资源简介

第5节　基本不等式的综合应用
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.已知p：a＞b＞0，q：＞（ ）2，则p是q成立的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知x＞0，y＞0且3x＋2y＝10，则＋的最大值为（　　）
A. B.
C.2 D.2
3.设a＞0，b＞0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则＋的最小值为（　　）
A.6 B.8
C.9 D.12
4.（2025·湖南衡阳一模）若a＞b＞1，x＝ln，y＝（ln a＋ln b），z＝，则（　　）
A.x＜z＜y B.y＜z＜x
C.z＜x＜y D.z＜y＜x
5.（2026·浙江湖州多校联考）已知正实数x，y满足3x＋y＝1，若不等式＋≤m有解，则实数m的取值范围是（　　）
A.（－∞，2] B.（－∞，2＋1]
C.[2，＋∞） D.[2＋1，＋∞）
6.〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则（　　）
A.有最大值
B.＋有最小值3
C.a2＋b2有最小值
D.＋有最大值
7.（2026·浙江绍兴模拟）原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0（λ∈R）的距离的最大值为　　　　.
8.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）（1＋2y）的最大值为　　　　.
9.（13分）已知正实数x，y满足等式＋＝2.
（1）求xy的最小值；
（2）若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围.
10.（2026·四川德阳模拟）设双曲线－＝1（a＞0）的离心率为e，则当e2＋a2取最小值时，e＝（　　）
A.　　 　B.2　　 　C.　　 　D.3
11.〔一题多解〕已知a＞0，b＞0，且ab＝1，不等式＋＋≥4恒成立，则正实数m的取值范围是（　　）
A.{m｜m≥2} B.{m｜m≥4}
C.{m｜m≥6} D.{m｜m≥8}
12.某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价p％，第二次提价q％；乙方案第一次提价q％，第二次提价p％；丙方案第一次提价％，第二次提价％，其中p＞q＞0.则经过两次提价后哪种方案的提价幅度最大（　　）
A.甲 B.乙
C.丙 D.无法确定
13.函数y＝＋的最大值为　　　　.
14.（15分）设函数f（x）＝4x－a·2x＋b，且f（0）＝0，f（1）＝2.
（1）求a，b的值；
（2）若 x∈（－∞，3]，使得f（x）＜m·2x－3成立，求实数m的取值范围.
15.〔创新设问〕〔多选〕若a＞1，b＞1，且ab＝e2，则（　　）
A.2e≤a＋b＜e2＋1　　　　　　　　　　　　B.0＜ln a·ln b≤1
C.2－1≤ln a＋logab＜2 D.aln b的最大值为e
第5节　基本不等式的综合应用
1.A　2.D　3.B　4.D　5.D　
6.ACD　对于A，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A正确；对于B，由≤＝＝，得＋≥， 当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时，等号成立，B错误；对于C，由≥＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，C正确；对于D，由≤＝，得＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，D正确.
7.　解析：设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得d＝＝＝，显然当λ＜0时，有最大值，此时－＝，因为（－λ）＋（ －）≥2＝2，当且仅当λ＝－1时，等号成立，所以≤＝1，所以dmax＝.
8.9　解析：由题意得（1＋x）＋（1＋2y）＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所以（1＋x）（1＋2y）≤［］2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时取等号.
9.解：（1）由题知2＝＋≥2，
即xy≥3，当且仅当＝，
即x＝1，y＝3时，等号成立，所以xy的最小值为3.
（2）3x＋y＝（3x＋y）（ ＋）
＝（ 6＋＋）≥（ 6＋2）＝6，
当且仅当＝，即x＝1，y＝3时，等号成立.
即（3x＋y）min＝6.
所以m2－m≤6，解得－2≤m≤3.
所以实数m的取值范围是[－2，3].
10.C　双曲线－＝1（a＞0）的离心率为e＝，e2＋a2＝＋a2＝2＋＋a2≥2＋2＝4，当且仅当＝a2，即a＝1时取等号，此时e＝＝.
11.B　法一　由题设得m≥4（a＋b）－（ ＋）（a＋b）＝4（a＋b）－（a＋b）2恒成立，而4（a＋b）－（a＋b）2＝4－（a＋b－2）2，又a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以4（a＋b）－（a＋b）2≤4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故m≥4.故选B.
