资源简介

素养提升2　动态平衡和平衡中的临界、极值问题
1.★如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
2.（2025·河北高考4题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　）
A.G　　　B.G C.G　　　D.G
3.（2026·山西太原模拟）如图所示是工人师傅搬运货物所使用的“老虎车”，该车底板和背板相互垂直，工人师傅缓慢下压车把手，使背板由竖直转向水平。不计货物与老虎车间的摩擦力，则该过程中货物对底板的压力FN1、对背板的压力FN2的大小变化情况是（　　）
A.FN1逐渐增大、FN2逐渐减小
B.FN1逐渐减小、FN2逐渐增大
C.FN1先增大后减小、FN2先减小后增大
D.FN1先减小后增大、FN2先增大后减小
4.（2025·陕西渭南三模）如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为O。一只小蚂蚁缓慢地从图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知OQ与OP的夹角为θ＝45°，在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A.大理石半球对小蚂蚁的作用力变大
B.大理石半球对小蚂蚁的支持力变小
C.地面对大理石半球的摩擦力始终为零
D.地面对大理石半球的支持力变小
5.（2026·广东江门联考）如图甲所示为球馆经常使用的简易置球架，支撑篮球的两根横梁可视为光滑且水平平行，如图乙所示。当质量为m的篮球静止在置球架上时，每根横梁对篮球的弹力为N。已知篮球的半径为R，两横梁的间距为D，下列说法正确的是（　　）
A.若两横梁的间距D增大，则弹力N增大
B.若两横梁的间距D增大，则弹力N减小
C.若仅增大篮球的半径R，则弹力N增大
D.若仅增大篮球的半径R，则弹力N不变
6.（2026·安徽合肥期末）如图所示。四分之一圆弧形凹槽放在水平地面上，在其最低点A放置一个光滑的小球，用外力F把小球缓慢从A点拉到最高点B，该过程中力F始终沿着与AB平行的方向，凹槽始终相对地面静止。下列说法正确的是（　　）
A.力F的大小保持不变
B.小球所受的支持力一直增大
C.小球所受的支持力先减小后增大
D.水平地面所受的摩擦力先增大后减小
7.〔多选〕（2026·山西省临汾模拟）如图是工人在高层安装空调时吊运外机的场景示意图。一名工人甲在A点向上拉绳子AO，另一名工人乙站在水平地面上拉住另一根绳子OB，防止空调撞墙。在吊运的过程中，地面上的工人乙在缓慢后退时缓慢放绳，外机缓慢竖直上升，绳子OB与竖直方向的夹角近似不变，下列说法正确的是（　　）
A.绳子AO上的拉力不断减小
B.绳子OB上的拉力不断增大
C.地面对工人乙的支持力不断增大
D.地面对工人乙的摩擦力不断增大
8.〔多选〕（2026·湖南衡阳模拟）《天工开物》一书是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作。其中描述的利用耕牛整理田地的场景如图甲所示，简化的物理模型如图乙所示：人站在水平木板上，两根绳子相互平行垂直于木板边缘与水平地面的夹角θ＝30°，人与木板的总重力为800 N，木板与地面间的动摩擦因数μ＝，若人与木板匀速直线前进，以下说法正确的是（　　）
A.木板对地面的压力N＝640 N
B.每根绳中的拉力F＝320 N
C.若θ可调，则当绳子水平时有F最小值
D.人与木板间的摩擦力为零
9.（2026·北京海淀联考）如图，光滑圆环竖直固定在水平地面上，细线通过圆环最高点的小孔Q与套在圆环上的小球相连，拉住细线使小球静止于P处。设小球的重力为G，细线与圆环竖直直径的夹角为θ，细线对小球的拉力大小为T。拉动细线使小球沿圆环向上缓慢移动，则下列T随θ变化的图像可能正确的是（　　）
10.（2026·山东济宁期末）如图所示，一条不可伸长的轻绳两端分别系在轻杆MN两端，轻杆MN的中点为O，在轻绳上放置一轻质滑轮，滑轮与一重物相连，此时轻杆与水平方向的夹角为θ，轻绳两部分的夹角为90°。让轻杆绕O点在竖直面内顺时针缓慢转过2θ角，在此过程中关于轻绳张力大小，下列说法正确的是（　　）
A.保持不变 B.逐渐增大
C.逐渐减小 D.先增大再减小
11.（2026·山东青岛模拟）三个相同的足球按照如图所示的方式静止在一端有垂直挡板的平板上，平板与水平面的夹角为θ，现逐渐减小θ，三个足球仍能按图示状态保持静止，不计所有摩擦，则θ正切值的最小值为（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
12.（2026·江苏无锡期中）如图所示，倾角为30°的斜面固定在水平地面上，物块A与斜面间的动摩擦因数为，轻绳一端通过两个滑轮与物块A相连，另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦及滑轮的质量。已知物块A的质量mA＝1 kg，连接物块A的轻绳与斜面平行，挂上物块B后，滑轮两边轻绳的夹角为90°，物块A、B都保持静止，重力加速度取g＝10 m/s2，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若挂上物块B后，物块A恰好不受摩擦力作用，求轻绳的拉力F拉的大小；
（2）若物块B的质量mB＝ kg，求物块A受到的摩擦力的大小和方向；
（3）若物块A刚好不滑动，物块B质量的最小值和最大值分别是多大？
素养提升2　动态平衡和平衡中的临界、极值问题
1.B　根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有mgsin 30°≤μmgcos 30°，可得μ≥tan 30°＝，故B正确。
