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教材习题答案
第一章　集合与常用逻辑用语 数 ∴ Ａ Ｂ. ＳＢ＝{ｘ ｜ ｘ 是平行四边形或梯形 但 ｘ 不是
(３)４ 和 １０ 的公倍数是 ２０ 的倍数 因而 Ａ ＝ 菱形} ＝{ｘ ｜ ｘ 是邻边不相等的平行四边形或
1.1　集合的概念 {ｘ∈Ｎ＋ ｜ ｘ 是 ４ 与 １０ 的公倍数} ＝ { ｘ∈Ｎ＋ ｜ ｘ 梯形}
练习 是 ２０ 的倍数} ＝{ｘ ｜ ｘ＝ ２０ｍ ｍ∈Ｎ＋} ＝Ｂ. ＳＡ＝{ｘ ｜ ｘ 是平行四边形或梯形 但 ｘ 不是平
１.解析　 (１)是.满足集合中元素的确定性.
◆习题 1.2 行四边形} ＝{ｘ ｜ ｘ 是梯形} .
(２)不是. “游泳能手”无明确的标准 因此
复习巩固 ３.解析　
“高中学生中的游泳能手”不能组成集合.
１.答案　 (１) 　 (２)∈ ＝ (１)
２.答案　 ∈ ∈ ∈
(３)
３.解析　 (１)方程 ｘ２－９＝０的根为 ３ －３
２.解析　 Ｄ Ｃ Ｂ Ａ
∴ 该集合为{３ －３}.
用 Ｖｅｎｎ 图表示如图.
(２)集合中的元素是点 用坐标表示
∴ 该集合为{(１ ４)} . (２)
(３)集合中的元素满足 ４ｘ－５<３ 即 ｘ<２
∴ 该集合为{ｘ ｜ ｘ<２} .
◆习题 1.1 综合运用
３.解析　 (答案不唯一) (１) { ｘ ｜ ｘ 是立德中学
复习巩固
１.答案　 (１)∈ ∈ 高一一班的学生} . ◆习题 1.3
(２) 　 (３) 　 (４)∈ (２){ｘ ｜ ｘ 是等边三角形} . 复习巩固
２. (３) .解析　 (１)大于 １ 且小于 ６ 的整数有 ４ 个: １.解析　 Ｂ＝{ｘ ｜ ３ｘ－７≥８－２ｘ} ＝{ｘ ｜ ｘ≥３}
２ ３ ４ ５ ∴ 集合为{２ ３ ４ ５} . (４){４} . ∴ Ａ∪Ｂ＝{ｘ ｜ ２≤ｘ<４}∪{ ｘ ｜ ｘ≥３} ＝ { ｘ ｜ ｘ≥
(２)(ｘ－１)(ｘ＋２)＝ ０ ｘ ＝ １ ｘ ＝ －２ ４.解析　 集合 Ｄ 表示直线 ２ｘ
－ｙ ＝ １ 与直线 ｘ＋
的解为 或 ２}
∴ Ａ＝{１ － ４ｙ
＝
２} . ５ 的交点(１ １)组成的集合 而(１ １)在集合 Ａ∩Ｂ＝{ｘ ｜ ２≤ｘ<４}∩{ｘ ｜ ｘ≥３}
(３)由－３<２ｘ－
＝
１<３ 得－１<ｘ<２. 直线 ｙ ｘ 上 ∴ Ｄ Ｃ. ＝{ｘ ｜ ３≤ｘ<４} .
∵ ｘ∈Ｚ ∴ ｘ＝ ０ 或 ｘ＝ １. 拓广探索 ２.解析 　 Ａ ＝ {１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８} Ｂ ＝ {１ ２
＝ ５.解析　 (１)∵ Ｐ
＝Ｑ
∴ 集合 Ｂ {０ １} . ３} Ｃ＝{３ ４ ５ ６}
{ａ＝－１ {ａ＝－１ 综合运用 ∴ ∴ ａ－ｂ＝ ０. ∴ Ａ∩Ｂ＝{１ ２ ３} Ａ∩Ｃ＝{３ ４ ５ ６} 即１＝ －ｂ ｂ＝－１
３.解析　 (１){ｘ ｜ ｘ＝ ２ｎ ｎ∈Ｚ 且 １≤ｎ≤５} . Ｂ∪Ｃ＝{１ ２ ３ ４ ５ ６} Ｂ∩Ｃ＝{３}
(２)∵ Ｂ Ａ
(２){１ ２ ３ １２ ２１ １３ ３１ ２３ ３２ １２３ １３２ ∴ Ａ∩(Ｂ∪Ｃ)＝ {１ ２ ３ ４ ５ ６}
∴ 利用数轴分析法(如图) 可知 ａ≥２.
２１３ ２３１ ３１２ ３２１} . Ａ∪(Ｂ∩Ｃ)＝ {１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８} .
(３){４ ５ ６} . ３.解析　 “每个参加比赛的同学最多只能参加
(４){造纸术 印刷术 指南针 火药} . 两项比赛”表示为 Ａ∩Ｂ∩Ｃ＝ .
４.解析　 (１){ｙ ｜ ｙ＝ ｘ２－４ ｘ∈Ｒ} (１)Ａ∪Ｂ 表示参加 １００ ｍ 或参加 ２００ ｍ 跑
＝{ｙ ｜ ｙ≥－４} . 1.3　集合的基本运算 的同学组成的集合.
２ 练习 (２)Ａ∩Ｃ 表示既参加 １００ ｍ 又参加 ４００ ｍ
(２)ｘ≠０ 时 函数 ｙ＝ 有意义
ｘ １.解析　 Ａ∩Ｂ＝{３ ５ ６ ８}∩{４ ５ ７ ８} ＝ {５ 跑的同学组成的集合.
∴ 集合为{ｘ ｜ ｘ≠０} . ８} Ａ∪Ｂ＝{３ ５ ６ ８}∪{４ ５ ７ ８} ＝ {３ ４ 综合运用
４ ５ ６ ７ ８} . ４. 解 析 　 因 为 Ａ ＝ { ｘ ｜ ３ ≤ ｘ < ７ } Ｂ ＝
(３)由 ３ｘ≥４－２ｘ 得 ｘ≥
５ ２.解析　 Ａ＝{ｘ ｜ ｘ２－４ｘ－５＝ ０} ＝{ｘ ｜ (ｘ－５) ( ｘ {ｘ ｜ ２<ｘ<１０} 所以 Ａ∪Ｂ＝{ｘ ｜ ２<ｘ<１０} Ａ∩Ｂ
{ ４ } ＋１)＝ ０} ＝∴ ｘ ｘ≥ . {５ －１} Ｂ＝{ｘ ｜ ｘ２ ＝ １} ＝{－１ １} ＝{ｘ ｜ ３≤ｘ<７} Ｒ Ａ＝{ｘ ｜ ｘ<３ 或 ｘ≥７} Ｒ Ｂ＝集合为 ５ ∴ Ａ∪Ｂ＝ {５ － １}∪{ － １ １} ＝ { － １ １ ５} {ｘ ｜ ｘ≤２ 或 ｘ≥１０} 所以 Ｒ(Ａ∪Ｂ)＝ {ｘ ｜ ｘ≤
拓广探索 Ａ∩Ｂ＝{５ －１}∩{－１ １} ＝{－１} . ２ 或 ｘ≥１０} Ｒ(Ａ∩Ｂ)＝ {ｘ ｜ ｘ<３ 或 ｘ≥７}
５.解析　 略. ３.解析　 Ａ∩Ｂ＝{ｘ ｜ ｘ 是等腰三角形 且 ｘ 是直 ( Ｒ Ａ)∩Ｂ＝ { ｘ ｜ ２<ｘ<３ 或 ７≤ｘ< １０} Ａ∪
角三角形} ＝{ｘ ｜ ｘ 是等腰直角三角形} . ( Ｒ Ｂ)＝ {ｘ ｜ ｘ≤２ 或 ３≤ｘ<７ 或 ｘ≥１０} .
1.2　集合间的基本关系 Ａ∪Ｂ＝{ｘ ｜ ｘ 是等腰三角形 或 ｘ 是直角三角 ５.解析　 当 ａ ＝ ３ 时 Ａ ＝ {３} Ｂ ＝ {１ ４} Ａ∪Ｂ
练习 形} ＝{ｘ ｜ ｘ 是等腰三角形或直角三角形} . ＝{１ ３ ４} Ａ∩Ｂ＝
１.解析　 {ａ} {ｂ} {ｃ} {ａ ｂ} {ａ ｃ} {ｂ ４.解析　 Ａ∪Ｂ ＝ { ｘ ｜ ｘ 是幸福农场的汽车或货 当 ａ＝ １ 时 Ａ＝{１ ３} Ｂ＝{１ ４} Ａ∪Ｂ ＝ {１
ｃ} {ａ ｂ ｃ} . 车} . ３ ４} Ａ∩Ｂ＝{１}
２.答案　 ( １) ∈ 　 ( ２) ∈ 　 ( ３) ＝ 　 ( ４) 练习 当 ａ＝ ４ 时 Ａ＝{３ ４} Ｂ＝{１ ４} Ａ∪Ｂ ＝ {１
(５) 　 (６)＝ １.解析　 Ｕ Ａ＝{１ ３ ６ ７} Ｕ Ｂ＝{２ ４ ６} ３ ４} Ａ∩Ｂ＝{４}
３.解析　 (１)Ａ Ｂ. ∴ Ａ∩( Ｕ Ｂ)＝ {２ ４ ５}∩{２ ４ ６} ＝{２ ４} 当 ａ≠１ 且 ａ≠３ 且 ａ≠４ 时 Ａ∪Ｂ ＝ {１ ３
(２)Ａ＝{ｘ ｜ ｘ ＝ ３ｋ ｋ∈Ｎ}是由自然数中 ３ 的 ( Ｕ Ａ)∩( Ｕ Ｂ) ＝ {１ ３ ６ ７}∩{２ ４ ６} ＝ ４ ａ} Ａ∩Ｂ＝ .
倍数构成的集合 Ｂ ＝ { ｘ ｜ ｘ ＝ ６ｚ ｚ∈Ｎ}是由 {６} . 拓广探索
自然数中 ６ 的倍数构成的集合 ６ 的倍数一 ２.解析　 Ｂ∩Ｃ ＝ { ｘ ｜ ｘ 是菱形 且 ｘ 是矩形} ＝ ６.解析　 Ｕ＝{０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０} ∵ Ａ
定是 ３ 的倍数 但 ３ 的倍数不一定是 ６ 的倍 {ｘ ｜ ｘ 是正方形} ∩( Ｕ Ｂ)＝ {１ ３ ５ ７} ∴ {１ ３ ５ ７} Ａ 而
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集合 Ｂ 中不包含{１ ３ ５ ７} 拓广探索 ２.解析　 (１)所有三角形都不是直角三角形.
∴ Ｂ＝{０ ２ ４ ６ ８ ９ １０} . ６.解析　 (１)若△ＡＢＣ 是锐角三角形 则 ａ２＋ｂ２ (２)所有梯形都不是等腰梯形.
>ｃ２ . (３)任意实数的绝对值都是正数.
1.4　充分条件与必要条件 证明:必要性:当△ＡＢＣ 是锐角三角形时 如 ◆习题 1.5
１.４.１　 充分条件与必要条件 图① 过点 Ａ 作 ＡＤ⊥ＢＣ 垂足为 Ｄ 设 ＣＤ ＝ 复习巩固
练习 ｘ 则有 ＢＤ＝ａ－ｘ 根据勾股定理 得 ｂ
２ －ｘ２ ＝ １.解析　 (１)真.(２)真.(３)真.(４)假.
２
１.解析　 (１)是充分条件.(２)不是充分条件. ｃ －(ａ－ｘ)
２ ２.解析　 (１)真.(２)真.(３)真.
２ ２ ２
(３)是充分条件. 整理得 ａ ＋ｂ ＝ ｃ ＋２ａｘ (４)若 ｎ＝ ２ｋ ｋ∈Ｚ 则 ｎ２ ＋１ ＝ ４ｋ２ ＋１ 不是 ４
２ ２ ２
２.解析　 (１)是必要条件.(２)不是必要条件. ∵ ａ>０ ｘ>０ ∴ ２ａｘ>０ ∴ ａ ＋ｂ >ｃ . 的倍数
３.解析 　 充分条件:(１)∠１ ＝ ∠４ (２)∠１ ＝ 充分性:在△ＡＢＣ 中 ａ
２ ＋ｂ２ >ｃ２ ∴ ∠Ｃ 不是 若 ｎ＝ ２ｋ－１ ｋ∈Ｚ 则 ｎ２ ＋１ ＝ ４ｋ２ －４ｋ＋２ 不是
∠２ (３)∠１＋∠３＝ １８０°. 直角. ４ 的倍数 故命题为假命题.
必要条件:(１)∠１ ＝∠４ (２)∠１ ＝∠２ (３) 假设∠Ｃ 为钝角 如图② 过 Ｂ 作 ＢＤ⊥ＡＣ ３.解析　 (１) ｘ∈Ｚ ｜ ｘ ｜ Ｎ.
∠１＋∠３＝ １８０°. 交 ＡＣ 的延长线于 Ｄ. (２)存在一个可以被 ５ 整除的整数 末位数
设 ＣＤ＝ ｙ 则 ＢＤ２ ＝ａ２－ｙ２
１.４.２　 字不是 ０.充要条件 根据勾股定理 得 ｃ２ ＝(ｂ＋ｙ) ２ ＋( ａ２ －ｙ２ )＝ ａ２ (３) ｘ∈Ｒ ｘ＋１<０.
练习 ＋ｂ２＋２ｂｙ>ａ２＋ｂ２ (４)所有四边形的对角线都不互相垂直.
１.解析 　 (１) ｐ 是 ｑ 的充要条件.(２) ｐ 不是 ｑ 与 ａ２＋ｂ２>ｃ２ 矛盾 综合运用
的充要条件.(３)ｐ 不是 ｑ 的充要条件. ∴ ∠Ｃ 为锐角 即△ＡＢＣ 为锐角三角形. ４.解析　 (１)假.平面直角坐标系下 有些直线
２.解析　 “两个三角形全等”的充要条件: ∴ △ＡＢＣ 为锐角三角形的一个充要条件是 不与 ｘ 轴相交.
(１)两个三角形三边对应相等. ａ２＋ｂ２>ｃ２ . (２)真.有些二次函数的图象不是轴对称
(２)两个三角形的两边及夹角对应相等.
图形.
“两个三角形相似”的充要条件:
(１) (３)假.任意一个三角形的内角和都不小两个三角形三边对应成比例.
(２) 于 １８０°.两个三角形三角对应相等.
３.证明　 作 ＡＥ⊥ＢＣ Ｅ ＤＦ⊥ＢＣ Ｆ. (４)真.任意一个四边形的四个顶点都在同于 于
∵ ＡＤ∥ＢＣ ∴ ＡＥ＝ＤＦ. 一个圆上.　
(１)充分性.由 ＡＥ＝ＤＦ ＡＣ ＝ＢＤ 知 Ｒｔ△ＡＥＣ ５.解析　 (１)所有的平行四边形的对角线互相图① 图②
≌Ｒｔ△ＤＦＢ ∴ ∠ＡＣＥ ＝ ∠ＤＢＦ ∴ △ＡＢＣ≌ 平分.
△ＤＣＢ ∴ ＡＢ＝ＤＣ ∴ 梯形 ＡＢＣＤ是等腰梯形. (２)若△ＡＢＣ 是钝角三角形 ∠Ｃ 为钝角 则 否定:有的平行四边形的对角线不互相平分.
有 ａ２＋ｂ２<ｃ２ . (２)任意三个连续整数的乘积是 ６ 的倍数.
证明:必要性:当△ＡＢＣ 是钝角三角形时 如 否定:存在三个连续整数的乘积不是 ６ 的
图② 倍数.
根据勾股定理 得( ｂ＋ｙ) ２ ＋( ａ２ －ｙ２ ) ＝ ｃ２ 即 (３)至少有一个三角形不是中心对称图形.
ａ２＋ｂ２＋２ｂｙ＝ ｃ２ ∵ ｂ>０ ｙ>０ ∴ ２ｂｙ>０ ∴ ａ２ ＋ 否定:所有的三角形都是中心对称图形.
(２)必要性.由梯形 ＡＢＣＤ 为等腰梯形知 ＡＢ ＝ ｂ２<ｃ２ . (４)有些一元二次方程没有实数根.
ＤＣ Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ ∴ ∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＦ
充分性:在△ＡＢＣ 中 ａ２ ＋ｂ２ <ｃ２ ∴ ∠Ｃ 不是 否定:任意一个一元二次方程都有实数根.
∴ △ＡＢＣ≌△ＤＣＢ ∴ ＡＣ＝ＤＢ.
直角. 拓广探索
综上 梯形 ＡＢＣＤ 为等腰梯形的充要条件为
假设∠Ｃ 为锐角 如图① 显然 ｃ２ ＝(ｂ２－ｘ２)＋ ６.解析　 (１)不对.