法二　不等式＋＋≥4恒成立，即＋≥4恒成立，即a＋b＋≥4恒成立，而a＋b＋≥2，当且仅当a＋b＝，即（a＋b）2＝m时取等号，故2≥4.又m是正实数，故m≥4.故选B.
12.C　设该商品原价为a（a＞0），按甲、乙、丙三种方案两次提价后的价格依次为y1，y2，y3，则y1＝a（1＋p%）（1＋q%），y2＝a（1＋q%）（1＋p%），y3＝a（ 1＋%）2，因为p＞q＞0，由基本不等式可得（1＋p%）（1＋q%）＜［］2＝（ 1＋%）2，所以y1＝y2＜y3，故丙方案的提价幅度最大.
13.2　解析：函数的定义域为x∈［，］，由≤，得a＋b≤2，则y＝＋≤2＝2，当且仅当＝，即x＝时，等号成立.
14.解：（1）由题意得，f（0）＝1－a＋b＝0，f（1）＝4－2a＋b＝2，解得a＝1，b＝0.
（2）由（1）知f（x）＝4x－2x，
所以f（x）＜m·2x－3可化为m＞2x＋3·2－x－1.
故原问题等价于 x∈（－∞，3]，使得m＞2x＋3·2－x－1成立.
则当x∈（－∞，3]时，m＞（2x＋3·2－x－1）min，
设h（x）＝2x＋3·2－x－1，x∈（－∞，3]，
令t＝2x，则t∈（0，8]，设p（t）＝t＋－1，t∈（0，8]，
则p（t）≥2－1，当且仅当t＝时取等号，所以当t＝时，p（t）即h（x）取得最小值2－1，所以m＞2－1.
故实数m的取值范围是（2－1，＋∞）.
15.ABD　由a＞1，b＝＞1，得1＜a＜e2，因为函数f（a）＝a＋b＝a＋在（1，e）上单调递减，在[e，e2）上单调递增，所以2e≤a＋b＜e2＋1，故A正确；因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0＜ln a·ln b≤（ ）2＝1，当且仅当a＝b＝e时，等号成立，故B正确；ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1，设t＝ln a∈（0，2），所以φ（t）＝t＋－1在（0，）上单调递减，在[，2）上单调递增，所以φ（t）＝t＋－1∈[2－1，＋∞），故C错误；设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确.
1 / 1第5节　基本不等式的综合应用
1.掌握基本不等式及其常见变形. 2.会求与基本不等式有关的恒（能）成立问题. 3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
　　
基本不等式的变形应用
（师生共研过关）
教材母题：〔人A必修一P45探究〕如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
变式 如图，以O为圆心，AD＝a，DB＝b，过点O作AB的垂线交半圆O于点C，再过点D作AB的垂线，交半圆O于点E，连接OE，CD，过点D作OE的垂线，垂足为点F.试研究线段CD，OC，DE，EF与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？
　　若实数a＞0，b＞0，则有≤≤≤，当且仅当a＝b时取等号.其中，叫做正实数a，b的调和平均数，叫做正实数a，b的几何平均数，叫做正实数a，b的算术平均数，叫做正实数a，b的平方平均数.
训练1 〔多选〕已知a，b∈R，则下列不等式成立的是（　　）
A.≥ B.≤
C.≤ D.ab≤
与基本不等式有关的恒（能）成立问题
（师生共研过关）
已知a＞0，b＞0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为（　　）
A.4 B.6
C.8 D.9
听课记录
　　对于不等式恒（能）成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值.
训练2 若两个正实数x，y满足＋＝2，且不等式x＋＜m2－m有解，则实数m的取值范围为　　　　.
基本不等式与其他知识交汇的最值问题
（师生共研过关）
〔一题多解〕在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是　　　　.
听课记录
　　基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角函数、解三角形、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
训练3 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则sin B的取值范围是　　　　.
第5节　基本不等式的综合应用
考点1
教材母题　解：可证△ACD∽△DCB，因而CD＝.
由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为≤.
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立.
