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第5节　科学验证：机械能守恒定律
1．知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化。　2.会正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件。　3.在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能应用机械能守恒定律解决简单问题。　4.掌握验证机械能守恒的原理及数据处理方法。
第1课时　机械能守恒定律
一、机械能
1．定义：运动的物体往往既有动能又有势能，物体的动能与重力势能、弹性势能之和称为机械能。
2．表达式：若用符号E表示机械能，则物体的机械能E＝Ep＋Ek。
3．动能和势能的相互转化：在物体运动过程中，不同形式的能量常会相互转化。例如，射箭时，弓的弹性势能减小，箭的动能增大；蹦极时，重力势能会转化为动能和弹性势能等。
二、机械能守恒
1．自由落体运动中机械能守恒的推导
(1)如图所示，如果小球只在重力作用下自由下落，从A到B的过程中重力做功为WG，根据动能定理可知，WG＝mv－mv。
由重力做功与重力势能改变的关系可知，重力做的功等于小球下落过程中重力势能的减少量，即WG＝mgh1－mgh2。
由以上两式可得
mv－mv＝mgh1－mgh2
即在小球自由下落的过程中，动能的增加量等于重力势能的减少量，说明重力对小球做了多少功，就有多少重力势能转化为等量的动能。上式移项后得
mv＋mgh2＝mv＋mgh1
即Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
(2)在小球自由落体运动中，只有重力做功，小球在A点的动能与重力势能的总和等于在B点的动能与重力势能的总和。由于A、B两点是任意选定的，故在自由落体运动中，任何位置(时刻)物体的总机械能保持不变。
2．同样可以证明，在只有弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可相互转化，总的机械能保持不变。
3．机械能守恒定律：大量研究结果表明，在只有重力或弹力这类力做功的情况下，物体系统的动能与势能相互转化，机械能的总量保持不变。
4．能量守恒定律：事实上，并非只有动能和势能可以相互转化，任何形式的能量都可以相互转化，但总能量保持不变，这就是更普遍的能量守恒定律。
判断下列说法是否正确。
(1)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。(　　)
(2)合力为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
(3)合力做功为零，物体的机械能保持不变。(　　)
(4)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒。(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
知识点一　机械能守恒的判断
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。(忽略轨道的阻力和其他阻力)过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？动能和势能怎么变化？机械能守恒吗？
[提示]　过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能守恒。
1．从做功的角度理解守恒条件
(1)单个物体只受重力，不受其他力，如自由落体运动；
(2)单个物体除受重力，还受其他力，但其他力不做功，如物体沿光滑固定的斜面下滑，物体受重力和支持力作用，但支持力不做功；
(3)对于多个物体组成的系统来说，除重力和系统内的弹力做功之外，外力不做功，有内力做功，但内力做功的代数和为零。
2．从能量转化的角度理解守恒条件
对于某一系统，系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内也没有机械能与其他形式的能发生转化。
3．机械能守恒的判断方法
(1)做功条件分析法：分析物体系统的受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若只有重力或系统内弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则物体系统的机械能守恒。
(2)能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒。
(3)增减情况分析法：若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒。
　关于下列对配图的说法正确的是(　　)
A．图1中“蛟龙号”被吊车匀速吊下水的过程中它的机械能守恒
B．图2中物块在恒力F作用下沿固定光滑斜面匀加速上滑过程中，物块机械能守恒
C．图3中物块沿固定斜面匀速下滑过程中，物块机械能不守恒
D．图4中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能守恒
[解析]　题图1中“蛟龙号”被吊车匀速吊下水的过程中，重力势能不断减小，动能不变，所以机械能不守恒，故A错误；题图2中物块在恒力F作用下沿固定光滑斜面匀加速上滑过程中，重力势能和动能均增大，则其机械能增大，故B错误；题图3中物块沿固定斜面匀速下滑过程中，重力势能减小，动能不变，故机械能不守恒，故C正确；题图4中撑竿跳高运动员在上升过程中，撑竿的弹性势能转化为运动员的机械能，所以运动员的机械能不守恒，故D错误。
[答案]　C
知识点二　机械能守恒定律的简单应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义
守恒角度 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
转化角度 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
转移角度 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能(不用选择参考平面)
2.解题思路
角度1　重力作用下的机械能守恒
　(双选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是(　　)
A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
[解析]　若以地面为参考平面，物体落到海平面时的势能为－mgh，故A错误；此过程重力做正功，做功的数值为mgh，故B正确；不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，所以有mv＝－mgh＋Ek，在海平面上的动能Ek＝mv＋mgh，故C正确；在地面处的机械能为mv，因机械能守恒，故在海平面上的机械能也为mv，故D错误。
[答案]　BC
　从地面以v0的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为g，以地面为重力势能的零势能面。
(1)求物体上升的最大高度h。
(2)物体的重力势能为动能的一半时，求物体离地面的高度h1。
(3)物体的重力势能和动能相等时，求物体离地面的高度h2。
(4)物体的动能是重力势能的一半时，求物体离地面的高度h3。
(5)物体的速率为时，求物体离地面的高度h4。
[解析]　(1)抛出时物体的机械能E0＝mv，物体上升到最高点时的机械能E1＝mgh，由机械能守恒定律可知E0＝E1，联立解得h＝ eq \f(v,2g) 。
(2)物体的重力势能为动能的一半时的机械能E2＝mgh1＋Ek1，由题设条件知mgh1＝Ek1，再由机械能守恒定律知E2＝E0，联立解得h1＝ eq \f(v,6g) 。
(3)物体的重力势能和动能相等时的机械能E3＝mgh2＋Ek2，由题设条件知mgh2＝Ek2，再由机械能守恒定律知E3＝E0，联立解得h2＝ eq \f(v,4g) 。
(4)物体的动能是重力势能的一半时的机械能E4＝mgh3＋Ek3，由题设条件知Ek3＝mgh3，再由机械能守恒定律知E4＝E0，联立解得h3＝ eq \f(v,3g) 。
(5)物体的速率为时的机械能E5＝mgh4＋m，由机械能守恒定律知E5＝E0，联立解得h4＝ eq \f(3v,8g) 。
[答案]　(1) eq \f(v,2g) 　(2) eq \f(v,6g) 　(3) eq \f(v,4g) 　(4) eq \f(v,3g) 　(5) eq \f(3v,8g)
角度2　重力和弹簧弹力作用下的机械能守恒
　如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一质量为m的物体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面。设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是(　　)
A．mgh－mv2 B．mv2＋mgh
C．－mgh D．－
[解析]　根据系统机械能守恒可得mv2＝mgh＋Ep，根据弹力做功与弹性势能的变化，有W弹＝－ΔEp＝－Ep，所以W弹＝－Ep＝mgh－mv2。
[答案]　A
角度3　非质点类物体的机械能守恒问题
　如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？
[解析]　方法一：取整个铁链为研究对象
