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期末复习 二次根式
一．选择题（共10小题）
1．若，则（x+y）2022等于（　　）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
2．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
3．若式子有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x≥2 B．x≠3 C．x≥2或x≠3 D．x≥2且x≠3
4．计算（3）2018（3）2019的值为（　　）
A．1 B．3 C．3 D．3
5．等式成立的条件是（　　）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1 D．x≥1或x≤﹣1
6．下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a＜1的是（　　）
A． B． C． D．
7．若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x）y的值是（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
8．如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（　　）
A．﹣5 B．1 C．13 D．19﹣4k
9．已知m＝1，n＝1，则代数式的值为（　　）
A．9 B．±3 C．3 D．5
10．等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，　 　 ，…，　 　 （第n个数）．
12．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b，如3※2．那么12※4＝　 　 ．
13．若2﹣x，则x的取值范围是 　 　 ．
14．若m，则m5﹣2m4﹣2015m3＝　 　 ．
15．若化简|1﹣x|的结果为2x﹣5，则x的取值范围是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
17．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．
18．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
19．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2
∴1；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）；
（2）．
20．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
s②（其中p．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．若，则（x+y）2022等于（　　）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件得x＝2，从而求得y＝﹣3，进而解决此题．
【解答】解：∵，
∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．
∴x≥2，x≤2．
∴x＝2．
∴0+0﹣3＝﹣3．
∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式、有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
2．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【考点】最简二次根式．
【答案】C
【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：①是最简二次根式；
②，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③是最简二次根式；
④3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式，故选C．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．若式子有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x≥2 B．x≠3 C．x≥2或x≠3 D．x≥2且x≠3
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x﹣2≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥2且x≠3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
4．计算（3）2018（3）2019的值为（　　）
A．1 B．3 C．3 D．3
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式．
【答案】B
【分析】原式利用积的乘方的运算法则变形为[（3）（3）]2018×（3），再根据二次根式的运算法则和平方差公式计算可得．
【解答】解：原式＝（3）2018（3）2018×（3）
＝[（3）（3）]2018×（3）
＝（10﹣9）2018×（3）
＝1×（3）
3，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式和积的乘方的运算法则与平方差公式．
5．等式成立的条件是（　　）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1 D．x≥1或x≤﹣1
【考点】二次根式的乘除法．
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘法法则适用的条件列出不等式组解答即可．
【解答】解：∵，
∴，解得：x≥1．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法法则，即 （a≥0，b≥0）．
6．下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a＜1的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，同时应考虑分母中若有字母，字母的取值不能使分母为零，即可求解．
【解答】解：A、当a≥1时，根式有意义．
B、当a≤1时，根式有意义．
C、a取任何值根式都有意义．
D、要使根式有意义，则a≤1，且分母不为零，故a＜1，
故选：D．
【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母的不等于0混淆．
7．若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x）y的值是（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小．
【答案】B
【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【解答】解：∵9＜13＜16
∴34，
∴的整数部分x＝2，
则小数部分是：62＝4，
∴y＝4，
则（2x）y＝（4）（4）
＝16﹣13
＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的运算，正确确定6的整数部分x与小数部分y的值是关键．
8．如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（　　）
A．﹣5 B．1 C．13 D．19﹣4k
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】首先根据三角形的三边关系确定k的取值范围，由此即可求出二次根式的值与绝对值的值，再计算即可解答．
【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为1，k，3，
∴2＜k＜4，
又∵4k2﹣36k+81＝（2k﹣9）2，
∴2k﹣9＜0，2k﹣3＞0，
∴原式＝7﹣（9﹣2k）﹣（2k﹣3）＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握化简的方法是解答本题的关键．
9．已知m＝1，n＝1，则代数式的值为（　　）
A．9 B．±3 C．3 D．5
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】原式变形为，由已知易得m+n＝2，mn＝（1）（1）＝﹣1，然后整体代入计算即可．
【解答】解：m+n＝2，mn＝（1）（1）＝﹣1，
原式3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．
10．等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的乘除法；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【解答】解：由题意可知：
解得：x≥3
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
二．填空题（共5小题）
11．观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，　2　 ，…，　　 （第n个数）．
【考点】二次根式的定义．
【专题】规律型．
【答案】2；
【分析】由题意可知，被开方数是 2的倍数，由此即可求解．
【解答】解：∵，2，，2，
∴第6个数是，第n个数是．
【点评】本题是找规律的题目，注意观察被开方数与第几个数的关系．
12．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b，如3※2．那么12※4＝　　 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】新定义．
【答案】
【分析】根据新定义的运算法则a※b得出．
【解答】解：12※4．
故答案为：．
【点评】主要考查了新定义题型，此类题目是近年来的热点，解题关键是严格按照新定义的运算法则进行计算即可．
13．若2﹣x，则x的取值范围是 x≤2　 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】x≤2
【分析】根据已知得出x﹣2≤0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵2﹣x，
∴x﹣2≤0，
x≤2
则x的取值范围是x≤2
故答案为：x≤2．
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≤0时，a．
14．若m，则m5﹣2m4﹣2015m3＝　0　 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【答案】0
【分析】将m化简可得m1，代入到原式＝m3[（m﹣1）2﹣2016]即可得．
【解答】解：∵m1，
∴原式＝m3（m2﹣2m﹣2015）
＝m3[（m﹣1）2﹣2016]
＝m3[（1﹣1）2﹣2016]
＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查二次根式的化简和整式的运算，熟练掌握二次根式的性质和整式运算的法则是解题的关键．
15．若化简|1﹣x|的结果为2x﹣5，则x的取值范围是　1≤x≤4　 ．
【考点】二次根式的性质与化简；实数的性质．
【答案】1≤x≤4
【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．
【解答】解：∵|1﹣x|
＝|1﹣x|
＝2x﹣5，
则|1﹣x|x﹣1+x﹣4，
即1﹣x≤0，x﹣4≤0，
解得1≤x≤4．
【点评】此题难点不是根据x的取值化简绝对值和二次根式，而是由绝对值和二次根式得化简值求x的取值范围．所以要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质熟练、灵活掌握．
三．解答题（共5小题）
16．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
【考点】二次根式的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
【解答】解：∵0，
∴当a时，有最小值，是0．
则1的最小值是1．
【点评】本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数．
17．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．
【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的三边关系定理得出a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式＝|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|
＝a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）
＝a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c
＝3a+b﹣c．
【点评】本题考查了合并同类项，二次根式的性质，绝对值的应用，关键是去掉绝对值符号．
18．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
【考点】分母有理化．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分式的分子和分母都乘以，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
【解答】解：（1）
．
（2）原式
．
【点评】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简能力．
19．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2
∴1；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解答】解：（1）∵5+23+2+2
＝（）2+（）2+2
＝（）2，
∴；
（2）∵7﹣44+3﹣422+（）2﹣2×2
＝（2）2，
∴2．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
20．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
s②（其中p．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．
【考点】二次根式的应用．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）代入计算即可；
（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．
【解答】解：（1）s，
；
p（5+7+8）＝10，
又s；
（2）（）
，
（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），
（2p﹣2a）（2p﹣2b） 2p （2p﹣2c），
＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），
∴．
（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）
【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．

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