ＡＣ＝ＢＤ.
(ａ－ｘ) ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ － ２ａｘ < ａ２ ＋ ｂ２ 与 ａ２ ＋ ｂ２ < ｃ２ ①的否定: ｘ>１ ２ｘ＋１≤５.(真命题)
◆习题 1.4 矛盾 ②的否定:至少有一个等腰梯形的对角线不
复习巩固 ∴ ∠Ｃ 为钝角 即△ＡＢＣ 为钝角三角形. 相等.(假命题)
１.解析　 (１)ｐ:０<ｘ<１ ｑ:０<ｘ<２. ∴ △ＡＢＣ 为钝角三角形的一个充要条件是 (２)略.
(２)ｐ:０<ｘ<２ ｑ:０<ｘ<１. ａ２＋ｂ２<ｃ２ . 复习参考题 1
(３)ｐ:ｘ>１ ｑ:ｘ－１>０.
复习巩固
２.解析　 (１) ｐ 是 ｑ 的必要不充分条件.(２) ｐ 1.5　全称量词与存在量词 １.解析　 (１)Ａ＝{－３ ３} .(２)Ｂ＝{１ ２} .
是 ｑ 的充要条件.(３)ｐ 是 ｑ 的充分不必要条
件.(４) ｐ 是 ｑ 的必要不充分条件.(５) ｐ 是 ｑ １.５.１　 全称量词与存在量词 (３)Ｃ＝{１ ２} .
. 练习 ２.解析　 (１){Ｐ ｜ ＰＡ
＝ＰＢ}表示到两定点距离
的既不充分又不必要条件
３.解析　 (１)真.(２)假.(３)假.(４)真. １.解析　 (１)真.(２)假.(３)假. 相等的点组成的集合 即 ＡＢ 的垂直平分线.
２.解析　 (１)真.(２)假.(３)真. (２){Ｐ ｜ＰＯ ＝ ３ ｃｍ}表示到定点 Ｏ 的距离等综合运用
４.解析　 (１)充分条件.(２)必要条件.(３)充要 于 ３ ｃｍ 的点组成的集合 即以 Ｏ 点为圆心 １.５.２　 全称量词命题和存在量词
条件. ３ ｃｍ 为半径的圆.
５.证明　 ａ２＋ｂ２＋ｃ２ ＝ａｂ＋ａｃ＋ｂｃ ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２ －ａｂ－ 命题的否定 ３.解析　 △ＡＢＣ 的外心.
(ａ－ｂ) ２ (ｂ－ｃ) ２ (ｃ－ａ) ２ 练习 ４.答案　 (１)充要条件
ａｃ－ｂｃ ＝ ０ ＋ ＋ ＝ ０
２ ２ ２ １.解析　 (１) ｎ∈Ｚ ｎ Ｑ. (２)充分不必要条件
{ａ－ｂ＝ ０ (２)存在一个奇数 它的平方不是奇数. (３)必要不充分条件ｂ－ｃ＝ ０ ａ＝ ｂ＝ ｃ. (３)存在一个平行四边形不是中心对称 (４)既不充分也不必要条件
ｃ－ａ＝ ０ 图形. ５.答案　 (１)假　 (２)假　 (３)假　 (４)真
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教材习题答案
６.解析　 (１) ｘ∈Ｒ ｘ２≥０.是真命题. (２)ａ＋ｂ≥０. ８.Ｂ　 对于 Ａ ｃ２ ＝ ０ 时不成立 对于 Ｂ ∵ ａ>ｂ>
(２) ａ∈Ｒ 二次函数 ｙ＝ ｘ２＋ａ 的图象关于 ｙ {(Ｌ＋１０)(Ｗ＋１０)<３５０ ０ ∴ ａ２－ｂ２ ＝ (ａ＋ｂ) (ａ－ｂ) >０ ∴ ａ２ >ｂ２ ∴ Ｂ(３)轴对称.是真命题. Ｌ>４Ｗ. 成立 对于 Ｃ ａ<ｂ<０ ａ２ >ａｂ>ｂ２ ∴ Ｃ不成
(３) ｘ ｙ∈Ｚ ２ｘ＋４ｙ＝ ３.是假命题. ２.解析　 ∵ (ｘ＋３)(ｘ＋７)－(ｘ＋４)(ｘ＋６) １ １
立 对于 Ｄ ∵ ａ<ｂ<０ ∴ > ∴ Ｄ不成立.
(４) ｘ∈{无理数} ｘ３∈Ｑ.是真命题. ＝ ｘ２＋１０ｘ＋２１－ｘ２－１０ｘ－２４ ａ ｂ
７.解析　 (１) ａ∈Ｒ 一元二次方程 ｘ２ －ａｘ－１ ＝ －３<０ ｌ９.证明 　 设周长为 ｌ 则圆的半径为 正方
＝ ０ 没有实数根.是假命题. ∴ (ｘ＋３)(ｘ＋７)<(ｘ＋４)(ｘ＋６) . ２π
(２)至少有一个正方形不是平行四边形.是 ａ＋ｂ ａ－ｂ ｌ
３.证明　 ∵ ａ>ｂ ∴ ａ－ ＝ >０ 形的边长为 ４
假命题. ２ ２
ｌ ２ ｌ２
(３) ｍ∈Ｎ ｍ２＋１ Ｎ.是假命题. ａ＋ｂ∴ ａ> ∴ Ｓ圆 ＝π ( ２π ) ＝ ２ ４π
(４)任意一个四边形 ＡＢＣＤ 的内角和都等于 ２ ２
ａ＋ｂ －－ ＝ ａ ｂ ａ
＋ｂ ｌ ｌ
３６０°.是真命题. 又 ｂ >０ ∴ >ｂ Ｓ正方形 ＝ ( ) ＝ .２ ２ ２ ４ １６
综合运用 ２ ２ａ＋ｂ ｌ ｌ
{ {２ｘ－ｙ＝ ０} ∴ ａ> >ｂ.
∵ > ∴ 圆的面积更大.
４π １６
８.解析　 Ａ∩Ｂ＝ (ｘ ｙ) ２
３ｘ＋ｙ＝ ０ 练习 原因:自来水管的横截面是圆形的 可以最
＝{(０ ０)} １.证明　 性质 １:ａ>ｂ ａ－ｂ>０ ｂ－ａ<０ ｂ<ａ. 大面积地使水通过 减少阻力.
{ ２ｘ－ｙ＝ ０ ａ＋ｍ ａＡ∩Ｃ＝ (ｘ ｙ) { ＝ . 性质 ３:(ａ＋ｃ)－(ｂ＋ｃ)＝ ａ－ｂ ∵ ａ>ｂ ∴ ａ－ｂ> １０.解析　 > .２ｘ－ｙ＝ ３} ０ ∴ ａ＋ｃ>ｂ＋ｃ. ｂ＋ｍ ｂ
Ａ∩Ｂ＝{(０ ０)}的几何意义:直线 ２ｘ－ｙ ＝ ０ 性质 ４:ａｃ－ｂｃ＝(ａ－ｂ)ｃ ∵ ａ>ｂ ∴ ａ－ｂ>０ ａ＋ｍ ａ (ｂ－ａ)ｍ证明: － ＝
与直线 ３ｘ＋ｙ＝ ０ 交于坐标原点. ｂ＋ｍ ｂ ｂ(ｂ＋ｍ)当 ｃ>０ 时 (ａ－ｂ)ｃ>０
Ａ∩Ｃ＝ 的几何意义:直线 ２ｘ－ｙ ＝ ０ 与直线 ∵ ｂ>ａ>０ ｍ>０ ∴ ｂ－ａ>０ ｂ＋ｍ>０ ∴ ａｃ－ｂｃ>０ 即 ａｃ>ｂｃ.
２ｘ－ｙ＝ ３ 平行. (ｂ－ａ)ｍ当 ｃ<０ 时 (ａ－ｂ)ｃ<０ ∴ ａｃ－ｂｃ<０ 即 ａｃ<ｂｃ. ∴ >０.ｂ(ｂ＋ｍ)
９.解析　 ∵ Ａ∪Ｂ＝Ａ ∴ Ｂ Ａ ∴ ａ＋２∈Ａ. ａ>ｂ>０ ｃ>０ ａｃ>ｂｃ ＋
当 ａ＋
ａ ｍ ａ
２＝ ３ 即 ａ＝ １ 时 ａ２ ＝ １ 不满足集合中 性质 ６: ａｃ>ｂｄ.ｃ>ｄ>０ ｂ>０ ｂｃ>ｂｄ} ∴ > .ｂ＋ｍ ｂ
元素的互异性 不符合题意 ２.答案　 (１)>　 (２)<　 (３)<　 (４)< 拓广探索
当 ａ＋２＝ａ２ 时 ａ＝－１(舍去)或 ａ＝ ２. ◆习题2.1
＝ ＝ １１.证明　 证法一:假设 ａ≤ ｂ .此时 Ａ {１ ３ ４} Ｂ {１ ４} 符合题意.
复习巩固
由性质 ７ 知( ａ ) ２≤( ｂ ) ２∴ 存在实数 ａ＝ ２ 使得 Ａ∪Ｂ＝Ａ. １.解析　 略.
１０.解析　 (１)任意一个直角三角形的两直角 即 ａ≤ｂ 这与已知 ａ>ｂ 矛盾 ２.解析　 经 ｎ 年后 方案 Ｂ 的投入不少于方案
边的平方和等于斜边的平方. 故假设不正确 从而 ａ > ｂ .Ａ 的投入
(２)任意一个三角形的内角和都等于 １８０°. ＋ －所以 １００ １０(ｎ－１)≥５００ ｎ≥４１. － ＝ ａ ｂ即 证法二:因为 ａ>ｂ>０ 所以 ａ ｂ >
拓广探索 ａ ＋ ｂ３.解析　 (１)因为 ２ｘ２＋５ｘ＋９－(ｘ２＋５ｘ＋６)＝ ｘ２＋
１１.解析　 设只参加田径一项比赛的有 ｘ 人.根 ３>０ 所以 ２ｘ２＋５ｘ＋９>ｘ２＋５ｘ＋６. ０ 故 ａ > ｂ .
据题意作出如图所示的 Ｖｅｎｎ 图. (２)因为(ｘ－３) ２－(ｘ－２)(ｘ－４)＝ (ｘ２－６ｘ＋９) １２.解析 　 设安排 Ａ 型货厢 ｘ 节 Ｂ 型货厢
－(ｘ２－６ｘ＋８)＝ １>０ ｙ 节.
所以(ｘ－３) ２>(ｘ－２)(ｘ－４) . ì３５ｘ＋２５ｙ≥１ ５３０
(３)因为 ｘ２－(ｘ２－ｘ＋１)＝ ｘ－１ ｘ>１ １５ｘ＋３５ｙ≥１ １５０ 由题意可得í
所以 ｘ－１>０ 所以 ｘ２>ｘ２－ｘ＋１. ｘ＋ｙ＝ ５０
(４)因为 ｘ２＋ｙ２＋１－２(ｘ＋ｙ－１) ｘ ｙ∈Ｎ
＝ ｘ２＋ｙ２＋１－２ｘ－２ｙ＋２ 解得 ２８≤ｘ≤３０
＝(ｘ－１) ２＋(ｙ－１) ２＋１>０ {ｘ＝ ２８ 所以 或{ｘ＝ ２９ {ｘ＝ ３０ 或
所以 ｘ２＋ｙ２＋１>２(ｘ＋ｙ－１) . ｙ＝ ２２ ｙ＝ ２１ ｙ＝ ２０.
由 Ｖｅｎｎ 图知只参加游泳一项比赛的有 ９人 ４. 　 由题意得 ｂ＝ａ＋２ ５０<１０ａ＋ｂ<６０ ａ∈ 所以共有三种方案 方案一:安排 Ａ 型货厢解析
又由题意知 ９＋３＋３＋ｘ＋５－ｘ＋６＋ｘ ＝ ２８ 解得 Ｎ ｂ∈Ｎ ∴ ａ＝ ５ ｂ＝ ７ ５７. ２８ 节 Ｂ 型货厢 ２２ 节 方案二:安排 Ａ 型货即这个两位数是
ｘ＝ ２. ５. 　 ∵ ２<ａ<３ ∴ ４<２ａ<６ 厢 ２９ 节 Ｂ 型货厢 ２１ 节 方案三:安排 Ａ 型解析
故同时参加田径和球类比赛的有 ３ 人. ∵ －２<ｂ<－１ ∴ ２<２ａ＋ｂ<５. 货厢 ３０ 节 Ｂ 型货厢 ２０ 节.又
１２.解析　 (１) ｎ∈Ｎ １＋３＋５＋ ＋(２ｎ－１) ｃ<ｂ ｃ－ｂ<０ {ｘ＝＋ ２８ ６. 　 } (ｃ－ｂ)＋(ｂ－ａ)<０ 当 时 总运费为 ０.５×２８＋０.８×２２ ＝＝ ｎ２ . 证明 ｂ<ａ ｂ－ａ<０ ｙ＝ ２２
(２)任意一个三角形三边上的高交于一点. 即 ｃ－ａ<０ ∴ ｃ<ａ. ３１.６(万元)
＝
综合运用 {ｘ ２９ 当 时 总运费为 ０.５×２９＋０.８×２１ ＝
第二章　一元二次函数、 ７.证明　 ∵ ｃ<ｄ<０ ∴ －ｃ>－ｄ>０ ｙ＝ ２１
又∵ ａ>ｂ>０ ∴ ａ－ｃ>ｂ－ｄ>０ ３１.３(万元) 方程和不等式
１ １ ｘ＝ ３０
2.1　等式性质与不等式性质 ∴ ０< < 又 ｅ<０ 当{ 时 总运费为 ０.５×３０＋０.８×２０ ＝ａ－ｃ ｂ－ｄ ｙ＝ ２０
练习 ｅ ｅ ３１(万元) .
∴ > .
１.解析　 (１)０<ｈ≤４. ａ－ｃ ｂ－ｄ 因为 ３１.６>３１.３>３１ 所以方案三运费最少.
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2.2　基本不等式 ３２＋４×２ ａｂ ＝ ３２＋３２＝ ６４ ４ ２ ３４ ３ 当 且 仅 当 ３ｘ ＝ 即 ｘ ＝
练习 当且仅当 ａ＝ ｂ＝ ４ 时等号成立. ｘ ３
(ａ＋ｂ) ２ ａ２＋ｂ２－２ａｂ (ａ－ｂ) ２ 所以当底面的边长为 ４ ｍ 时 用纸最少. ２ ３１.证明　 ∵ －ａｂ ＝ ＝ (ｘ＝－ 舍去) 时 等号成立 ２ ４ ４ ４.解析　 设矩形的长和宽分别为 ｘ ｃｍ和 ｙ ｃｍ 圆 ３
(ａ＋ｂ) ２≥０ ∴ ａｂ≤ . 柱的侧面积为 ｚ ｃｍ２ 因为 ２(ｘ＋ｙ)＝ ３６ 即 ｘ＋ － ４ ４∴ ３ｘ－ ≤－４ ３ ∴ ２－３ｘ－ ≤２－４ ３ 即２ ＝ ｘ ｘｙ １８
ｘ ２ ４
２.证明　 (１)∵ ｘ ｙ 都是正数 且 ｘ≠ｙ ∴ ＋ ( ｘ＋ｙ ) ２－３ｘ－ 的最大值是 ２－４ ３ .ｙ 所以 ｚ＝ ２π ｘ ｙ≤２π ＝ １６２π ｘ２
６.解析　 仓库应建在距离车站 ｘ 千米处.
ｙ ｘ ｙ ＝ ｘ ＋ ｙ>２ ２ 即 >２. 当且仅当 ｘ ＝ ｙ ＝ ９ 时 等号成立 即长、宽均
ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｋ１ ｋ１
为 ９ ｃｍ 时 圆柱的侧面积最大. 由题意设 ｙ１ ＝ 当 ｘ＝ １０ 时 ｙ１ ＝ ＝ ２ ｘ １０
(２)∵ ｘ ｙ 都是正数 且 ｘ≠ｙ ∴ ｘ＋ｙ>２ ｘｙ > ◆习题2.2 ２０
１ １ ２ｘｙ ２ｘｙ ２ｘｙ ∴ ｋ ＝ ２０ ∴ ｙ ＝ .
０ ∴ < ∴ < ＝ ｘｙ 复习巩固 １ １ ｘ
ｘ＋
即
ｙ ２ ｘｙ ｘ＋ｙ ２ ｘｙ ｘ＋ｙ
１.解析　 (１)∵ ｘ>１ ∴ ｘ－１>０ 设 ｙ２ ＝ ｋ２ｘ 当 ｘ＝ １０ 时 ｙ２ ＝ １０ｋ２ ＝ ８
< ｘｙ .
＋ １
４ ４
∴ ｘ ＝ －
１
－ ( ｘ １ )
＋ ＋
－ １ ≥ ２
∴ ｋ ＝ ∴ ｙ ＝ ｘ.