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心与A点上方L 处在同一水平面上，末位置的重心与A点最初位置在同一水平面上，则重力势能的减少量
ΔEp＝mg·L
由机械能守恒定律得mv2＝mg·L，则v＝ 。
方法二：将铁链看作两段
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置。
重力势能减少量为ΔEp＝mg·
由机械能守恒定律得mv2＝mg·
则v＝ 。
[答案]　
知识点三　连接体的机械能守恒问题
1．绳连接物体模型
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．弹簧连接物体模型
(1)由于弹簧的形变会使弹簧具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(2)弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
(3)如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)。
角度1　绳连接物体模型
　(双选)如图所示，用一跨在轻质光滑定滑轮两侧的轻质细绳连接质量分别为M、m的两物块，开始用手控制M使整体处于静止状态，且M > m。若不计空气阻力，则放手后，物块M由静止自由下降的过程中(M未接触地面，m未到定滑轮)，下列说法正确的是(　　)
A．轻质细绳对M做正功
B．轻质细绳对M、m做功代数和不一定为0
C．M和m组成的系统机械能守恒
D．M机械能的减少量等于m机械能的增加量
[解析]　物块M向下运动，轻绳拉力向上，则轻质细绳对M做负功，A错误；物块m向上运动，轻绳
拉力对m做正功，同一根绳上拉力相等，两物块运动距离相等，则轻绳对两物块做功的代数和为零，B错误；系统只存在动能和重力势能的转化，则系统机械能守恒，C正确；由以上分析可知，M机械能减小，m机械能增大，且机械能变化大小相等，D正确。
[答案]　CD
角度2　弹簧连接物体模型
　(2025·江苏徐州市期末)一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上，其正上方A位置有一个小球，小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。下列关于小球下落阶段的说法正确的是(　　)
A．在B位置，小球动能最大
B．从A→D位置，小球机械能守恒
C．从A→D位置，小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
D．从A→C位置，小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
[解析]　小球从A到B做自由落体运动，从B到C过程，由于弹簧弹力小于小球重力，小球做加速度减小的加速运动，在C位置小球所受弹力大小等于重力，此时小球加速度为零，小球的速度最大，动能最大，故A错误；小球从A→D位置，由于弹力对小球做负功，所以小球的机械能不守恒，故B错误；小球从A→D位置，由于小球在A、D两位置的动能均为零，根据系统机械能守恒可知，从A→D位置，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故C错误；根据系统机械能守恒可知，从A→C位置小球重力势能的减少量等于小球动能与弹簧弹性势能的增加量之和，即小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。
[答案]　D
1．(机械能守恒的判断)下列物体在运动过程中，机械能守恒的是(　　)
A．做自由落体运动的物体
B．雨点匀速下落
C．沿粗糙的斜面，向下做匀速运动的木块
D．被起重机拉着向上做匀速运动的货物
解析：选A。做自由落体运动的物体，只受重力作用，物体的机械能守恒，故A正确；雨点匀速下落，动能不变，重力势能减小，机械能减小，机械能不守恒，故B错误；沿粗糙的斜面向下做匀速运动的木块，由于克服摩擦力做功，木块的机械能减小，机械能不守恒，故C错误；被起重机拉着向上做匀速运动的货物，动能不变，重力势能增大，机械能增大，机械能不守恒，故D错误。
2.(单物体的机械能守恒问题)如图所示，小物块m沿光滑曲面从A点静止下滑。已知A点离地面高度为h1，B点离地面高度为h2，当地重力加速度为g，以A点所在位置的水平面为参考平面。下列说法正确的是(　　)
A．小物块在B点的重力势能为mgh2
B．下滑到B点过程中，小物块的机械能先增大后减小
C．小物块在B点的机械能为0
D．下滑到B点过程中，小物块重力势能的变化量为mgh1－mgh2
解析：选C。根据重力势能的定义式可得，小物块在B点的重力势能EpB＝－mg(h1－h2)，重力势能的变化量ΔEp＝mgh2－mgh1，故A、D错误；小物块下滑到B点过程中，只有重力做功，小物块的机械能守恒，初始时机械能为零，所以小物块在B点的机械能为零，故C正确，B错误。
3．(非质点类物体的机械能守恒问题)如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(重力加速度大小为g)(　　)
A． B．
C． D．4
解析：选C。由机械能守恒定律得ΔEp减＝ΔEk增，即mg·L＋mg·L＝mv2，所以v＝。C正确。
4.(绳或杆连接物体模型)一轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的2倍，B球离地面高h，由静止释放小球B，重力加速度为g，滑轮质量忽略，阻力不计，则(　　)
A．A球上升的最大高度为h
B．B球下落过程机械能守恒
C．当B球刚好落地时，A球的速度大小是
D．B球下落过程中A球的机械能减少
解析：选C。A球上升h时有一定的速度，由于惯性还会继续上升，A错误；B球下落过程，绳上的拉力对B球做负功，B球机械能减少，绳上的拉力对A球做正功，A球机械能增多，B、D错误；B球下落过程，系统机械能守恒，设A球质量为m，B球质量为2m，可得2mgh－mgh＝(m＋2m)v2，解得当B球刚好落地时，A球的速度大小v＝，C正确。(共30张PPT)
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√
题组1　机械能守恒的判断
1．下列叙述正确的是(　　)
A．做匀速直线运动物体的机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动物体的机械能一定守恒
C．外力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒
D．系统内只有重力或弹力做功时，系统的机械能一定守恒
解析：做匀速直线运动物体的机械能不一定守恒，如物体匀速上升，机械能增加，故A错误；
做匀变速直线运动的物体机械能可能不守恒，如水平面上做匀加速直线运动的物体，机械能增加，故B错误；
外力对物体做功为零，物体的机械能不一定守恒，例如物体向上做匀速直线运动时，外力对物体做功为零，机械能增加，故C错误；
系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒，故D正确。
√
2. 如图所示的是运 20加油机给歼 10战斗机加油的情景，在加油过程中，加油机和战斗机的飞行高度、速度和方向均不变，关于加油机和战斗机的机械能说法正确的是(　　)
A．战斗机动能增大，势能减小，机械能不变
B．加油机动能减小，势能不变，机械能不变
C．加油机动能减小，势能不变，机械能减小
D．战斗机动能增大，势能增大，机械能增大
解析：战斗机油量增加，质量增大，速度不变，动能增大，高度不变，重力势能增大。机械能为动能和重力势能之和，所以战斗机机械能增大。加油机油量减少，质量减少，速度不变，动能减小，高度不变，重力势能减小。机械能为动能和重力势能之和，所以加油机机械能减小，故A、B、C错误，D正确。
√
√
4．如图所示，水平桌面距地面0.8 m，一质量为2 kg小球自距桌面0.4 m的高度由静止下落。小球可视为质点，不计空气阻力，以桌面为参考平面，重力加速度g取10 m/s2。小球将要落地前，其机械能为(　　)
A．0
B．8 J
C．16 J
D．24 J
解析：以桌面为参考平面，则小球刚下落时的机械能为Ek1＝mgh＝8 J，小球下落过程中机械能守恒，则小球将要落地前，其机械能为8 J。
√
√
5.(双选)如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，那么
小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中(弹簧保持竖
直)，下列关于能的叙述正确的是(　　)
A．小球的机械能守恒
B．小球的动能先增大后减小
C．小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和先减小后增大
D．小球的动能和弹簧的弹性势能之和先增大后减小
解析：小球下落过程中弹簧弹力对小球做负功，小球的机械能减少，故A错误；
小球下落和弹簧接触过程中，开始做加速度逐渐减小的加速运动，当弹簧弹力等于重力时速度最大，然后做加速度逐渐增大的减速运动，故其动能先增大后减小，故B正确；
小球下落过程中动能、重力势能以及弹簧弹性势能三者之和保持不变，由于动能先增大后减小，因此弹性势能和重力势能之和先减小后增大，故C正确；
由于重力势能一直减小，因此小球的动能和弹簧的弹性势能之和一直增大，故D错误。
√
6.如图所示，质量为m的某同学练习竖直弹跳，第一阶段，
脚没有离地，经过一段时间重心上升h1，人获得速度v1，
第二阶段，人整体形态保持不变，重心又上升了h2，到达
最高点。重力加速度为g，以下说法正确的是(　　)
A．第一阶段地面支持力对人做的功为零
B．第一阶段地面支持力对人做的功为mgh1