2.B　当凹槽底部对小球支持力为零时，拉力F最大，根据平衡条件有2Fmcos 45°＝G，解得Fm＝G，故选B。
3.B　设背板与竖直方向的夹角为θ，货物的重力为G，则θ从0°增加到90°，以货物为研究对象，根据平衡条件和牛顿第三定律可得FN1＝FN1'＝Gcos θ，FN2＝FN2'＝Gsin θ，可知FN1逐渐减小到零，FN2逐渐增大到G。故选B。
4.C　小蚂蚁受力示意图如图所示，可知大理石半球对小蚂蚁的作用力为支持力与静摩擦力的合力，大小始终等于蚂蚁的重力，保持不变，故A错误；蚂蚁受到的静摩擦力为f＝mgsin θ，蚂蚁受到的支持力为FN＝mgcos θ，小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向P点的过程中θ逐渐变小，则小蚂蚁受到的支持力变大，静摩擦力变小，故B错误；选取大理石半球与小蚂蚁组成的整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，所以大理石半球受到地面的支持力大小等于二者重力的合力，保持不变，大理石半球与地面之间没有摩擦力的作用，故C正确，D错误。
5.A　对篮球进行受力分析，其受力示意图如图所示，根据平衡条件可得mg＝2Ncos θ，又cos θ＝，解得N＝，则两横梁的间距D增大时，弹力N增大，篮球的半径R增大时，弹力N减小，故A正确。
6.C　对小球进行受力分析，其受力图如图所示，由题意可知，F的方向不变，则当小球沿圆弧上滑时，F一直增加，小球受的支持力N先减小后增大，选项A、B错误，C正确；对小球和凹槽整体分析可知，水平地面受的摩擦力等于F的水平分力，因F变大，且方向不变，可知F的水平分量变大，即水平地面所受的摩擦力一直增大，选项D错误。
7.BD　对外机受力分析，分别受工人甲、乙的拉力F1、F2和自身重力mg而平衡，外机受力如图所示。
将这三个力构成矢量三角形，如图所示。由图可知，工人乙在缓慢后退时缓慢放绳的过程中，β不变，α逐渐增大，F1、F2均增大，故A错误，B正确；β不变，绳子的拉力F2增大，则绳子的拉力F2在竖直方向的分力增大，对于工人乙，由平衡条件易得地面对工人乙的支持力不断变小，绳子的拉力F2在水平方向的分力增大，可知地面对工人乙的摩擦力不断增大，故C错误，D正确。
8.AD　以人与木板为研究对象，设地面对木板的支持力为N'，根据平衡条件可得2Fcos θ＝f，2Fsin θ＋N'＝mg，又f＝μN'，联立解得F＝160 N，N'＝640 N，根据牛顿第三定律，可知木板对地面的压力大小N＝N'＝640 N，故A正确，B错误；若θ可调，联立以上各式可得F＝＝，其中cos α＝，sin α＝，可知当α＝θ时，F有最小值，则有tan α＝＝μ＝，故C错误；因人与木板匀速直线前进，人所受的合外力为零，则人水平方向不受摩擦力，故人与木板间的摩擦力为零，故D正确。
9.D　对小球进行受力分析，小球受到重力G、细线的拉力T与圆环的弹力N三个力的作用，令圆环的圆心为O，半径为R，则重力方向竖直向下，细线拉力方向沿细线，圆环弹力方向沿半径过圆心，如图所示，根据相似三角形有＝，根据几何关系有xPQ＝2Rcos θ，解得T＝2Gcos θ，可知，T随θ变化的图像为余弦曲线关系，且最大值为2G，只有D项符合要求，故D正确。
10.D　如图所示，轻杆MN与水平方向的夹角θ（θ＜90°）越大，MN之间的水平距离d越小，由于滑轮两侧轻绳拉力相等，滑轮左右两侧轻绳与竖直方向的夹角相等，令该夹角为α，轻绳长为L，则有sin α＝，可知，若θ越大，d越小，则α越小，根据平衡条件有mg＝2Tcos α，可得T＝，在圆环从图示位置在纸面内绕O点顺时针缓慢转过2θ的过程中，MN之间的水平距离d先增大后减小，即α先增大后减小，cos α先减小后增大，可知，轻绳的张力先增大再减小，故D正确。
11.A　当θ取最小时，右上方的足球即将与平板发生相对滑动，平板上的两足球间恰好无弹力，对最右边足球进行受力分析、建立直角坐标系如图所示，沿x轴方向，根据平衡条件有mgsin θ＝Fcos 60°；当θ取最小时，对最上面足球受力分析，如图所示。
根据平衡条件有mgsin θ＋Fcos 60°＝F1cos 60°，mgcos θ＝Fsin 60°＋F1sin 60°，联立解得tan θ＝，即平板与水平面夹角θ的正切值的最小值为，故选A。
12.（1）5 N　（2） N，沿斜面向上　（3） kg， kg
解析：（1）绕过滑轮的轻绳的拉力处处相等，对物块A受力分析如图所示
A恰好不受摩擦力作用，则沿斜面方向
T＝F拉＝mAgsin 30°
解得F拉＝0.5mAg＝5 N。
（2）对物块B受力分析，设轻绳对物块B的拉力为T'，则由平衡条件有2T'sin 45°＝mBg
已知mB＝ kg，解得T'＝ N
再对物块 A受力分析，因为T'＜mAgsin 30°，A有下滑趋势，故受到的静摩擦力f沿斜面向上，则由平衡条件有 mAgsin 30°＝T'＋f
解得A受到的静摩擦力大小为 f＝ N。
（3）设物块A刚好要沿斜面向上滑时，物块B的质量最大为MB1，此时轻绳拉力为
F1＝mAgsin 30°＋μmAgcos 30°＝mAg
对B受力分析有 2F1sin 45°＝MB1g
解得物块B的最大质量为 MB1＝ kg
物块A刚好要沿斜面向下滑时，物块B的质量最小为MB2，此时轻绳拉力为
F2＝mAgsin 30°－μmAgcos 30°＝mAg
对B受力分析有 2F2sin 45°＝MB2g
解得物块B的最小质量为 MB2＝ kg。
1 / 1素养提升2　动态平衡和平衡中的临界、极值问题
1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值，并会进行相关计算。
提升点一　动态平衡问题
　〔人教版必修第一册P81·T5改编〕如图，用轻质柔软的细线将一质量为m的小球悬挂于天花板上的O点，小球在外力F、细线的拉力F1及自身重力mg的作用下处于平衡状态。初始时F水平，细线与竖直方向夹角为θ，与F的夹角为α。
