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第6节　一元二次不等式及其解法
（时间：60分钟，满分：91分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.（2025·全国Ⅱ卷4题）不等式≥2的解集是（　　）
A.{x｜－2≤x≤1} B.{x｜x≤－2}
C.{x｜－2≤x＜1} D.{x｜x＞1}
2.（2026·福建泉州月考）设x∈R，使得不等式x2－2x－8＜0成立的一个充分不必要条件是（　　）
A.－2＜x＜4 B.x＞－2
C.2≤x≤3 D.x＜4
3.不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（　　）
A.（－∞，0）∪（ 0，） B.（ －∞，）
C.（ ，＋∞） D.（ 0，）
4.不等式（x2－2x－3）（x2＋4x＋4）＜0的解集是（　　）
A.{x｜x＜－1或x＞3}
B.{x｜－1＜x＜2或2＜x＜3}
C.{x｜－1＜x＜3}
D.{x｜－2＜x＜3}
5.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为（　　）
A. B.1
C.2 D.
6.〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正确的是（　　）
A.当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4}
B.当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－}
C.当a＜0时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4}
D.当a＝－时，不等式的解集为
7.不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为　　　　.
8.若不等式（a2－4）x2＋（a＋2）x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围为　　　　.
9.（10分）若a＜3，求关于x的不等式ax2－3x＋2＞ax－1的解集.
10.当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是（　　）
A.[－1，3]　　　　　　
B.（－∞，－1]
C.[3，＋∞）
D.（－∞，－1）∪（3，＋∞）
11.（2026·江西南昌模拟）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的取值范围为（　　）
A.（5，10] B.（5，15]
C.（5，20] D.（5，30]
12.若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（　　）
A.（6，7] B.[－3，－2）
C.[－3，－2）∪（6，7] D.[－3，7]
13.若函数f（x）＝ax2＋20x＋14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，则实数a的最小值为　　　　.
14.（15分）设函数f（x）＝ax2＋bx＋3，关于x的一元二次不等式f（x）＞0的解集为（－3，1）.
（1）求不等式x2＋ax＋b＞0的解集；
（2）若 x∈[－1，3]，f（x）≥mx2，求实数m的取值范围.
15.〔创新设问〕已知函数f（x）＝x｜x－a｜－2a2.若当x＞2时，f（x）＞0，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，1] B.[－2，1]
C.[－1，2] D.[－1，＋∞）
第6节　一元二次不等式及其解法
1.C　2.C　3.A　4.C　5.D　
6.AD　当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确；由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当即a＜－时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4}；当即－＜a＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－}；当a＝－时，－＝4，此时不等式的解集为 ，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D.
7.（ －，0］∪［1，）　8.［－2，）
9.解：ax2－3x＋2＞ax－1 ax2－（a＋3）x＋3＞0 （ax－3）（x－1）＞0，
当a＝0时，不等式化为x－1＜0，不等式的解集为{x｜x＜1}；
当a＜0时，不等式化为（ x－）（x－1）＜0，不等式的解集为{x｜＜x＜1}；
当0＜a＜3时，＞1，不等式化为（ x－）（x－1）＞0，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞}.
综上，当a＜0时，不等式的解集为{x｜＜x＜1}；当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＜1}；
当0＜a＜3时，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞}.
10.D　不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0，令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），
则
∴x＜－1或x＞3.
11.D　第一次稀释后，药液浓度为，第二次稀释后，药液浓度为＝，依题意有≤75%，即V2－32V＋60≤0，解得2≤V≤30，又V－5＞0，即V＞5，所以5＜V≤30.故选D.
12.C　不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为 ，此时不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m的取值范围为[－3，－2）∪（6，7].故选C.
13.8　解析：
因为a＞0，所以二次函数f（x）＝ax2＋20x＋14的图象开口向上.在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，只需t＝－时，f（t＋1）－f（t）≥8，即a（t＋1）2＋20（t＋1）＋14－（at2＋20t＋14）≥8，整理得2at＋a＋20≥8，将t＝－代入解得a≥8.所以a的最小值为8.
14.解：（1）因为一元二次不等式f（x）＞0的解集为（－3，1），
所以－3和1是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，则解得
因此所求不等式即为x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2，故所求不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞2}.