２ １ ２ １ ｘ １ ｘ １
２ ５ ２ ５
３.解析　 ｘ ＋ ２ ≥２ ｘ ＝２ ２ 当且仅当 ｘｘ ｘ ２０ ４
(ｘ－
１
１) ＋１＝３ 两项费 用 之 和 ｙ ＝ ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ ＋ ｘ ≥１ － ｘ ５＝ ±１ 时 等号成立 ｘ １故 ｘ ＝ ±１ 时 ｘ２ ＋ 取得
ｘ２ １ ２０ ４
当且仅当 ｘ－１＝ 即 ｘ＝ ２( ｘ ＝ ０ 舍去)时 ２ ｘ ＝ ８
最小值 最小值是 ２. ｘ－１ ｘ ５
４.解析　 ∵ －１≤ｘ≤１ ∴ １＋ｘ≥０ １－ｘ≥０ ∴ １－ １ ２０ ４
等号成立 此时 ｘ＋ 取最小值 ３. 当且仅当 ＝ ｘ 即 ｘ＝ ５(ｘ＝－５ 舍去)时
(１＋ｘ)＋(１－ｘ) ２ ｘ－１ ｘ ５
ｘ２ ＝(１＋ｘ)(１－ｘ)≤ [ ] ＝ １ ２ ｘ＋(１０－ｘ) ２ 等号成立 ∴ 仓库应建在距离车站 ５ ｋｍ 处 才
(２)∵ ｘ(１０－ｘ)≤ ＝ ２５
当且仅当 １－ｘ＝ １＋ｘ 即 ｘ＝ ０ 时 等号成立 [ ２ ] 能使两项费用之和最小 最小费用为 ８万元.
∴ 当 ｘ＝ ０ 时 １－ｘ２ 取最大值 １. 当且仅当 ｘ＝ １０－ｘ 即 ｘ＝ ５ 时 等号成立 拓广探索
５.解析 　 设两条直角边的长分别为 ａ ｃｍ、 ∴ ｘ(１０－ｘ)的最大值为 ２５ ７.解析　 设天平的左臂长为 ａ 右臂长为 ｂ 不
ｂ ｃｍ ａ>０ 且 ｂ>０. ∴ ｘ(１０－ｘ) ５. 妨设 ａ>ｂ 第一次称得的黄金为 ｘ ｇ 第二次的最大值为
因为直角三角形的面积等于 ５０ ２.解析　 (１)设两个正数分别为 ａ、ｂ 且 ａｂ＝３６ 为 ｙ ｇ 则 ５ａ
＝ ｂｘ ｙａ＝ ５ｂ
１ ５ａ ５ｂ ａ ｂ
所以 ａｂ＝ ５０ 即 ａｂ＝ １００. 则 ａ＋ｂ≥２ ａｂ ＝ ２ ３６ ＝ １２ ∴ ｘ＋ｙ＝ ＋ >５×２ ＝ １０
２ ｂ ａ ｂ ａ
当且仅当 ａ＝ ｂ＝ ６ 时等号成立.
所以 ａ＋ｂ≥２ ａｂ ＝ ２ １００ ＝ ２０ ∴ 顾客实际所得黄金大于 １０ ｇ.所以当这两个正数均为 ６ 时 它们的和最小.
当且仅当 ａ＝ ｂ＝ １０ 时等号成立. ８.解析　 如图 ＡＢ＝ ｘ ｃｍ 则 ＢＣ＝ (１２－ｘ)ｃｍ(６(２)设两个正数分别为 ａ、ｂ 且 ａ＋ｂ＝ １８
所以当两条直角边的长均为 １０ ｃｍ 时 两条 <ｘ<１２) ＡＰ＝ ｘ－ＤＰ
( ａ＋ｂ ) ２ ＝ ( １８ ２直角边的和最小 最小值是 ２０ ｃｍ. 则 ａｂ≤ ) ＝ ８１ ２ ２
练习 当且仅当 ａ＝ ｂ＝ ９ 时等号成立.
１.解析　 设矩形的长、宽分别为ａ ｃｍ、ｂ ｃｍ ａ> 所以当这两个正数均为 ９ 时 它们的积最大.
０ ｂ>０ ３.解析　 设房屋垂直于墙的边长为 ｘ ｍ 平行于
因为周长等于 ２０ ｃｍ 所以 ａ＋ｂ＝ １０. 墙的边长为 ｙ ｍ 总造价为 ｚ 元
( ａ＋ｂ ) ２ ( １０ ) ２ ∵ ＤＰ
２＋(１２－ｘ) ２ ＝(ｘ－ＤＰ) ２
所以 Ｓ＝ａｂ≤ ＝ ＝ ２５ ＝ ４８２ ２ 则 ｘｙ ４８ 即 ｙ＝ ｘ ７２∴ ＤＰ＝ １２－
当且仅当 ａ＝ ｂ＝ ５ 时等号成立. ｘｚ＝ ３ｙ×１ ２００＋６ｘ×８００＋５ ８００
所以折成长与宽均为 ５ ｃｍ 的矩形 面积最大. １ １
＝ ４８
×３ ６００ ∴ Ｓ△ＡＤＰ ＝ ＡＤ ＤＰ ＝ ( １２ － ｘ)
２. ＋ ＋
２ ２
解析　 设矩形的长为 ｘ ｍ 宽为 ｙ ｍ 菜园的 ４ ８００ｘ ５ ８００ｘ
７２ ４３２
面积为 Ｓ ｍ２ 则 ｘ＋２ｙ＝ ３０(０<ｘ≤１８) ≥２ ３ ６００×４８×４ ８００ ＋５ ８００ (１２－ ) ＝ １０８－ ( ６ｘ＋ ) (６<ｘ<１２) .ｘ ｘ
由基本不等式的性质 可得 ＝ ６３ ４００. ４３２ ４３２
１ １ ( ｘ＋２ｙ ) ２ ４８×３ ６００ ∵ ｘ>６ ∴ ６ｘ＋ ≥２ ６ｘ ＝７２ ２ Ｓ＝ ｘ ２ｙ≤ ｘ ｘ２ ２ ２ 当且仅当 ＝ ４ ８００ｘ 即 ｘ ＝ ６ 时 等号成ｘ ４３２
＝ １ ×９００ ＝ ２２５
∴ Ｓ△ＡＤＰ ＝ １０８－ ( ６ｘ＋ ) ≤１０８－７２ ２
立 此时 ｙ ＝ ８ 最小值为６３ ４００ 则当房屋垂直 ｘ
２ ４ ２
于墙的边长为 ６ ｍ 平行于墙的边长为 ８ ｍ 时 ＝ ４３２１５ 当且仅当 ６ｘ 即 ｘ ＝ ６ ２ ( ｘ ＝ － ６ ２ 舍
当且仅当 ｘ＝２ｙ 即 ｘ＝１５ ｙ＝ 时 等号成立 房屋总造价最低 最低总造价为６３ ４００元. ｘ
２
综合运用 去)时 等号成立 即△ＡＤＰ 面积的最大值为
２２５
此时菜园的面积最大 最大面积是 ｍ２ . ４.证明　 ∵ ｘ>０ ｙ>０ ｚ>０ ∴ ｘ＋ｙ≥２ ｘｙ (１０８－２ ７２ ２ )ｃｍ
２ 此时 ｘ＝ ６ ２ .
３.解析　 设底面的长、宽分别为 ａ ｍ、ｂ ｍ ａ> ｙ＋ｚ≥２ ｙｚ ｚ＋ｘ≥２ ｚｘ
０ ｂ>０. ∴ (ｘ＋ｙ)(ｙ＋ｚ)( ｚ＋ｘ)≥８ｘｙｚ 2.3　二次函数与
因为体积等于 ３２ ｍ３ 高为 ２ ｍ 所以底面积 当且仅当 ｘ＝ ｙ＝ ｚ 时等号成立. 一元二次方程、不等式
为 １６ ｍ２ 即 ａｂ＝ １６. ４ ４ 练习
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ５.证明 　 ∵ ｘ > ０ ∴ ３ｘ
＋ ≥２ ３ｘ ＝
所以用纸面积为 ２ａｂ ４ｂ ４ａ ３２ ４(ａ ｂ)≥ ｘ ｘ １.解析　 (１){ｘ ｜ ｘ<－２ 或 ｘ>３} .
　２６６


教材习题答案
{ １０} (４) . ＝ (ａ－ｂ)ｃ(２) ｘ －１≤ｘ≤ . ３ ２.解析　 (１)令 ｘ２－４ｘ＋９＝ ０ (ｃ－ａ)(ｃ－ｂ)
(３){ｘ ｜ ｘ≠２} . 因为 Δ＝－２０<０ 所以方程 ｘ２ －４ｘ＋９ ＝ ０ 无实 ∵ ｃ>ａ>ｂ>０ ∴ ｃ－ａ>０ ｃ－ｂ>０ ａ－ｂ>０
(４) . 数根 (ａ－ｂ)ｃ ａ ｂ∴ >０ ∴ >
３ ｘ２－４ｘ＋９≥０ Ｒ. (ｃ－ａ)(ｃ－ｂ) ｃ－ａ ｃ－
.
ｂ
{ － 所以不等式 的解集是(５) ｘ ｘ≤ １ 或 ｘ≥ } .２ 解法二:∵ ｃ>ａ>ｂ>０
所以当 ｘ∈Ｒ 时 ｘ２－４ｘ＋９有意义.
(６)Ｒ. ∴ ｃ－ｂ>ｃ－ａ>０ (２)由题意得－ ２ｘ２ ＋ １２ｘ－ １８≥０ 即( ｘ－ ３) ２
２.解析　 (１)使 ｙ ＝ ３ｘ２ －６ｘ＋２ 的值等于 ０ 的 ｘ １ １≤０ >∴ ｃ－ａ ｃ－
>０
ｂ ａ ｂ > .
３ ３ } ｃ－ａ ｃ－ｂ
的取值集合是{ １－ １＋ } 所以当 ｘ＝ ３ 时 －２ｘ２＋１２ｘ－１８有意义. ａ>ｂ>０３ ３
２ 综合运用 ａ ａ＋ｃ ａｂ＋ａｃ－ａｂ－ｂｃ使 ｙ＝ ３ｘ －６ｘ＋２ 的值大于 ０ 的 ｘ 的取值集合 (３) － ＝
３. 解 析 　 由 题 意 得 Ｍ ＝ ｂ ｂ＋ｃ ｂ(ｂ＋ｃ)
是{ ３ ３ｘ ｘ<１－ 或 ｘ>１＋３ ３ } { (ａ－ｂ)ｃｘ ｘ<－ ３ ５或 ｘ> } Ｎ＝{ｘ ｜ ｘ<－１ 或 ｘ ＝ ＋ ２ ２ ｂ(ｂ ｃ)
使 ｙ＝ ３ｘ２－６ｘ＋２ 的值小于 ０ 的 ｘ 的取值集合
>６} ∵ ａ>ｂ>ｃ>０ ∴ ａ－ｂ>０ ｂ＋ｃ>０
{ － ３ ＋ ３ (ａ－ｂ)ｃ ａ ａ＋ｃ是 ｘ １ <ｘ<１ . ３３ ３ } ∴ Ｍ∩Ｎ＝{ｘ ｘ<－ 或 ｘ>６} ∴ ＋ >０ ∴ > .２ ｂ(ｂ ｃ) ｂ ｂ＋ｃ
(２)使 ｙ＝ ２５－ｘ２ 的值等于 ０ 的 ｘ 的取值集合 １
{ ５ } ３.解析　 (１)设弧长为 ｌ 半径为 Ｒ 则 ｌＲ ＝是{－５ ５} Ｍ∪Ｎ＝ ｘ ｘ<－１ 或 ｘ> . ２２
使 ｙ＝ ２５－ｘ２ 的值大于 ０ 的 ｘ 的取值集合是 Ｓ 周长 ｙ＝ ２Ｒ＋ ｌ≥２ ２Ｒｌ ＝ ２ ４Ｓ ＝ ４ Ｓ 当１ ２
{ｘ ｜ －５<ｘ<５} ４.解析　 ｈ＝ ｖ０ ｔ－ ×１０ｔ ＝ １２ｔ－５ｔ
２ 由 ｈ>２ 得
２ 且仅当 ２Ｒ＝ ｌ 即 Ｒ＝ Ｓ时 等号成立 此时周
使 ｙ＝ ２５－ｘ２ 的值小于 ０ 的 ｘ 的取值集合是 １２ｔ－５ｔ２>２ 长最小 为 ４ Ｓ .
{ｘ ｜ ｘ<－５ 或 ｘ>５} .
２ －－ ＋ ６ ２６ ６
＋ ２６ (２)设弧长为 ｌ 半径为 Ｒ 则 ２Ｒ＋ｌ＝Ｐ 面积 Ｓ
(３)因为对于方程 ｘ２＋６ｘ＋１０ ＝ ０ Δ ＝ ３６－４０< 即 ５ｔ １２ｔ ２<０ 解得 <ｔ< 即５ ５ １
２
２
０ 所以使 ｙ＝ ｘ２＋６ｘ＋１０ 的值等于 ０ 的 ｘ ＋的取 １ Ｒ ｌ Ｐ６＋ ２６ ６－ ２６ ＝ ｌＲ≤２ ２ ÷÷ ＝ １６
值集合为 使 ｙ ＝ ｘ２ ＋６ｘ＋１０ 的值小于 ０ 的 － ≈ ２. ０４ ( ｓ ) 最 多 停 留５ ５ è ２
ｘ 的取值集合为 使 ｙ ＝ ｘ２ ＋６ｘ＋１０ 的值大 ２.０４ ｓ. １ Ｐ当且仅当 Ｒ＝ ｌ 即 Ｒ＝ 时 等号成立 此
于 ０ 的 ｘ 的取值集合为 Ｒ. ＝ ２－ ＝ － ２ ４５.解析　 ∵ Ａ {ｘ ｜ ｘ １６<０} {ｘ ｜ ４<ｘ<４}
２
(４)使 ｙ ＝ －３ｘ２ ＋１２ｘ－１２ 的值等于 ０ 的 ｘ 的 ＰＢ＝{ｘ ｜ ｘ２－４ｘ＋３>０} ＝{ｘ ｜ ｘ<１ 或 ｘ>３} 时面积最大 为 .１６
取值集合为{２} ∴ Ａ∪Ｂ ＝ { ｘ ｜ － ４<ｘ<４}∪{ ｘ ｜ ｘ<１ 或 ｘ>３}
使 ｙ＝－３ｘ２＋１２ｘ－１２ 的值小于 ０ 的 ｘ 的取值 ７＝Ｒ. ４.解析　 (１){ｘ －２≤ｘ≤ } .４
集合为{ｘ ｜ ｘ≠２} 拓广探索
使 ｙ＝－ ２＋ －
(２){ｘ ｜ ５≤ｘ≤９} .
３ｘ １２ｘ １２ 的值大于 ０ 的 ｘ 的取值 ６.解析 　 设风暴中心坐标为 ( ａ ｂ) 则 ａ ＝ (３)Ｒ.
集合为 . ３００ ２ １
练习 (４){ｘ ｘ<－ 或 ｘ>１ .２ ２
１. ＋ －
２ }
解析　 令 ｘ２＋ｘ－１２≥０ 解得 ｘ≤－４ 或 ｘ≥３ 所以 (３００ ２ ) ｂ <４５０ 即 １５０<ｂ<１５０.
综合运用
即当 ｘ≤－４ 或 ｘ≥３ ｘ２＋ｘ－１２ . ３００ ２ －１５０时 有意义 而 ＝
１５
(２ ２ －１)≈１３.７
２０ ２ ５.解析　 ∵ ａ ｂ>０ ∴ ａｂ－３＝ａ＋ｂ≥２ ａｂ
２.解析　 设花卉带的宽度为 ｘ ｍ 则草坪面积
３００
为(８－２ｘ)(６－２ｘ) ＝ １５.０ ∴ ａｂ－２ ａｂ －３≥０ ２０
由题意得(８－２ｘ) (６－２ｘ)≤２４ 即 ｘ２ －７ｘ＋６ ∴ ａｂ≤－１(舍去)或 ａｂ≥３ 所以大约经过 １３.７ 小时后码头将受到热带
≤０ 解得 １≤ｘ≤６ ∴ ａｂ≥９ 当且仅当 ａ＝ ｂ＝ ３ 时等号成立 风暴的影响 影响时间为 １５.０ 小时.