变式　解：OC＝，CD＝＝
＝，
由教材母题知DE＝，在△ODE中，由等面积法得DF＝＝，又由△EFD∽△DFO，得EF＝＝.由图形易知EF＜DE＜OC＜CD.故≤≤≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立.
利用基本不等式证明如下：
由＝，所以即证≤，即证≤1，即证2≤a＋b，即证≤，显然上式成立.所以≤≤（当且仅当a＝b时取等号）.
要证≤，即证（ ）2≤，即证≤，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证（a－b）2≥0，显然上式成立.所以≤（当且仅当a＝b时取等号）.
综上可得，若实数a＞0，b＞0，则有≤≤≤成立，当且仅当a＝b时取等号.
训练1　BD　A选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知≥恒成立，当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A选项错误；B选项，当a＋b＞0时，＞0，则（ ）2－（ ）2＝＝≤0恒成立，即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；C选项，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误；D选项，ab－＝＝≤0，ab≤恒成立，故D选项正确.
考点2
【例1】　A　因为a＞0，b＞0，≤恒成立，即m≤＝＝＋＋2恒成立，即m≤（ ＋＋2）min，又因为＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，所以m≤4，所以m的最大值为4.
训练2　（－∞，－1）∪（2，＋∞）
解析：由＋＝2，则x＋＝（ ＋）（ x＋）＝（ 2＋＋）≥（ 2＋2）＝2，当且仅当＝，即y＝4x＝4时取等号，由不等式x＋＜m2－m有解，得m2－m＞2，解得m＜－1或m＞2，所以实数m的取值范围是（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
考点3
【例2】　4　解析：法一　由题意可设P（ x0，x0＋）（x0＞0），则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号.故所求最小值是4.
法二　设P（ x0，＋x0）（x0＞0），则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－.令1－＝－1，结合x0＞0得x0＝，∴P（，3），曲线y＝x＋（x＞0）上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝＝4.
训练3　（ 0，］　解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以cos B＝＝＝.因为a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时取等号，所以3（a2＋c2）－2ac≥4ac＞0，所以cos B＝≥＝.又y＝cos x在区间（0，π）上单调递减，所以0＜B≤，所以0＜sin B≤.
1 / 1(共45张PPT)
第5节　基本不等式的综合应用
课标要求
1. 掌握基本不等式及其常见变形.
2. 会求与基本不等式有关的恒（能）成立问题.
3. 掌握基本不等式在其他知识中的应用.
基本不等式的变形应用（师生共研过关）
教材母题：〔人A必修一P45探究〕如图，AB是圆的直径，
点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB
的弦DE，连接AD，BD. 你能利用这个图形，得出基本
不等式的几何解释吗？
解：可证△ACD∽△DCB，因而CD＝ .
由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 ≤ .
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立.
变式 如图，以O为圆心，AD＝a，DB＝b，过点O作AB的垂线交半圆O
于点C，再过点D作AB的垂线，交半圆O于点E，连接OE，CD，过点
D作OE的垂线，垂足为点F. 试研究线段CD，OC，DE，EF与代数式
， ， ， 之间的关系，并据此推测它们之间的一个大
小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？
解：OC＝ ，CD＝ ＝ ＝ ，由教材母题知DE＝ ，在△ODE中，由等面积法得DF＝ ＝ ，又由△EFD∽△DFO，得EF＝ ＝ .由图形易知EF＜DE＜OC＜CD. 故 ≤ ≤ ≤ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立.
利用基本不等式证明如下：
由 ＝ ，所以即证 ≤ ，即证 ≤1，即证2 ≤a＋
b，即证 ≤ ，显然上式成立.所以 ≤ ≤ （当且仅当a
＝b时取等号）.
要证 ≤ ，即证（ ）2≤ ，即证
≤ ，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证
（a－b）2≥0，显然上式成立.所以 ≤ （当且仅当a＝b时取
等号）.
综上可得，若实数a＞0，b＞0，则有 ≤ ≤ ≤ 成
立，当且仅当a＝b时取等号.
　　若实数a＞0，b＞0，则有 ≤ ≤ ≤ ，当且仅当a
＝b时取等号.其中， 叫做正实数a，b的调和平均数， 叫做正实
数a，b的几何平均数， 叫做正实数a，b的算术平均数， 叫
做正实数a，b的平方平均数.