C．第二阶段，重力的功率为零
D．整个过程中人的机械能守恒
解析：第一阶段地面支持力的作用点的位移为零，所以支持力对人做的功为零，故A正确，B错误；



在起跳过程中，储存在人体肌肉中的化学能转化为人体的机械能，所以人体机械能不守恒，故D错误。
√
7．(双选)两质量相同的物体A和B，分别从两个高度相同的光滑斜面和光滑圆弧形斜坡的顶端滑向底部，如图所示。若它们的初速度为零，则下列说法正确的是(　　)
A．下滑过程中重力做的功不相等
B．它们在顶端时的机械能相等
C．它们到达底部时的动能相等
D．它们到达底部时的速度相同
√
解析：根据WG＝mgh得，重力做功相等，故A错误；
在顶点时，由于质量相等，则重力势能相等，动能都为零，所以机械能相等，故B正确；



根据C选项分析可知，到达底端的动能相等，速度大小相等，但方向不同，故D错误。
√
题组3　连接体的机械能守恒问题
8.如图所示，A、B两物体的质量分别为m、2m，中间用轻杆
相连，放在光滑的斜面上，现将它们由静止释放，在下滑的
过程中(　　)
A．两物体下滑的加速度不相同
B．轻杆对A做正功，对B做负功
C．系统的机械能守恒
D．任意时刻两物体重力的功率相同
解析：因为两物体用轻杆连接，一起运动，加速度相同，对两物体整体受力分析得(2m＋m)g sin θ＝(2m＋m)a，因此整体加速度a＝g sin θ，故A错误；
设杆对B的力为F，隔离B可得2mg sin θ＋F＝2ma，所以F＝0不做功，故B错误；
只有重力对系统做功，动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故C正确；
因为重力的功率P＝mgvy，虽然两物体速度相同，但是质量不一样，重力的功率不一样，故D错误。
9.(双选)如图所示，上表面是光滑圆弧的质量为M的小车A置于
光滑水平面上，有一质量为m的物体B在弧上自由滑下的同
时释放A，则(　　)
A．在B下滑的过程中，B的机械能守恒
B．圆弧轨道对B的支持力对B不做功
C．在B下滑的过程中，A的机械能增加
D．A、B组成的系统机械能守恒
√
√
解析：在B下滑的过程中，A向左运动，除了B所受的重力做功外，圆弧轨道对B的支持力对B做负功，故B的机械能减少，A、B错误；
B对圆弧轨道的压力对A做正功，故A的机械能增加，C正确；
A、B组成的系统只发生系统内动能和重力势能之间的相互转化，系统机械能守恒，D正确。
√
11.如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的
细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)
(　　)
A．在任一时刻，两球动能相等
B．在任一时刻，两球加速度相等
C．在任一时刻，两球和弹簧组成的系统动能与重力势能之和保持不变
D．在任一时刻，两球和弹簧组成的系统机械能是不变的
√
解析：细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P、Q两球受力分析可知aP＞aQ，在任一时刻，两球的动能不一定相等，A、B错误；
系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能与重力势能之和发生变化，C错误；
Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，D正确。
√
解析：下滑过程中，弹簧的弹力对圆环做功，则圆环机械能不守恒，故A错误；
圆环刚向下运动时，重力大于弹力，随着弹力逐渐增大，加速度逐渐减小，当圆环加速度减小到零时，速度最大，继续向下运动，弹簧弹力增大，则圆环下滑到最大距离时合力不为零，加速度不为零，故C错误；
根据题意可知，圆环的速度先增大后减小，动能先增大后减小，根据系统的机械能守恒可知，圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，故D错误。
13．(14分)如图所示，一条不可伸长的轻质软绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个质量分别为m、3m的小球a和b，用手按住a球静止于地面时，b球离地面的高度为h，两小球均可视为质点，定滑轮的质量及一切阻力均不计，a球与定滑轮间距足够大，不会相碰，释放a球后，求：
(1)b球落地前的加速度大小；(4分)
(2)b球落地前的动能大小；(6分)
(3)a球能到达的最大高度。(4分)第3节　动能和动能定理
1．知道动能的符号、单位和表达式，会根据动能的表达式计算物体的动能。　2.能运用牛顿第二定律和匀变速直线运动的规律，推导恒力做功与物体动能改变的关系，理解动能定理的物理意义。　3.能应用动能定理解决简单的问题。
一、动能
1．定义：物体因运动而具有的能量。
2．表达式：Ek＝mv2。
3．单位：在国际单位制中，动能的单位为焦耳，符号为J，1kg·(m/s)2＝1 kg·(m/s2)·m＝1N·m＝1 J。
4．标矢性：动能是标量，只有大小。
二、动能定理
1．内容：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
2．表达式：W＝Ek2－Ek1＝mv－mv。
判断下列说法是否正确。
(1)速度大的物体动能也大。(　　)
(2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。(　　)
(3)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同。(　　)
(4)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。(　　)
(5)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。(　　)
(6)物体的动能增加，合外力做正功。(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√
知识点一　动能和动能定理的理解
如图所示，一个物体的质量为m、初速度为v1，在与运动方向相同的恒力F(不计摩擦阻力)的作用下发生一段位移l，速度增大到v2，则：
(1)力F对物体所做的功多大？
(2)物体的加速度多大？
(3)物体的初速、末速、位移之间有什么关系？
(4)结合上述三式你能综合推导得到什么样的式子？
[提示]　(1)W＝Fl。
(2)由牛顿第二定律得F＝ma，则a＝。
(3)由运动学公式得2al＝v－v，即l＝ eq \f(v－v,2a) 。
(4)把上面F、l的表达式代入W＝Fl得W＝ eq \f(ma（v－v）,2a) ，也就是W＝mv－mv。
1．对动能的理解
(1)动能是标量，没有负值，与物体的速度方向无关。
(2)动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。
(3)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
2．动能变化量ΔEk
物体动能的变化量等于末动能与初动能之差，即ΔEk＝mv－mv，若ΔEk>0，则表示物体的动能增加，若ΔEk<0，则表示物体的动能减少。
3．动能定理
(1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功。
(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。
②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。
角度1　对动能的理解
　关于动能，下列说法错误的是(　　)
A．凡是运动的物体都具有动能
B．动能没有负值
C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能却不一定变化
D．动能不变的物体一定处于平衡状态
[解析]　物体由于运动而具有的能量叫作动能，A正确，不符合题意；由Ek＝mv2知，Ek≥0，B正确，不符合题意；速度是矢量，当速度大小不变而方向变化时，动能不变，但动能变化时，速度的大小一定发生了改变，C正确，不符合题意；物体的速度方向发生变化但大小不变时，其动能不变，但物体却处于非平衡状态，D错误，符合题意。
[答案]　D
　一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上做匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是(　　)
A．Δv＝－10 m/s B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0
[解析]　以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化Δv＝5 m/s－(－5) m/s＝10 m/s，小球碰墙过程中的动能变化ΔEk＝×0.1×52 J－×0.1×52 J＝0。
[答案]　D
角度2　对动能定理的理解
　下列关于动能定理的说法正确的是(　　)
A．合外力对物体做多少正功，动能就增加多少
B．合外力对物体做多少负功，动能就增加多少
C．合外力对物体做正功，动能也可能保持不变
D．不管合外力对物体做多少正功，动能均保持不变
[解析]　合外力做正功时，物体的动能增加，增加量等于合外力所做的功，故A正确；合外力做负功时，物体的动能减小，减小量等于合外力做功的绝对值，故B错误；只要合外力做功，物体的动能就一定会发生改变，故C、D错误。
[答案]　A
　如图所示，左端固定的轻质弹簧被物块压缩，物块被释放后，由静止开始从A点沿粗糙水平面向右运动。离开弹簧后，经过B点的动能为Ek，该过程中，弹簧对物块做的功为W，则物块克服摩擦力做的功Wf为(　　)