（2）f（x）≥mx2可化为（m＋1）x2≤－2x＋3，当x＝0时显然成立；
当x≠0时，不等式可化为m＋1≤－＋3（ ）2对 x∈[－1，0）∪（0，3]恒成立，
令t＝∈（－∞，－1]∪［，＋∞），则m＋1≤－2t＋3t2，
当t＝，即x＝3时，（－2t＋3t2）min＝－，
所以m＋1≤－，即m≤－.
故实数m的取值范围为（ －∞，－］.
15.B　f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝若a＞2，当2＜x＜a时，f（x）＝－x2＋ax－2a2，此时关于x的方程－x2＋ax－2a2＝0的Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f（x）＜0，不符合题意；若0＜a≤2，当x＞2时，由f（x）＝x2－ax－2a2＝（x－2a）（x＋a）＞0，解得x＞2a，则2a≤2，即0＜a≤1；若a＝0，当x＞2时，f（x）＝x2＞0恒成立，符合题意；若a＜0，当x＞2时，由f（x）＝x2－ax－2a2＝（x－2a）·（x＋a）＞0，解得x＞－a，则－a≤2，即－2≤a＜0.综上，－2≤a≤1，故a的取值范围是[－2，1].
1 / 1第6节　一元二次不等式及其解法
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
知识梳理
1.一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是　　　　的不等式，称为一元二次不等式.
提醒：对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
2.三个“二次”的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2}
1.分式不等式的解法 （1）＞0（＜0） f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0） 2.｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c －c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.（　　）
（2）≥0等价于（x－a）（x－b）≥0.（　　）
（3）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（　　）
（4）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集为R.（　　）
2.不等式（x－2）（3－2x）≥0的解集为（　　）
A.（ ，＋∞） B.［，2］
C.[2，＋∞） D.（ －∞，］
3.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－＜x＜}，则a－b＝（　　）
A.－10 B.－14
C.10 D.14
4.不等式｜5－2x｜＜9的解集为　　　　.
5.若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围为　　　　.
一元二次不等式的解法
（定向精析突破）
考向1　不含参一元二次不等式的解法
〔多选〕下列选项中，正确的是（　　）
A.不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞1}
B.不等式≤1的解集为{x｜－3≤x＜2}
C.不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3}
D.不等式－x≤1的解集为{x｜0≤x≤2}
听课记录
1.可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集. 2.分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组.
考向2　含参一元二次不等式的解法
已知函数f（x）＝ax2＋3x＋2.若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞－ax－1.
解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
训练1 （1）不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是　　　　；
（2）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
三个二次之间的关系
（师生共研过关）
〔多选〕（2026·海南华侨中学考试）已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥1}，则（　　）
A.a＜0
B.cx＋b＞0的解集是{x｜x＜}
C.a－b＋c＜0
D.cx2＋bx＋a≤0的解集为{x｜－≤x≤1}
听课记录
“三个二次”之间的关系及其应用 （1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值； （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或利用根与系数的关系求解.
训练2 （1）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为（　　）
A.（－∞，－1]
B.（－∞，－3]∪[1，＋∞）
C.[3，＋∞）
D.（－∞，－1]∪[3，＋∞）
（2）〔多选〕（2026·山东枣庄调研）已知关于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则（　　）
A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－8
C.－2＜x1＜x2＜4 D.x2－x1＞6
一元二次不等式恒成立问题
（师生共研过关）
教材母题：〔人A必修一P58复习参考题6题改编〕当k取什么值时，不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立？
细研教材：不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）恒成立满足的条件：
（1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立 或
（2）不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立 或
变式1 若不等式2kx2＋kx－＜0，其对x∈[1，2]恒成立，则实数k的取值范围为　　　　；其在x∈[1，2]上有解，则实数k的取值范围为　　　　.
变式2 若不等式2kx2＋kx－＜0对任意0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范围为（　　）
A.（ －，） B.（ －，）
C.（ －，） D.（ －，）
变式3 若恰有一个整数x使得不等式2kx2＋kx－＜0成立，则实数k的取值范围为　　　　.
恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数； （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
训练3 （1）若不等式mx2－4mx＋3≠0对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（　　）
A.（ 0，） B.［0，）
C.（ 0，） D.［0，）
（2）已知 x∈[1，2]， y∈[2，3]，y2－xy－mx2≤0，则实数m的取值范围为　　　　.
第6节　一元二次不等式及其解法
【夯实必备知识】
知识梳理
1.2　
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）×
2.B　3.A　4.（－2，7）　5.（－3，3）
【研透核心考点】
考点1
【例1】　BD　由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故A错误；因为－1≤0，即≤0，即（x＋3）（x－2）≤0（x－2≠0），解得－3≤x＜2，所以不等式的解集为{x｜－3≤x＜2}，故B正确；由｜x－2｜≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x｜x≤1或x≥3}，故C错误；原不等式等价于上述不等式组的解集为{x｜x＋1≥0}∩{x｜x2－2x≤0}，即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}，故D正确.
【例2】　解：不等式f（x）＞－ax－1可化为ax2＋（a＋3）x＋3＞0，即（ax＋3）（x＋1）＞0.
因为a＞0，所以当－＜－1，即0＜a＜3时，原不等式的解集为{x｜x＜－或x＞－1}；
当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x｜x≠－1}；
当－＞－1，即a＞3时，原不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞－}.
训练1　（1）{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}
解析：原不等式等价于即由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）（x－1）≤0，所以－3≤x≤1.
画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}.
（2）解：由题意知，Δ＝a2－4，
①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，
方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝，
所以原不等式的解集为{x｜≤x≤}.
②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，
即（x－1）2≤0，所以x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，
即（x＋1）2≤0，所以x＝－1.
③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为 .
综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为{x｜≤x≤}；
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2＜a＜2时，原不等式的解集为 .
考点2
【例3】　AD　由题知，a＜0，且－＝－2＋1＝－1，＝－2×1＝－2，即b＝a，c＝－2a，故A正确；由cx＋b＞0可得－2ax＋a＞0，即2x－1＞0，所以x＞，故B错误；a－b＋c＝－2a＞0，故C错误；由cx2＋bx＋a≤0可得－2ax2＋ax＋a≤0，所以2x2－x－1≤0，解得－≤x≤1，故D正确.故选A、D.
训练2　（1）D　（2）ABD　解析：（1）根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式的解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.
（2）因为关于x的不等式（x＋2）·（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，故A正确；x1x2＝a－8＜－8，故B正确；x2－x1＝＝2＞6，故D正确；由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故C错误.故选A、B、D.
考点3
教材母题　解：当k＝0时，不等式显然成立，
当k＞0时，二次函数y＝2kx2＋kx－开口向上，2kx2＋kx－＜0不可能对一切实数x都成立.
当k＜0时，若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则Δ＜0，即k2＋3k＜0（k＜0），解得－3＜k＜0.
综上，当－3＜k≤0时，不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立.
变式1　（ －∞，）　（ －∞，）
解析：不等式2kx2＋kx－＜0对x∈[1，2]恒成立，即k（2x2＋x）－＜0对x∈[1，2]恒成立，即k＜对x∈[1，2]恒成立 k＜（ ）min，易知f（x）＝在x∈[1，2]上单调递减，f（x）min＝，即k＜.在x∈[1，2]上有解，即k＜f（x）max，又f（x）max＝，即k＜.
变式2　B　若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则（2x2＋x）k－＜0，即解得－＜x＜.
变式3　［，＋∞）　解析：若恰有一个整数x使得不等式成立，则k＞0，因为－＜0，且f（x）＝2kx2＋kx－图象的对称轴为直线x＝－＝－，所以该整数解为x＝0，结合二次函数f（x）＝2kx2＋kx－（k＞0）的图象，可得即解得k≥.
训练3　（1）B　（2）[6，＋∞）
解析：（1）①当m＝0时，3≠0恒成立，满足条件.②当m≠0时，则Δ＝16m2－12m＜0，解得0＜m＜.综上，实数m的取值范围是0≤m＜.
（2）因为x∈[1，2]，y∈[2，3]，则∈［，1］，所以∈[1，3]，又y2－xy－mx2≤0，可得m≥（ ）2－，令t＝∈[1，3]，则 t∈[1，3]，m≥t2－t，即只需m≥（t2－t）max，t2－t＝（ t－）2－，当t＝3时，t2－t取到最大值，（t2－t）max＝9－3＝6，所以实数m的取值范围是[6，＋∞）.
