资源简介

第十九章 二次根式
一．选择题（共10小题）
1．（2025 杨浦区二模）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 呈贡区校级一模）若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＞﹣2且x＝3 C．x≠3 D．x≥﹣2且x≠3
3．（2025 东营）下列计算正确的是（　　）
A．﹣（﹣x+1）＝x+1 B．
C．x6÷x2＝x4 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．（2025 汕尾一模）要使，x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
5．（2025 济南模拟）下列运算正确的是（　　）
A．（2a2）3＝6a6 B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．a8+a3＝a2 D．
6．（2025 四川校级自主招生）已知0＜a＜b，x，y，则x，y的大小关系是（　　）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．与a、b的取值有关
7．（2025 十堰校级模拟）小东同学对教材第16章《二次根式》的概念进行了整理，请你帮助他选出错误的一项（　　）
A．二次根式：形如的式子叫做二次根式
B．代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子
C．最简二次根式的条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
D．二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式进行合并
8．（2025 滕州市模拟）下列各式的值等于﹣2的相反数的是（　　）
A．﹣|﹣2| B．（﹣2）﹣1 C．4×（） D．
9．（2025 四川校级模拟）若1＜x＜2，则|x﹣3|的值为（　　）
A．2x﹣4 B．2 C．4﹣2x D．﹣2
10．（2025 沂水县校级模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2026 合肥一模）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如，其中a取正整数且|r|最小，则用该方法计算的值约为　 　 ．
12．（2026 遂宁一模）已知，则x+y的值为　 　 ．
13．（2026 南京一模）若a＞0，化简　 　 ．
14．（2025 方山县二模）计算：的结果为 　 　 ．
15．（2025 高唐县校级三模）若式子3x（x﹣1）0有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 南京一模）已知，x，y均为实数，求的值．
17．（2025 蓝田县一模）计算：．
18．（2025 南湖区自主招生）已知a，b．
（1）求ab及a2+b2的值；
（2）求不超过a10的最大整数．
19．（2025 韶关模拟）阅读下列解题过程：
1；
；
2；
…
解答下列各题
①　 　 ；
②观察下面的解题过程，请直接写出式子　 　 ．
③利用这一规律计算：（）×（1）．
20．（2025 深圳模拟）某班“数学兴趣小组”在学完一次函数后，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 7 m 3 1 ﹣1 ﹣3 ﹣1 1 3 5 …
表格中：m＝ 　 　 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）观察图象：
①的图象关于 　 　 对称；
②直线y＝n与的图象有两个交点，n的取值范围是 　 　 ；
③当﹣1＜x＜4时，y的取值范围 　 　 ．
（4）进一步研究：若点M（x1，y1），N（x2，y2）是函数图象上任意两点，若对于1＜x1＜2，2＜x2＜3，都有y1＜y2，则t的取值范围是 　 　 ．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2025 杨浦区二模）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可．
【解答】解：，则A不符合题意，
是最简二次根式，则B符合题意，
2，则C不符合题意，
2，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2025 呈贡区校级一模）若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＞﹣2且x＝3 C．x≠3 D．x≥﹣2且x≠3
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x+2≥0且x﹣3≠0，
解得x≥﹣2且x≠3．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．
3．（2025 东营）下列计算正确的是（　　）
A．﹣（﹣x+1）＝x+1 B．
C．x6÷x2＝x4 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【考点】二次根式的加减法；去括号与添括号；同底数幂的除法；完全平方公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则逐一进行判断．
【解答】解：﹣（﹣x+1）＝x﹣1，故A选项不符合题意；
、不是同类项，故B选项不符合题意；
x6÷x2＝x4，故C选项符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣b2+2ab，故D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
4．（2025 汕尾一模）要使，x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：要使，
则x﹣2≥0，
解得x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
5．（2025 济南模拟）下列运算正确的是（　　）
A．（2a2）3＝6a6 B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．a8+a3＝a2 D．
【考点】二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算，完全平方公式，二次根式的加法运算法逐项分析判断即可．