ｘ>０ ∴ ａｂ 的取值范围是 ａｂ≥９.{ 复习参考题2又∵ ８－２ｘ>０ ∴ ０<ｘ<３ 故 １≤ｘ<３. ６.解析　 由题意可得 ｋ≠０ 复习巩固
６－２ｘ>０ ２ ３
１.解析　 Ａ 型号帐篷有 ｘ 顶 则 Ｂ 型号帐篷有 ∵ ２ｋｘ ＋ｋｘ－ <０ 对一切实数 ｘ 都成立
∴ 花卉带的宽度应在 １ ｍ ８到 ３ ｍ 之间(包括
(ｘ＋５)顶
１ ｍ 不包括 ３ ｍ) . ３
∴ ｋ<０ 且对于方程 ２ｋｘ
２＋ｋｘ－ ＝ ０
ｘ>０ ｘ∈Ｎ ８
３.解析　 设每个削笔器的售价为 ｘ 元 ì
ｘ＋５>０ ｘ≥１５ Δ＝
３
ｋ２－４ ２ｋ(－ ) <０
由题意得{ ４ｘ<４８ ８ｘ[３０－２(ｘ－１５)]>４００ 则í
０<５ｘ－４８<５ 解得
－３<ｋ<０.
解得 １５≤ｘ<２０
３(ｘ＋５)<４８ 综上所述 ｋ 的取值范围是－３<ｋ<０.
所以售价应大于或等于 １５ 元 且小于 ２０ 元.
４(ｘ＋５)>４８. ７.解析　 (１)设窗户面积为 ｘ ｍ２ 则地板面积
◆习题2.3 ２.答案　 (１)<　 (２)>　 (３)> 为(２２０－ｘ)ｍ２ .
复习巩固 １ １ ｂ－ａ ｘ<２２０－ｘ
{ １３ １３} 解析　 (１)
－ ＝ >０. ì
１.解析　 (１) ｘ － <ｘ< . ａ ｂ ａｂ ｘ
２ ２ － ≥１０％ ∵ ａ>ｂ ∴ ｂ－ａ<０ ∴ ａｂ<０. 由题意可得í２２０ ｘ
(２){ｘ ｜ ３<ｘ<７} . ａ ｂ ａｃ－ａｂ－ｂｃ＋ａｂ ｘ>０
－ (２)解法一:
－ ＝
(３){ｘ ｜ ｘ< ２ 或 ｘ>５} . ｃ－ａ ｃ－ｂ (ｃ－ａ)(ｃ－ｂ) ２２０－ｘ>０
　２６７


解得 ２０≤ｘ<１１０ Ｐ１＋Ｐ２ ２Ｐ１Ｐ２ (Ｐ１＋Ｐ２)
２－４Ｐ
: － ＝ １
Ｐ２
解法一 ３.１.２　 函数的表示法
故窗户面积至少为 ２０ ｍ２ . ２ Ｐ１＋Ｐ２ ２(Ｐ１＋Ｐ２) 练习
(２)公寓的采光效果变好了. (Ｐ１－Ｐ
２
＝ ２
)
≥０ １.解析　 如图 圆的直径 ＡＣ ＝ ５０ ｃｍ 边 ＡＢ ＝
设公寓原来的窗户面积和地板面积分别为 ２(Ｐ１＋Ｐ２) ｘ ｃｍ 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中 由勾股定理 知 ＢＣ ＝
ｘ ｙ(ｘ>０ ｙ>０ ｘ<ｙ) 增加的面积为 ｍ ｍ２(ｍ Ｐ１＋Ｐ２ ２Ｐ１Ｐ∴ ≥ ２
２
＋ 当且仅当 Ｐ１
＝Ｐ２ 时等号 ２ ５００－ｘ ｃｍ.
>０) ２ Ｐ１ Ｐ２ ∴ 矩 形 ＡＢＣＤ 的 面 积 ｙ ＝ ＡＢ ＢＣ ＝
ｘ＋ｍ ｘ － 成立.
由题意可得 － ＝
ｍ(ｙ ｘ)
>０ ｘ ２ ５００－ｘ２ .
ｙ＋ｍ ｙ (ｙ＋ｍ)ｙ ２Ｐ１Ｐ２ ２Ｐ Ｐ
解 法 二: ≤ １ ２ ＝ Ｐ１Ｐ２ ∵ ０<ＡＢ<ＡＣ＝ ５０ 即增加 ｍ ｍ２ 之后 比值变大了 故采光效果 Ｐ１＋Ｐ２ ２ Ｐ１Ｐ２ ∴ ０<ｘ<５０
变好了. Ｐ１＋Ｐ≤ ２ ∴ ｙ＝ ｘ ２ ５００－ｘ２ (０<ｘ<５０) .８.解析　 ２
相等关系 不等关系 当且仅当 Ｐ１ ＝Ｐ２ 时等号成立
相等关系的命题 不等关系的命题 判断正误 所以用第二种购物策略比较经济.
(１) 若 ｘ ＝ ｙ 则 (１)若 ｘ>ｙ 则 ｘ３ 一般地 如果 ｎ 次购买同一种物品 用第二
正确
ｘ３ ＝ ｙ３ >ｙ３ 种策略购买比较经济.
(２) 若 ｘ ＝ ｙ 则 (２) 若 ｘ > ｙ 则
错误
｜ ｘ ｜ ＝ ｜ ｙ ｜ ｜ ｘ ｜ > ｜ ｙ ｜ 第三章　函数的概念 ｘ－２ ｘ≥２ ２.解析　 ｙ＝ ｜ ｘ－２ ｜ ＝{ 的图象如图.
(３) 若 ｘ ＝ ｙ 则 (３)若 ｘ>ｙ 则 ｘ２ ２－ｘ ｘ<２
错误 与性质
ｘ２ ＝ ｙ２ >ｙ２
3.1　函数的概念及其表示
(４)若 ｘ ＝ ｙ≠０ (４) 若 ｘ > ｙ > ０
１ １ １ １ 错误 ３.１.１　 函数的概念
则 ＝ 则 >
ｘ ｙ ｘ ｙ 练习
理由略. １.解析　 定义域为 Ａ＝{ ｔ ｜ ０≤ｔ≤２６}
拓广探索 值域为 Ｂ＝{ｈ ｜ ０≤ｈ≤８４５}
９.解析　 设 ＡＭ＝ ｙ ｍ 从问题的实际意义可知 对于数集 Ａ 中的任 ３.解析　 (１)
则 ｘ２＋４ｘｙ＝ ２００ 意一个时间 ｔ 按照对应关系 在数集 Ｂ 中都
２００－ｘ２
ｙ＝ 有唯一确定的高度 ｈ 和它对应.从而
４ｘ ２.解析　 (１)由题图可知函数的定义域为
于是 Ｓ＝ ４ ２００ｘ２＋２１０×４ｘｙ＋８０×２ｙ２ { ｔ ｜ ８≤ｔ≤０８} 值域为{ｙ ｜ ２≤ｙ≤１２} .
２００－ ２＝ ｘ４ ２００ｘ２ ＋ ２１０ × ４ｘ ＋ ８０ × (２)当 ｔ＝ １２ 时 ｙ≈９ ℃ .
４ｘ (２)３.解析　 是.定义域为{１ ２ ３ ４ ５}
(２００－ｘ２２ ) ２ 值域为{２ ３ ４ ５} .对应关系略.４ｘ
４.解析　 略.
＝ ４００ ０００３８ ０００＋４ ０００ｘ２＋ 练习
ｘ２
７
４００ ０００ １.解析　 (１)由 ４ｘ＋７≠０ 得 ｘ≠－
≥３８ ０００＋２ ４ ０００ｘ２ ４ －ｘ＋１ ｘ≤０
ｘ２
１ ｍ(ｘ)＝ (ｘ－１) ２ ０<ｘ<１
＝ １１８ ０００ 所以 函 数 ｆ ( ｘ ) ＝ {４ｘ＋ 的 定 义 域 为７ －ｘ＋１ ｘ≥１.
２ ＝ ４００ ０００当且仅当 ４ ０００ｘ ７ 练习
ｘ２ {ｘ ｘ≠－ } .４ １.解析　 (１)与 Ｄ 图 (２)与 Ａ 图 (３)与 Ｂ 图
即 ｘ＝ １０ (ｘ＝－ １０舍去)时等号成立 １－ｘ≥０ 吻合得最好.与 Ｃ 图相符的一件事可能为:
(２)由 得－３≤ｘ≤１.
由上可知 当 ＡＤ 为 １０ ｍ 时 休闲场所总 {ｘ＋３≥０ 我以一定的速度出发 后来发现时间还很充
造价 Ｓ 取最小值 为 １１８ ０００ 元. 所以函数 ｆ(ｘ)＝ １－ｘ ＋ ｘ＋３ －１ 的定义域 裕 于是 放慢了速度.
１０.解析　 按第一种策略购物 设第一次购物 为{ｘ ｜ －３≤ｘ≤１} . ２.解析　 设票价为 ｙ 元 里程为 ｘ 元 由题意可
时价格为 Ｐ１ 元 购 ｎ ｋｇ 第二次购物时价 ２.解析　 (１) ｆ(２)＝ ３×２３＋２×２＝ ２８ 知 自变量 ｘ 的取值范围是(０ ２０]
格为 Ｐ２ 元 仍购 ｎ ｋｇ(Ｐ１ >０ Ｐ ２ ０<ｘ≤５ ２ >０ ｎ>０) ｆ(－２)＝ ３×(－２) ３＋２×(－２)＝ －２８ ì
Ｐ１ｎ＋Ｐ２ｎ Ｐ１＋Ｐ２
两次购物的平均价格为 ＝ ｆ(２)＋ ｆ(－２)＝ ２８＋(－２８)＝
３ ５<ｘ≤１０
０. ∴ 函数解析式为 ｙ＝ í
２ｎ ２ ４ １０<ｘ≤１５ (２) ｆ(ａ)＝ ３×ａ３＋２×ａ＝ ３ａ３＋２ａ
若按第二种策略购物 第一次花 ｍ 元 能购 ５ １５<ｘ≤２０.ｆ(－ａ)＝ ３×(－ａ) ３＋２×(－ａ)＝ －(３ａ３＋２ａ)
ｍ ｍ 根据这个解析式 可画出函数图象 如图
ｋｇ 物品 第二次仍花 ｍ 元 能购 ｋｇ ｆ(ａ)＋ ｆ(－ａ)＝ ３ａ３＋２ａ＋[－(３ａ３＋２ａ)] ＝ ０.
Ｐ１ Ｐ２ 所示.
３.解析　 ( １) 由实际意义知 前者定义域为
２ｍ
物品 两 次 购 物 的 平 均 价 格 为
ｍ ｍ { ｔ ｜ ０≤ｔ≤２６} 而后者定义域为 Ｒ 两函数定＋
Ｐ１ Ｐ２ 义域不同 ∴ 两函数不是同一个函数.
２Ｐ Ｐ (２) ｆ(ｘ)＝ １ 的定义域为 Ｒ ｇ( ｘ) ＝ ｘ０ 的定
＝ １ ２
Ｐ１＋

Ｐ２ 义域为{ｘ ｜ ｘ≠０} 定义域不同 ∴ 两函数不
比较两次购物的平均价格. 是同一个函数.
　２６８


教材习题答案
◆习题3.1 ３＋２５.解析　 (１)∵ ｆ(３)＝ ＝ － ５ 值域是{２ ３ ４ ５} .－ ≠１４
复习巩固 ３ ６ ３ １１.解析　 定义域是自变量的取值范围 值域
３ｘ ∴ 点(３ １４)不在 ｆ(ｘ)的图象上. 是函数值的集合.
１.解析　 (１)要使分式 － 有意义 应满足 ｘ
－４
ｘ ４ ４＋２(２) ｆ(４)＝ ＝ －３. (１)由题图可知 定义域为[－５ ０]∪[２
≠０ 即 ｘ≠４ ４－６ ６) .
３ｘ ｘ＋＝ ２ ＝ ＝ 值域为[０ ＋∞ ) .∴ 函数 ｆ(ｘ)＝ － 的定义域为{ｘ ｜ ｘ≠４} .
(３)由 ｆ(ｘ) ２ 解得 ｘ １４.
ｘ ４ ｘ－６ (２)当 ｒ∈[０ ２)∪(５ ＋∞ )时 只有唯一的
(２) 因为对于 ｘ∈Ｒ 的任何一个值 ｆ(ｘ) ＝ ６.解析　 解法一: ｐ 值与之对应.
２
{ｆ(１)＝ １ ＋ｂ １＋ｃ＝ｂ＋ｃ＋１＝０ ｘ２ 都有意义 所以 ｆ ( ｘ) ＝ ｘ２ 的定义域 由 １２.解析　 满足条件的一个函数的图象如图.ｆ(３)＝ ３２＋ｂ ３＋ｃ＝３ｂ＋ｃ＋９＝０
为 Ｒ.
ｂ＝－４
６
(３) 解得要使分式 ２ 有意义 应满足 ｘ
２ －３ｘ {
ｘ －３ｘ＋２ ｃ＝ ３.
２
＋２≠０ 即 ｘ≠１ ｘ≠２ ∴ ｆ(ｘ)＝ ｘ －４ｘ＋３ 且
６ ∴ ｆ(－１)＝ (－１)
２－４×(－１)＋３＝ ８.
∴ 函数 ｆ(ｘ)＝ ２ 的定义域为{ｘ ｜ ｘ≠１ ｘ －３ｘ＋２ 解法二:由 ｆ(１)＝ ｆ(３)＝ ０ 知
１ ３ 是 ｘ２且 ｘ≠２} . ＋ｂｘ＋ｃ＝ ０ 的两个根 (１)略.
－ ∴ ｂ＝－(１＋３)＝ －４ ｃ＝ １×３＝ ３. (２)定义域为{ｘ ｜
－３≤ｘ≤８ 且 ｘ≠５} 图象
４ ｘ
(４)要使 有意义 ２
ｘ－１ ∴ ｆ(ｘ)＝ ｘ －４ｘ＋３ 在－３≤ｘ≤８ 范围内
４－ｘ≥０ ∴ ｆ(－{ １)
＝ (－１) ２－４×(－１)＋３＝ ８. 且横坐标为 ５ 的点不在图象上
应有
ｘ－１≠０ 解法三:由 ｆ(１)＝ ｆ(３)＝ ０ 知 值域为{ｙ ｜ －１≤ｙ≤２ ｙ≠０} 图象在－１≤ｙ
∴ ｘ≤４ 且 ｘ≠１ １ ３ 是 ｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０ 的两个根 ≤２ 范围内
－ ∴ ｆ(ｘ)＝４ ｘ ｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝(ｘ－１)(ｘ－３) 且所有纵坐标为 ０ 的点不在图象上.
∴ 函数 ｆ(ｘ)＝ － 的定义域为{ｘ ｜ ｘ≤４ 且ｘ １ ∴ ｆ(－１)＝ (－１－１)×(－１－３)＝ ８. ì－３ ｘ∈(－２.５ －２)
ｘ≠１}. ７.解析　 ( １) 是分段函数 图象由两条射线 －２ ｘ∈[－２ －１)
２.解析　 (１) ｆ(ｘ)的定义域为 Ｒ ｇ( ｘ)的定义 ( ｆ(ｘ)＝ ０ ｘ≤０ 含端点 ｆ(ｘ)＝ １ ｘ>０ 不含端 －１ ｘ∈[－１ ０)
域为{ｘ ｜ ｘ≠０} 它们的定义域不同 点)组成(如图 １) . １３.解析　 ｆ(ｘ)＝ í０ ｘ∈[０ １)
∴ ｆ(ｘ)与 ｇ(ｘ)不是同一个函数. (２)图象由(１ ４)、(２ ７)、(３ １０)三个点组
１ ｘ∈[１ ２)

(２) ｆ( ｘ)的定义域为 Ｒ ｇ( ｘ)的定义域为 成(如图 ２) . ２ ｘ∈[２ ３)
[０ ＋∞ ) 它们的定义域不同 ３ ｘ∈{３}
∴ ｆ(ｘ)与 ｇ(ｘ)不是同一个函数. 则 ｆ(ｘ)的图象如图.
(３) ｆ(ｘ)与 ｇ(ｘ)的定义域都是 Ｒ
３
∵ ｘ６ ＝ ｘ２
∴ 它们的对应关系也相同
∴ ｆ(ｘ)与 ｇ(ｘ)是同一个函数.
３.解析　 (１)如图① 定义域为 Ｒ 值域为 Ｒ. 　 　 　 图 １　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 ２
(２)如图② 定义域为{ ｘ ｜ ｘ≠０} 值域为{ ｙ ｜ 综合运用
ｙ≠０} . ìｘｙ＝１０
ｄ２ ＝ｘ２＋ｙ２
８.解析　 由题意得í 由此可得 ｘ、ｙ、ｄ、ｌ
ｌ＝２ｘ＋２ｙ １４.解析　 略. ｘ>０ ｄ>０. 拓广探索
任意两个量的函数关系式. １５.解析　 (１)如图 ∵ ∠ＡＰＢ＝ ９０°
１０ ２０ ∴ ＡＢ＝ ｘ２＋４ ｋｍ
　 　 　 图①　 　 　 　 　 　 　 　 图② 例如:ｙ＝ (ｘ>０) ｌ＝ ２ｘ＋ (ｘ>０) ｘ ｘ ｘ２＋４
(３)如图③ 定义域为 Ｒ 值域为 Ｒ. ｌ＝ ２ ｄ２＋２０ (ｄ>０) . ∴ 由 Ａ 到 Ｂ 所用的时间为 ｈ.３
(４)如图④ 定义域为Ｒ 值域为{ｙ ｜ｙ≥－２}. ｄ ２
９.解析　 依题意得 π ( ) ｘ＝ ｖｔ ２
∴ ｘ＝
４ｖ
ｔ.