（1）保持F水平，缓慢增大θ角，分析F 和F1如何变化？
（2）保持小球位置不变，缓慢减小α角直至α＝θ，分析F如何变化？
（3）保持α角不变，缓慢增大θ角，直至细线水平，则F如何变化？
　动态平衡问题常用方法
方法 适用情况 常见实例
解析法 物体受三个力的作用，一个力恒定，另一个力始终与恒力垂直，三力可以构成直角三角形
图示法 物体受三个力作用，一个力恒定（如重力），另一个力方向不变（大小一般改变），第三个力大小、方向都变化
相似 三角 形法 物体受三个力作用，一个力恒定（通常是重力），另外两个力的方向均发生变化，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形 ＝＝
动态 圆法 物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变（通常是重力），另外两个力方向、大小都在变，但两力的夹角不变
点拨：动态圆法也叫辅助圆法，通常能用动态圆法求解的问题也可用拉密定理法（或正弦定理法）求解。
拉密定理：同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任意一个力与其他两个力夹角正弦的比值相等，即＝＝。其实质就是正弦定理的变形。
（2025·黑龙江哈尔滨二模）如图所示，一辆静止在水平地面的卡车利用缆绳，沿固定斜面向上缓慢拉动轿车，忽略轿车与斜面的摩擦，不计缆绳质量，则在轿车向上运动的过程中（　　）
A.轿车所受合外力变大
B.缆绳的拉力变大
C.斜面对轿车的支持力变大
D.地面所受的摩擦力变大
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
★（2026·河北廊坊期末）如图甲所示是某中学科技馆外部照片，该建筑外形呈球形，表面可视为光滑球面。该球面对应的圆心为O、半径R＝3 m。现要在其顶部安装一质量为1 kg的球形光滑零件（可视为质点）。如图乙所示，工作人员用一轻质细绳一端系住零件，另一端连在吊装机的小滑轮上，吊装机的左端小滑轮始终在球心O正上方5 m处。现转动滑轮收缩轻绳使零件从图示位置的A点缓慢移动到球形建筑物顶端的B点，整个过程零件始终没有脱离球面。A点到小滑轮的距离为4 m，重力加速度大小为g＝10 m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A.零件静止在A点时，圆形球面对零件的支持力大小FN＝5 N
B.零件静止在A点时，绳对零件的拉力大小FT＝10 N
C.缓慢地收轻绳使零件由A移动到B，该过程中零件所受支持力大小先变小后变大
D.缓慢地收轻绳使零件由A移动到B，该过程中绳子拉力逐渐变小
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
★（2026·福建厦门联考）铲车在基建中发挥了一定作用，其铲斗结构简易图如图乙所示，铲斗DC和BA边延长线夹角为45°，由于运输需要铲斗逆时针缓慢转动，当AB边与水平夹角θ从15°转到90°的过程中，AB和CD边分别对石头的作用力F1和F2，下列说法正确的是（　　）
A.F1一直增大 B.F1先减小后增大
C.F2先增大后减小 D.F2一直增大
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·天津滨海联考）抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者右手控制A点不动，左手控制B点沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　）
A.沿虚线a向左移动，空竹的高度不变 B.沿虚线b向上移动，细线与竖直方向的夹角不变
C.沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变 D.沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力减小
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
“晾衣绳类”模型 1.模型特点 悬挂点（“活结”）：两侧轻绳上拉力大小相等。2.结论 （1）如图，夹角θ只与横向间距d和绳长L有关，与悬挂重物的质量m无关，而拉力F的大小与夹角θ和重物质量m有关。
　
（2）若横向间距d不变，在竖直方向上移动结点A或B，夹角θ与轻绳拉力均不变；若横向间距d变大，则夹角θ减小，轻绳拉力F增大。
提升点二　平衡中的临界与极值问题
　　
1.临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等词语。
2.极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值。
3.解决临界、极值问题的方法
图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值
极限法 首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端（极大或极小），从而找出临界点或极值点
解析法 通过对问题的分析，依据平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、三角函数极值等）
（2026·吉林长春期末）如图所示，小球a质量为m，小球b质量为3m，它们用细线相连并悬挂于O点。现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为θ＝45°，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g。则弹簧形变量最小值是（　　）