【解答】解：A、（2a2）3＝23×（a2）3＝8a6≠6a6，原计算错误，不符合题意；
B、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4≠a2﹣4，原计算错误，不符合题意；
C、a8与a3不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，二次根式的加法运算等知识，掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
6．（2025 四川校级自主招生）已知0＜a＜b，x，y，则x，y的大小关系是（　　）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．与a、b的取值有关
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】首先求x﹣y，然后比较比较与的绝对值大小即可求解．
【解答】解：x﹣y，
∵0＜a＜b，
∴2b+24b
∴0，
∴x﹣y＜0．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，也利用了实数的大小的比较，解题的关键熟悉二次根式的混合运算法则化简根式．
7．（2025 十堰校级模拟）小东同学对教材第16章《二次根式》的概念进行了整理，请你帮助他选出错误的一项（　　）
A．二次根式：形如的式子叫做二次根式
B．代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子
C．最简二次根式的条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
D．二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式进行合并
【考点】二次根式的加减法；最简二次根式；二次根式的定义；代数式．
【专题】二次根式；推理能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加减法、代数式、最简二次根式根式的条件、二次根式的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、形如的式子叫二次根式，正确，不符合题意；
B、代数式是用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）连接数或字母的式子，开方属于基本运算，正确，不符合题意；
C、最简二次根式的条件应为：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．选项C中“被开方数不含字母”错误，例如（x＞0且不含平方因子）是最简二次根式，但含字母，原说法错误，符合题意；
D、二次根式加减需先化简为最简形式，再合并被开方数相同的项，正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法、代数式、最简二次根式根式的条件、二次根式的定义，熟知以上知识是解题的关键．
8．（2025 滕州市模拟）下列各式的值等于﹣2的相反数的是（　　）
A．﹣|﹣2| B．（﹣2）﹣1 C．4×（） D．
【考点】二次根式的性质与化简；负整数指数幂．
【答案】D
【分析】相反数：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数．
【解答】解：A．﹣|﹣2|＝﹣2；B．（﹣2）﹣1；C.4×（）＝﹣2；D.2．
﹣2的相反数是2．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数．是解答此题的关键．
9．（2025 四川校级模拟）若1＜x＜2，则|x﹣3|的值为（　　）
A．2x﹣4 B．2 C．4﹣2x D．﹣2
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】B
【分析】根据题意确定x﹣3和x﹣1的符号，根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，
则|x﹣3|
＝3﹣x+x﹣1
＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质、绝对值的性质是解题的关键
10．（2025 沂水县校级模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算；平方根．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平方根的定义，二次根式的加法，乘法公式，二次根式的性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、，错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2026 合肥一模）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如，其中a取正整数且|r|最小，则用该方法计算的值约为　5.2　 ．
【考点】二次根式的性质与化简；平方根；分式的加减法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】5.2．
【分析】先确定与27最接近的完全平方数，从而得出a和r的值，再代入给定的近似公式计算即可．
【解答】解：由条件可知取正整数a＝5，此时r＝27﹣52＝27﹣25＝2，
根据题目中的近似公式，
由条件可得：．
【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握运算法则是关键．
12．（2026 遂宁一模）已知，则x+y的值为　　 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式．
【答案】．
【分析】因为二次根式的被开方数必须是非负数，得出x﹣2≥0且4﹣2x≥0，求x＝2，然后求出求y值，得出x+y的值．
【解答】解：由二次根式的定义可得：，
解得：x＝2，
将x＝2代入y，
解得，
∴x+y＝2，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的定义，形如，a≥0，这样的式子叫二次根式，这是解决带有二次根号问题的隐含条件．
13．（2026 南京一模）若a＞0，化简　　 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】
【分析】由于a＞0，从根号里可判断b＜0，分子、分母同乘以b，化简即可．