πｄ２
由题意可知函数的值域为[０ ｈ] ∴ 函数的
　 　 　 　 图③　 　 　 　 　 　 　 　 图④ [ ｈπｄ２定义域为 ０ ] .
４.解析　 ｆ(－ ２ )＝ ３×(－ ２ ) ２ －５×(－ ２ ) ＋２ ＝ ４ｖ 又 ＢＣ＝(１２－ｘ)ｋｍ
８＋５ ２ １０.解析　 １２－ｘ∴ 由 Ｂ 到 Ｃ 所用的时间为 ｈ.
ｆ(－ａ)＝ ３×(－ａ) ２－５×(－ａ)＋２＝ ３ａ２＋５ａ＋２ ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ５
ｆ(ａ＋３)＝ ３×(ａ＋３) ２－５×(ａ＋３) ＋２ ＝ ３ａ２ ＋１３ａ ∴ 从 小 岛 到 城 镇 共 用 的 时 间 为 ｔ ＝ｙ ５ ３ ４ ２ ４ ５
＋１４ ｘ２＋４ １２－ｘ
ｙ 是 ｘ 的函数. ( ＋ ) ｈ.
ｆ(ａ)＋ ｆ(３)＝ ３ａ２－５ａ＋２＋３×３２ －５×３＋２ ＝ ３ａ２ ３ ５
定义域是{１ ２ ３ ４ ５ ６}
－５ａ＋１６. 由题意知 ０≤ｘ≤１２.
　２６９


ｘ２＋＝ ４ ＋１２
－ｘ 调递增. 必要性:由偶函数的定义知 ｘ∈Ａ 都有－ｘ
∴ 函数关系式为 ｔ( ｘ) ０≤
３ ５ 证明: ｘ１ ｘ２∈(－∞ ０) 且 ｘ１<ｘ２ ∈Ａ 且 ｆ(－ｘ)＝ ｆ(ｘ)
ｘ≤１２. ｋ ｋ ｋ(ｘ －ｘ ) ∴ Ｐ(ｘ ｆ(ｘ))与 Ｐ′( －ｘ ｆ( －ｘ))关于 ｙ 轴
则 ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ )＝ － ＝
１ ２ .
(２)由(１)及题意 可得 ｔ(４)≈３ ｈ. １ ｘ２ ｘ１ ｘ１ｘ２ 对称.
１ ∵ ｘ <ｘ <０ ∴ ｘ －ｘ <０ ｘ ｘ >０ 由任意性可得 ｆ(ｘ)的图象关于 ｙ 轴对称.
１６.解析　 (１)ｖ＝－ ｕ２ １ ２ １ ２ １ ２是函数.
２ ∴ 当 ｋ>０ 时 ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２) ∴ 函数 ｙ＝ ｆ(ｘ)是偶函数的充要条件是它的
(２)ｕ＝± －２ｖ ｖ∈(－∞ ０] 不是函数. 当 ｋ<０ 时 ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２) . 图象关于 ｙ 轴对称.
１７.解析　 (１)存在满足条件的函数.如:ｆ( ｘ) ｋ∴ ｋ>０ ｙ＝ (－∞ ０) (２)充分性:如果 ｆ( ｘ)的图象关于原点对当 时 在 上单调递减
＝ ｘ ｇ(ｘ)＝ ｘ＋１. ｘ 称 则 ｆ(－ｘ)＝ －ｆ(ｘ)
(２)存在满足条件的函数.如:ｆ( ｘ)＝ ｘ２ ｘ∈ ｋ当 ｋ<０ 时 ｙ＝ 在(－∞ ０)上单调递增. ∴ ｆ(ｘ)是奇函数.
(－
ｘ
∞ ０] ｇ(ｘ)＝ ｘ２ ｘ∈Ｒ. 必要性:由奇函数的定义知 ｘ∈Ａ 都有－ｘ
ｋ
１８.解析　 ｙ 是 ｎ 的函数. 同理可证 ｙ＝ 在(０ ＋∞ )上的单调性. ∈Ａ 且 ｆ(－ｘ)＝ －ｆ(ｘ) ｘ
定义域为{ｎ ｜ １≤ｎ≤２００ ｎ∈Ｎ } 值域为 ∴ Ｐ(ｘ ｆ(ｘ))与 Ｐ′( －ｘ ｆ( －ｘ))关于原点
练习
{０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９} . 对称
１.解析　 函数图象可能如图所示.
对应关系略. 由任意性可得 ｆ(ｘ)的图象关于原点对称.
∴ 函数 ｙ＝ ｆ(ｘ)是奇函数的充要条件是它的
3.2　函数的基本性质 图象关于原点对称.
３.２.１　 单调性与最大(小)值 ◆习题3.2
练习 复习巩固
１.解析　 由题中图象先上升后下降可知 工人 由图可知 增区间为[８ １２] [１３ １８] 减区 １.解析　 单调区间为[ －１ ０] [０ ２] [２ ４]
数在一定范围内时 生产效率随着工人数的 间为[１２ １３] [１８ ２０] . [４ ５] .
增加而提高 而当工人数超过某一数量后 ２.答案　 最小值 函数在[－１ ０]上是减函数 在[０ ２]上是增
随着工人数的增加 生产效率反而降低. 解析　 ｆ(ｘ)在[－６ １１]上的大致图象如图. 函数 在[２ ４]上是减函数 在[４ ５]上是增
２.证明　 ｘ ｘ ∈Ｒ 且 ｘ <ｘ 则ｆ(ｘ )－ｆ(ｘ ) 函数.１ ２ １ ２ ２ １
２
＝ ３ｘ２＋２－３ｘ１－２＝ ３(ｘ２－ｘ ) ２.解析 　 ( １) 函数 ｙ
＝ ｘ － ５ｘ－ ６ 的图象如图
１
∵ ｘ１<ｘ２ ∴ ｘ２－ｘ１>０ ∴ ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ )>０ 所示.１
∴ ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)
∴ 函数 ｆ(ｘ)＝ ３ｘ＋２ 是增函数.
３.证明　 ｘ１ ｘ２∈(－∞ ０) 且 ｘ１<ｘ２
２ ２(ｘ －ｘ )
则 ｆ(ｘ )－ｆ(ｘ )＝ － ＋
２ ＝ ２ １ 由图可知 ｆ(－２)是函数 ｆ(ｘ)的一个最小值.２ １ ｘ２ ｘ１ ｘ１ｘ２ １
∵ ｘ１<ｘ <０ ３.解析　 ∵ 函数 ｆ( ｘ)＝ 在区间[２ ６]上单２ ｘ
∴ ｘ１ｘ２>０ ｘ２－ｘ１>０ 调递减
∴ ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０ １ １
∴ ｆ(ｘ )<ｆ(ｘ ) ∴ ｆ(ｘ) ｍａｘ ＝ ｆ(２)＝ ｆ(ｘ)２ ｍｉｎ
＝ ｆ(６)＝ .
６ 由图象可知 １ ２
５
∴ 函数 ｆ( ｘ) ＝ －
２
在区间( －∞ ０)上单调 ３.２.２　 奇偶性 单调减区间是 (－∞ ] ｘ ２
递增. 练习 ５单调增区间是 [ ＋∞ ) .
４.解析　 １.解析　 ∵ ｆ(ｘ)是偶函数 ２
２
∴ ｆ(ｘ)的图象关于 ｙ 轴对称 补充后的图象 (２)函数 ｙ＝ ９－ｘ 的图象如图所示.
如图 １.
∵ ｇ(ｘ)是奇函数
∴ ｇ(ｘ)的图象关于原点对称 补充后的图象
如图 ２.
由图象可知
单调增区间是 ( － ∞ ０] 单调减区间是
[０ ＋∞ ) .
２.解析　 (１)函数 ｆ(ｘ)的定义域为 Ｒ 关于原 ３.证明　 (１) ｘ１ ｘ２∈Ｒ 且 ｘ１<ｘ２
点对称. 则 ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝ －２ｘ１ ＋１－( －２ｘ２ ＋１)＝ ２( ｘ２
∵ ｆ( － ｘ) ＝ ２ ( － ｘ) ４ ＋ ３ ( － ｘ) ２ ＝ ２ｘ４ ＋ ３ｘ２ ＝ －ｘ１)
ｆ(ｘ) ∴ ｆ(ｘ)＝ ２ｘ４＋３ｘ２ 为偶函数. ∵ ｘ１<ｘ２
(１)定义域 Ｉ＝{ｘ ｜ ｘ≠０} . (２)函数 ｆ(ｘ)的定义域为 Ｒ 关于原点对称. ∴ ｘ２－ｘ１>０
ｋ
(２)当 ｋ>０ 时 ｙ＝ 在(－∞ ０)和(０ ＋∞ ) ∵ ｆ(－ｘ)＝ (－ｘ)３－２(－ｘ)＝ －ｘ３＋２ｘ＝－(ｘ３－２ｘ)＝ ∴ ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)>０ ｘ
－ ｆ(ｘ) ∴ ｆ(ｘ)＝ ｘ３－２ｘ 为奇函数. ∴ ｆ(ｘ
１
)>ｆ(ｘ２)
上单调递减
３.证明　 (１)充分性:如果 ｆ( ｘ)的图象关于 ｙ ∴ 函数ｆ(ｘ)＝ －２ｘ＋１ 是减函数.
ｋ
当 ｋ<０ 时 ｙ＝ 在(－∞ ０)和(０ ＋ｘ ∞
)上单 轴对称 则 ｆ(ｘ)＝ ｆ(－ｘ) ∴ ｆ(ｘ)是偶函数. (２) ｘ１ ｘ２∈(０ ＋∞ ) 且 ｘ１<ｘ２
　２７０


教材习题答案
则 ｆ(ｘ１)－ ｆ(ｘ )＝ (ｘ
２
２ １＋１)－(ｘ
２
２＋１) 则 ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１) Δｙ∴ >０.
＝ (ｘ１＋ｘ２)(ｘ －ｘ ) ９ Δｘ１ ２ ＝ ｘ２＋ －ｘ１－
９
∵ ｘ２>ｘ１>０ ｘ２ ｘ１ ∴ 当 Δｘ＝ ｘ１－ｘ２ <０ 时 Δｙ ＝ ｆ( ｘ１) －ｆ( ｘ２ ) <０
∴ ｘ ＋ｘ >０ ｘ －ｘ <０. ９(ｘ１－ｘ )１ ２ １ ２ Δｙ＝ ｘ －ｘ ＋ ２ ∴ >０.
∴ ｆ(ｘ１)－
２ １
ｆ(ｘ２)<０ 即 ｆ(ｘ１)< ｆ(ｘ ｘ ｘ Δｘ２) . １ ２
∴ 函数 ｆ(ｘ)＝ ｘ２＋１ 在(０ ＋∞ )上单调递增. ( ９ ) 综上 函数 ｙ＝ ｆ( ｘ)在区间 Ｄ 上单调递增的＝(ｘ２－ｘ１) １－
(３) ｘ１ ｘ２∈(－∞ ０) 且 ｘ１<ｘ 则
ｘ１ｘ２ Δｙ
２ 充要条件是: ｘ ｘ ∈Ｄ ｘ
ｘ ｘ －９ １ ２ １
≠ ｘ２ 都有
１ ２ Δｘ
ｆ(ｘ１)－ ｆ(ｘ２)＝ １－
１ － ( １１－ ) ＝(ｘ２－ｘ１) .ｘ ｘ ｘ >０.１ ｘ２ １ ２
１ １ ｘ －ｘ 因为 ｘ１≥３ ｘ２≥３ 且 ｘ１ ２ ２ >ｘ１ 所以 ｘ２ －ｘ１ >０ (２)同理可证.＝ － ＝
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ２ｘ１>９ 所以 ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０ １０.解析　 设每间熊猫居室的面积为 ｙ ｍ
２
２ １ １ ２
∵ ｘ <ｘ <０ ９ 由宽 为 ｘ ｍ 得 每 间 熊 猫 居 室 的 长 为１ ２ 所以 ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２) 所以 ｙ ＝ ｘ＋ 在区间[３
∴ ｘ ｘ － － ２－１－ｘ２<０ ｘ１ｘ２>０ ３０ ３ｘ ３０ ３ｘｍ 那么ｙ＝ ｘ ＝－
３(ｘ １０ｘ)
∴ ｆ(ｘ )－ ｆ(ｘ )<０ ＋∞ )上单调递增. ２ ２ ２１ ２
２
即 ｆ(ｘ１)< ｆ(ｘ (２) ｘ ｘ ∈(０ ＋∞ ) 且 ｘ <ｘ －３(ｘ－５) ＋７５２) . １ ２ １ ２ ＝ (０<ｘ<１０) .
１ ｘ ｘ －９ ２
∴ 函数 ｆ(ｘ)＝ １－ 在(－∞ ０)上单调递增. 由(１)知 ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)＝ (ｘ
１ ２
２－ｘ１) ｘ ｘ ｘ 所以当 ｘ＝ ５ 时 ｙ 有最大值 ３７.５.１ ２
ｘ２ 因为 ０<ｘ <ｘ 所以 ｘ －ｘ >０ ｘ ｘ >０ 故宽为 ５ ｍ 时才能使所建造的每间熊猫居
４.解析　 ｙ＝－ ＋１６２ｘ－２１ ０００ １ ２ ２ １ １ ２
５０ ２当 ｘ１ ｘ２∈(０ ３]时 ｘ ｘ －９<０ 室面积最大 最大面积是３７.５ ｍ .１ ２
＝－ １ (ｘ２－８ １００ｘ)－２１ ０００ 所以 ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<０ 即 ｆ(ｘ )>ｆ(ｘ １１.解析　 因为 ｆ(ｘ)是 Ｒ 上的奇函数 １ ２)
５０
此时函数 ｆ(ｘ)为减函数 所以 ｆ(－ｘ)＝ －ｆ(ｘ) .
＝－ １ (ｘ－４ ０５０) ２＋３０７ ０５０. 当 ｘ ｘ ∈(３ ＋∞ )时 ｘ ｘ －９>０ 因为当 ｘ≥０ 时 ｆ(ｘ)＝ ｘ(１＋ｘ)
５０ １ ２ １ ２
＝ ＝ 所以 ｆ(ｘ２)
－ｆ(ｘ１)>０ 即 ｆ(ｘ )<ｆ(ｘ ) 所以当 ｘ<０ 时 －ｘ>０ 所以当 ｘ ４ ０５０ 时 ｙ 取得最大值 ｙ １ ２ｍａｘ
此时函数 ｆ(ｘ)为增函数. 所以 ｆ(－ｘ)＝ (－ｘ)(１－ｘ)＝ －ｘ(１－ｘ)
３０７ ０５０.
所以 ｆ(ｘ)＝ －ｆ(－ｘ)＝ ｘ(１－ｘ) .
故每辆车的月租金为 ４ ０５０ 元时 ９租赁公司 综上 函数 ｆ(ｘ)＝ ｘ＋ 在区间(０ ３]上为减
ｘ ｘ(１＋ｘ) ｘ≥０
的月收益最大 为３０７ ０５０元. 所以 ｆ(ｘ)＝
函数 在区间[３ ＋∞ )上为增函数. {ｘ(１－ｘ) ｘ<０.
５.解析　 (１)函数 ｆ(ｘ)＝ ｘ２ ＋１ 的定义域为 Ｒ
＝ ｋ 它的图象如图所示.关于原点对称. (３)设 ｙ ｆ(ｘ)＝ ｘ＋ ( ｋ>０) ｘ１ ｘ２∈(０ ｘ
∵ ｆ(－ｘ)＝ (－ｘ) ２＋１＝ ｘ２＋１＝ ｆ(ｘ) ＋∞ ) 且 ｘ１<ｘ２ 则
∴ 函数 ｆ(ｘ)＝ ｘ２＋１ 为偶函数.
ｘ ｆ(ｘ２) － ｆ( ｘ１ ) ＝ ( ＋ ｋ ) － ( ＋ ｋｘ２ ｘ１ ) ＝ ( ｘ２ －
(２)函数 ｆ(ｘ) ＝ 的定义域为 Ｒ 关于原 ｘ２ ｘ１
ｘ２＋１
＋ ( ｋ ｋ点对称. ｘ１) － ) ｘ －ｘ＝( ｘ２ －ｘ１) ＋ｋ １ ２ ＝ ( ｘ２ －ｘ２ ｘ１ ｘ１ｘ２ 拓广探索
－ｘ ｘ
∵ ｆ(－ｘ)＝ ＝ － ＝－ ｆ(ｘ) ｘ１ｘ２－ｋ
(－ｘ) ２＋１ ｘ２＋１ ｘ ) １２.解析　 偶函数 ｆ( ｘ)在(０
＋∞ )上是减函
１ ｘ１ｘ２
ｘ 数 那么 ｆ(ｘ)在(
－∞ ０)上是增函数.