1 / 1(共55张PPT)
第6节　一元二次不等式及其解法
课标要求
1. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式.
2. 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3. 了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不
等式，称为一元二次不等式.
提醒：对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
2　
2. 三个“二次”的对应关系
判别式Δ＝b2－
4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c
（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0
（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实
数根x1＝x2＝－ 没有实
数根
判别式Δ＝b2－
4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋bx＋c＞0
（a＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x
＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0
（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2}
1. 分式不等式的解法
（1） ＞0（＜0） f（x）·g（x）＞0（＜0）；
（2） ≥0（≤0）
2. ｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法
（1）｜ax＋b｜≤c －c≤ax＋b≤c；
（2）｜ax＋b｜≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式. （　×　）
（2） ≥0等价于（x－a）（x－b）≥0. （　×　）
（3）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.
（　√　）
（4）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c
＞0（a＜0）的解集为R. （　×　）
×
×
√
×
2. 不等式（x－2）（3－2x）≥0的解集为（　　）
A. （ ，＋∞） B. ［ ，2］
C. [2，＋∞） D. （－∞， ］
√
解析： 　由（x－2）（3－2x）≥0，得（x－2）（2x－3）≤0，解得
≤x≤2，故原不等式的解集为［ ，2］.
3. 若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－ ＜x＜ }，则a－b＝
（　　）
A. －10 B. －14
C. 10 D. 14
√
解析： 　由题意知x1＝－ ，x2＝ 是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴ 解得 ∴a－b＝－10.
4. 不等式｜5－2x｜＜9的解集为 .
解析：｜5－2x｜＜9，即｜2x－5｜＜9，即－9＜2x－5＜9，解得－2＜x
＜7.
5. 若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围
为 .
解析：由题意得Δ＝4a2－4×18＜0，解得－3 ＜a＜3 .
（－2，7）　
（－3 ，3 ）　
02
PART
研透核心考点
一元二次不等式的解法（定向精析突破）
考向1　不含参一元二次不等式的解法
〔多选〕下列选项中，正确的是（　　）
A. 不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞1}
B. 不等式 ≤1的解集为{x｜－3≤x＜2}
C. 不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3}
D. 不等式 －x≤1的解集为{x｜0≤x≤2}
√
√
解析： 　由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等
式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故A错误；因为 －
1≤0，即 ≤0，即（x＋3）（x－2）≤0（x－2≠0），解得－3≤x＜
2，所以不等式的解集为{x｜－3≤x＜2}，故B正确；由｜x－2｜≥1，可
得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x｜
x≤1或x≥3}，故C错误；原不等式等价于 上述
不等式组的解集为{x｜x＋1≥0}∩{x｜x2－2x≤0}，即原不等式的解集
为{x｜0≤x≤2}，故D正确.
1. 可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不
等式的解集.
2. 分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进
行限制，转化为不等式组.
考向2　含参一元二次不等式的解法
已知函数f（x）＝ax2＋3x＋2.若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞
－ax－1.
解：不等式f（x）＞－ax－1可化为ax2＋（a＋3）x＋3＞0，即（ax＋
3）（x＋1）＞0.
因为a＞0，所以当－ ＜－1，即0＜a＜3时，原不等式的解集为{x｜x＜
－ 或x＞－1}；
当－ ＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x｜x≠－1}；
当－ ＞－1，即a＞3时，原不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞－ }.
解含参数的一元二次不等式的步骤
（1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于
0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
（2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
（3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论
两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
训练1 （1）不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是
；
解析：原不等式等价于 即 由
①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）（x－1）
≤0，所以－3≤x≤1.
画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x
＜－2或0＜x≤1}.
{x｜－3≤x＜－2或0＜
x≤1}　
①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，
方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝ ，
所以原不等式的解集为{x｜ ≤x≤ }.
②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，
即（x－1）2≤0，所以x＝1；
（2）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
解：由题意知，Δ＝a2－4，
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，
即（x＋1）2≤0，所以x＝－1.
③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为 .
综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为{x｜
≤x≤ }；当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2＜a＜2时，原不等式的解集为 .
