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第3节　等式性质与不等式性质
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则（　　）
A.m≥n B.m＞n
C.m≤n D.m＜n
2.已知a，b∈R，若a＞b，＜同时成立，则（　　）
A.ab＞0 B.ab＜0
C.a＋b＞0 D.a＋b＜0
3.已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（　　）
A.若a＞b，c＜d a＋c＞b＋d
B.若a＞b，c＞d ac＞bd
C.若bc－ad＞0，－＞0 b＜0
D.若a＞b＞0，c＞d＞0 ＞
4.（2025·T8联考）已知实数a＜b，则“m＞0”是“＜”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为（　　）
A.（1，3） B.（ ，）
C.（ ，） D.（ ，1）
6.〔多选〕若a＜0＜b，且a＋b＞0，则（　　）
A.＞－1 B.｜a｜＜｜b｜
C.＋＞0 D.（a－1）（b－1）＜1
7.（2026·浙江杭州模拟）在民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为　　　平方米.
8.能够说明“若＞，a＜0，则x＞y”是假命题的一组整数x，y的值依次为　　　　.
9.（13分）已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
（1）求实数a，b的取值范围；
（2）求3a－2b的取值范围.
10.若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则（　　）
A.p＜m＜n B.p＜n＜m
C.m＜p＜n D.n＜p＜m
11.已知2＜x＜4，－3＜y＜－1，则的取值范围是（　　）
A.（ ，） B.（ ，）
C.（ ，1） D.（ ，2）
12.〔多选〕（2026·江苏南京六校联考）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是（　　）
A.＞
B.a－c＞2b
C.a2＞b2
D.ab＋bc＞0
13.（2026·海南海口模拟）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为　　　　.
14.（15分）若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜.
（1）求证：b＋c＞0；
（2）求证：＜；
（3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
15.〔创新设问〕在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为（　　）
A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙 C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁
第3节　等式性质与不等式性质
1.A　2.A　3.D　4.D　5.A　6.ABD　7.90　8.－1，1（答案不唯一）　
9.解：（1）由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，两式相加得－4≤2a≤6，则－2≤a≤3.
由－1≤a－b≤4，得－4≤－a＋b≤1.
又－3≤a＋b≤2，两式相加得－7≤2b≤3，则－≤b≤.
综上，实数a的取值范围是[－2，3]，实数b的取值范围是［－，］.
（2）设3a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）·a＋（m－n）b，则解得
∴3a－2b＝（a＋b）＋（a－b）.
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
∴－≤（a＋b）≤1，－≤（a－b）≤10，则－4≤3a－2b≤11.
∴3a－2b的取值范围是[－4，11].
10.A　因为实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则m＞0，n＞0，p＞0，所以＝＝·＜1，所以m＜n；又＝＝·＞1，所以m＞p.所以p＜m＜n.
11.B　原式分子和分母同时除以x，得＝，由条件得2＜－2y＜6，＜＜，所以＜－＜，即＜－＜3，所以＜1－＜4，所以＜＜.
12.BC　对于A，∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴＜，A错误；对于B，∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，a－b＞0，∴b＋c＝－a＜0，∴a－b＞b＋c，即a－c＞2b，B正确；对于C，∵a－b＞0，a＋b＝－c＞0，∴a2－b2＝（a＋b）（a－b）＞0，即a2＞b2，C正确；对于D，ab＋bc＝b（a＋c）＝－b2≤0，D错误.
13.（0，2）　解析：由已知及三角形三边关系得所以则两式相加得0＜＜4，所以0＜＜2.
14.解：（1）证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0.
（2）证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0，
所以（a－c）2＞（b－d）2＞0，
所以0＜＜. ①
因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c，
所以a＋d＞b＋c＞0. ②
①②相乘得＜.
（3）由（2）知a＋d＞b＋c＞0，0＜＜，＜，
所以＜＜或＜＜.
所以，均为所求代数式.（只要写出一个即可）
15.A　设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a，b，c，d，a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，根据题意得显然d＞b，d＞c，②＋①可得a＞d，由②－①可得b＞c，故a＞d＞b＞c，即这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙.