∴ 函数 ｆ(ｘ)＝ ２ 为奇函数. 因为 ０<ｘ１<ｘ２ 所以 ｘ２－ｘｘ ＋１ １
>０ ｘ１ｘ２>０ 证明如下:
综合运用 当 ｘ１ ｘ２∈(０ ｋ ]时 ｘ１ｘ２－ｋ<０ ｘ１ ｘ２∈(－∞ ０) 且 ｘ１<ｘ２
６.解析 　 心率关于时间的一个可能的图象 所以 ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<０ 即 ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２) 则－ｘ１>－ｘ２>０.
如图. 此时函数 ｆ(ｘ)为减函数 因为函数 ｆ(ｘ)在(０ ＋∞ )上是减函数
当 ｘ１ ｘ２∈[ ｋ ＋∞ )时 ｘ１ｘ２－ｋ>０ 所以 ｆ(－ｘ１)<ｆ(－ｘ２) .
所以 ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０ 即 ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２) 又因为 ｆ(ｘ)是偶函数
此时函数 ｆ(ｘ)为增函数. 所以 ｆ(－ｘ１)＝ ｆ(ｘ１)
ｋ ｆ(－ｘ )＝ ｆ(ｘ ) .
综上 函数 ｆ ( ｘ) ＝ ｘ ＋ ( ｋ > ０) 在区间 ２ ２
ｘ 于是 ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)
(０ ｋ ]上为减函数 在 [ ｋ ＋ ) 上为增 所以偶函数 ｆ(ｘ)在(－∞ ０)上是增函数.
心率减慢 则图象下降 心率升高 则图象 ∞
. 函数. １３.解析　 (１)∵ ｆ(ｘ
＋ａ)＝ (ｘ＋ａ) ３－３(ｘ＋ａ) ２
上升
９.证明　 (１)充分性:∵ ｘ ｘ ∈Ｄ ｘ ≠ｘ ＝ ｘ３＋２ａｘ２＋ａ２ｘ＋ａｘ２＋２ａ２ｘ＋ａ３－３ｘ２－６ａｘ－３ａ２７.解析　 (１) ｆ(ｘ)＝ ｘ２－２ｘ＝(ｘ－１) ２－１ １ ２ １ ２
故 ｆ(ｘ)的单调递增区间为[１ ＋∞ ) Δｙ {Δｘ>０ {Δｘ<０ ＝ ｘ
３＋(３ａ－３)ｘ２＋(３ａ２－６ａ)ｘ＋ａ３－３ａ２
都有 >０ ∴ 或
单调递减区间为(－ １] . Δｘ∞ Δｙ>０ Δｙ<０ ∴ ｙ＝ ｆ(ｘ＋ａ)－ｂ＝ ｘ
３＋(３ａ－３)ｘ２＋(３ａ２ －６ａ) ｘ
３
ｇ(ｘ)＝ ｘ２－２ｘ＝(ｘ－１) ２－１ ｘ∈[２ ４] 即 ｘ１>ｘ２ 时 ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２)或 ｘ１<ｘ２ 时 ｆ(ｘ１) ＋ａ －３ａ
２－ｂ 是奇函数
故 ｇ(ｘ)的单调递增区间为[２ ４] . <ｆ(ｘ２) . {３ａ－３＝ ０ ａ＝ １ ∴ ∴３ ２ {
(２)由(１)知 当 ｘ＝ １ 时 ｆ(ｘ)取最小值－１. 由增函数的定义可知 ｙ ＝ ｆ( ｘ)在区间 Ｄ 上 ａ －３ａ －ｂ＝ ０ ｂ＝－２.
当 ｘ＝ ２ 时 ｇ(ｘ)取最小值 ０. 单调递增. ∴ ｆ ( ｘ) ＝ ｘ３ － ３ｘ２ 的图象的对称中心为
９ 必要性:∵ ｘ１ ｘ２∈Ｄ ｘ１≠ｘ２ ｙ ＝ ｆ( ｘ)在 Ｄ (１ －２) .
８.解析　 (１)证明:设 ｙ＝ ｆ( ｘ)＝ ｘ＋ . ｘ ｘ
ｘ １ ２ 上单调递增 (２)函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线 ｘ ＝ ａ 对称的
∈[３ ＋∞ ) 且 ｘ１<ｘ２ ∴ 当 Δｘ＝ ｘ１－ｘ２ >０ 时 Δｙ ＝ ｆ( ｘ１) －ｆ( ｘ２) >０ 充要条件是 ｙ＝ ｆ(ｘ＋ａ)为偶函数.
　２７１


3.3　幂函数 根据表中的数据作出函数图象如图所示: 由图象可知 当 ０≤ｘ<１ ５００ 时 该公司亏损
练习 当 ｘ＝ １ ５００ 时 该公司不赔不赚
１.解析　 设所求幂函数的解析式为 ｙ ＝ ｆ(ｘ)＝ 当 ｘ>１ ５００ 时 该公司赢利.
ｘα .因为幂函数的图象过点(２ ２ ) 所以有 ◆习题3.4
１ 综合运用
２ ＝ ２α 解得 α ＝ 所以所求函数的解析
２ １.解析　 根据题意得
１
式为 ｙ＝ ｆ(ｘ)＝ ｘ ２ (ｘ≥０) . ６０ｔ(０≤ｔ≤２.５) 通过观察图象得函数的定义域为{ｘ ｜ ｘ≠０}
２.解析　 (１)令 ｆ(ｘ)＝ ｘ３ . ＋ ｘ
＝{１５０(２.５<ｔ≤３.５) 值域为(０ ∞ )
∵ ｆ(ｘ)在 Ｒ 上单调递增 且－１.５<－１.４ ３２５－５０ｔ(３.５<ｔ≤６.５) .∵ 函数的定义域关于原点对称 且 ｆ( ｘ) ＝
∴ ｆ(－１.５)<ｆ(－１.４) 即(－１.５) ３<(－１.４) ３ . － 函数图象如图 １.ｆ( ｘ) ∴ ｆ(ｘ)＝ ｘ－２为偶函数.
１ －
(２)令 ｇ(ｘ)＝ . 函数 ｆ( ｘ) ＝ ｘ ２ 在( －∞ ０)上单调递增 在
ｘ
(０ ＋∞ )上单调递减.
∵ ｇ(ｘ) 在( －∞ ０) 上单调递减 且－ １.５ <
证明: ｘ１ ｘ２∈(－∞ ０) 且 ｘ１<ｘ２ .
－ １ １１.４ ∴ ｇ(－１.５)>ｇ(－１.４) ∴ ２ ２－ > .１.５ －１.４ ｘ －ｘ∴ ｆ(ｘ２)－ ＝
１ １
ｆ(ｘ１) － ＝
１ ２
２ ２ ２ ２
３.解析　 ｘ ｘ ∈Ｒ 且 ｘ <ｘ ｘ２ ｘ１ ｘ１ｘ２１ ２ １ ２
∴ ｆ(ｘ )－ｆ(ｘ )＝ ｘ３－
＋
ｘ３ (ｘ１ ｘ２)(ｘ１
－ｘ２) 图 １
２ １ ２ １ ＝
２ ２ ｘ
２
１ｘ
２
２ {６０(０≤ｔ≤２.５) ＝(ｘ２－ｘ１)(ｘ２＋ｘ１ｘ２＋ｘ１) ∵ ｘ１ ３ １<ｘ２<０ ∴ ｘ１＋ｘ２<０ ｘ１－ｘ２<０ 由题意得 ｖ＝ ０(２.５<ｔ≤３.５) ＝ (ｘ２－ｘ１) [ (ｘ２２＋ｘ ２ ２１ｘ２＋ ｘ１ ) ＋ ｘ４ ４ １ ] ∴ ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０ －５０(３.５<ｔ≤６.５) .
[ ( １ ) ２ ３ ] ∴ ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２) ∴ ｆ(ｘ)
＝ ｘ－２在( －∞ ０)上单 函数图象如图 ２.
＝(ｘ －ｘ ２２ １) ｘ２＋ ｘ１ ＋ ｘ１ ２ ４ 调递增 同理可证: ｆ( ｘ)＝ ｘ－２在(０ ＋∞ )上
∵ ｘ２>ｘ１ ∴ ｘ２－ｘ１>０ ∴ ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２) 单调递减.
∴ ｆ(ｘ)＝ ｘ３ 在 Ｒ 上单调递增.
∵ ｆ(ｘ)＝ ｘ３ 的定义域 Ｒ 关于原点对称 3.4　函数的应用（一）
且 ｆ(－ｘ)＝ (－ｘ) ３ ＝－ｘ３ ＝－ｆ(ｘ) 练习
∴ ｆ(ｘ)是 Ｒ 上的奇函数. ２０ ＝ １１.解析　 由 ３ (６０)
２ａ 得 ａ＝ ３
◆习题3.3 １０ ３６×５×１０ 图 ２
复习巩固 ５０ １由 ＝３ ３ｘ
２ 得 ｘ＝ ３０ １０ . ２.解析　 设水池底的长、宽分别为 ｘ ｍ、ｙ ｍ 总
１０ ３６×５×１０
１.解析　 函数 ｙ＝ ｜ ｘ ｜ 的图象 如图. 造价为 ｗ 元
∵ ３０ １０ <１００
＝ １ ２００∴ 这辆车没有超速行驶. 根据题意知 ｘ ｙ ＝ ２００ ６
２.解析 　 设矩形广告牌的长为 ｘ ｍ ( ０ < ｘ < ＝ ２００∴ ｙ .
ｘ
ｌ ) ｌ－２ｘ 则其宽为 ｍ ∵ 底面积为 ２００ ｍ２
∵ 函数 ｙ＝ ｆ( ｘ)＝ ｜ ｘ ｜ 的定义域为 Ｒ 关于 ２ ２ 侧面积为 ２ ｘ ６＋２ ｙ ６＝ １２(ｘ＋ｙ)ｍ２
原点对称 ＝ ｌ
－２ｘ
∴ Ｓ ｘ ＝－ ２＋
ｌ
ｘ ｘ ∴ 总造价 ｗ＝ １２(ｘ＋ｙ)×９５＋２００×１３５
２ ２
又 ｆ(－ｘ)＝ ｜ －ｘ ｜ ＝ ｜ ｘ ｜ ＝ ｆ(ｘ) ２００
＝ － ( ２－ ｌ ｌ２ ) ｌ２ ＝ １ １４０ (ｘ＋ ) ＋２７ ０００(ｘ>０) .＝ ｘ∴ ｙ ｜ ｘ ｜ 为偶函数. ｘ ｘ＋ ＋２ １６ １６
＝ － 要使总造价 ｗ<７０ ０００ 函数 ｙ ｆ(ｘ)在( ∞ ０]上单调递减
＝ －
在[０ ＋∞ )上单调递增. ( － ｌｘ ４ )
２
＋ ｌ
２ ( ｌ０<ｘ<１６ ２ ) . ( ＋２００则 １ １４０ ｘ ) ＋２７ ０００<７０ ０００.ｘ
综合运用 ｌ
∴ 当 ｘ＝ 时 广告牌的面积 Ｓ 最大 且 Ｓ
４ ｍａｘ ∵ ｘ>０ ∴ ５７ｘ
２－２ １５０ｘ＋１１ ４００<０
２.解析　 (１)由题意得 ｖ＝ ｋ ｒ４(ｋ>０) .
２ ∴ ６.４<ｘ<３１.３.
(２)将 ｒ＝ ３ ｖ＝ ４００ 代入 ｖ＝ ｋ ｒ４ 得 ＝ ｌ .
１６ ∴ 水池的长在(６.４ ３１.３)范围内变化时 总
＝ ４００ｋ
８１ ３.解析　 (１)由题意可得 造价可控制在 ７ 万元以内.
４００ １５０ ３.解析　 设每户每月用水量为 ｘ ｍ
３ 需交纳的
故流量速率 ｖ 的表达式为 ｖ＝ ｒ４( ｒ>０) . ｙ１ ＝ １５０＋０.２５ｘ(ｘ≥０) ｙ２ ＝ ＋０.２５( ｘ>０)
８１ ｘ 水费为 ｆ(ｘ)元 则
(３)当 ｒ＝ ５ 时 ｙ３ ＝ ０.３５ｘ(ｘ≥０) ３ｘ ０≤ｘ≤１２
４００ ４００ ｙ４ ＝ ０.３５ｘ－(１５０＋０.２５ｘ)＝ ０.１ｘ－１５０(ｘ≥０) . ｆ(ｘ)＝ ３６＋６(ｘ－１２) １２<ｘ≤１８
ｖ＝ ｒ４ ＝ ×５４≈３ ０８６(ｃｍ３ / ｓ) . {
８１ ８１ (２)画出 ｙ４ ＝ ０.１ｘ－１５０(ｘ≥０)的图象如图. ７２＋９(ｘ－１８) ｘ>１８.
３.解析　 利用函数解析式列出表格. 若该居民交纳的水费为 ４８ 元 那么用水量 ｘ
１ １ ∈(１２ １８]
ｘ －２ －１ － １ ２
２ ２ 令 ３６＋６(ｘ－１２)＝ ４８ 得 ｘ＝ １４
１ １ ∴ 该居民本月用水量为 １４ ｍ
３ .
ｙ １ ４ ４ １
４ ４ 拓广探索
４.解析　 (１)根据题图(１)可得 点 Ａ 的实际
　２７２


教材习题答案
意义为当乘客量为 ０ 时 亏损 １(单位) 点 Ｂ 根据函数解析式作出函数的图象 如图所示. 于是－ ｆ(ｘ２)>－ ｆ(ｘ１) 即 ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２) .
的实际意义为当乘客量为 １.５(单位)时 收 所以 ｆ(ｘ)在[－ｂ －ａ]上单调递减.
支持平 射线 ＡＢ 上的点的实际意义为当乘 (２)偶函数 ｇ(ｘ)在[－ｂ －ａ]上单调递增.
客量小于 １.５ 时公司将亏损 当乘客量大于 证明如下: ｘ１ ｘ２∈[－ｂ －ａ] 且 ｘ１<ｘ２
１.５ 时公司将赢利. 则 ａ≤－ｘ２<－ｘ１≤ｂ.
(２)题图(２)的建议是降低成本且保持票价 因为 ｇ(ｘ)在[ａ ｂ]上是减函数
不变 题图(３)的建议是提高票价且保持成 ∵ ｆ(ｘ)的定义域为(０ ＋∞ ) 不关于原点对 所以 ｇ(－ｘ２)>ｇ(－ｘ１) .
本不变. 称 ∴ 该函数为非奇非偶函数 又因为 ｇ(ｘ)是偶函数 所以 ｇ(－ｘ)＝ ｇ(ｘ) .
５.解析　 由题中表格画出散点图 如图所示. 由图象得 ｙ＝ ｆ(ｘ)在(０ ＋∞ )上单调递减. 于是 ｇ(ｘ２)>ｇ(ｘ１) .
由图可考虑以 Ｆ＝ ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０)作为刻画长度 ６.解析　 (１)∵ Ｐ＝Ｒ－１００ｘ－２０ ０００ 所以 ｇ(ｘ)在[－ｂ －ａ]上单调递增.
与拉力的函数模型. {－ １ ｘ２＋３００ｘ－２０ ０００ ０≤ｘ≤４００ １０.解 析 　 ( １ ) 依 题 意 知 用 电 量 增 至取两组数据(１４.２ １) (５７.５ ４) ∴ Ｐ＝ ２ ｋ
{１４.２ｋ＋ｂ＝ １ {ｋ≈０.０６９ ６０ ０００
－１００ｘ ｘ>４００. ( ＋－ ａ ｋＷ ｈ 则电力部门的收益为 ｙｘ ０.４ )
有
５７.５ｋ＋ｂ＝ ４ ｂ≈０.０１６. (２)当 ０≤ｘ≤４００ 时 ＝
１ ( ｋ ＋－ ａ) (ｘ－０.３)(０.５５≤ｘ≤０.７５) .∴ Ｆ＝ ０.０６９ｘ＋０.０１６. Ｐ＝ － [( ｘ２ － ６００ｘ ＋ ９０ ０００) － ９０ ０００] － ｘ ０.４
２ (２)依题意有
１
２０ ０００＝ － (ｘ－３００) ２＋２５ ０００ { ( ０.２ａ２ ＋ａ) (ｘ－－ ０.３)≥ａ(０.８－０.３)(１＋２０％) ｘ ０.４∴ 当 ｘ＝ ３００ 时 Ｐｍａｘ ＝ ２５ ０００ ０.５５≤ｘ≤０.７５
当 ｘ>４００ 时 Ｐ＝ ６０ ０００－１００ｘ<６０ ０００－１００× ｘ２{ －１.１ｘ＋０.３≥０ ４００＝ ２０ ０００ 整理得 ０.５５≤ｘ≤０.７５
∵ ２５ ０００>２０ ０００ ∴ 月产量为 ３００ 台时 公
将已知数据代入解析式 或作出图象 可以 解得 ０.６０≤ｘ≤０.７５
司所获利润最大 最大利润为 ２５ ０００ 元.