A. B.
C. D.
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
我国明代综合性科技巨著《天工开物》中的《五金》篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为15°，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为（　　）
A.mg B.mg
C.mg D.mg
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
巧用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡 　　在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α＝ ＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。
　（2026·山东日照一模）如图所示，水平地面上固定着一个竖直圆形轨道，圆心为O，轨道内壁光滑。轨道内放置一个质量为m的小球，在水平拉力F的作用下静止在轨道内侧A点，AO连线与竖直方向的夹角θ＝30°，轨道对小球的支持力大小为FN，重力加速度为g。改变拉力F，小球始终静止在A点。下列说法正确的是（　　）
A.将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，F的最小值为mg
B.将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，FN的最小值为mg
C.将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，F先减小后增大
D.将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，FN的最小值为2mg
素养提升2　动态平衡和平衡中的临界、极值问题
提升点一
寻规探律
　提示：（1）保持F水平，由平衡条件得F1cos θ＝mg，F＝mgtan θ，缓慢增大θ角，则cos θ逐渐减小，tan θ逐渐增大，则F1、F都逐渐增大。
（2）对小球受力分析，作出各力矢量图如图所示，
小球受重力mg、外力F和细线拉力F1作用，保持小球位置不变，即θ角不变，缓慢减小α角直至α＝θ，由图可知，外力F先减小后增大。
（3）保持α角不变，增大θ角，直至细线水平，细线和F的方向都逆时针转动，如图所示
由图可知，细线的拉力F1水平时，外力F最大，所以该过程外力F逐渐增大。
【例1】　B　轿车缓慢向上移动的过程中受力平衡，合外力一直为0，A错误；轿车向上移动过程中，缆绳与竖直方向的夹角越来越小，如图所示，则缆绳拉力越来越大，斜面对轿车的支持力变小，B正确，C错误；对整个系统受力分析可知，地面所受摩擦力为0，D错误。
【例2】　D　零件受力示意图如图所示。可知力的矢量三角形与几何三角形AOO'相似，则有＝＝，解得FN＝6 N，FT＝8 N，故A、B错误；缓慢地拉轻绳使零件由A运动到B，其中mg、h、R均不变，L逐渐减小，根据FN＝，FT＝可知，FN不变，FT变小。故C错误，D正确。
【例3】　D　对铲斗逆时针缓慢转动过程，做出如图所示的动态圆，可得F1先增大后减小，故A、B错误；F2一直增大，故C错误，D正确。
【例4】　B　空竹受力如图所示，由于空竹缓慢移动，则其受力平衡，由平衡条件可知2Fsin θ＝mg，设绳长为L，由几何关系可知cos θ＝，当一只手沿虚线a缓慢向左移动时，d减小，θ增大，空竹的高度降低，故A错误；沿虚线b向上移动，d不变，θ不变，故B正确；沿虚线c斜向上移动，d增大，θ减小，细线的拉力增大，故C错误；沿虚线d向右移动，d增大，θ减小，细线对空竹的合力始终等于空竹的重力，所以细线对空竹的合力不变，故D错误。
提升点二
【例5】　B　对整体进行受力分析，如图。根据三角形定则可知当弹簧上的拉力F与细线上的拉力垂直时，拉力F最小，为Fmin＝4mgsin θ＝2mg，故弹簧最小形变量为Δx＝＝，故选B。
【例6】　A　方法一、解析法
设拉力F与斜面夹角为θ，根据矿石匀速向上运动，在垂直于斜面方向：FN＋Fsin θ＝mgcos 15°，沿斜面方向上：Fcos θ＝μFN＋mgsin 15°，联立以上两式可得F＝，结合三角函数知识可得，当θ＝30°时，此时F最小，故F的最小值为mg，故A正确。
方法二、利用“摩擦角”速求极值
对矿石受力分析如图
将FN与Ff合成，设其合力方向与FN成α夹角，易知tan α＝＝，得α＝30°，分别作出FN、FN与Ff合力的反向延长线，可知重力与FN的反向延长线夹角与斜面倾角相等，即β＝15°，由几何关系得，过重力的下端点作FN与Ff合力反向延长线的垂线，即为所需的拉力最小值，Fmin＝mgsin（α＋β），得Fmin＝mg，故A正确。
强化训练
　B　将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，小球始终静止在A点，根据三角形定则，画出小球的受力变化情况，如图所示，由图中可以看出，F先变小后变大，当F与FN垂直时拉力最小为Fmin＝mgsin 30°＝mg，FN一直减小，根据正弦定理可知最小值为＝，
解得FNmin＝mg，故A错误，B正确；将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，如图。则拉力F、FN都在增大，FN的最小值为FNmin'＝＝mg，故C、D错误。
1 / 1(共59张PPT)