1 / 1第3节　等式性质与不等式性质
1.掌握等式的性质. 2.会比较两个数(式)的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用.
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
（1）作差法（a，b∈R）；
（2）作商法
2.等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a　　　　c；　
性质3 可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝　　　　；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的性质
性质1 对称性：a＞b b＜a；
性质2 传递性：a＞b，b＞c a＞c；
性质3 可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c　　　　b＋d；
性质4 可乘性：a＞b，c＞0 ac　　　　　bc；a＞b，c＜0 ac　　　　　　bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
性质5 可乘方性：a＞b＞0 an　　　　bn（n∈N，n≥2）；
性质6 可开方性：a＞b＞0 ＞（n∈N，n≥2）.
1.倒数性质 （1）a＞b，ab＞0 ＜； （2）a＜0＜b ＜； （3）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞. 2.分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则 （1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）； （2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（　　）
（2）若＞1，则a＞b.（　　）
（3）a＝b ac＝bc.（　　）
2.设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则（　　）
A.M＞N B.M≥N
C.M＜N D.M≤N
3.已知2＜a≤3，－2＜b≤－1，则a＋2b的最大值为（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.2
4.（2026·河北沧州名校联考质量监测）若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A.a＋c＜b＋c B.＜
C.ac＜bc D.＞
比较数（式）的大小
（基础自学过关）
1.已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　　）
A.M＞N B.M＜N
C.M＝N D.不能确定
2.〔多选〕若a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A.a＋＞b＋ B.＜
C.a＞＞b D.a3＋b3≥a2b＋ab2
3.〔一题多解〕已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x　　　y（填“＞”“＜”或“＝”）.
不等式的基本性质
（师生共研过关）
（1）（2026·浙江杭州质检）若a＞b，则（　　）
A.a2＞b2 B.＜
C.＜ D.a｜a｜＞b｜b｜
（2）〔多选〕（2025·江苏常州二模）若＜＜0，则（　　）
A.｜a｜＜｜b｜ B.ac＜bc
C.＞0 D.0＜＜1
听课记录
判断不等式的常用方法 （1）利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； （2）作差法； （3）利用特殊值法排除错误项； （4）构造函数，利用函数的单调性.
训练1 〔多选〕（2025·山东临沂二模）已知a＞b＞c，则下列不等式正确的是（　　）
A.＜ B.ab2＞cb2
C.a＋b＞c D.a2＋c2＞b2
不等式性质的应用
（师生共研过关）
已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是（　　）
A.＜＜ B.21＜a＋2b＜78
C.－12＜a－b＜45 D.＜＜5
听课记录
变式 若将本例条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3”，则3x＋2y的取值范围为　　　　.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 （1）必须严格运用不等式的性质； （2）多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
训练2 （1）某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一项比赛，且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至少为　　　　；
（2）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是　　　　.
第3节　等式性质与不等式性质
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）＞　＝　＜　（2）＞　＜　＜　＞
2.＝　bc　
3.＞　＞　＜　＞　
诊断自测
1.（1）√　（2）×　（3）×
2.A　3.C　4.A　
【研透核心考点】
考点1
1.A　2.AC　3.＜　
考点2
【例1】　（1）D　（2）ACD　解析：（1）对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错误；对于B，当a＞b＞0时，由假分数性质知B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时＞，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D.
（2）由＜＜0得c≠0，当c＞0时，由＜＜0得＜＜0，即b＜a＜0，可得0＜＜1，当c＜0时，由＜＜0得＞＞0，即b＞a＞0，所以0＜＜1，故A、D正确；由＜＜0得－＝＜0，且a与b同号，即ab＞0，所以c与b－a异号，即c与a－b同号，由ac＜bc得（a－b）c＜0，即c与a－b异号，故B错误，C正确.故选A、C、D.
训练1　AD　对于A，－＝＝，因为a＞b＞c，所以c－b＜0，a－c＞0，a－b＞0，即＜0，所以＜，故A正确；对于B，取b＝0，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对于D，若a＞b＝0＞c，则a2＋c2＞b2＝0显然成立，若a＞b＞0＞c，则a2＋c2＞a2＞b2成立，若a＞0＞b＞c，则a2＋c2＞c2＞b2成立，综上，只要a＞b＞c，一定有a2＋c2＞b2，故D正确.