A．Ek B．W
C．Ek－W D．W－Ek
[解析]　从A点到B点过程，根据动能定理可得W－Wf＝Ek－0，解得物块克服摩擦力做的功Wf＝W－Ek。
[答案]　D
知识点二　探究恒力做功与动能改变的关系
1．实验器材
小车、钩码、天平、打点计时器、低压交流电源、细绳、一端附有定滑轮的长木板等。
2．实验原理
在钩码的拉动下，小车的速度大小发生了变化，则小车的动能发生了变化。钩码对小车的拉力对小车做了功，只要能求出小车动能的变化量、小车运动的位移以及钩码对小车的拉力(近似等于钩码所受的重力)，就可以研究W＝Fs与ΔEk之间的关系。
3．数据测量
(1)拉力的测量：用钩码所受的重力作为小车所受拉力，由于钩码质量很小，可认为小车所受拉力F的大小等于钩码所受重力的大小。
(2)位移的测量：在纸带上记下第一个点O的位置，再在纸带上任意点开始选取n个点1、2、3、4、……并量出各点到位置O的距离，即为小车运动的位移s。
4．数据处理
(1)速度的计算：依据匀变速直线运动特点计算各点的瞬时速度，即vn＝。
(2)功的计算：拉力所做的功W1＝mgs1，W2＝mgs2，……
(3)动能增量的计算：物体动能的增量ΔEk1＝Mv，ΔEk2＝Mv，……
5．实验结论
恒力对物体所做的功等于物体动能的改变量。
　某同学把附有滑轮的长木板平放在实验桌上，将细绳一端拴在小车上，另一端绕过定滑轮，挂上适当的钩码，使小车在钩码的牵引下运动，以此定量探究绳拉力做功与小车动能变化的关系。此外还准备了打点计时器及配套的电源、导线、复写纸、纸带、小木块等。组装的实验装置如图所示。
(1)若要完成该实验，必需的实验器材还有哪些______________。
(2)实验开始时，他先调节木板上定滑轮的高度，使牵引小车的细绳与木板平行。他这样做的目的是______________(填字母代号)。
A．避免小车在运动过程中发生抖动
B．可使打点计时器在纸带上打出的点迹清晰
C．可以保证小车最终能够实现匀速直线运动
D．可在平衡摩擦力后使细绳拉力等于小车受的合力
(3)平衡摩擦力后，当他用多个钩码牵引小车时，发现小车运动过快，致使纸带上打出的点数较少，难以选到合适的点计算小车速度。在保证所挂钩码数目不变的条件下，请你利用本实验的器材提出一个解决办法：_________________________。
(4)他将钩码所受重力做的功当作细绳拉力做的功，经多次实验发现拉力做功总是要比小车动能增量大一些。造成这一情况的可能原因是_______(填字母代号)。
A．在接通电源的同时释放了小车
B．小车释放时离打点计时器太近
C．阻力未完全被小车所受重力沿木板方向的分力平衡掉
D．钩码做匀加速运动，钩码所受重力大于细绳拉力
[解析]　(1)本实验需要知道小车的动能，因此还需要用天平(包括砝码)测出小车的质量，用刻度尺测量纸带上点迹之间的长度，求出小车的瞬时速度。
(2)牵引小车的细绳与木板平行的目的是在平衡摩擦力后使细绳拉力等于小车受的合力，D正确。
(3)在保证所挂钩码数目不变的条件下，要减小小车加速度可以增加小车的质量，故可在小车上加适量砝码(或钩码)。
(4)当小车在运动过程中存在阻力时，拉力做正功和阻力做负功之和等于小车动能增量，故拉力做功总是要比小车动能增量大一些；当钩码加速运动时，钩码所受重力大于细绳拉力，此同学将钩码所受重力做的功当作细绳拉力做的功，则拉力做功要比小车动能增量大，故只有C、D正确。
[答案]　(1)刻度尺、天平(包括砝码)　(2)D
(3)可在小车上加适量砝码(或钩码)　(4)CD
知识点三　动能定理的基本应用
1．解题步骤
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程。
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和。
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
2．优先应用动能定理的情况
(1)不涉及物体运动过程中的加速度和时间的问题。
(2)变力做功或曲线运动问题。
(3)涉及F、s、m、v、W、Ek等物理量的问题。
(4)有多个运动过程且不需要研究整个过程的中间状态的问题。
　(2024·安徽卷，T2)某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v。已知人与滑板的总质量为m，可视为质点。重力加速度大小为g，不计空气阻力。则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为(　　)
A．mgh B．mv2
C．mgh＋mv2 D．mgh－mv2
[解析]　人在下滑的过程中，由动能定理可得mgh－Wf＝mv2－0，可得此过程中人与滑板克服摩擦力做的功Wf＝mgh－mv2。
[答案]　D
　如图所示，质量为M的电梯底板上放置一质量为m的物体。钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则(　　)
A．底板对物体的支持力做的功等于mv2
B．物体所受合力做的功等于mv2＋mgH
C．钢索的拉力做的功等于Mv2＋MgH
D．电梯所受合力做的功等于Mv2
[解析]　设地板对物体的支持力做的功为W，对物体由动能定理得W合＝W－mgH＝mv2，解得W＝mgH＋mv2，故A、B错误；设钢索的拉力做的功为W′，对电梯和物体整体由动能定理得W′－(M＋m)gH＝(M＋m)v2，解得W′＝(M＋m)v2＋(M＋m)gH，故C错误；由动能定理得，合力对电梯做的功等于Mv2，故D正确。
[答案]　D
　A、B两物体的质量之比mA∶mB＝2∶1，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其速度图像如图所示，那么，A、B两物体所受摩擦阻力之比FA∶FB与A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比WA∶WB分别为(　　)
A．4∶1，2∶1 B．4∶1，4∶1
C．1∶4，1∶2 D．1∶2，1∶4
[解析]　A、B两物体的加速度大小分别为aA＝＝，aB＝＝，可得aA∶aB＝2∶1，根据牛顿第二定律有FA＝mAaA，FB＝mBaB，可得A、B两物体所受摩擦阻力之比为FA∶FB＝4∶1，根据动能定理，A、B两物体克服摩擦阻力做的功WA＝mAv，WB＝mBv，可得A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比WA∶WB＝2∶1。
[答案]　A
1．(动能和动能定理)下列说法正确的是(　　)
A．如果物体所受合力为零，则合力对物体做的功一定为零
B．如果合力对物体所做的功为零，则合力一定为零
C．物体在合力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D．物体的动能不变，所受合力一定为零
解析：选A。由功的定义可知，物体所受合力为零，则合力对物体做的功一定为零，A正确；合力做的功为零，合力不一定为零，B错误；物体的速度大小不变，方向改变，物体做变速运动，动能不变， C错误；物体的速度大小不变，方向改变，动能不变，合力不等于零， D错误。
2．(动能定理的基本应用)(2025·云南卷，T2)如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐渐加速到144 km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近(　　)
A．4×105 J B．4×104 J
C．4×103 J D．4×102 J
解析：选B。高中生的质量约为m＝50 kg，144 km/h＝40 m/s，则当列车加速到v＝40 m/s时高中生的动能约为Ek＝mv2＝40 000 J，对高中生由动能定理得W＝Ek－0，解得列车对高中生所做的功约为W＝4×104J，B正确。
3．(动能定理的基本应用)如图所示，生产车间使用传送带运送货物，传送带运行速度为v。从A点无初速度释放的货物先加速后匀速运动，最后到B点。此过程中(　　)
A．匀加速运动阶段传送带对货物做功为mv2
B．匀加速运动阶段合外力对货物做功为mv2
C．匀速运动阶段摩擦力对货物不做功
D．匀速运动阶段摩擦力对货物做正功
解析：选B。匀加速运动阶段由动能定理得mgh＋Wf＝mv2－0，故A错误，B正确；匀速运动阶段摩擦力与重力的分力是平衡力，摩擦力方向与货物运动方向相反，做负功，故C、D错误。
4．(探究恒力做功与动能改变的关系)在“探究恒力做功与动能改变的关系”实验中，某实验小组采用如图甲所示的实验装置和实验器材。
(1)为了用细线的拉力表示小车受到的合外力，实验中必须进行的操作是_______；为了能够用沙桶和沙所受的重力代替拉力，必须满足的条件是______________。
(2)图乙为实验中打出的一条纸带，现选取纸带中的A、B两点对应的过程来探究恒力做功与动能改变的关系。已知打点计时器的打点周期为T，重力加速度为g。若沙与沙桶的总质量为m1，小车的质量为m2，则此过程恒力做的功W＝_______，动能的改变量ΔEk＝_____________________(用题中或图中的物理量符号表示)。
解析：(1)为了用细线的拉力表示小车受到的合外力，实验时应平衡小车受到的摩擦力，即改变木板的倾角，使重力的一个分力平衡小车及纸带受到的摩擦力；要用沙桶和沙所受的重力代替拉力，须使得小车的质量远大于沙桶和沙的质量。
(2)W＝m1gs。打A、B两点时小车对应的瞬时速度分别为vA＝，vB＝，ΔEk＝m2v－m2v＝m2－m2。　
答案：(1)平衡小车受到的摩擦力　小车的质量远大于沙桶和沙的质量　(2)m1gs　m2－m2题组1　重力做功与重力势能
1．(双选)(2025·莆田市期末)关于重力势能，下列说法正确的是(　　)