训练1 〔多选〕已知a，b∈R，则下列不等式成立的是（　　）
A. ≥ B. ≤
C. ≤ D. ab≤
√
√
解析： 　A选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不
等式可知 ≥ 恒成立，当a＜0且b＜0时， ＜0， ＞0，该
不等式不成立，故A选项错误；B选项，当a＋b＞0时， ＞0，则
（ ）2－（ ）2＝ ＝ ≤0恒成立，
即 ≤ 恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项，当a＋b＞0时，2ab－ ＝ ≤0，即
2ab≤ ， ≤ 恒成立，当a＋b＜0时，2ab－
＝ ≤0，即2ab≤ ， ≥ ，故C选项错误；D选
项，ab－ ＝ ＝ ≤0，ab≤ 恒成立，故D
选项正确.
与基本不等式有关的恒（能）成立问题（师生共研过关）
已知a＞0，b＞0，若不等式 ≤ 恒成立，则m的最大值为
（　　）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 9
√
解析： 　因为a＞0，b＞0， ≤ 恒成立，即m≤ ＝
＝ ＋ ＋2恒成立，即m≤（ ＋ ＋2）min，又因为 ＋ ＋
2≥2 ＋2＝4，当且仅当 ＝ ，即a＝b时取等号，所以m≤4，所以
m的最大值为4.
　　对于不等式恒（能）成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用
基本不等式求最值.
训练2 若两个正实数x，y满足 ＋ ＝2，且不等式x＋ ＜m2－m有解，
则实数m的取值范围为 .
（－∞，－1）∪（2，＋∞）　
解析：由 ＋ ＝2，则x＋ ＝ （ ＋ ）（x＋ ）＝ （2＋ ＋ ）
≥ （2＋2 ）＝2，当且仅当 ＝ ，即y＝4x＝4时取等号，由不
等式x＋ ＜m2－m有解，得m2－m＞2，解得m＜－1或m＞2，所以实数
m的取值范围是（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
基本不等式与其他知识交汇的最值问题（师生共研过关）
〔一题多解〕在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋ （x＞0）
上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是 .
解析：法一　由题意可设P（x0，x0＋ ）（x0＞0），则点P到直线x＋
y＝0的距离d＝ ＝ ≥ ＝4，当且仅当2x0
＝ ，即x0＝ 时取等号.故所求最小值是4.
4　
法二　设P（x0， ＋x0）（x0＞0），则曲线在点P处的切线的斜率为k
＝1－ .令1－ ＝－1，结合x0＞0得x0＝ ，∴P（ ，3 ），曲
线y＝x＋ （x＞0）上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到
直线x＋y＝0的距离，故dmin＝ ＝4.
　　基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角函数、解三角
形、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定
义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
训练3 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c
成等差数列，则 sin B的取值范围是 .
（0， ］　
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以 cos B＝
＝ ＝ .因为a2＋c2≥2ac，当且
仅当a＝c时取等号，所以3（a2＋c2）－2ac≥4ac＞0，所以 cos B＝
≥ ＝ .又y＝ cos x在区间（0，π）上单调递减，所以0
＜B≤ ，所以0＜ sin B≤ .
课时跟踪检测
（时间：45分钟，满分：78分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 已知p：a＞b＞0，q： ＞（ ）2，则p是q成立的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
解析： 　∵a＞b＞0，则a2＋b2＞2ab，∴2（a2＋b2）＞a2＋b2＋
2ab，∴2（a2＋b2）＞（a＋b）2，∴ ＞（ ）2，∴由p可推
出q；当a＜0，b＜0时，q也成立，如a＝－1，b＝－3时， ＝5＞
（ ）2＝4，∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件.
1
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15
2. 已知x＞0，y＞0且3x＋2y＝10，则 ＋ 的最大值为（　　）
A. B.
C. 2 D. 2
√
解析： 　因为x＞0，y＞0，3x＋2y＝10，所以 ≤ ＝
，当且仅当3x＝2y，即x＝ ，y＝ 时，等号成立，所以 ＋
的最大值为2 .