考点3
【例2】　C　因为15＜b＜18，所以＜＜，又6＜a＜60，所以＜＜4，所以A错误；因为6＜a＜60，15＜b＜18，所以36＜a＋2b＜96，所以B错误；因为15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15，又6＜a＜60，所以－12＜a－b＜45，所以C正确；因为6＜a＜60，15＜b＜18，＝＋1，又＜＜4，所以＜＜5，所以D错误.故选C.
变式　（ ，）　解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是解得∴3x＋2y＝（x－y）＋（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－＜（x－y）＜2，5＜（x＋y）＜，∴＜（x－y）＋（x＋y）＜.故3x＋2y的取值范围是（ ，）.
训练2　（1）12　（2）（－3，－1）
解析：（1）设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a，b，c，由题意得a≥b＋1，b≥c＋1，2c≥a＋1，所以a＋b＋2c≥b＋1＋c＋1＋a＋1，所以c≥3，所以b≥4，a≥5，所以参加这三项比赛的总人数至少为12.
（2）因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，故a＞0，c＜0，所以＜0，1＞＞，2＋＋＝0，所以＝－－2，所以1＞－2－＞，解不等式得－3＜＜－1，故的取值范围是（－3，－1）.
1 / 1(共53张PPT)
第3节　等式性质与不等式性质
课标要求
1. 掌握等式的性质.
2. 会比较两个数（式）的大小.
3. 理解不等式的性质，并能简单应用.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 两个实数比较大小的方法
（1）作差法 （a，b∈R）；
（2）作商法
2. 等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a c；
性质3 可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝ ；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么 ＝ .
＝　
bc　
3. 不等式的性质
性质1 对称性：a＞b b＜a；
性质2 传递性：a＞b，b＞c a＞c；
性质3 可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d
a＋c b＋d；
＞　
性质4 可乘性：a＞b，c＞0 ac bc；
a＞b，c＜0 ac bc；a＞b＞0，c＞d＞0
ac＞bd；
性质5 可乘方性：a＞b＞0 an bn（n∈N，n≥2）；
性质6 可开方性：a＞b＞0 ＞ （n∈N，n≥2）.
＞　
＜　
＞　
1. 倒数性质
（1）a＞b，ab＞0 ＜ ；
（2）a＜0＜b ＜ ；
（3）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞ .
2. 分数性质：
若a＞b＞0，m＞0，则
（1）真分数性质： ＜ ； ＞ （b－m＞0）；
（2）假分数性质： ＞ ； ＜ （b－m＞0）.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的
一种. （　√　）
（2）若 ＞1，则a＞b. （　×　）
（3）a＝b ac＝bc. （　×　）
√
×
×
2. 设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则（　　）
A. M＞N B. M≥N
C. M＜N D. M≤N
√
解析： 　因为M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3
＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N. 故选A.
3. 已知2＜a≤3，－2＜b≤－1，则a＋2b的最大值为（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
√
解析： 　因为－2＜b≤－1，所以－4＜2b≤－2.又2＜a≤3，所以－2
＜a＋2b≤1.
4. （2026·河北沧州名校联考质量监测）若a＜b＜0，则下列不等式中一
定成立的是（　　）
A. a＋c＜b＋c B. ＜
C. ac＜bc D. ＞
√
解析： 　当a＜b＜0时，选项A中a＋c＜b＋c恒成立；选项B中 ＞
；选项C依赖于c的符号；选项D中 ＜ .故选A.
02
PART
研透核心考点
比较数（式）的大小（基础自学过关）
1. 已知0＜a＜ ，且M＝ ＋ ，N＝ ＋ ，则M，N的大小关
系是（　　）
A. M＞N B. M＜N
C. M＝N D. 不能确定
√
解析： 　∵0＜a＜ ，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝
＋ ＝ ＞0，∴M＞N. 故选A.