发现 这个模型与已知数据拟合程度较好 ∴ 当电价最低定为 ０.６ 元 / (ｋＷ ｈ)时 仍
综合运用
说明它能较好地反映弹簧伸长长度与拉力 可保证电力部门的收益比上年至少增
７.解析　 ｆ(１)＝ ５ ｆ(－３)＝ ２１
的关系. 长 ２０％.
{(ａ＋１)(ａ＋５) ａ≥－１ 复习参考题3 ｆ(ａ＋１)＝ 拓广探索(ａ＋１)(ａ－３) ａ<－１. １１.解析　 厂商希望产品价格低的时候 卖出
复习巩固
ｘ ＋ｘ ｘ ＋ｘ
ｘ－２≥０ ８.证明　 (１) ｆ ( １ ２ ) ＝ａ ( １ ２ ) ＋ｂ 的产品少 价格高的时候 卖出的多 而客１.解析　 (１)由{ 得 ｘ≥２ ２ ２ｘ＋５≥０ 户希望价格低时多买入 价格高时少买入.ａｘ１＋ｂ ａｘ２＋ｂ
故所求定义域为{ｘ ｜ ｘ≥２} . ＝ ＋ 故厂商希望的供应曲线是题图(１)曲线 客２ ２
ｘ－４≥０ 户希望的需求曲线是题图(２)曲线.
(２)由{ 得 ｘ≥４ 且 ｘ≠５ ｆ(ｘ１) ｆ(ｘ２) ｆ(ｘ )＋ ｆ(ｘ )｜ ｘ ｜ －５≠０ ＝ ＋ ＝ １ ２ . １２ ２ ２ １２.解析　 ｙ＝ ｘ－ 的定义域为{ｘ ｜ ｘ≠０} 值域ｘ
故所求定义域为{ｘ ｜ ｘ≥４ 且 ｘ≠５} . ｘ ＋ｘ ｘ ＋ｘ
１－ａ ２ (２) ｇ ( １ ２ ) ＝ １ (ｘ２１ ＋ｘ２２ ＋２ｘ１ｘ２)＋ａ １ ２ 为 Ｒ.２.解析　 (１) ｆ(ａ)＋１＝ ＋＋ １＝ (ａ≠－１) . ２ ４ ２１ ａ １＋ａ ∵ 函数 ｙ＝ ｆ(ｘ)的定义域关于原点对称 且
＋ｂ
－ ＋ － １ １
(２) ｆ(ａ＋１)＝
１ (ａ １)＝ ａ － ｆ(－ｘ)＝ －ｘ＋ ＝－ (ｘ－ ) ＝－ｆ(ｘ)
１＋ ＋
(ａ≠ ２) .
(ａ １) ａ＋２ ｇ(ｘ１)＋ｇ(ｘ２) ｘ ｘ
１＋(－ｘ) ２ １＋
２
ｘ２ １ １
３.证明　 (１) ｆ(－ｘ)＝ ＝ ＝ ｆ(ｘ) . ∴ ｙ ＝ ｘ － 为奇函数.函数 ｙ ＝ ｘ － 在
１－(－ｘ) ２ １－ｘ２ ＝ １
ｘ ｘ
[(ｘ２１＋ａｘ１＋ｂ)＋(ｘ
２
２ ２
＋ａｘ２＋ｂ)]
１ ２ (－∞ ０)和(０ ＋∞ )上单调递增.
１＋
( １ ) ( ｘ ) ｘ２＋１ １ ｘ
＋ｘ
＝ ２＋ ＋＝ ＝ (ｘ ｘ
２)＋ａ １ ２＋ｂ. ｘ１ ｘ２∈(０ ∞ ) 且 ｘ１<ｘ２ (２) ｆ
ｘ ( １ ) ２ ｘ２－１ ２
１ ２ ２ １ １
１－ ｆ(ｘ )－ｆ(ｘ )＝ ｘ － － ｘ －
ｘ １ ２ １ ( ２ ) ( １２＋ ２＋ １ ｘ ｘ )因为 (ｘ１ ｘ２ ２ｘ１ｘ２)－ (ｘ２ ２ ２ １１＋ｘ２)
１＋ ２ ４ ２＝ － ｘ ＝－ ＝ － ＋ １ － １
１－ｘ２
ｆ(ｘ)(ｘ≠０) . ｘ２ ｘ１
＝ － １ － ２ ｘ ｘ(ｘ１ ｘ２) ≤０
１ ２
４.解析　 函数 ｆ( ｘ)的图象的对称轴是直线 ｘ ４ ｘ１ｘ２＋１
１ ＝(ｘ２－ｘ１) ｋ 即 (ｘ２＋ ２
１
ｘ ２ ２ ｘ＝ . １
ｘ２
４ １ ２
＋２ｘ１ｘ２)≤ (ｘ ＋ｘ２ １ ２
)
８ ∵ ｘ１ ｘ２∈(０ ＋∞ )
ｋ ｋ ｘ１＋ｘ２ ｇ(ｘ１)＋ｇ(ｘ２)
当 ≤５ 或 ≥２０ 所以 ｇ ( ) ≤ . ∴ ｘ１ｘ２>０.８ ８ ２ ２ 又 ｘ１<ｘ２ ∴ ｘ２－ｘ１>０
即 ｋ≤４０ 或 ｋ≥１６０ 时 ｆ(ｘ)在[５ ２０]上是 ９.解析　 (１)奇函数 ｆ(ｘ)在[－ｂ －ａ]上单调递 ∴ ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０
单调函数. 减.证明如下: ∴ ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)
所以实数 ｋ 的取值范围为{ ｋ ｜ ｋ≤４０ 或 ｋ≥ ｘ１ ｘ２∈[－ｂ －ａ] 且 ｘ１<ｘ２ １
１６０} . 则 ａ≤－ｘ <－ｘ ≤ｂ. ∴ 函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)＝ ｘ－ 在(０ ＋∞ )上单调２ １ ｘ
５.解析 　 令 ｆ ( ｘ) ＝ ｘα ∵ ｆ ( ｘ) 的图象过点 因为 ｆ(ｘ)在[ａ ｂ]上是减函数 递增
( ２ ) ２ 所以ｆ(－ｘ )> ｆ(－ｘ ∴ ＝ ２α α＝－ １ ２ １) .２ 解得２ ２ 同理函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)＝ １ｘ－ 在( －∞ ０)上单２ 又因为 ｆ(ｘ)是奇函数 ｘ
－ １∴ ｆ(ｘ)＝ ｘ ２ . 所以ｆ(－ｘ)＝ － ｆ(ｘ) 调递增 函数图象如图.
　２７３


３ ３ １ １ １
( ３６ ) ２ [ ( ６ ) ２＝ ] ２ ＝ ( ６ ) ３ ＝ｍ ２ ｍ ３ ｍ ４３.解析　 (１) (３)原式４９ ７ ７ ５ １ｍ ６ ｍ ４
＝ ２１６. １ ＋ １ ＋ １ － ５ － １
３４３ ＝ｍ ２ ３ ４ ６ ４ ＝ｍ
０ ＝ １.
１ ３ ７ ５
(２)２ ３ ×３ ３ １.５ × ６ １２ ５.解析　 (１)原式＝ａ ＋ ＋３ ４ １２ ＝ａ ３ .
３ ３ ２ ＋ ３ ５
７
１ １ － １２
＝ ２×３ ２ ×３× ×(２２×３) (２)原式＝ａ ３ ４ ６ ＝ａ .６
１３.解析　 ｙ＝ ｆ( ｔ)＝ ２ １ ３(３)原式＝ ｘ ×１２ ｙ－ ×１２ ＝ ｘ４ｙ－３ ４ ９ .
１ １ １ １ １
ì ３ ２ ＝ × ２ × ×ｔ ０<ｔ≤１ ２ ３ ３ ３
３ ×２－ ３ ×２ ３ ×３ ６ ２ １ １ １(４)原式＝(－６)ａ ＋ ｂ－３ ３ ３ ＋ ３ ＝－６ａｂ０ ＝－６ａ.
２ １ １ １ １ １ ＝ ２１－ ＋３ ３ ×３１＋ ＋ ＋２ ３ ６ 综合运用
í ３
－ ( ｔ－２)
２＋ ３ １<ｔ≤２ ＝ ２×３２ ＝ １８. ６.答案　 ６４
２
１ １ － １ １ ＋ １ － １
５ 解析　 ∵ 细菌每 １０ ｍｉｎ 分裂 １ 次 １ ｈ 共分
３ ｔ>２. (３)ａ ２ ａ ４ ａ ８ ＝ａ ２ ４ ８ ＝ａ ８ .
裂 ６ 次 ∴ １ 个细菌分裂成 ２６ ＝１ ６４ 个.
函数图象如图. － １ ( １ ２ １ １ １ ２(４) ２ｘ ３ ｘ ３ －２ｘ－ ) ＝ ｘ－ ＋３ ３ ３ － ４ｘ－ －３ ３２ ７.解析　 (１)∵ １０ｍ ＝ ２ １０ｎ ＝ ３
＝ １－４ｘ－１ . １３ｍ－２ｎ １ １０３ｍ ２
∴ １０ ２ ＝(１０３ｍ－２ｎ) ２ ＝ ( ２ｎ )
４.１.２　 １０无理数指数幂
１ １
及其运算性质 ＝ [(１０
ｍ) ３ ２ ２３ ２ ２ ２
(１０ｎ) ２ ] ＝ ( ２ ) ＝ .３ ３
练习
ａ３ｘ＋ａ－３ｘ (ａｘ) ３＋(ａ－ｘ) ３２ｘ
１４.解析　 (１)由题表中所给数据 在平面直角 ３ ３ ２ ３ (２)∵ ａ ＝ ３ ∴ ＝１.解析　 (１)(２ ｍ ) ａｘ＋ａ－ｘ ａｘ＋ａ－ｘ
坐标系中作出 ( ３０ ６０) ( ４０ ３０) ( ４５ ３
３×２ ３ ×２ ３ ２ｘ ｘ －ｘ －２ｘ １ ７２
１５) (５０ ０) ＝ ２ ｍ ＝ａ －ａ ａ ＋ ＝ － ＋ ＝的对应点 它们近似地分布在 ａ ３ １ .３ ３
＝ ２６ ｍ３一条直线上 如图所示. ＝ ６４ｍ
３ . １ － １
２ ２
π ２π π ＋ ２π
８.解析　 已知 ａ ＋ａ ＝ ３
－π
(２)ａ ３ ａ ３ ａ－π ＝ａ ３ ３ ＝ａ０ ＝ １. １ － １ １ － １
２.解析　 (１)当 ｘ 趋向负无穷大时 ２ｘ (１)ａ＋的值不 ａ
－１ ＝(ａ ２ ＋ａ ２ ) ２－２ａ ２ ａ ２
＝ ２－ ０ ＝
断变小 并且趋近于 ０. ３ ２ａ ７.
１ ｘ (２)ａ
２＋ａ－２ ＝(ａ＋ａ－１) ２－２ａ ａ－１
(２)当 ｘ 趋向正无穷大时 ( ２ ) 的值不断 ＝ ４９－２＝ ４７.
变小 并且趋近于 ０. 拓广探索
◆习题4.1 ９.解析　 (１)当进行 １ 次之后 容器中酒精含
５０ｋ＋ｂ＝ ０ ２ ２ ２ ４
设 ｙ＝ ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０) 则{ 复习巩固 量为 Ｌ 第 ２ 次之后为 × ＝ Ｌ ４５ｋ＋ｂ＝ １５ ３ ３ ３ ９１.解析　 (１)原式＝ １００.
{ｋ＝－３ ２
５
解得 (２)原式＝－０.１. 第 ５ 次之后为 ( ) Ｌ.
ｂ＝ １５０ ３
(３)原式＝ ４－π. ｎ
∴ ｙ＝－３ｘ＋１５０(０≤ｘ≤５０ 且 ｘ∈Ｎ ) . ２
(４)原式＝ ｜ ｘ－ｙ ｜ . (２)由(１)得出第 ｎ 次之后为 ( ) Ｌ.３
(２)依题意 得 Ｐ＝ ｙ(ｘ－３０)
２.答案　 (１)Ｄ　 (２)Ａ １０.解析　 (１)略.
＝ (－３ｘ＋１５０)(ｘ－３０)
４ ３ ４ ３ ２５
＋ ｎ
＝ － １３(ｘ－４０) ２＋３００(０≤ｘ≤５０ 且 ｘ∈Ｎ ) 解析　 (１)对于 Ａ ａ ３ ａ ４ ＝ ａ ３ ４ ＝ ａ １２ 对于 (２)当 ｎ 越来越大时 (１＋ ) 也会越来ｎ
∴ 当 ｘ＝ ４０ 时 Ｐ 有最大值 ３００. ２ ２ １ ２ ２Ｂ ａ÷ａ ３ ＝
－ －
ａ１ ３ ＝ａ ３ 对于 Ｃ ａ ３ ａ ３ ＝ａ０ ＝ １ 越大.没有最大值.
故销售单价为 ４０ 元时 才能获得最大日销 １
售利润. 对于 Ｄ (ａ
４ ) ４ ＝ａ.故选 Ｄ.
ｍ ｍ １ 4.2　指数函数＝ ｎ(２)ａ ａｍ ａ０ ＝ １ ａ－ｎ ｎ ＝ ｎ 故选 Ａ.ｍ
第四章　指数函数与 ａ ４.２.１　 指数函数的概念
１ －１ 练习
对数函数 ３.答案　 (１) ( ２ ) １.Ｃ　 Ａ 为一次函数图象 Ｂ 为二次函数图象
4.1　指数 (２)２ ３ <３ ２ <２π<π ５ Ｄ 可以为 ｙ＝ ｘ３ 的图象.
４.１.１　 ｎ １次方根与分数指数幂 ３ ２ ２ ２.解析　 ｆ(０)＝ ３ ２０
４.解析　 (１)原式＝ ｂ ａ ÷ １
练习 è ａ ｂ６ ｆ(０.５)＝ ２ｆ(０)＝ ３ ２
１ ３ ４ ３ １ １ ｆ(１)＝ ２ｆ(０.５)＝ ４ｆ(０)＝ ３ ２
２
１.解析　 (１)ａ ２ ＝ ａ .(２)ａ ４ ＝ ａ .
＝ ( ｂ３ ) ２ ( ａ
２

３ １ ２ １ ａ ｂ６ )
４
ｆ(１.５)＝ ２ｆ(１)＝ ８ｆ(０)＝ ３ ２３
(３)ａ－ ＝ .(４)ａ－５ ３ ＝５ ３ .
ａ３ ａ２ ３ １ｂ ２ ａ ２
２ ＝ ＝ ｆ(０.５ｎ)＝ ２ｆ(０.５(ｎ－１))＝ ３ ２
ｎ .
３
２.解析　 (１) ｘ２ ＝ ｘ ３ (ｘ>０) . １ ３ １.ａ ２ ｂ ２ 所以函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)的一个解析式为 ｆ( ｘ)＝ ３
５ ４
(２) (ｍ－ｎ) ４ ＝(ｍ－ｎ) ５ (ｍ>ｎ) . ２２ｘ１ １ １ ＝ ３ ４ｘ .
５ １１ (２)原式＝(ａ ２ ａ ２ ａ ) ２
(３) ｐ６ ｐ５ ＝ ｐ３ ｐ ２ ＝ ｐ ２ (ｐ>０) . １ １ １ ３.解析　 令 ｆ(ｘ)＝ (１＋６.２５％)
ｘ
４
ａ３ ＝ａ (ａ
４
４ ａ ) ２
５ ３０
(４) ＝ａ３－
１ 则 ｆ(３０)＝ (１＋６.２５％) ≈６.１６
２ ＝ａ ２ (ａ>０) . １ １ １ １ １
ａ ＝ａ ４ ａ ８ (ａ ４ ) ２ ＝ａ ２ . 所以该湖泊的蓝藻变为原来的 ６.１６ 倍.
　２７４


教材习题答案
４.２.２　 指数函数的图象和性质 ｐ％ ＝ａ(１＋ｐ％) ２ １０.解析　 (１)当 ａ>１ 时 ｆ(ｘ)单调递增 ｇ( ｘ)
经过 ３ 年 后 年 产 量 为 ａ ( １ ＋ ｐ％) ２ ＋ 单调递减
练习
ａ(１＋ｐ％) ２ ＝ ＋１. 　 ｙ ＝ ｐ％ ａ(１ ｐ％)
３ 当 ０<ａ<１时 ｆ(ｘ)单调递减 ｇ(ｘ)单调递增.