A．重力势能的变化只跟物体所处的初、末位置有关，与物体实际经过的路径无关
B．物体与参考平面的距离越大，它的重力势能也越大
C．重力势能的变化量与参考平面的选取无关
D．一个物体的重力势能从－10 J变化到4 J，重力势能减少了
解析：选AC。重力势能的变化只跟物体所处的初、末位置有关，与物体实际经过的路径无关，且重力势能的变化量与参考平面的选取无关，但物体重力势能的大小与零势能参考面的选取有关，所以放在地面上的物体重力势能不一定为零，故A、C正确；若物体在零势能参考面的上方，则物体与参考平面的距离越大，它的重力势能越大；反之，若物体在零势能参考面的下方，则物体与参考平面的距离越大，它的重力势能越小，故B错误；一个物体的重力势能从－10 J变化到4 J，重力势能增加，故D错误。
2．如图所示，静止的小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为h，桌面距地面高为H，小球质量为m，则以下说法正确的是(　　)
A．小球的重力势能的减少量为mgh
B．以地面为参考面，小球的重力势能的减少量为mg(H＋h)
C．小球沿竖直轨道下滑到桌面上的过程，重力做功最少
D．小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，重力做功不一样多
解析：选A。小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，下降的竖直高度都相同，所以重力做功一样多，故C、D错误；重力势能的变化量与零势能面的选取无关，重力做的正功就等于重力势能的减少量，重力做功为mgh，重力势能的减少量为mgh，故B错误，A正确。
3.如图所示，质量为m的金属小球，从离水面H高处自由下落后进入水中。已知水深为h，若以水面为参考平面，小球运动至水底时的重力势能为(　　)
A．mgH B．－mgh
C．mg(H－h) D．－mg(H＋h)
解析：选B。以水面为参考平面，小球运动至水底时的重力势能Ep＝－mgh。
4．(2025·三明市期末)如图所示，质量m＝2 kg的小球，从离桌面H＝1.0 m高处由静止下落，桌面离地面的高度h＝0.8 m，若以桌面为参考平面，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球在A点的重力势能为36 J
B．小球在桌面上的重力势能为0
C．整个下落过程中重力势能减少了20 J
D．若改变所选择的参考平面，小球在A、B点的重力势能不变
解析：选B。若以桌面为参考平面，小球在桌面上的重力势能Ep＝0，小球在A点的重力势能Ep＝mgH＝20 J，A错误，B正确；小球在B点的重力势能Ep′＝－mgh＝－16 J，整个下落过程中重力势能的减少量ΔEp＝mg(H＋h)＝36 J，C错误；若改变所选择的参考平面，根据Ep＝mgh，则小球在A、B点的重力势能改变，D错误。
5.如图所示，日光岩是鼓浪屿的最高峰，山脚到顶峰的高度约为90 m，一质量为70 kg的游客从山脚登上顶峰。重力加速度g取10 m/s2，则游客在该过程中(　　)
A．重力做功约为6.3×104 J
B．重力做功约为－6.3×104 J
C．因时间未知，无法求出此过程重力做功
D．因路程未知，无法求出此过程重力做功
解析：选B。重力做功与时间和路程无关，只与初末位置的高度有关，因人上行，则重力做负功，重力做功WG＝－mgh＝－70×10×90 J＝－6.3×104 J。
6.排球是许多人喜爱的体育项目之一，如图所示为某同学将排球竖直向上垫起，一段时间后排球落回地面。已知排球在最高点时的重力势能为1 J，落到地面时的重力势能为－2 J，下列说法正确的是(　　)
A．重力对排球所做的功等于重力与路程的乘积
B．上升阶段排球克服重力做的功大于下降阶段重力做的功
C．排球在最高点的重力势能大于落到地面时的重力势能
D．考虑阻力时，上升阶段排球的重力做的功和重力势能变化量绝对值间的关系为|WG|>|ΔEp|
解析：选C。重力对排球所做的功等于重力与竖直高度的乘积，A错误；排球在最高点时的重力势能为1 J，上升阶段排球克服重力做功为1 J，落到地面时的重力势能为－2 J，则下降阶段重力做功3 J，则上升阶段排球克服重力做的功小于下降阶段重力做的功，B错误；排球在最高点的重力势能大于落到地面时的重力势能，C正确；上升阶段排球的重力做的功和重力势能变化量绝对值间的关系为|WG|＝|ΔEp|，与是否有阻力无关，D错误。
题组2　弹性势能
7．如图所示，在一次“蹦极”运动中，人由高空下落到最低点的整个过程中，下列说法不正确的是(　　)
A．重力对人做正功
B．人的重力势能减小
C．橡皮绳对人做正功
D．橡皮绳的弹性势能增加
解析：选C。人一直在下落，故重力对人做正功，人的重力势能不断减小，故A、B正确；橡皮绳不断伸长，弹力对人做负功，使橡皮绳的弹性势能不断增加，故C错误，D正确。
8.如图所示，小明在玩蹦床游戏。当他从接触床面到运动至最低点的过程中，下列说法不正确的是(　　)
A．小明的重力势能一直减小
B．蹦床的弹性势能一直增大
C．小明在最低点时的速度为零
D．小明受到蹦床的弹力是由于自身发生形变
解析：选D。从接触床面到运动至最低点的过程中，高度减小，小明的重力势能一直减小，A正确，不符合题意； 从接触床面到运动至最低点的过程中，蹦床的形变量一直在增大，所以蹦床的弹性势能一直增大 ，B正确，不符合题意；小明运动到最低点时不能再向下运动了，说明小明此时的速度等于零，C正确，不符合题意；小明受到蹦床的弹力是由于蹦床发生形变，D错误，符合题意。
9.如图所示，一轻弹簧一端固定于О点，另一端系一重物，将重物从与悬点О在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．重力做正功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
B．重力做正功，弹簧弹力做正功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧，则重力做正功，弹力不做功
D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧，则重力做功不变，弹力不做功
解析：选C。重物由A点摆向最低点B的过程中，重力做正功，弹簧伸长，弹力对重物做负功，弹簧弹性势能增加，A、B错误；若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧，由于细绳不可伸长，则重物下落的高度变小，重力仍做正功，但做功变小，细绳上弹力一直与重物速度方向垂直，弹力不做功，C正确，D错误。
10．(双选)雨滴的下落运动并不能看成“自由落体”运动，在接近地面时，雨滴往往做匀速运动，这时的速度通常叫作收尾速度。关于一定质量的雨滴从高空下落的运动，下列说法正确的是(　　)
A．雨滴所受阻力是恒定的 B．重力一直做正功
C．重力的功率先增大后不变 D．雨滴的重力势能先减小后不变
解析：选BC。雨滴在匀速之前所受阻力在增大，故A错误；雨滴下落，高度降低，则重力一直做正功，故B正确；根据P＝Fv＝mgv，重力mg大小不变，速度v先增大后不变，则重力的功率先增大后不变，故C正确；由于重力一直做正功，则雨滴的重力势能一直在减小，故D错误。
11.如图所示，在水平地面上平铺着n块砖，每块砖的质量为m、厚度为h。如果工人将砖一块一块地叠放起来，那么工人至少做功(　　)
A．n(n－1)mgh B．n(n－1)mgh
C．n(n＋1)mgh D．n(n＋1)mgh
解析：选B。取n块砖的整体为研究对象，叠放起来后整体的重心距地面nh，原来的重心距地面h，故有W＝ΔEp＝nmg×nh－nmg×h＝n(n－1)·mgh，B正确。
12.(8分)如图所示，假设某跳高运动员质量为60 kg、身高为1.8 m，在某次背越式跳高中跳过2.1 m高的横杆而平落在垫子上，落垫时运动员的重心离地高度为60 cm。g取10 m/s2，试估算：
(1)上升阶段运动员至少要克服重力做多少功？(4分)
(2)下降阶段重力做了多少功？(4分)
解析：(1)上升阶段，重心升高的距离约为
h1＝2.1 m－ m＝1.2 m
克服重力做功W1＝mgh1＝720 J。
(2)下降阶段，重心下降距离
h2＝2.1 m－0.6 m＝1.5 m
重力做功W2＝mgh2＝900 J。
答案：(1)720 J　(2)900 J第2课时　实验：验证机械能守恒定律
一、实验目的
1．验证机械能守恒定律。
2．进一步熟悉打点计时器的使用。
二、实验器材
铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带夹子)、纸带、刻度尺、交流电源、天平、砝码。
三、实验原理与设计
让带有纸带的重物自由下落，利用打点计时器记录重物下落过程中的运动情况。选取纸带上的某点作为高度的起点，量出纸带上其他点相对该点的距离作为高度。用天平称出重物的质量，算出重物经过这些点的重力势能。再计算重物经过这些点的瞬时速度，算出动能。最后，通过比较重物经过这些点的机械能，得出实验结论。
四、实验步骤
1．测质量：使用天平称出重物质量。
2．安装装置：按图甲所示把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与电源连接好。
3．打点：在纸带的一端把重物用夹子固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在打点计时器附近并静止。先接通电源后释放纸带，让重物拉着纸带自由下落。重复几次，得到3～5条打好点的纸带。
4．选纸带：从打好点的纸带中选择一条点迹清晰的纸带并选其中一个点作为参考点，如图乙所示，设打该点时重物的重力势能为0，计算打该点时重物的动能，它就是重物下落过程中动能与重力势能的总和。
5．求机械能：分别计算纸带上其他各点对应的重物的动能和重力势能之和。