2. 〔多选〕若a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A. a＋ ＞b＋ B. ＜
C. a＞ ＞b D. a3＋b3≥a2b＋ab2
√
√
解析： 　对于A，a＋ －b－ ＝（a－b）（1＋ ）＞0，故A正
确；对于B， ＞1＞ ＞0，故B错误；对于C，a＞b＞0， ＝ ＞1，
所以a＞ ，因为 ＝ ＞1，所以 ＞b，所以a＞ ＞b，故C
正确；对于D，a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）＋b2（b－a）＝（a－
b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）.因为（a－b）2＞0，a＋b＞0，
所以a3＋b3＞a2b＋ab2，故D错误.
3. 〔一题多解〕已知c＞1，且x＝ － ，y＝ － ，则
x y（填“＞”“＜”或“＝”）.
解析：法一　由题设，易知x＞0，y＞0，又 ＝ ＝ ＜1，
所以x＜y.
＜　
法二　设f（x）＝ － ，定义域为[1，＋∞），则f（x）＝
，故f（x）为减函数，又c＋1＞c＞1，则f（c＋1）＜f
（c），即x＜y.
不等式的基本性质（师生共研过关）
（1）（2026·浙江杭州质检）若a＞b，则（　D　）
A. a2＞b2 B. ＜
C. ＜ D. a｜a｜＞b｜b｜
D
解析： 对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错
误；对于B，当a＞b＞0时，由假分数性质知B错误；对于C，若取a＝1，
b＝－1，满足a＞b，此时 ＞ ，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜
x｜＝ 易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有
a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D.
（2）〔多选〕（2025·江苏常州二模）若 ＜ ＜0，则（　ACD　）
A. ｜a｜＜｜b｜ B. ac＜bc
C. ＞0 D. 0＜ ＜1
ACD
解析： 由 ＜ ＜0得c≠0，当c＞0时，由 ＜ ＜0得 ＜ ＜0，即b
＜a＜0，可得0＜ ＜1，当c＜0时，由 ＜ ＜0得 ＞ ＞0，即b＞a＞
0，所以0＜ ＜1，故A、D正确；由 ＜ ＜0得 － ＝ ＜
0，且a与b同号，即ab＞0，所以c与b－a异号，即c与a－b同号，由
ac＜bc得（a－b）c＜0，即c与a－b异号，故B错误，C正确.故选A、
C、D.
判断不等式的常用方法
（1）利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；
（2）作差法；
（3）利用特殊值法排除错误项；
（4）构造函数，利用函数的单调性.
训练1 〔多选〕（2025·山东临沂二模）已知a＞b＞c，则下列不等式正确
的是（　　）
A. ＜ B. ab2＞cb2
C. a＋b＞c D. a2＋c2＞b2
√
√
解析： 　对于A， － ＝ ＝ ，因为
a＞b＞c，所以c－b＜0，a－c＞0，a－b＞0，即 ＜0，所
以 ＜ ，故A正确；对于B，取b＝0，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；
对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对
于D，若a＞b＝0＞c，则a2＋c2＞b2＝0显然成立，若a＞b＞0＞c，则
a2＋c2＞a2＞b2成立，若a＞0＞b＞c，则a2＋c2＞c2＞b2成立，综上，只
要a＞b＞c，一定有a2＋c2＞b2，故D正确.
不等式性质的应用（师生共研过关）
已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是（　　）
A. ＜ ＜ B. 21＜a＋2b＜78
C. －12＜a－b＜45 D. ＜ ＜5
√
解析： 因为15＜b＜18，所以 ＜ ＜ ，又6＜a＜60，所以 ＜ ＜
4，所以A错误；因为6＜a＜60，15＜b＜18，所以36＜a＋2b＜96，所以
B错误；因为15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15，又6＜a＜60，所以－
12＜a－b＜45，所以C正确；因为6＜a＜60，15＜b＜18， ＝ ＋
1，又 ＜ ＜4，所以 ＜ ＜5，所以D错误.故选C.
变式 若将本例条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3”，则3x＋2y的
取值范围为 .
解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x
＋（μ－λ）y，于是 解得 ∴3x＋2y＝ （x－y）
＋ （x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－ ＜ （x－y）＜
2，5＜ （x＋y）＜ ，∴ ＜ （x－y）＋ （x＋y）＜ .故3x＋2y
的取值范围是（ ， ）.