三个二次之间的关系（师生共研过关）
〔多选〕（2026·海南华侨中学考试）已知关于x的一元二次不等式
ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥1}，则（　　）
A. a＜0
B. cx＋b＞0的解集是{x｜x＜ }
C. a－b＋c＜0
D. cx2＋bx＋a≤0的解集为{x｜－ ≤x≤1}
√
√
解析： 　由题知，a＜0，且－ ＝－2＋1＝－1， ＝－2×1＝－2，即
b＝a，c＝－2a，故A正确；由cx＋b＞0可得－2ax＋a＞0，即2x－1＞
0，所以x＞ ，故B错误；a－b＋c＝－2a＞0，故C错误；由cx2＋bx＋
a≤0可得－2ax2＋ax＋a≤0，所以2x2－x－1≤0，解得－ ≤x≤1，故D
正确.故选A、D.
“三个二次”之间的关系及其应用
（1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次
不等式解集的端点值；
（2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开
口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或利用根与系数的关系求解.
训练2 （1）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－
cx＋3≤0的解集为（　D　）
A. （－∞，－1]
B. （－∞，－3]∪[1，＋∞）
C. [3，＋∞）
D. （－∞，－1]∪[3，＋∞）
D
解析： 根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋
bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则
bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋
1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式的解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.
（2）〔多选〕（2026·山东枣庄调研）已知关于x的不等式（x＋2）（x
－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则（　ABD　）
A. x1＋x2＝2 B. x1x2＜－8
C. －2＜x1＜x2＜4 D. x2－x1＞6
ABD
解析： 因为关于x的不等式（x＋2）·（x－4）＋a＜0（a＜0）的
解集是（x1，x2）（x1＜x2），所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a
＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，故A正确；x1x2＝a－8＜－8，故B正确；
x2－x1＝ ＝2 ＞6，故D正确；由x2－x1＞6，
x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故C错误.故选A、B、D.
一元二次不等式恒成立问题（师生共研过关）
教材母题：〔人A必修一P58复习参考题6题改编〕当k取什么值时，不等
式2kx2＋kx－ ＜0对一切实数x都成立？
解：当k＝0时，不等式显然成立，
当k＞0时，二次函数y＝2kx2＋kx－ 开口向上，2kx2＋kx－ ＜0不可能
对一切实数x都成立.
当k＜0时，若一元二次不等式2kx2＋kx－ ＜0对一切实数x都成立，则Δ
＜0，即k2＋3k＜0（k＜0），解得－3＜k＜0.
综上，当－3＜k≤0时，不等式2kx2＋kx－ ＜0对一切实数x都成立.
细研教材：不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）恒成立满足的条件：
（1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立 或
（2）不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立 或
变式1 若不等式2kx2＋kx－ ＜0，其对x∈[1，2]恒成立，则实数k的取值
范围为 ；其在x∈[1，2]上有解，则实数k的取值范围
为 .
（－∞， ）　
（－∞， ）　
解析：不等式2kx2＋kx－ ＜0对x∈[1，2]恒成立，即k（2x2＋x）－ ＜
0对x∈[1，2]恒成立，即k＜ 对x∈[1，2]恒成立 k＜
（ ）min，易知f（x）＝ 在x∈[1，2]上单调递
减，f（x）min＝ ，即k＜ .在x∈[1，2]上有解，即k＜f（x）max，
又f（x）max＝ ，即k＜ .
变式2 若不等式2kx2＋kx－ ＜0对任意0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范
围为（　　）
A. （－ ， ） B. （－ ， ）
C. （－ ， ） D. （－ ， ）
√
解析： 　若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则（2x2＋x）k－ ＜0，即
解得－ ＜x＜ .
变式3 若恰有一个整数x使得不等式2kx2＋kx－ ＜0成立，则实数k的取值
范围为 .
解析：若恰有一个整数x使得不等式成立，则k＞0，因为－ ＜0，且f
（x）＝2kx2＋kx－ 图象的对称轴为直线x＝－ ＝－ ，所以该整数解
为x＝0，结合二次函数f（x）＝2kx2＋kx－ （k＞0）的图象，可得
即 解得k≥ .
