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第十九章 二次根式
一．选择题（共10小题）
1．化简﹣a的结果是（　　）
A． B． C． D．
2．若x2+y2＝1，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．431
C．236 D．3
4．若式子有意义，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m≥﹣2 D．m≥﹣2且m≠1
5．化简二次根式的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．下列二次根式中，不能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
7．使式子成立的条件是（　　）
A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5
8．若x＜0，则的结果是（　　）
A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．2
9．已知，则（　　）
A． B． C． D．
10．化简a的结果是（　　）
A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a
二．填空题（共5小题）
11．若有意义，则x的取值范围为　 　 ．
12．若规定符号“*”的意义是a*b＝ab﹣b2，则2*（）的值是　 　 ．
13．已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 　 　 ．
14．若，则am＝　 　 ．
15．观察下列等式：
第1个等式：a11；
第2个等式：a2；
第3个等式：a32；
第4个等式：a42；
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an＝　 　 ；
（2）a1+a2+a3+…+an＝　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．计算：42．
17．已知：x＝1，y＝1，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
18．计算：．
19．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：．
20．已知：a，b．求代数式的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．化简﹣a的结果是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵0，
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
∴﹣a，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键．
2．若x2+y2＝1，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据x2+y2＝1，可得﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，再将原式化简后确定x和y的值代入即可求解．
【解答】解：因为x2+y2＝1，
所以﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
因为，
其中y﹣2＜0，所以x+1≤0，
又因为﹣1≤x≤1，
所以x+1＝0，x＝﹣1，
所以y＝0，
所以原式
＝2+0
＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是根据已知等式确定x、y的取值范围．
3．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．431
C．236 D．3
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法．
【答案】D
【分析】分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可．
【解答】解：A.，无法合并，故此选项错误，
B.43，故此选项错误，
C.236×3＝18，故此选项错误，
D.，此选项正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．
4．若式子有意义，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m≥﹣2 D．m≥﹣2且m≠1
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】常规题型．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：
∴m≥﹣2且m≠1
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件，本题属于基础题型．
5．化简二次根式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】B
【分析】根据二次根式找出隐含条件a+2≤0，即a≤﹣2，再化简．
【解答】解：若二次根式有意义，则0，
﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣2，
∴原式．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的化简，注意要化简成最简二次根式，且不改变原式符号．
6．下列二次根式中，不能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
【解答】解：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
7．使式子成立的条件是（　　）
A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】B
【分析】根据分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数可得出答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：a＞5．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式及分式有意义的条件，难度不大，注意掌握分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数．
8．若x＜0，则的结果是（　　）
A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．2
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】D
【分析】根据二次根式的意义化简．
【解答】解：若x＜0，则x，
∴2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简．二次根式规律总结：当a≥0时，a；当a≤0时，a．
9．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的化简求值．
【答案】C
【分析】由平方关系：（）2＝（a）2﹣4，先代值，再开平方．
【解答】解：∵（）2＝（a）2﹣4
＝7﹣4＝3，
∴±．
故选：C．
【点评】本题考查了已知代数式与所求代数式关系的灵活运用，开平方运算，开平方运算时，一般要取“±”．
10．化简a的结果是（　　）
A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：a
＝﹣aa2
＝﹣aa
＝0．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．若有意义，则x的取值范围为x≥0且x≠6　 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【答案】x≥0且x≠6
【分析】应从两方面考虑x的取值范围：分母不为0和二次根式有意义．
【解答】解：由有意义，则6﹣|x|≠0且4x≥0，
解得x≥0且x≠6．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．分母上有未知数时注意分母不等于0．
12．若规定符号“*”的意义是a*b＝ab﹣b2，则2*（）的值是　45　 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】压轴题；新定义．
【答案】45
【分析】先理解“*”的意义，然后将2*（）表示出来计算即可．
【解答】解：由题意得：2*（）＝2×（1）45．
故答案为：45．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意理解“*”的意义．
13．已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 　2　 ．
【考点】分母有理化．
【专题】因式分解；二次根式；推理能力．
【答案】2．
【分析】先将x，y分母有理化化简为含n的代数式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985，结果化简为x2+y2＝98，进而求解．
【解答】解：∵x（）2＝2n+1﹣2，
y（）2＝2n+1+2，
∴x+y＝4n+2，xy＝1，
将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985，
化简得x2+y2＝98，
（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100，
∴x+y＝10．
∴4n+2＝10，
解得n＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的分母有理化，解题关键是利用整体思想求解．
14．若，则am＝　1　 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】计算题．
【答案】1
【分析】首先根据分式有意义的条件求出a的值，然后代入式子求出m的值，最后求出am的值．
【解答】解：要使有意义，则，
解得a＝2010，
故m＝0，
∴am＝20100＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出a和m的值，本题难度一般．
15．观察下列等式：
第1个等式：a11；
第2个等式：a2；
第3个等式：a32；
第4个等式：a42；
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an＝　　 ；
（2）a1+a2+a3+…+an＝　1　 ．
【考点】分母有理化．
【专题】规律型．
【答案】；1
【分析】（1）根据题意可知，a11，a2，a32，a42，…由此得出第n个等式：an；
（2）将每一个等式化简即可求得答案．
【解答】解：（1）∵第1个等式：a11，
第2个等式：a2，
第3个等式：a32，
第4个等式：a42，
∴第n个等式：an；
（2）a1+a2+a3+…+an
＝（1）+（）+（2）+（2）+…+（）
1．
故答案为；1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
三．解答题（共5小题）
16．计算：42．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝8
＝8×3
＝24．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
17．已知：x＝1，y＝1，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
【考点】二次根式的化简求值；因式分解的应用．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化简原式，代入求值即可．
【解答】解：∵x＝1，y＝1，
∴x﹣y＝（1）﹣（1）＝﹣2，
xy＝（1）（1）＝﹣1，
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）
＝7+4．
【点评】本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
18．计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝5﹣2+3﹣21
＝7﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：．
【考点】分母有理化．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分子分母分别乘即可；
（2）分子分母分别乘即可；
（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；
【解答】解：（1）
（2）化简
（3）化简：
（1）
（1）
【点评】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．
20．已知：a，b．求代数式的值．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求得a+b＝10，ab＝1，再把求值的式子化为a与b的和与积的形式，将整体代入求值即可．
【解答】解：由已知，得a+b＝10，ab＝1，
∴
．
【点评】本题关键是先求出a+b、ab的值，再将被开方数变形，整体代值．

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