素养提升2　
动态平衡和平衡中的临界、极值问题
目标要求
1. 学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。
2. 会分析平衡中的临界与极值，并会进行相关计算。
目 录
CONTENTS
提升点一　动态平衡问题
提升点二　平衡中的临界与极值问题
课时跟踪检测
提升点一　动态平衡问题
　〔人教版必修第一册P81·T5改编〕如图，用轻质柔软的细线将一质量为
m的小球悬挂于天花板上的O点，小球在外力F、细线的拉力F1及自身重力
mg的作用下处于平衡状态。初始时F水平，细线与竖直方向夹角为θ，与F
的夹角为α。
（1）保持F水平，缓慢增大θ角，分析F 和F1如何变化？
提示： 保持F水平，由平衡条件得F1cos θ＝mg，F＝
mgtan θ，缓慢增大θ角，则cos θ逐渐减小，tan θ逐渐增
大，则F1、F都逐渐增大。
（2）保持小球位置不变，缓慢减小α角直至α＝θ，分析F如何变化？
提示：对小球受力分析，作出各力矢量图如图所示，
小球受重力mg、外力F和细线拉力F1作用，保持小球位置
不变，即θ角不变，缓慢减小α角直至α＝θ，由图可知，外
力F先减小后增大。
（3）保持α角不变，缓慢增大θ角，直至细线水平，则F如何变化？
提示： 保持α角不变，增大θ角，直至细线水平，细
线和F的方向都逆时针转动，如图所示
由图可知，细线的拉力F1水平时，外力F最大，所以该过
程外力F逐渐增大。
　动态平衡问题常用方法
方法 适用情况 常见实例
解析法 物体受三个力的作用，一个力恒定，另一
个力始终与恒力垂直，三力可以构成直角
三角形
图示法 物体受三个力作用，一个力恒定（如重
力），另一个力方向不变（大小一般改
变），第三个力大小、方向都变化
方法 适用情况 常见实例
相似三
角形法 物体受三个力作用，一个力恒定（通常是
重力），另外两个力的方向均发生变化，
但可以找到与力构成的矢量三角形相似的
几何三角形
＝＝
动态 圆法 物体受三个力作用，一个力大小、方向均
不变（通常是重力），另外两个力方向、
大小都在变，但两力的夹角不变
点拨：动态圆法也叫辅助圆法，通常能用动态圆法求解的问题也可用拉密
定理法（或正弦定理法）求解。拉密定理：同一平面内，当三个共点力的
合力为零时，其中任意一个力与其他两个力夹角正弦的比值相等，即
＝＝。其实质就是正弦定理的变形。
（2025·黑龙江哈尔滨二模）如图所示，一辆静止在水平地面的卡车利
用缆绳，沿固定斜面向上缓慢拉动轿车，忽略轿车与斜面的摩擦，不计缆
绳质量，则在轿车向上运动的过程中（　B　）
A. 轿车所受合外力变大
B. 缆绳的拉力变大
C. 斜面对轿车的支持力变大
D. 地面所受的摩擦力变大
B
解析：轿车缓慢向上移动的过程中受力平衡，合外力一直为0，A
错误；轿车向上移动过程中，缆绳与竖直方向的夹角越来越小，
如图所示，则缆绳拉力越来越大，斜面对轿车的支持力变小，B
正确，C错误；对整个系统受力分析可知，地面所受摩擦力为0，
D错误。
★（2026·河北廊坊期末）如图甲
所示是某中学科技馆外部照片，该建
筑外形呈球形，表面可视为光滑球面。
该球面对应的圆心为O、半径R＝3
m。现要在其顶部安装一质量为1 kg的球形光滑零件（可视为质点）。如
图乙所示，工作人员用一轻质细绳一端系住零件，另一端连在吊装机的小
滑轮上，吊装机的左端小滑轮始终在球心O正上方5 m处。现转动滑轮收缩
轻绳使零件从图示位置的A点缓慢移动到球形建筑物顶端的B点，整个过程
零件始终没有脱离球面。A点到小滑轮的距离为4 m，重力加速度大小为g
＝10 m/s2，则下列说法正确的是（　D　）
D
A. 零件静止在A点时，圆形球面对零件的支持力大小FN＝5 N
B. 零件静止在A点时，绳对零件的拉力大小FT＝10 N
C. 缓慢地收轻绳使零件由A移动到B，该过程中零件所受支持力大小先变
小后变大
D. 缓慢地收轻绳使零件由A移动到B，该过程中绳子拉力逐渐变小
解析：零件受力示意图如图所示。可知力的矢量三角形与几
何三角形AOO'相似，则有＝＝，解得FN＝6 N，FT＝
8 N，故A、B错误；缓慢地拉轻绳使零件由A运动到B，其中
mg、h、R均不变，L逐渐减小，根据FN＝，FT＝可
知，FN不变，FT变小。故C错误，D正确。
★（2026·福建厦门联考）铲车在基建中发挥了一定作用，其铲斗结构
简易图如图乙所示，铲斗DC和BA边延长线夹角为45°，由于运输需要铲
斗逆时针缓慢转动，当AB边与水平夹角θ从15°转到90°的过程中，AB和
CD边分别对石头的作用力F1和F2，下列说法正确的是（　D　）
D
A. F1一直增大 B. F1先减小后增大
C. F2先增大后减小 D. F2一直增大
解析：对铲斗逆时针缓慢转动过程，做出如图所示的动态圆，可得F1先增大后减小，故A、B错误；F2一直增大，故C错误，D正确。
（2026·天津滨海联考）抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者右
手控制A点不动，左手控制B点沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动
的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法
正确的是（　B　）
B
A. 沿虚线a向左移动，空竹的高度不变
B. 沿虚线b向上移动，细线与竖直方向
的夹角不变
C. 沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变
D. 沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力减小
解析：空竹受力如图所示，由于空竹缓慢移动，则其受力
平衡，由平衡条件可知2Fsin θ＝mg，设绳长为L，由几何
关系可知cos θ＝，当一只手沿虚线a缓慢向左移动时，d
减小，θ增大，空竹的高度降低，故A错误；沿虚线b向上
移动，d不变，θ不变，故B正确；沿虚线c斜向上移动，d
增大，θ减小，细线的拉力增大，故C错误；沿虚线d向右移动，d增大，θ减小，细线对空竹的合力始终等于空竹的重力，所以细线对空竹的合力不变，故D错误。
“晾衣绳类”模型
1. 模型特点
悬挂点（“活结”）：两侧轻绳上拉力大小相等。
2. 结论
（1）如图，夹角θ只与横向间距d和绳长L有关，与悬挂重物的质量m无关，而拉力F的大小与夹角θ和重物质量m有关。
（2）若横向间距d不变，在竖直方向上移动结点A或B，夹角θ与轻绳拉力
均不变；若横向间距d变大，则夹角θ减小，轻绳拉力F增大。
提升点二　平衡中的临界与极值问题
1. 临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使