［ ，＋∞）　
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数；
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给
定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
训练3 （1）若不等式mx2－4mx＋3≠0对任意实数x均成立，则实数m的
取值范围是（　B　）
A. （0， ） B. ［0， ）
C. （0， ） D. ［0， ）
解析： ①当m＝0时，3≠0恒成立，满足条件.②当m≠0时，则Δ＝
16m2－12m＜0，解得0＜m＜ .综上，实数m的取值范围是0≤m＜ .
B
（2）已知 x∈[1，2]， y∈[2，3]，y2－xy－mx2≤0，则实数m的取值
范围为 .
解析： 因为x∈[1，2]，y∈[2，3]，则 ∈［ ，1］，所以
∈[1，3]，又y2－xy－mx2≤0，可得m≥（ ）2－ ，令t＝ ∈[1，3]，
则 t∈[1，3]，m≥t2－t，即只需m≥（t2－t）max，t2－t＝（t－ ）2
－ ，当t＝3时，t2－t取到最大值，（t2－t）max＝9－3＝6，所以实数m
的取值范围是[6，＋∞）.
[6，＋∞）　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：91分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. （2025·全国Ⅱ卷4题）不等式 ≥2的解集是（　　）
A. {x｜－2≤x≤1} B. {x｜x≤－2}
C. {x｜－2≤x＜1} D. {x｜x＞1}
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√
解析： 　由 ≥2，得 ≥0，得 ≤0，得 得－2≤x＜1.故选C.
2. （2026·福建泉州月考）设x∈R，使得不等式x2－2x－8＜0成立的一个
充分不必要条件是（　　）
A. －2＜x＜4 B. x＞－2
C. 2≤x≤3 D. x＜4
√
解析： 　由x2－2x－8＜0即（x＋2）（x－4）＜0，解得－2＜x＜4.对
比选项，只有{x｜2≤x≤3}是{x｜－2＜x＜4}的真子集，可知不等式x2
－2x－8＜0成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3.故选C.
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3. 不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（　　）
A. （－∞，0）∪（0， ） B. （－∞， ）
C. （ ，＋∞） D. （0， ）
√
解析： 　由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所
以0＜x＜ ；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0.综
上，原不等式的解集为（－∞，0）∪（0， ）.
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4. 不等式（x2－2x－3）（x2＋4x＋4）＜0的解集是（　　）
A. {x｜x＜－1或x＞3}
B. {x｜－1＜x＜2或2＜x＜3}
C. {x｜－1＜x＜3}
D. {x｜－2＜x＜3}
√
解析： 　（x2－2x－3）（x2＋4x＋4）＜0可化为（x－3）（x＋1）
（x＋2）2＜0，当x＝－2时，不等式显然不成立；当x≠－2时，（x＋
2）2＞0，所以原不等式等价于（x－3）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜3.
综上，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜3}.
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5. 若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜
x2}，且x2－x1＝15，则a的值为（　　）
A. B. 1
C. 2 D.
√
解析： 　由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0（a＞0）的实数
根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2
－x1＝15，所以152＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a＞0，解
得a＝ .
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6. 〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正
确的是（　　）
A. 当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4}
B. 当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－ }
C. 当a＜0时，不等式的解集为{x｜－ ＜x＜4}
D. 当a＝－ 时，不等式的解集为
√
√
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解析： 　当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确；
由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当
即a＜－ 时，不等式的解集为{x｜－ ＜x＜4}；当 即－ ＜a
＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－ }；当a＝－ 时，－ ＝4，此时
不等式的解集为 ，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D.
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7. 不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为 .
解析：由1≤｜2x－1｜＜2得，－2＜2x－1≤－1或1≤2x－1＜2，解得－
＜x≤0或1≤x＜ .
（－ ，0］∪［1， ）　
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8. 若不等式（a2－4）x2＋（a＋2）x－1≥0的解集是空集，则实数a的取
值范围为 .
解析：当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x
－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－
1≥0，此式不成立，解集为空集.当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空
集，则有 解得－2＜a＜ .综上，实
数a的取值范围是［－2， ）.
［－2， ）　
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9. （10分）若a＜3，求关于x的不等式ax2－3x＋2＞ax－1的解集.