【解答】解：∵a＞0，∴．
【点评】注意：只有一个非负数才能开平方，开平方的结果为非负数．
14．（2025 方山县二模）计算：的结果为 　3　 ．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】3
【分析】直接根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是关键．
15．（2025 高唐县校级三模）若式子3x（x﹣1）0有意义，则x的取值范围是 x≤2且x≠1　 ．
【考点】二次根式有意义的条件；零指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≤2且x≠1．
【分析】根据被开方数大于等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意，得．
解得x≤2且x≠1．
故答案为：x≤2且x≠1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和零指数幂，二次根式的被开方数是非负数，零指数幂的底数不等于0．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 南京一模）已知，x，y均为实数，求的值．
【考点】二次根式的混合运算；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据二次根式被开方数的非负性求出x、y的值，代入代数式即可求解．
【解答】解：根据题意得：
，
解得．
将x代入得：y＝1．
∴原式＝xxx．
【点评】本题考查二次根式的混合运算和二次根式的性质与化简，掌握二次根式的非负性是解题关键．
17．（2025 蓝田县一模）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据零指数幂及负指数幂，二次根式的乘法法则即可求解．
【解答】解：
＝6+1﹣9
＝﹣2．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂及负指数幂，二次根式的乘法是解题的关键．
18．（2025 南湖区自主招生）已知a，b．
（1）求ab及a2+b2的值；
（2）求不超过a10的最大整数．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）ab＝﹣1，a2+b2＝3．
（2）122．
【分析】（1）先求出ab和a+b的值，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入计算即可；
（2）先求出a2，a4，再计算a8＝（a4）2，最后a10＝a8 a2，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵a，b，
∴ab1，
a+b1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣1）＝3；
（2）∵a2＝（）2，
∴a4＝（）2，
∴a8＝（a4）2＝（）2，
∴a10＝a8 a2 ，
∵2.236，
∴a10122，
因此，不超过a10的最大整数为122．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
19．（2025 韶关模拟）阅读下列解题过程：
1；
；
2；
…
解答下列各题
①　3　 ；
②观察下面的解题过程，请直接写出式子　　 ．
③利用这一规律计算：（）×（1）．
【考点】二次根式的混合运算；规律型：数字的变化类；平方差公式；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】①3；
②；
③2020．
【分析】①把分子分母都乘以（），然后利用平方差公式计算；
②利用分母有理化计算即可；
③先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．
【解答】解：①原式3；
故答案为3；
②；
故答案为；
③原式＝（1）（1）
＝（1）（1）
＝2021﹣1
＝2020．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（2025 深圳模拟）某班“数学兴趣小组”在学完一次函数后，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 7 m 3 1 ﹣1 ﹣3 ﹣1 1 3 5 …
表格中：m＝ 　5　 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）观察图象：
①的图象关于 　直线x＝1　 对称；
②直线y＝n与的图象有两个交点，n的取值范围是 n＞﹣3　 ；
③当﹣1＜x＜4时，y的取值范围 　﹣3≤y＜3　 ．
（4）进一步研究：若点M（x1，y1），N（x2，y2）是函数图象上任意两点，若对于1＜x1＜2，2＜x2＜3，都有y1＜y2，则t的取值范围是 t　 ．
【考点】二次根式有意义的条件；一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】平面直角坐标系；函数及其图象；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）5；
（2）①直线x＝1；②n＞﹣3；③﹣3≤y＜3；
（3）t．
【分析】（1）把x＝﹣3代入计算即可；
（2）根据函数图象的画法，描点、连线即可；
（3）①根据图象得出答案；②根据图象得出答案；③根据图象进行解得即可；
（4）根据图象的性质，对称性、增减性进行解答即可．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y＝23＝8﹣3＝5，
即m＝5，
故答案为：5；
（2）y＝23的图象如图所示：
（3）①函数y＝23的图象关于直线x＝1对称，
故答案为：直线x＝1；
②由函数的图象可知，直线y＝n与y＝23的图象有两个交点，n的取值范围为n＞﹣3，
故答案为：n＞﹣3；
③当﹣1＜x＜4时，y的取值范围﹣3≤y＜3，
故答案为：﹣3≤y＜3；
（4）若点M（x1，y1），N（x2，y2）是函数y＝23图象上任意两点，若对于1＜x1＜2，2＜x2＜3，都有y1＜y2，则t的取值范围是t，即t．
故答案为：t．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，一次函数的图象和性质，掌握二次根式有意义的条件，一次函数的图象和性质以及一次函数图象上点的坐标的特征是正确解答的关键．

展开更多......

收起↑