1
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3. 设a＞0，b＞0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则 ＋ 的最小值
为（　　）
A. 6 B. 8
C. 9 D. 12
√
解析： 　∵ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，∴2ln ＝ln 3a＋ln 9b，即
ln 3＝ln（3a·9b）＝ln 3a＋2b＝（a＋2b）ln 3，∴a＋2b＝1，又a＞0，b
＞0，∴ ＋ ＝（ ＋ ）（a＋2b）＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且
仅当 ＝ ，即a＝ ，b＝ 时，等号成立.
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4. （2025·湖南衡阳一模）若a＞b＞1，x＝ln ，y＝ （ln a＋ln
b），z＝ ，则（　　）
A. x＜z＜y B. y＜z＜x
C. z＜x＜y D. z＜y＜x
√
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2
3
4
5
6
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15
解析： 　由x＝ln ，y＝ （ln a＋ln b）＝ln ，z＝ ，
而a＞b＞1，则ln a＞ln b＞0，所以 （ln a＋ln b）＞ ，即y＞
z，由 ＞ ，则ln ＞ln ，即x＞y，综上，x＞y＞z.故选D.
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5. （2026·浙江湖州多校联考）已知正实数x，y满足3x＋y＝1，若不等
式 ＋ ≤m有解，则实数m的取值范围是（　　）
A. （－∞，2 ] B. （－∞，2 ＋1]
C. [2 ，＋∞） D. [2 ＋1，＋∞）
√
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3
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解析： 　因为正实数x，y满足3x＋y＝1，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
＋1≥2 ＋1＝2 ＋1，当且仅当 ＝ ，即x＝ ，y＝
时取等号，所以 ＋ 的最小值为2 ＋1.因为不等式 ＋ ≤m有解，所
以m≥2 ＋1，即实数m的取值范围为{m｜m≥2 ＋1}.
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6. 〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则（　　）
A. 有最大值
B. ＋ 有最小值3
C. a2＋b2有最小值
D. ＋ 有最大值
√
√
√
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3
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解析： 　对于A，由基本不等式可得 ≤ ＝ ，当且仅当a＝b
＝ 时，等号成立，A正确；对于B，由 ≤
＝ ＝ ，得 ＋ ≥ ， 当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a
＝b＝ 时，等号成立，B错误；对于C，由 ≥ ＝ ，得a2＋
b2≥ ，当且仅当a＝b＝ 时，等号成立，C正确；对于D，由 ≤ ＝ ，得 ＋ ≤ ，当且仅当a＝b＝ 时，等号成立，D正确.
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7. （2026·浙江绍兴模拟）原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0（λ∈R）的
距离的最大值为 .
解析：设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得d＝
＝ ＝ ，显然当λ＜0时，有最大值，此时－ ＝
，因为（－λ）＋（－ ）≥2 ＝2，
当且仅当λ＝－1时，等号成立，所以 ≤ ＝1，所以dmax
＝ .
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8. 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）（1＋2y）的最大值
为 .
解析：由题意得（1＋x）＋（1＋2y）＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所以
（1＋x）（1＋2y）≤［ ］2＝9，当且仅当1＋x＝1＋
2y，即x＝2，y＝1时取等号.
9　
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9. （13分）已知正实数x，y满足等式 ＋ ＝2.
（1）求xy的最小值；
解： 由题知2＝ ＋ ≥2 ，
即xy≥3，当且仅当 ＝ ，即x＝1，y＝3时，等号成立，所以xy的最小
值为3.
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（2）若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围.
解： 3x＋y＝ （3x＋y）（ ＋ ）
＝ （6＋ ＋ ）≥ （6＋2 ）＝6，
当且仅当 ＝ ，即x＝1，y＝3时，等号成立.
即（3x＋y）min＝6.
所以m2－m≤6，解得－2≤m≤3.
所以实数m的取值范围是[－2，3].
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10. （2026·四川德阳模拟）设双曲线 － ＝1（a＞0）的离心率为
e，则当e2＋a2取最小值时，e＝（　　）
A. B. 2
√
C. D. 3
解析： 　双曲线 － ＝1（a＞0）的离心率为e＝ ，e2＋a2＝
＋a2＝2＋ ＋a2≥2＋2 ＝4，当且仅当 ＝a2，即a＝1时取
等号，此时e＝ ＝ .