五、数据分析
1．计算各点对应的瞬时速度：根据公式vn＝，计算出1、2、3、…、n点的瞬时速度v1、v2、v3、…、vn。
2．将测量的数据记入你设计的表格中，并分析数据，得出结论。
3．其他的验证方法
(1)利用起始点和第n点
如果在实验误差允许的范围内ghn＝v，则机械能守恒定律得到验证。
(2)任取两点A、B
如果在实验误差允许范围内ghAB＝v－v，则机械能守恒定律得到验证。
(3)图像法(如图所示)
如果在实验误差允许范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。
六、误差分析
本实验的误差主要是由纸带测量产生的偶然误差以及重物和纸带运动中的空气阻力及打点计时器的摩擦阻力引起的系统误差，减小偶然误差的方法是多测几次取平均值。
七、注意事项
1．打点计时器安装要稳固，并使两限位孔的中线在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。
2．应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，可使空气阻力的影响相对减小。
3．实验时，应先接通电源，让打点计时器正常工作后再松开纸带让重物下落。
4．本实验中的几种验证方法可不需要测重物的质量m。
5．速度不能用v＝gt或v＝计算，应根据纸带上测得的数据，利用vn＝计算瞬时速度。
题型一　研究自由下落物体的机械能
　打点计时器固定在铁架台上，使重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置验证机械能守恒定律。
(1)关于本实验，下列说法正确的是________。
A．选择密度小体积大的重物，有利于减小误差
B．实验时要先松开纸带后接通电源
C．释放纸带时重物远离打点计时器
D．实验产生误差的主要原因是重物在下落过程中不可避免地受到阻力的作用
(2)选用的测量仪器除打点计时器外还需要________。
A．弹簧测力计 B．天平
C．毫米刻度尺 D．秒表
(3)在一次实验中，质量为1 kg的重物自由下落，在纸带上打出一系列的点，如图乙所示。图中的纸带________ (选填“左”或“右”)侧是与重物相连的；若纸带相邻两个点之间时间间隔为0.02 s，从起点O到打下计数点B的过程中，重力势能减少量ΔEp＝________J，此过程中物体动能的增加量ΔEk＝________J(g取10 m/s2)；通过计算，数值上ΔEp________(选填“>”“＝”或“<”)ΔEk，这是因为________。
(4)如果以为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出的图线应是图中的___________。
[解析]　(1)选择密度大体积小的重物，有利于减小误差，故A错误；为了获取更多的数据点，实验过程中应先接通电源，后释放纸带，释放纸带时重物靠近打点计时器，故B、C错误；实验产生误差的主要原因是重物在下落过程中不可避免地受到阻力的作用，故D正确。
(2)实验中需要用毫米刻度尺测量纸带上的点之间的距离，在验证机械能守恒时，由mgh＝mv2，可知质量可以约掉，故不需要测量重物质量，时间间隔由打点计时器可知，故不需要秒表。
(3)题图乙中纸带从左到右相邻计数点间距在增大，纸带和重物下落时做加速运动，故可知左侧与重物相连；从起点O到打下计数点B的过程中，重力势能减少量ΔEp＝mghOB＝1×10×0.050 1 J＝0.501 J，打B点时的速度vB＝＝ m/s＝0.98 m/s，此过程中物体动能的增加量ΔEk＝mv＝×1×0.982 J＝0.480 2 J，可知ΔEp>ΔEk，这是因为重物和纸带下落过程中受到阻力作用。
(4)根据实验数据可知物体减少的重力势能与增加的动能可认为相等，根据机械能守恒定律mgh＝mv2，可知＝gh，则－h图线是过原点的直线。
[答案]　(1)D　(2)C　(3)左　0.501　0.480 2　>　重物和纸带下落过程中受到阻力作用　(4)B
题型二　教材实验创新
　如图为一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置，已知重力加速度为g。实验步骤如下：
A．将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调至水平
B．测出挡光条的宽度d
C．将滑块移至图示位置，测出挡光条到光电门的距离l
D．释放滑块，读出挡光条通过光电门的挡光时间t
E．用天平称出托盘和砝码的总质量m
F．……
(1)在滑块从静止释放到运动到光电门的过程中，系统的重力势能减少了________。
(2)挡光条通过光电门时的速率为________。
(3)下列关于本实验的分析中，正确的是________。
A．调节气垫导轨左端的滑轮，使绳子与导轨平行
B．滑块初始位置与光电门间的距离适当大些
C．挡光条的宽度越大，测量结果越精确
D．应使托盘和砝码质量远小于滑块和挡光条的总质量
(4)为验证机械能守恒定律，还需要测量的物理量是________________________(写出物理量的名称和符号)。
(5)若要符合机械能守恒定律，以上测得的物理量应该满足___________________。
(6)由于托盘和滑块运动过程中要克服阻力做功，故该实验的动能增量总是______ (选填“大于”“等于”或“小于”)重力势能的减少量。
[解析]　(1)在滑块从静止释放到运动到光电门的过程中，系统的重力势能减少了ΔEp＝mgl。
(2)挡光条通过光电门时的速率v＝。
(3)调节气垫导轨左端的滑轮，使绳子与导轨平行，从而保证挡光条能水平通过光电门，使得测量时间较为精确，故A正确；滑块初始位置与光电门间的距离适当大些，从而使得滑块通过光电门时速度较大，通过光电门的时间较短，得到滑块的速度就越接近其瞬时速度，故B正确；若挡光条的宽度越大，得到滑块的速度就越远离其瞬时速度，则测量结果的误差就越大，故C错误；本实验需要验证的是托盘和砝码以及滑块和挡光条组成的系统机械能守恒，因此不需要托盘和砝码质量远小于滑块和挡光条的总质量，故D错误。
(4)为验证机械能守恒定律，还需要测量的物理量是用天平称出滑块及挡光条的总质量M。
(5)若要符合机械能守恒定律，以上测得的物理量应该满足mgl＝(m＋M)。
(6)由于托盘和滑块运动过程中要克服阻力做功，系统的一部分机械能转化为系统的内能，故该实验的动能增量总是小于重力势能的减少量。
[答案]　(1)mgl　(2)　(3)AB　(4)滑块及挡光条的总质量M　(5)mgl＝(m＋M)　(6)小于
　用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律，物块2从高处由静止开始下落，物块1上拖着的纸带打出了一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。图乙给出的是实验中获取的一条纸带，其中0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个计时点(图中未标出)，计数点间的距离如图乙所示。已知物块1、2的质量分别为m1＝50 g、m2＝150 g。(电源频率为50 Hz，结果均保留2位有效数字)
(1)在纸带上打下计数点5时的速度v5＝________m/s。
(2)在打点0～5过程中，系统动能的增加量ΔEk＝________J，系统重力势能的减少量ΔEp＝________J。(g取10 m/s2)
(3)若某同学作出的v2－h图像如图丙所示，则当地的实际重力加速度g＝________ m/s2。
[解析]　(1)每相邻两计数点间还有4个计时点，相邻计数点的时间间隔T＝5×0.02 s＝0.1 s，根据在匀变速直线运动中时间中点的瞬时速度等于该过程中的平均速度，可知打点5时的速度v5＝＝×10－2 m/s＝2.4 m/s。
(2)在打点0～5过程中，系统动能的增量ΔEk＝(m1＋m2)v＝×(50＋150)×10－3×2.42 J≈0.58 J，系统重力势能的减少量等于重力做功，故ΔEp＝(m2－m1)gh5＝(150－50)×10－3×10×(38.40＋21.60)×10－2 J＝0.60 J。
(3)根据机械能守恒定律得(m1＋m2)v2＝(m2－m1)gh，则有v2＝gh，图像的斜率大小k＝g＝ m/s2＝4.85 m/s2，解得g＝9.7 m/s2。
[答案]　(1)2.4　(2)0.58　0.60　(3)9.7
　如图是小明同学为验证机械能守恒定律自制的实验装置，固定在地面上的平台上表面为四分之一圆弧，一铁架台底端焊接在圆弧最低点F，O点是圆弧的圆心，光电门1、2、3、4、5分别放置在圆弧的六等分点上。已知当地重力加速度为g，实验时轻质细绳一端系在O点，另一端连接一质量分布均匀的小钢球，将小球从圆弧最高点由静止释放，运动过程中细绳始终处于伸直状态。
(1)要完成实验，需要测量下列哪些物理量_____。
A．小球的质量m
B．小球的直径d
C．小球球心到细绳悬点O的距离L
D．小球由静止释放到运动至每个光电门位置所用的时间t
(2)测得小球通过光电门2、4的挡光时间为Δt2、Δt4，结合(1)中测定的物理量，在误差允许范围内若满足_________________________________的关系，则证明小球在2、4两点的机械能相等。
(3)以细线与水平方向夹角θ的正弦sin θ为横坐标，小球速度的平方v2为纵坐标，作出v2－sin θ 的关系图线，若摆动过程中机械能守恒，图线的斜率为___________ (结果用题中所给字母表示)。
[解析]　(1)验证机械能守恒的表达式中，质量可以约去，故不需要测量小球的质量m；为了得到小球经过光电门时的速度，需要测量小球的直径d和小球经过光电门的挡光时间Δt；为了得到小球下落的高度，需要测量小球球心到细绳悬点O的距离L。