（ ， ）　
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
（1）必须严格运用不等式的性质；
（2）多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先
建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”
不等关系的运算求解范围.
训练2 （1）某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一项比赛，且参加
书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加
折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，
则参加这三项比赛的总人数至少为 ；
解析： 设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a，b，c，由题意得
a≥b＋1，b≥c＋1，2c≥a＋1，所以a＋b＋2c≥b＋1＋c＋1＋a＋
1，所以c≥3，所以b≥4，a≥5，所以参加这三项比赛的总人数至少为12.
12　
（2）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则 的取值范围是
.
解析： 因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，故a＞0，c＜0，所以 ＜0，1＞
＞ ，2＋ ＋ ＝0，所以 ＝－ －2，所以1＞－2－ ＞ ，解不等式得
－3＜ ＜－1，故 的取值范围是（－3，－1）.
（－3，－
1）　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 已知a＞0，b＞0，设m＝a－2 ＋2，n＝2 －b，则（　　）
A. m≥n B. m＞n
C. m≤n D. m＜n
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解析： 　由题意可知，m－n＝a－2 ＋2－2 ＋b＝（ －1）2＋
（ －1）2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n.故选A.
2. 已知a，b∈R，若a＞b， ＜ 同时成立，则（　　）
A. ab＞0 B. ab＜0
C. a＋b＞0 D. a＋b＜0
√
解析： 　因为 ＜ ，所以 － ＝ ＜0，又a＞b，所以b－a＜0，所
以ab＞0.
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3. 已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（　　）
A. 若a＞b，c＜d a＋c＞b＋d
B. 若a＞b，c＞d ac＞bd
C. 若bc－ad＞0， － ＞0 b＜0
D. 若a＞b＞0，c＞d＞0 ＞
√
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解析： 　对于A，若a＞b，c＜d，取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－
1，则a＋c＝b＋d＝0，故A错误；对于B，若a＞b，c＞d，取a＝1，b
＝0，c＝0，d＝－1，则ac＝bd＝0，故B错误；对于C，若bc－ad＞0，
－ ＝ ＞0，则ab＞0，无法得出b＜0，故C错误；对于D，若a＞b
＞0，c＞d＞0，可得 ＞ ＞0，则 ＞ ＞0，所以 ＞ ，故D正确.
故选D.
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4. （2025·T8联考）已知实数a＜b，则“m＞0”是“ ＜ ”的
（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
√
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解析： 　已知实数a＜b，若m＞0，例如a＝－2，b＝－1，m＝2，得
＞ ，∴“m＞0”不是“ ＜ ”的充分条件；若 ＜ ，例如
a＝0，b＝1，m＝－2符合此不等式，但是m＜0，∴“m＞0”不是“
＜ ”的必要条件.∴“m＞0”是“ ＜ ”的既不充分也不必要
条件.故选D.
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5. 已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则 的取值范围为（　　）
A. （1，3） B. （ ， ）
C. （ ， ） D. （ ，1）
√
解析： 　因为－3＜a＜－2，所以4＜a2＜9，而3＜b＜4，即 ＜ ＜ ，
故 的取值范围为（1，3）.
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6. 〔多选〕若a＜0＜b，且a＋b＞0，则（　　）
A. ＞－1 B. ｜a｜＜｜b｜
C. ＋ ＞0 D. （a－1）（b－1）＜1
√
√
√
解析： 　对于A，∵a＋b＞0，∴a＞－b，又b＞0，∴ ＞－1，
∴A正确；对于B，∵a＋b＞0，∴b＞－a＞0，∴｜b｜＞｜a｜，∴B
正确；对于C，取b＝2，a＝－1满足a＜0＜b，且a＋b＞0，但 ＋ ＝
－1＋ ＝－ ＜0，∴C错误；对于D，∵a＜0＜b，且a＋b＞0，∴a＋b
＞0＞ab，∴（a－1）（b－1）＜1，∴D正确.综上，选A、B、D.
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7. （2026·浙江杭州模拟）在民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比
越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时
增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2
倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最
大为 平方米.