物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常
用“刚好”“恰能”“恰好”等词语。
2. 极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或
最小值。
图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利
用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值
极限法 首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极
端（极大或极小），从而找出临界点或极值点
解析法 通过对问题的分析，依据平衡条件写出物理量之间的函数关系
（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极
值、三角函数极值等）
3. 解决临界、极值问题的方法
（2026·吉林长春期末）如图所示，小球a质量为m，小球b质量为3m，
它们用细线相连并悬挂于O点。现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，
使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为θ＝45°，已知弹簧的
劲度系数为k，重力加速度为g。则弹簧形变量最小值是（　B　）
B
A. B.
C. D.
解析：对整体进行受力分析，如图。根据三角形定则可知
当弹簧上的拉力F与细线上的拉力垂直时，拉力F最小，为
Fmin＝4mgsin θ＝2mg，故弹簧最小形变量为Δx＝＝
，故选B。
我国明代综合性科技巨著《天工开物》中的《五金》篇中提到为了将
矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智
慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为15°，方形矿石与斜面间的动摩擦
因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上
滑，所需的拉力最小值为（　A　）
A
A. mg B. mg
C. mg D. mg
解析：方法一、解析法
设拉力F与斜面夹角为θ，根据矿石匀速向上运动，
在垂直于斜面方向：FN＋Fsin θ＝mgcos 15°，沿斜
面方向上：Fcos θ＝μFN＋mgsin 15°，联立以上两式
可得F＝，结合三角函数知识
可得，当θ＝30°时，此时F最小，故F的最小值为
mg，故A正确。
对矿石受力分析如图。将FN与Ff合成，设其合力方向
与FN成α夹角，易知tan α＝＝，得α＝30°，分别
作出FN、FN与Ff合力的反向延长线，可知重力与FN
的反向延长线夹角与斜面倾角相等，即β＝15°，由
几何关系得，过重力的下端点作FN与Ff合力反向延长线的垂线，即为所需的拉力最小值，Fmin＝mgsin（α＋β），得Fmin＝mg，故A正确。
方法二、利用“摩擦角”速求极值
巧用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡
　　在力的方向发生变化的平衡问题中求力的
极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利
用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从
而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α＝ ＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。
　（2026·山东日照一模）如图所示，水平地面上固定
着一个竖直圆形轨道，圆心为O，轨道内壁光滑。轨道
内放置一个质量为m的小球，在水平拉力F的作用下静止
在轨道内侧A点，AO连线与竖直方向的夹角θ＝30°，
轨道对小球的支持力大小为FN，重力加速度为g。改变拉
力F，小球始终静止在A点。下列说法正确的是（　　）
A. 将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，F的最小值为mg
B. 将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，FN的最小值为mg
C. 将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，F先减小后增大
D. 将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，FN的最小值为2mg
√
解析： 　将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，小球始终静
止在A点，根据三角形定则，画出小球的受力变化情况，如图所
示，由图中可以看出，F先变小后变大，当F与FN垂直时拉力最
小为Fmin＝mgsin 30°＝mg，FN一直减小，根据正弦定理可知
最小值为＝，解得FNmin＝mg，故A错误，B正确；将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，如图。则拉力F、FN都在增大，FN的最小值为FNmin'＝＝mg，故C、D错误。
课时跟踪检测
1. ★如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾
角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　）
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
解析： 　根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上
稳定地站立和行走，对“天工”分析有mgsin 30°≤μmgcos 30°，可得
μ≥tan 30°＝，故B正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2025·河北高考4题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平
面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的
小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力