(2)测得小球通过光电门2、4的挡光时间为Δt2、Δt4，则小球通过光电门2、4的速度分别为v2＝，v4＝，光电门1、2、3、4、5分别放置在圆弧的六等分点上，可知光电门2、4与水平方向的夹角分别为30°、60°；以圆弧最高点为零重力势能参考平面，则在误差允许范围内若满足mv－mgL sin 30°＝mv－mgL sin 60°
联立可得(－1)gL＝－
则证明小球在2、4两点的机械能相等。
(3)根据机械能守恒可得
mgL sin θ＝mv2
可得v2＝2gL sin θ
若摆动过程中机械能守恒，v2－sin θ图线的斜率k＝2gL。
[答案]　(1)BC　(2)(－1)gL＝－　(3)2gL
1．(2024·6月浙江选考，T16 Ⅰ)在“验证机械能守恒定律”的实验中：
(1)下列操作正确的是___________。
(2)实验获得一条纸带，截取点迹清晰的一段并测得数据如图所示。已知打点的频率为50 Hz，则打点“13”时，重锤下落的速度大小为___________m/s(保留3位有效数字)。
(3)某同学用纸带的数据求出重力加速度g＝9.77 m/s2，并用此g值计算得出打点“1”到“13”过程重锤的重力势能减小值为5.09m，另计算得动能增加值为5.08m(m为重锤质量)，则该结果___________(选填“能”或“不能”)验证机械能守恒，理由是___________。
A．在误差允许范围内
B．没有用当地的重力加速度g
解析：(1)为了减小阻力对实验的影响，且获得最多的数据，故选A。
(2)由f＝知T＝0.02 s，则打点“13”时重锤的速度v13＝＝ m/s＝3.34 m/s。
(3)计算重力势能时应用当地的重力加速度计算，故不能验证机械能守恒定律，故选B。
答案：(1)A　(2)3.34　(3)不能　B
2．(2025·江苏淮安市期中)为验证机械能守恒定律，某小组同学设计的实验装置如图所示，细线的一端拴一个金属小球，另一端连在天花板O处。先用水平作用力将小球从最低点A处缓慢拉至B点，然后由静止释放，B、A的竖直高度差为h，记录小球通过A处光电门的遮光时间为t，金属小球的直径为d(d h)，整个过程中细线都处于绷直状态，已知当地重力加速度为g。
(1)为了验证机械能守恒定律，下列必须使用的器材是___________。(填正确答案前的字母标号)
A．秒表
B．刻度尺
C．天平(含砝码)
(2)若小球质量为m，小球从B点至A点过程中，重力势能减少量为___________。
(3)小球通过最低点的速度大小为___________。
(4)小球从静止释放到最低点的过程中，满足机械能守恒的关系式为______________________(用d、g、h、t表示)。
(5)实验时应选用密度稍大的重物，这样做能减小误差的主要原因是_____________________________________________________________________。
解析：(1)光电门具有计时功能，故不需要秒表；实验需使用刻度尺测量B、A的竖直高度差h；验证机械能守恒的表达式中，小球的质量可以约去，故不需要使用天平(含砝码)。
(2)小球从B点至A点过程中，重力势能减少量ΔEp＝mgh。
(3)根据极短时间内的平均速度等于瞬时速度，小球通过最低点的速度大小v＝。
(4)小球从静止释放到最低点的过程中，若小球机械能守恒，则有mgh＝mv2，整理得gh＝。
(5)实验时应选用密度稍大的重物，这样做能减小误差的主要原因是减小空气阻力对实验的影响。
答案：(1)B　(2)mgh　(3)　(4)gh＝
(5)减小空气阻力对实验的影响(共28张PPT)
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1.(2025·江苏镇江市期中)利用图1所示的装置做“验证机
械能守恒定律”实验。
(1)除图1中所示的装置之外，还必须使用的器材是______。
A．交流电源、天平(含砝码)
B．交流电源、刻度尺
C．直流电源、天平(含砝码)
D．直流电源、刻度尺
B　
解析：打点计时器需要用到交变电流；验证动能的增加量和重力势能的减小量是否相等，两端都有质量，可以约去，不需要天平测量质量；测量点迹间的距离要用刻度尺。
(2)实验中，先接通电源，再释放重物，得到图2所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC，已知当地重力加速度为g，计时器打点周期为T，求出B点的速度表达式vB＝___________，若从O点到B点的过程中机械能守恒，应满足的关系式为______________________。
(3)大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是_____。
A．该误差属于偶然误差,可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差
B．该误差属于系统误差,可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差
C．该误差属于偶然误差,可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差
D．该误差属于系统误差,可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差
解析：此实验因空气阻力以及摩擦力的存在，总会使减小的重力势能略大于增加的动能，这属于系统误差，是不可避免的，但想要实验结果更加准确，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差。
D
2. 利用如图甲装置做“验证机械能守恒定律”实验。
(1)为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任
意两点间的___________。
A．动能变化量与势能变化量
B．速度变化量和势能变化量
C．速度变化量和高度变化量
A　
(2)此实验过程中机械能是否守恒，可以通过计算纸带打下两点的过程中，重物减少的重力势能是否等于其增加的动能来验证。图乙是实验中得到的一条纸带。O为重物开始下落时记录的点，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，得到它们之间的距离分别为sA、sB、sC。若重物质量用m表示，已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，则在打下O点到B点的过程中，重力势能的减少量ΔEp ＝ mg(sA ＋sB)，动能的增加量ΔEk ＝
______________________。
(3)某同学想用下述方法研究机械能是否守恒，在纸带上选取多个计数点，测量它们到起始点O的距离h，计算对应计数点的重物速度v，描绘v2－h图像，并做如下判断：若图像是一条过原点的直线，则重物下落过程中机械能守恒。请你分析论证该同学的判断依据是否正确____________。
见解析
3．(2025·厦门市期末)如图甲所示的是一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。已知重力加速度为g。实验步骤如下：
A．将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调节水平；
B．测出遮光条宽度d；
C．将滑块移至图示位置，测出遮光条到光
电门的距离L；
D．释放滑块，读出遮光条通过光电门的遮光时间Δt；
E．用天平测出槽码和托盘总质量m，滑块和遮光条总质量M；
F．改变遮光条到光电门的距离，重复步骤C、D
(1)关于该实验，下列说法正确的是___________。
A．调节气垫导轨水平时，应在给导轨充气前，调节底脚螺丝使滑块在导轨上匀速滑动
B．调节气垫导轨水平时，应在给导轨充气后，调节底脚螺丝使滑块在导轨上匀速滑动
C．槽码和托盘总质量m与滑块和遮光条总质量M应满足m M
B　
解析：给导轨充气后，调节底脚螺丝直至滑块能做匀速直线运动，说明导轨已经调节水平，故A错误，B正确；
本实验验证的是系统机械能守恒，槽码和托盘总质量m与滑块和遮光条总质量M不需要满足m M，故C错误。
(2)某次测得遮光条到光电门的距离为L1，遮光条通过光电门的时间t1，遮光条通过光电门的速率为_________；滑块从释放到光电门的过程中，系统势能的减少量ΔEp减＝_________；若在实验误差允许范围内，满足关系式_______________________ (用题中相关字母表示)，则说明系统机械能守恒。
mgL1
<
4．某同学利用如图所示的装置验证机械能守恒定律，已知当地重力加速度为g。主要实验步骤如下：
①用游标卡尺测量挡光片的宽度d，
用量角器测出气垫导轨的倾角θ；
②测量挡光片到光电门的距离L；
③由静止释放滑块，记录数字计时器显示挡光片的挡光时间t；
④改变L，测出不同L所对应的挡光时间t；
⑤用天平测出滑块和挡光片的总质量m。
根据上述实验步骤请回答：
(1)滑块通过光电门时速度的表达式v＝___________(用实验中所测物理量符号表示)。
(2)滑块下滑至光电门的过程中，动能的增加量为___________；重力势能的减小量为___________。
mgL sin θ
5．在进行“验证机械能守恒定律”的实验中，甲、乙两实验小组分别采用了如图1和图2所示的装置进行实验。
(1)甲组同学采用了图1所示的方案，除带夹子的重物、纸带、铁架台(含铁夹)、电磁打点计时器、交流电源、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是___________。(填正确答案前的字母标号)
A．秒表
B．刻度尺　
C．天平(含砝码)