解：ax2－3x＋2＞ax－1 ax2－（a＋3）x＋3＞0 （ax－3）（x－1）
＞0，
当a＝0时，不等式化为x－1＜0，不等式的解集为{x｜x＜1}；
当a＜0时，不等式化为（x－ ）（x－1）＜0，不等式的解集为{x｜
＜x＜1}；
当0＜a＜3时， ＞1，不等式化为（x－ ）（x－1）＞0，不等式的解集
为{x｜x＜1或x＞ }.
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综上，当a＜0时，不等式的解集为{x｜ ＜x＜1}；当a＝0时，不等式的
解集为{x｜x＜1}；
当0＜a＜3时，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞ }.
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10. 当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是
（　　）
A. [－1，3] B. （－∞，－1]
C. [3，＋∞） D. （－∞，－1）∪（3，＋∞）
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解析： 　不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0，
令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），则
∴x＜－1或x＞3.
11. （2026·江西南昌模拟）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积
为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均
匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过
容积的75%，则V的取值范围为（　　）
A. （5，10] B. （5，15]
C. （5，20] D. （5，30]
√
解析： 　第一次稀释后，药液浓度为 ，第二次稀释后，药液浓度为
＝ ，依题意有 ≤75%，即V2－32V＋60≤0，解得
2≤V≤30，又V－5＞0，即V＞5，所以5＜V≤30.故选D.
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12. 若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则
实数m的取值范围为（　　）
A. （6，7] B. [－3，－2）
C. [－3，－2）∪（6，7] D. [－3，7]
√
解析： 　不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当
m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这4个
整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为 ，此时
不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有
4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m
的取值范围为[－3，－2）∪（6，7].故选C.
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13. 若函数f（x）＝ax2＋20x＋14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，则实数a的最小值为 .
8　
解析：因为a＞0，所以二次函数f（x）＝ax2＋20x＋14的图象开口向上.
在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f
（x2）｜≥8成立，只需t＝－ 时，f（t＋1）－f（t）≥8，即a（t＋
1）2＋20（t＋1）＋14－（at2＋20t＋14）≥8，整理得2at＋a＋20≥8，
将t＝－ 代入解得a≥8.所以a的最小值为8.
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14. （15分）设函数f（x）＝ax2＋bx＋3，关于x的一元二次不等式f
（x）＞0的解集为（－3，1）.
（1）求不等式x2＋ax＋b＞0的解集；
解： 因为一元二次不等式f（x）＞0的解集为（－3，1），
所以－3和1是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，则 解得
因此所求不等式即为x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2，故所求不等式的
解集为{x｜x＜－1或x＞2}.
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（2）若 x∈[－1，3]，f（x）≥mx2，求实数m的取值范围.
解：f（x）≥mx2可化为（m＋1）x2≤－2x＋3，当x＝0时显然成立；
当x≠0时，不等式可化为m＋1≤－ ＋3（ ）2对 x∈[－1，0）∪
（0，3]恒成立，
令t＝ ∈（－∞，－1]∪［ ，＋∞），则m＋1≤－2t＋3t2，
当t＝ ，即x＝3时，（－2t＋3t2）min＝－ ，
所以m＋1≤－ ，即m≤－ .
故实数m的取值范围为（－∞，－ ］.
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15. 〔创新设问〕已知函数f（x）＝x｜x－a｜－2a2.若当x＞2时，f
（x）＞0，则实数a的取值范围是（　　）
A. （－∞，1] B. [－2，1]
C. [－1，2] D. [－1，＋∞）
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解析： 　f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝ 若a＞
2，当2＜x＜a时，f（x）＝－x2＋ax－2a2，此时关于x的方程－x2＋ax
－2a2＝0的Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f（x）＜0，不符合题意；若
0＜a≤2，当x＞2时，由f（x）＝x2－ax－2a2＝（x－2a）（x＋a）＞
0，解得x＞2a，则2a≤2，即0＜a≤1；若a＝0，当x＞2时，f（x）＝
x2＞0恒成立，符合题意；若a＜0，当x＞2时，由f（x）＝x2－ax－2a2
＝（x－2a）·（x＋a）＞0，解得x＞－a，则－a≤2，即－2≤a＜0.综
上，－2≤a≤1，故a的取值范围是[－2，1].　
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