F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最
低点，则F的最大值为（　　）
A. G B. G C. G D. G
√
解析： 　当凹槽底部对小球支持力为零时，拉力F最大，根据平衡条件有
2Fmcos 45°＝G，解得Fm＝G，故选B。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （2026·山西太原模拟）如图所示是工人师傅搬运货物所使用的“老虎
车”，该车底板和背板相互垂直，工人师傅缓慢下压车把手，使背板由竖
直转向水平。不计货物与老虎车间的摩擦力，则该过程中货物对底板的压
力FN1、对背板的压力FN2的大小变化情况是（　　）
A. FN1逐渐增大、FN2逐渐减小
B. FN1逐渐减小、FN2逐渐增大
C. FN1先增大后减小、FN2先减小后增大
D. FN1先减小后增大、FN2先增大后减小
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　设背板与竖直方向的夹角为θ，货物的重力为G，则θ从0°增加
到90°，以货物为研究对象，根据平衡条件和牛顿第三定律可得FN1＝FN1'
＝Gcos θ，FN2＝FN2'＝Gsin θ，可知FN1逐渐减小到零，FN2逐渐增大到G。
故选B。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （2025·陕西渭南三模）如图所示，一个大理石半球静置在水平地面
上，球心为O。一只小蚂蚁缓慢地从图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P，
运动过程中大理石半球始终保持静止。已知OQ与OP的夹角为θ＝45°，在
此过程中，下列说法正确的是（　　）
A. 大理石半球对小蚂蚁的作用力变大
B. 大理石半球对小蚂蚁的支持力变小
C. 地面对大理石半球的摩擦力始终为零
D. 地面对大理石半球的支持力变小
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 小蚂蚁受力示意图如图所示，可知大理石半
球对小蚂蚁的作用力为支持力与静摩擦力的合力，大小
始终等于蚂蚁的重力，保持不变，故A错误；蚂蚁受到
的静摩擦力为f＝mgsin θ，蚂蚁受到的支持力为FN＝
mgcos θ，小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向P点的过程中θ逐渐变小，则小蚂蚁受到的支持力变大，静摩擦力变小，故B错误；选取大理石半球与小蚂蚁组成的整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，所以
大理石半球受到地面的支持力大小等于二者重力的合力，保持不变，大理石半球与地面之间没有摩擦力的作用，故C正确，D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. （2026·广东江门联考）如图甲所示为球馆经常使用的简易置球架，支
撑篮球的两根横梁可视为光滑且水平平行，如图乙所示。当质量为m的篮
球静止在置球架上时，每根横梁对篮球的弹力为N。已知篮球的半径为R，
两横梁的间距为D，下列说法正确的是（　　）
A. 若两横梁的间距D增大，则弹力N增大
B. 若两横梁的间距D增大，则弹力N减小
C. 若仅增大篮球的半径R，则弹力N增大
D. 若仅增大篮球的半径R，则弹力N不变
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　对篮球进行受力分析，其受力示意图如图所示，根
据平衡条件可得mg＝2Ncos θ，又cos θ＝，解得N＝
，则两横梁的间距D增大时，弹力N增大，篮球的半径R
增大时，弹力N减小，故A正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. （2026·安徽合肥期末）如图所示。四分之一圆弧形凹槽放在水平地面
上，在其最低点A放置一个光滑的小球，用外力F把小球缓慢从A点拉到最
高点B，该过程中力F始终沿着与AB平行的方向，凹槽始终相对地面静止。
下列说法正确的是（　　）
A. 力F的大小保持不变
B. 小球所受的支持力一直增大
C. 小球所受的支持力先减小后增大
D. 水平地面所受的摩擦力先增大后减小
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　对小球进行受力分析，其受力图如图所示，由题意
可知，F的方向不变，则当小球沿圆弧上滑时，F一直增加，
小球受的支持力N先减小后增大，选项A、B错误，C正确；对
小球和凹槽整体分析可知，水平地面受的摩擦力等于F的水平
分力，因F变大，且方向不变，可知F的水平分量变大，即水
平地面所受的摩擦力一直增大，选项D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 〔多选〕（2026·山西省临汾模拟）如图是工人在高层安装空调时吊运
外机的场景示意图。一名工人甲在A点向上拉绳子AO，另一名工人乙站在
水平地面上拉住另一根绳子OB，防止空调撞墙。在吊运的过程中，地面上
的工人乙在缓慢后退时缓慢放绳，外机缓慢竖直上升，绳子OB与竖直方向
的夹角近似不变，下列说法正确的是（　　）
A. 绳子AO上的拉力不断减小
B. 绳子OB上的拉力不断增大
C. 地面对工人乙的支持力不断增大
D. 地面对工人乙的摩擦力不断增大
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　对外机受力分析，分别受工
人甲、乙的拉力F1、F2和自身重力mg而
平衡，外机受力如图所示。将这三个力
构成矢量三角形，如图所示。由图可
知，工人乙在缓慢后退时缓慢放绳的过程中，β不变，α逐渐增大，F1、F2均增大，故A错误，B正确；β不变，绳子的拉力F2增大，则绳子的拉力F2在竖直方向的分力增大，对于工人乙，由平衡条件易得地面对工人乙的支持力不断变小，绳子的拉力F2在水平方向的分力增大，可知地面对工人乙的摩擦力不断增大，故C错误，D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 〔多选〕（2026·湖南衡阳模拟）《天工开物》一书是世界上第一部关
于农业和手工业生产的综合性著作。其中描述的利用耕牛整理田地的场景
如图甲所示，简化的物理模型如图乙所示：人站在水平木板上，两根绳子
相互平行垂直于木板边缘与水平地面的夹角θ＝30°，人与木板的总重力
为800 N，木板与地面间的动摩擦因数μ＝，若人与木板匀速直线前进，
