，E是的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到三棱锥，如图（2），则（ ）
A．
B．三棱锥的外接球的体积为
C．点到平面的距离为
D．异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数在处的导数为-2，则________.
13．有42个白球和14个红球，现根据颜色按比例分层随机抽样，抽取8个球放进一个袋子里，每次从袋子中摸出一个球，直到红球全部被取出，则摸球次数为4的概率是________.
14．若函数与轴的正半轴只有一个交点，则实数的取值范围为________.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数与函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线与曲线在公共点处的公切线方程．
16．我校随机抽取100名学生，对其学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
学习积极性 对待班级工作的态度 合计
积极参加班级工作 不太主动参加班级工作
学习积极性高 40
学习积极性一般 30
合计 100
已知随机抽查这100名学生中的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是0.6．
(1)请将上表补充完整（不用写计算过程）；
(2)依据小概率值的独立性检验，分析学生的学习积极性是否与对待班级工作的态度有关．
17．如图，三棱锥中，和所在平面互相垂直，且， ，，，分别为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
(3)求点C到平面的距离．
18．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线与交于两点.
①当时，求的面积；
②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上.
19．如图，矩形中为中点，将沿着折叠至.
(1)证明：平面；
(2)设平面平面，点，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，若直线与平面所成角的正弦值为，求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
湖南省常德市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A D C A A BD BC
题号 11
答案 AD
12．-2
13．
14．
15．(1)
(2)
16．(1)由题意，积极参加班级工作的学生人数为，故列联表如下：
学习积极性 对待班级工作的态度 合计
积极参加班级工作 不太主动参加班级工作
学习积极性高 40 10 50
学习积极性一般 20 30 50
合计 60 40 100
(2)有关
17．(1)证明：由，，，
则，
∴，则，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，
故平面平面．
(2)
(3)
18．(1)
(2)①；②联立方程组，整理得，
设，，则且，，
不妨设在第一象限，则在曲线上，则有，
则在处的切线方程为，
又由，可得在处的切线方程为，
同理可得，点在曲线上，则有，
则在处的切线方程为，且；
所以在处的切线方程为，
联立方程组，解得，所以点在定直线上.
19．(1)由题意得，，，
所以，即，
因为，所以，即，
又平面，所以平面；
(2)
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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