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11. 〔一题多解〕已知a＞0，b＞0，且ab＝1，不等式 ＋ ＋ ≥4恒
成立，则正实数m的取值范围是（　　）
A. {m｜m≥2} B. {m｜m≥4}
C. {m｜m≥6} D. {m｜m≥8}
√
解析： 　法一　由题设得m≥4（a＋b）－（ ＋ ）（a＋b）＝4（a
＋b）－（a＋b）2恒成立，而4（a＋b）－（a＋b）2＝4－（a＋b－
2）2，又a＋b≥2 ＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以4（a
＋b）－（a＋b）2≤4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故m≥4.故
选B.
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法二　不等式 ＋ ＋ ≥4恒成立，即 ＋ ≥4恒成立，即a＋
b＋ ≥4恒成立，而a＋b＋ ≥2 ，当且仅当a＋b＝ ，即
（a＋b）2＝m时取等号，故2 ≥4.又m是正实数，故m≥4.故选B.
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12. 某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价
p%，第二次提价q%；乙方案第一次提价q%，第二次提价p%；丙方案第
一次提价 %，第二次提价 %，其中p＞q＞0.则经过两次提价后
哪种方案的提价幅度最大（　　）
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 无法确定
√
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解析： 　设该商品原价为a（a＞0），按甲、乙、丙三种方案两次提价
后的价格依次为y1，y2，y3，则y1＝a（1＋p%）（1＋q%），y2＝a（1
＋q%）（1＋p%），y3＝a（1＋ %）2，因为p＞q＞0，由基本不等
式可得（1＋p%）（1＋q%）＜［ ］2＝（1＋
%）2，所以y1＝y2＜y3，故丙方案的提价幅度最大.
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13. 函数y＝ ＋ 的最大值为 　2 　.
解析：函数的定义域为x∈［ ， ］，由 ≤ ，得a＋
b≤2 ，则y＝ ＋ ≤2 ＝2 ，当且仅
当 ＝ ，即x＝ 时，等号成立.
2 　
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14. （15分）设函数f（x）＝4x－a·2x＋b，且f（0）＝0，f（1）＝2.
（1）求a，b的值；
解： 由题意得，f（0）＝1－a＋b＝0，f（1）＝4－2a＋b＝2，解
得a＝1，b＝0.
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（2）若 x∈（－∞，3]，使得f（x）＜m·2x－3成立，求实数m的取值
范围.
解： 由（1）知f（x）＝4x－2x，
所以f（x）＜m·2x－3可化为m＞2x＋3·2－x－1.
故原问题等价于 x∈（－∞，3]，使得m＞2x＋3·2－x－1成立.
则当x∈（－∞，3]时，m＞（2x＋3·2－x－1）min，
设h（x）＝2x＋3·2－x－1，x∈（－∞，3]，
令t＝2x，则t∈（0，8]，设p（t）＝t＋ －1，t∈（0，8]，
则p（t）≥2 －1，当且仅当t＝ 时取等号，所以当t＝ 时，p
（t）即h（x）取得最小值2 －1，所以m＞2 －1.
故实数m的取值范围是（2 －1，＋∞）.
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15. 〔创新设问〕〔多选〕若a＞1，b＞1，且ab＝e2，则（　　）
A. 2e≤a＋b＜e2＋1
B. 0＜ln a·ln b≤1
C. 2 －1≤ln a＋logab＜2
D. aln b的最大值为e
√
√
√
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解析： 　由a＞1，b＝ ＞1，得1＜a＜e2，因为函数f（a）＝a＋
b＝a＋ 在（1，e）上单调递减，在[e，e2）上单调递增，所以2e≤a＋
b＜e2＋1，故A正确；因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0＜ln a·ln
b≤（ ）2＝1，当且仅当a＝b＝e时，等号成立，故B正确；ln a＋
logab＝ln a＋ ＝ln a＋ ＝ln a＋ －1，设t＝ln a∈（0，2），所
以φ（t）＝t＋ －1在（0， ）上单调递减，在[，2）上单调递增，
所以φ（t）＝t＋ －1∈[2 －1，＋∞），故C错误；设λ＝aln b，所以
ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确.
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