解析 在同一平面直角坐标系中 函数
１ ｘ
(２)
３ｘ ｙ＝ ( 的图象如图所示.它们的图象 ｘ３ ) 经过 ｘ 年后 年产量为 ａ(１＋ｐ％) .
∴ ｙ＝ａ(１＋ｐ％) ｘ关于 ｙ 轴对称. (ｘ∈Ｎ
ｘ≤ｍ) .
３.解析　 (１)ｍ<ｎ.(２)ｍ>ｎ.(３)ｍ>ｎ.(４)ｍ>ｎ.
４.解析　 (１)２０.２３＝Ｑ (１＋ｒ) １００ ①
２３.２６＝Ｑ １１０(１＋ｒ) ②
② ２３.２６ ＝ ＋ ＝ ２３.２６得 １ ｒ ∴ ｒ －１≈０.１５.
① ２０.２３ ２０.２３ 图①
(２)由(１)知 Ｑ ≈５ ｆ(１２)＝ ５×(１＋０.１５) １２０
＝ ５×１.１５１２≈２６.７５.
２.解析　 (１)由函数 ｙ ＝ ６ｘ、ｙ ＝ ７ｘ 的图象可知 综合运用
６ ２ <７ ２ . ５.解析　 (１)设 ｆ(ｘ)＝ ３.５ ａ
ｘ(ａ>０ 且 ａ≠１)
由 ｆ(１)＝ ４.２０ 得 ａ＝ １.２
∴ ｆ(ｘ)＝ ３.５×１.２ｘ .
(２)设 ｇ(ｘ)＝ ｃ ａｘ(ｃ≠０ ａ>０ 且 ａ≠１)
由 ｇ(－１)＝ ８ ｇ(１)＝ ２ 得
图②
１
{ｃ ａ
－１ ＝ ８ ａ＝
解得{ ２ 当 ａ>１ 时 若 ｆ(ｘ)<ｇ(ｘ) 由图① 得ｘ<０ ｃ ａ＝ ２
(２) 由函数 ｙ ＝ ０. ３ｘ 的图象可知 ０. ３－３.５ > ｃ＝ ４ 当 ０<ａ< １ 时 若 ｆ( ｘ) < ｇ( ｘ) 由图② 得
ｘ
０.３－２.３ . ＝ ( １ ) ｘ>０.∴ ｇ(ｘ) ４ .２
６.解析　 (１)∵ ｙ＝ ３ｘ 是增函数 且 ０.８>０.７ 4.3　对数
∴ ３０.８>３０.７ . ４.３.１　 对数的概念
(２)∵ ｙ＝ ０.７５ｘ 是减函数 且－０.１<０.１
∴ ０.７５－０.１>０.７５０.１ . 练习
(３)∵ ｙ＝ １.０１ｘ 是增函数 且 ２.７<３.５ １.解析　 (１) ｌｏｇ２８＝ ３.
∴ １.０１２.７<１.０１３.５ . (２)ｌｎ ｍ＝ ３ .
(４)∵ ｙ＝ ０.９９ｘ 是减函数 且 ３.３<４.５ １ １(３)ｌｏｇ２７ ＝－ .
∴ ０.９９３.３>０.９９４.５ . ３ ３
２
(３)由函数 ｙ＝ １.２ｘ、ｙ＝ ０.５ｘ 的图象可知１.２０.５ ７. 　 . １４ (４)３
＝ ９.
解析 能 设原来碳 的含量为 １ 则经过 ９
(５)１０２.３>１>０.５１.２ 即 １.２０.５>０.５１.２ . ＝１ ９ １ ｎ.
个“半衰期”后 碳 １４ 的含量为 ( ２ ) ＝５１２ (６)３－４ ＝ １ .
８１
１
> 所以能探测到.
１ ０００ ２.解析　 (１)∵ ５
２ ＝ ２５ ∴ ｌｏｇ５２５＝ ２.
０
８.解析　 (１)本利和 ｙ 关于存期数 ｘ 的函数解 (２)∵ ０.４ ＝ １ ∴ ｌｏｇ０.４１＝ ０.
析式为 ｙ＝ａ(１＋ｒ) ｘ . １ １(３)∵ ｅ－１ ＝ ∴ ｌｎ ＝ －１.
(２)当 ａ＝ １ ０００ ｒ＝ ２.２５％ ｘ＝ ５ ｅ ｅ时
－３
３.解析　 略. ＝ × ＋ ５ ＝ × ５ (４)∵ １０ ＝ ０.００１ ∴ ｌｇ ０.００１＝ －ｙ １ ０００ ( １ ２. ２５％) １ ０００ １.０２２ ５ ３.
－３
◆习题4.2 ≈１ １１８(元) . １３.解析　 (１)ｌｏｇ １ ｘ＝－３ ∴ ｘ＝ ( ) ＝２７.３ ３
复习巩固 ∴ ５ 期后的本利和约为 １ １１８ 元. (２)∵ ｌｏｇｘ４９＝ ４ ∴ ｘ
４ ＝ ４９
１.解析　 (１)对任意的 ｘ∈Ｒ 函数 ｙ ＝ ２３－ｘ都有 拓广探索
＝ ３－ｘ 又 ｘ>０ 且 ｘ≠１ ∴ ｘ
＝ ７ .
意义 所以 ｙ ２ 的定义域为(－∞ ＋∞ ) . {ｆ(０)＝ ０ {ａ＝－２ ９.解析　 (１)由题意 得 ∴ (３)∵ ｌｇ ０.０００ ０１＝ ｘ ∴ ｘ＝ ｌｇ １０－５ ＝－５.(２)对任意的 ｘ∈Ｒ 函数 ｙ ＝ ３２ｘ＋１都有意义 ｂ＝ ２ ｂ＝ ２
１
所以 ｙ＝ ３２ｘ＋１的定义域为(－∞ ＋∞ ) . ( １ ) ｜ ｘ ｜ ＝－ ＝－
１
２ ＝－
∴ ｙ＝－２ ＋
(４)∵ ｌｎ ｅ ｘ ∴ ｘ ｌｎ ｅ .
２. ２
１ ５ｘ ２
(３)对任意的 ｘ∈Ｒ 函数 ｙ ＝ ( ) 都有意２ 图象如图所示: ４.３.２　 对数的运算
５ｘ
义 所以 ｙ＝ ( １ ) 的定义域为(－∞ ＋２ ∞) . 练习
１ １.解析　 (１) ｌｏｇ３(２７×９
２)＝ ｌｏｇ ３３３ ＋ｌｏｇ３３
４ ＝ ３＋４
(４)由题意知 ｘ≠０ 所以 ｙ ＝ ０.７ ｘ 的定义域 ＝ ７.
为(－∞ ０)∪(０ ＋∞ ) . (２)ｌｇ ５＋ｌｇ ２＝ ｌｇ(５×２)＝ ｌｇ １０＝ １.
２.解析　 由题意可得 １ １
经过 １ 年后 年产量为 ａ ＋ ａ ｐ％ ＝ ａ ( １ (３)ｌｎ ３＋ｌｎ ＝ ｌｎ (３× ＝ ｌｎ １＝ ０.３ ３ )
＋ｐ％) (２)该函数是偶函数.在( －∞ ０]上单调递 ５ １
＋ (４)ｌｏｇ ５
－ｌｏｇ １５＝ ｌｏｇ ＝ ｌｏｇ ＝ －１.
经过 ２ 年后 年产量为 ａ(１ ｐ％) ＋ａ(１＋ｐ％) 减 在[０ ＋∞ )上单调递增. ３ ３ ３ １５ ３ ３
　２７５


２.解析　 (１) ｌｇ(ｘｙｚ)＝ ｌｇ ｘ＋ｌｇ ｙ＋ｌｇ ｚ. ４.解析　 (１) ｌｎ ｘ＝ ｌｎ ａ＋ｌｎ ｂ＝ ｌｎ ａｂ {ｘ>０ {ｘ>０ ２ (２)由 得ｘｙ ∴ ｘ＝＝ ａｂ. ｌｇ ｘ≠０ ｘ≠１ (２)ｌｇ ｌｇ(ｘｙ２)－ｌｇ ｚ
ｚ ｎ３ １
＝ ＋ ２－ (２)ｌｇ ｘ
＝ ３ｌｇ ｎ－ｌｇ ｍ＝ ｌｇ ｎ３－ｌｇ ｍ＝ ｌｇ ∴ ｙ＝ 的定义域为{ｘ ｜ ｘ>０ 且 ｘ≠１} .
ｌｇ ｘ ｌｇ ｙ ｌｇ ｚ ｍ ｌｇ ｘ
＝ ｌｇ ｘ＋２ｌｇ ｙ－ｌｇ ｚ. ｎ３ １
∴ ｘ＝ . (３)由 － >０ 得 １
－３ｘ>０
ｘｙ３ ｍ １ ３ｘ
(３)ｌｇ ＝ ｌｇ(ｘｙ３)－ｌｇ ｚ
ｚ １ １(３)ｌｏｇａｘ＝ ｌｏｇａｂ－ｌｏｇａ ｃ＝ ｌｏｇａ ｂ －ｌｏｇａ ｃ ∴ ｘ< .２ ３
＝ ｌｇ ｘ＋ｌｇ ｙ３－
１
ｌｇ ｚ
２ ｂ ｂ １ １＝ ｌｏｇ ∴ ｘ＝ . ∴ ｙ＝ ｌｏｇ７ 的定义域为{ｘ ｘ< } .ａ
１ ｃ ｃ １－３ｘ ３＝ ｌｇ ｘ＋３ｌｇ ｙ－ ｌｇ ｚ.
２ (４)∵ ｌｏｇ [ ｌｏｇ ( ｌｏｇ ｘ)] ＝ ０ (４)ｙ＝ ｌｏｇａ ｜ ｘ ｜ ( ａ> ０ 且 ａ≠１)的定义域为２ ３ ４
ｘ ∴ ｌｏｇ (ｌｏｇ ｘ)＝ １ {ｘ ｜ ｘ≠０} .
(４)ｌｇ ＝２ ｌｇ ｘ －ｌｇ(ｙ
２ ｚ) ３ ４ ｘ
ｙ ｚ ∴ ｌｏｇ４ｘ＝ ３ ∴ ｘ＝ ４
３ ＝ ６４. ２.解析 　 ( １) 函数 ｙ ＝ ｌｇ １０ ＝ ｘ 的图象如图
＝ １ ｌｇ ｘ－ｌｇ ｙ２－ｌｇ ｚ 综合运用
所示.
２ ５.解析　 (１) ｌｇ ６＝ ｌｇ ２＋ｌｇ ３＝ａ＋ｂ.
＝ １ ｌｇ ｘ－２ｌｇ ｙ－ｌｇ ｚ. ＝ ｌｇ ４ ＝ ２ｌｇ ２ ２ａ２ (２)ｌｏｇ３４ ＝ .ｌｇ ３ ｌｇ ３ ｂ
＝ ｌｇ ３×ｌｇ ４ ｌｇ ５ ｌｇ ２３.解析　 (１)原式 × × ＝ １. ＝ ｌｇ １２ ＝ ｌｇ ３
＋ｌｇ ４ ｌｇ ３＋２ｌｇ ２
ｌｇ ２ ｌｇ ３ ｌｇ ４ ｌｇ ５ (３)ｌｏｇ２１２ ＝ｌｇ ２ ｌｇ ２ ｌｇ ２
( １ １ ) ( ２ａ＋ｂ (２)ｙ＝ １０
ｌｇ ｘ ＝ ｘ(ｘ>０)的图象如图所示.
(２)原式 ＝ ２ ｌｏｇ２３＋ ｌｏｇ ３ ｌｏｇ ２＋２ ３ ２ ３ ＝ .ａ
１
ｌｏｇ ２ ) ３２ ３ (４)ｌｇ ＝ ｌｇ ３－ｌｇ ２＝ ｂ－ａ.２
＝ × ５ × ３ ＝ ５ ６.解析　 (１)ｘｌｏｇ３４
＝ １ ∴ ｘ＝ ｌｏｇ ３
２ ｌｏｇ ３ ｌｏｇ ２ . ４
６ ２ ２ ３ ２
∴ ４ｘ＋４－ｘ ＝ ４ ｌｏｇ ４３＋４－ｌｏｇ
１ １０
４３ ＝ ３＋ ＝ .
◆习题4.3 ３ ３ ３.答案　 ①
复习巩固 (２) ｆ(ｌｏｇ ２)＝ ３
ｌｏｇ ３２
３ ＝ ２. ４.４.２　 对数函数的图象和性质
１.解析　 (１) ｌｏｇ３１＝ ｘ. ｌｇ ｂ ｌｇ ｃ ｌｇ ａ７.证明　 (１)左边＝ ＝１
１ ｌｇ ａ ｌｇ ｂ ｌｇ ｃ
练习
(２)ｌｏｇ４ ＝ ｘ.６ ∴ ｌｏｇ ｂ ｌｏｇ １.解析　 函数 ｙ＝ ｌｏｇ ｘ 和 ｙ＝ ｌｏｇ １ ｘ 的图象如图ａ ｂ ｃ ｌｏｇｃａ＝ １. ３ ３
(３)ｌｇ ６＝ ｘ. ｎ ＝ ｌｇ ｂ
ｎ
＝ ｎ ｌｇ ｂ
所示.
(２)ｌｏｇａｍｂ
(４)ｌｎ ２５＝ ｘ. ｌｇ ａ
ｍ ｍ ｌｇ ａ
(５)５ｘ ＝ ２７. ＝ ｎ ｌｏｇａｂ.
１ ｍ
(６)７ｘ ＝ .
３ ８.解析　 设 ｘ 年后该地 ＧＤＰ 会翻两番.
(７)１０ｘ ＝ ０.３. 由题意知 (１＋６.５％)
ｘ ＝ ４
(８)ｅｘ ＝ ３ . ∴ ｘ＝ ｌｏｇ１.０６５４≈２２.０１.
２.答案　 (１)Ｄ　 (２)Ｃ ∴ ２３ 年后该地 ＧＤＰ 会翻两番.
２－ｘ>０ 拓广探索
１ ３６５
解析　 (１)根据题意 知{２ｘ－１>０ <ｘ< １.０１２ ９.解析　 (１) ３６５≈１ ４８０.６６. ｙ＝ ｌｏｇ３ｘ 的图象与 ｙ ＝ ｌｏｇ １ ｘ 的图象关于 ｘ 轴０.９９ ３
２ｘ－１≠１ 对称.
(２)１.０１ｘ １ ＝ １０×０.９９ｘ １
２ 且 ｘ≠１ 故选 Ｄ. ２.解析 　 (１) ∵ ｙ ＝ ｌｇ ｘ 在(０ ＋∞ )上是增函
＋ ＝ ∴ ｘ ≈１１５.１３.(２)∵ ｌｇ ａ ｌｇ ｂ ０ 且 ａ>０ ｂ>０ ∴ ｌｇ(ａｂ)＝ １ 数 且 ０.６<０.８
＝ ∴ 大约经过 １１６ 天后“进步”的是“落后”的０ 即 ａｂ １ 故选 Ｃ. ∴ ｌｇ ０.６<ｌｇ ０.８.
１０ 倍.同理可得 大约经过 ２３１ 天、３４６ 天后
１ ＝
３.解析　 (１) ｌｏｇ ２＋ｌｏｇ (２)∵ ｙ ｌｏｇ０.５ｘ 在(０
＋∞ )上是减函数 且 ６
ａ ａ ２ “进步”的分别是“落后”的 １００ 倍、１ ０００ 倍. >４
( １ ) １０.解析 　 设经过 ｘ 个小时才能驾驶 由题＝ ｌｏｇ ２× ＝ ｌｏｇ １＝ ０. ∴ ｌｏｇ０.５６<ｌｏｇ０.５４.ａ ２ ａ 意 得 (３)当 ｍ>１ 时 ｙ ＝ ｌｏｇｍｘ 在(０ ＋∞ )上是增
１８ １００×(１－３０％) ｘ≤２０
(２)ｌｏｇ３１８－ｌｏｇ３２＝ ｌｏｇ３ ＝ ｌｏｇ３９＝ ２. 函数 ２ ｌｇ ０.２
∴ ｘ≥ ≈４.５. ∵ ５<７ ∴ ｌｏｇ ５<ｌｏｇ ７
１ － ＝ １ １
ｌｇ ０.７ ｍ ｍ
(３)ｌｇ ｌｇ ２５ ｌｇ ＝× ｌｇ
＝ －２.
４ ４ ２５ １００ 当 ０<ｍ<１时 ｙ＝ｌｏｇ ｘ 在(０ ＋∞)上是减函数 ∴ 至少经过 ５ 个小时才能驾驶. ｍ
(４)２ｌｏｇ５２５－３ｌｏｇ ６４＝２×２－３×６＝４－１８＝－１４.
∵ ５<７ ∴ ｌｏｇｍ５>ｌｏｇｍ７.

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