以下说法正确的是（　　）
A. 木板对地面的压力N＝640 N
B. 每根绳中的拉力F＝320 N
C. 若θ可调，则当绳子水平时有F最小值
D. 人与木板间的摩擦力为零
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 以人与木板为研究对象，设地面对木板的支持力为N'，根据平
衡条件可得2Fcos θ＝f，2Fsin θ＋N'＝mg，又f＝μN'，联立解得F＝160 N，
N'＝640 N，根据牛顿第三定律，可知木板对地面的压力大小N＝N'＝640
N，故A正确，B错误；若θ可调，联立以上各式可得F＝＝
，其中cos α＝，sin α＝，可知当α＝θ时，F有最
小值，则有tan α＝＝μ＝，故C错误；因人与木板匀速直线前进，人
所受的合外力为零，则人水平方向不受摩擦力，故人与木板间的摩擦力为
零，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. （2026·北京海淀联考）如图，光滑圆环竖直固定在水平地面上，细线
通过圆环最高点的小孔Q与套在圆环上的小球相连，拉住细线使小球静止
于P处。设小球的重力为G，细线与圆环竖直直径的夹角为θ，细线对小球
的拉力大小为T。拉动细线使小球沿圆环向上缓慢移动，则下列T随θ变化
的图像可能正确的是（　　）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　对小球进行受力分析，小球受到重力G、细线的
拉力T与圆环的弹力N三个力的作用，令圆环的圆心为O，半
径为R，则重力方向竖直向下，细线拉力方向沿细线，圆环
弹力方向沿半径过圆心，如图所示，根据相似三角形有＝
，根据几何关系有xPQ＝2Rcos θ，解得T＝2Gcos θ，可
知，T随θ变化的图像为余弦曲线关系，且最大值为2G，只有D项符合要求，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. （2026·山东济宁期末）如图所示，一条不可伸长的
轻绳两端分别系在轻杆MN两端，轻杆MN的中点为O，
在轻绳上放置一轻质滑轮，滑轮与一重物相连，此时轻
杆与水平方向的夹角为θ，轻绳两部分的夹角为90°。
让轻杆绕O点在竖直面内顺时针缓慢转过2θ角，在此过程中关于轻绳张力
大小，下列说法正确的是（　　）
A. 保持不变 B. 逐渐增大
C. 逐渐减小 D. 先增大再减小
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　如图所示，轻杆MN与水平方向的夹角θ（θ＜
90°）越大，MN之间的水平距离d越小，由于滑轮两侧
轻绳拉力相等，滑轮左右两侧轻绳与竖直方向的夹角相
等，令该夹角为α，轻绳长为L，则有sin α＝，可知，若
θ越大，d越小，则α越小，根据平衡条件有mg＝2Tcos
α，可得T＝，在圆环从图示位置在纸面内绕O点顺时针缓慢转过2θ的过程中，MN之间的水平距离d先增大后减小，即α先增大后减小，cos α先减小后增大，可知，轻绳的张力先增大再减小，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （2026·山东青岛模拟）三个相同的足球按照如图所示的方式静止在一
端有垂直挡板的平板上，平板与水平面的夹角为θ，现逐渐减小θ，三个足
球仍能按图示状态保持静止，不计所有摩擦，则θ正切值的最小值为
（　　）
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　当θ取最小时，右上方的足球即将与平板发生
相对滑动，平板上的两足球间恰好无弹力，对最右边足
球进行受力分析、建立直角坐标系如图所示，沿x轴方
向，根据平衡条件有mgsin θ＝Fcos 60°；当θ取最小时，
对最上面足球受力分析，如图所示。
根据平衡条件有mgsin θ＋Fcos 60°＝F1cos 60°，
mgcos θ＝Fsin 60°＋F1sin 60°，联立解得tan θ
＝，即平板与水平面夹角θ的正切值的最小值
为，故选A。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （2026·江苏无锡期中）如图所示，倾角为30°
的斜面固定在水平地面上，物块A与斜面间的动
摩擦因数为，轻绳一端通过两个滑轮与物块A
相连，另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦及滑轮的质量。已知物块A的质量mA＝1 kg，连接物块A的轻绳与斜面平行，挂上物块B后，滑轮两边轻绳的夹角为90°，物块A、B都保持静止，重力加速度取g＝10
m/s2，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案： 5 N　
（1）若挂上物块B后，物块A恰好不受摩擦力作用，求轻绳的拉力F拉
的大小；
解析： 绕过滑轮的轻绳的拉力处处相等，对
物块A受力分析如图所示
A恰好不受摩擦力作用，则沿斜面方向
T＝F拉＝mAgsin 30°
解得F拉＝0.5mAg＝5 N。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2）若物块B的质量mB＝ kg，求物块A受到的摩擦力的大小和方向；
答案： N，沿斜面向上　
解析：对物块B受力分析，设轻绳对物块B的拉力为T'，则由平衡条件有
2T'sin 45°＝mBg
已知mB＝ kg，解得T'＝ N
再对物块 A受力分析，因为T'＜mAgsin 30°，A有下滑趋势，故受到的静摩
擦力f沿斜面向上，则由平衡条件有 mAgsin 30°＝T'＋f
解得A受到的静摩擦力大小为 f＝ N。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（3）若物块A刚好不滑动，物块B质量的最小值和最大值分别是多大？
答案： kg， kg
解析：设物块A刚好要沿斜面向上滑时，物块B的质量最大为MB1，此时轻绳
拉力为
F1＝mAgsin 30°＋μmAgcos 30°＝mAg
对B受力分析有 2F1sin 45°＝MB1g
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解得物块B的最大质量为 MB1＝ kg
物块A刚好要沿斜面向下滑时，物块B的质量最小为MB2，此时轻绳拉力为
F2＝mAgsin 30°－μmAgcos 30°＝mAg
对B受力分析有 2F2sin 45°＝MB2g
解得物块B的最小质量为 MB2＝ kg。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