解析：设改造前的窗户面积为x，窗户增加的面积为y，x＞0，y＞0，依
题意 ≤ ，即180x＋2xy≤180x＋180y，2xy≤180y，x≤90，所
以改造前的窗户面积最大为90平方米.
90　
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8. 能够说明“若 ＞ ，a＜0，则x＞y”是假命题的一组整数x，y的值
依次为 .
解析：由 ＞ ，a＜0，可得 ＜ .当x，y同号时，可得x＞y；当x，y
异号时，可得y＞0＞x.又命题为假命题，故取整数x，y满足y＞0＞x即
可，可取x＝－1，y＝1.
－1，1（答案不唯一）　
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9. （13分）已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
（1）求实数a，b的取值范围；
解： 由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，两式相加得－4≤2a≤6，
则－2≤a≤3.
由－1≤a－b≤4，得－4≤－a＋b≤1.
又－3≤a＋b≤2，两式相加得－7≤2b≤3，则－ ≤b≤ .
综上，实数a的取值范围是[－2，3]，实数b的取值范围是［－ ， ］.
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（2）求3a－2b的取值范围.
解： 设3a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）·a＋（m
－n）b，则 解得
∴3a－2b＝ （a＋b）＋ （a－b）.
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
∴－ ≤ （a＋b）≤1，－ ≤ （a－b）≤10，则－4≤3a－2b≤11.
∴3a－2b的取值范围是[－4，11].
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10. 若实数m，n，p满足m＝4 ，n＝5 ，p＝ ，则（　　）
A. p＜m＜n B. p＜n＜m
C. m＜p＜n D. n＜p＜m
√
解析： 　因为实数m，n，p满足m＝4 ，n＝5 ，p＝ ，则m＞
0，n＞0，p＞0，所以 ＝ ＝ · ＜1，所以m＜n；又 ＝ ＝
· ＞1，所以m＞p.所以p＜m＜n.
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11. 已知2＜x＜4，－3＜y＜－1，则 的取值范围是（　　）
A. （ ， ） B. （ ， ）
C. （ ，1） D. （ ，2）
√
解析： 　原式分子和分母同时除以x，得 ＝ ，由条件得2＜－2y
＜6， ＜ ＜ ，所以 ＜－ ＜ ，即 ＜－ ＜3，所以 ＜1－ ＜4，
所以 ＜ ＜ .
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12. 〔多选〕（2026·江苏南京六校联考）已知实数a，b，c满足a＞b＞
c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是（　　）
A. ＞ B. a－c＞2b
C. a2＞b2 D. ab＋bc＞0
√
√
解析： 　对于A，∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴ ＜ ，A
错误；对于B，∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，a－b＞0，
∴b＋c＝－a＜0，∴a－b＞b＋c，即a－c＞2b，B正确；对于C，
∵a－b＞0，a＋b＝－c＞0，∴a2－b2＝（a＋b）（a－b）＞0，即a2
＞b2，C正确；对于D，ab＋bc＝b（a＋c）＝－b2≤0，D错误.
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13. （2026·海南海口模拟）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足
b＋c≤3a，则 的取值范围为 .
解析：由已知及三角形三边关系得 所以
则 两式相加得0＜ ＜4，所以0＜
＜2.
（0，2）　
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14. （15分）若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜.
（1）求证：b＋c＞0；
解： 证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所
以b＋c＞0.
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（2）求证： ＜ ；
解： 证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0，
所以（a－c）2＞（b－d）2＞0，
所以0＜ ＜ .　①
因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c，
所以a＋d＞b＋c＞0.　②
①②相乘得 ＜ .
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（3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足 ＜所求式
＜ ？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
解： 由（2）知a＋d＞b＋c＞0，0＜ ＜ ，
＜ ，
所以 ＜ ＜ 或 ＜ ＜ .
所以 ， 均为所求代数式.（只要写出一个即可）
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15. 〔创新设问〕在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服
务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长
之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和，丁的服务时长大于
乙、丙服务时长之和，则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为
（　　）
A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙
C. 丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丙、丁
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解析： 　设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a，b，c，d，
a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，根据题意得 显然d＞
b，d＞c，②＋①可得a＞d，由②－①可得b＞c，故a＞d＞b＞c，即
这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙.
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