解析：通过打点计时器可以知道计数点之间的时间间隔，所以不需要秒表；由于验证机械能守恒的表达式中质量可以约去，所以不需要天平；需要用刻度尺测量纸带上计数点间的距离，B正确。
B　
(2)甲组同学释放纸带前的瞬间，重物和手的位置下列合理的是_________。
解析：为了减小实验误差，释放前必须保持提起的纸带处于竖直位置，手提纸带的一端，并且使重物靠近打点计时器，故合理的为C。
C
(3)比较两种实验方案，你认为___________(选填“甲”或“乙”)组同学采用的实验方案误差更小。
解析：甲组方案更合理，因为在乙组的方案中还受到细线与滑轮之间的阻力影响。
甲
(4)乙组同学采用图2所示的方案完成实验，选出一条纸带如图3所示，其中O点为起始点，A、B、C三个连续计时点到O点的距离分别为h1、h2、h3，打点计时器打点周期为T，重物质量m1大于m2，重力加速度为g。打下B点
时重物速度大小为__________，若通过纸带验证OB过程系统机械能守恒，其表达式为_______________________________________________________。1.(2025·江苏镇江市期中)利用图1所示的装置做“验证机械能守恒定律”实验。
(1)除图1中所示的装置之外，还必须使用的器材是___________。
A．交流电源、天平(含砝码)
B．交流电源、刻度尺
C．直流电源、天平(含砝码)
D．直流电源、刻度尺
(2)实验中，先接通电源，再释放重物，得到图2所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC，已知当地重力加速度为g，计时器打点周期为T，求出B点的速度表达式vB＝___________，若从O点到B点的过程中机械能守恒，应满足的关系式为______________________。
(3)大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是___________。
A．该误差属于偶然误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差
B．该误差属于系统误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差
C．该误差属于偶然误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差
D．该误差属于系统误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差
解析：(1)打点计时器需要用到交变电流；验证动能的增加量和重力势能的减小量是否相等，两端都有质量，可以约去，不需要天平测量质量；测量点迹间的距离要用刻度尺。
(2)重物下落过程做匀加速直线运动，由匀变速直线运动的推论可知，打B点时的速度vB＝。
若从打O点到打B点的过程中，机械能守恒，应满足的关系式为mghB＝mv，即满足ghB＝。
(3)此实验因空气阻力以及摩擦力的存在，总会使减小的重力势能略大于增加的动能，这属于系统误差，是不可避免的，但想要实验结果更加准确，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差。
答案：(1)B　(2)　ghB＝　(3)D
2.利用如图甲装置做“验证机械能守恒定律”实验。
(1)为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的___________。
A．动能变化量与势能变化量
B．速度变化量和势能变化量
C．速度变化量和高度变化量
(2)此实验过程中机械能是否守恒，可以通过计算纸带打下两点的过程中，重物减少的重力势能是否等于其增加的动能来验证。图乙是实验中得到的一条纸带。O为重物开始下落时记录的点，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，得到它们之间的距离分别为sA、sB、sC。若重物质量用m表示，已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，则在打下O点到B点的过程中，重力势能的减少量ΔEp ＝ mg(sA ＋sB)，动能的增加量ΔEk ＝ ______________________。
(3)某同学想用下述方法研究机械能是否守恒，在纸带上选取多个计数点，测量它们到起始点O的距离h，计算对应计数点的重物速度v，描绘v2－h图像，并做如下判断：若图像是一条过原点的直线，则重物下落过程中机械能守恒。请你分析论证该同学的判断依据是否正确________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________。
解析：(1)根据机械能守恒定律可得mgh＝mv2－0，故需要比较动能变化量与势能变化量。
(2)根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，则有vB＝，则从打O点到打B点的过程中，动能变化量ΔEk＝mv－0＝m。
(3)该同学的判断依据不正确。在重物下落h的过程中，若阻力f恒定，根据mgh－fh＝mv2－0，可得v2＝2h，可知v2－h图像就是过原点的一条直线。要想通过v2－h图像的方法验证机械能是否守恒，还必须看图像的斜率是否接近2g。
答案：(1)A　(2)m　(3)见解析
3．(2025·厦门市期末)如图甲所示的是一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。已知重力加速度为g。实验步骤如下：
A．将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调节水平；
B．测出遮光条宽度d；
C．将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离L；
D．释放滑块，读出遮光条通过光电门的遮光时间Δt；
E．用天平测出槽码和托盘总质量m，滑块和遮光条总质量M；
F．改变遮光条到光电门的距离，重复步骤C、D
(1)关于该实验，下列说法正确的是___________。
A．调节气垫导轨水平时，应在给导轨充气前，调节底脚螺丝使滑块在导轨上匀速滑动
B．调节气垫导轨水平时，应在给导轨充气后，调节底脚螺丝使滑块在导轨上匀速滑动
C．槽码和托盘总质量m与滑块和遮光条总质量M应满足m M
(2)某次测得遮光条到光电门的距离为L1，遮光条通过光电门的时间t1，遮光条通过光电门的速率为_________；滑块从释放到光电门的过程中，系统势能的减少量ΔEp减＝_________；若在实验误差允许范围内，满足关系式___________________ (用题中相关字母表示)，则说明系统机械能守恒。
(3)保持M、d不变，两位同学分别用不同质量的槽码进行实验，并且通过改变遮光条到光电门的距离L，重复步骤C、D，得到几组不同的L，同时测出相应的t，他们在同一幅L－图像中描绘出如图乙中的a图线和b图线，分析原因可知a图线槽码和托盘总质量___________(选填“>”“<”或“＝”)b图线槽码和托盘总质量。
解析：(1)给导轨充气后，调节底脚螺丝直至滑块能做匀速直线运动，说明导轨已经调节水平，故A错误，B正确；本实验验证的是系统机械能守恒，槽码和托盘总质量m与滑块和遮光条总质量M不需要满足m M，故C错误。
(2)遮光条通过光电门的速率v＝。滑块从释放到光电门的过程中，系统势能的减少量ΔEp＝mgL1。系统机械能守恒，则有mgL1＝(M＋m)v2，联立可得mgL1＝(M＋m)。
(3)由上一问分析，可得L＝·，可知L－图像中图线的斜率k＝＝，可得a图线槽码和托盘总质量小于b图线槽码和托盘总质量。
答案：(1)B　(2)　mgL1　mgL1＝(M＋m)　(3)<
4．某同学利用如图所示的装置验证机械能守恒定律，已知当地重力加速度为g。主要实验步骤如下：
①用游标卡尺测量挡光片的宽度d，用量角器测出气垫导轨的倾角θ；
②测量挡光片到光电门的距离L；
③由静止释放滑块，记录数字计时器显示挡光片的挡光时间t；
④改变L，测出不同L所对应的挡光时间t；
⑤用天平测出滑块和挡光片的总质量m。
根据上述实验步骤请回答：
(1)滑块通过光电门时速度的表达式v＝___________(用实验中所测物理量符号表示)。
(2)滑块下滑至光电门的过程中，动能的增加量为___________；重力势能的减小量为___________。
(3)根据实验测得的多组L、t数据，可绘制－L图像，图像的纵坐标为，横坐标为L，如果滑块下滑过程符合机械能守恒定律，则图像应为过原点的一条倾斜直线，其斜率为______________________(用d、θ、g表示)。
解析：(1)滑块通过光电门时速度的表达式为v＝。
(2)滑块在通过光电门时的动能
Ek＝mv2＝m
所以动能的增加量ΔEk＝Ek－0＝m
滑块下落的高度h＝L sin θ
重力做功WG＝mgh＝mgL sin θ
由重力做功和重力势能的关系可知ΔEp减＝mgh＝mgL sin θ。
(3)该过程由动能定理有mgL sin θ＝m
整理有＝L
结合题意以及表达式可知，其图像的斜率k＝。
答案：(1)　(2)m　mgL sin θ　(3)
5．在进行“验证机械能守恒定律”的实验中，甲、乙两实验小组分别采用了如图1和图2所示的装置进行实验。
(1)甲组同学采用了图1所示的方案，除带夹子的重物、纸带、铁架台(含铁夹)、电磁打点计时器、交流电源、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是___________。(填正确答案前的字母标号)
A．秒表 B．刻度尺　
C．天平(含砝码)
(2)甲组同学释放纸带前的瞬间，重物和手的位置下列合理的是___________。
(3)比较两种实验方案，你认为___________(选填“甲”或“乙”)组同学采用的实验方案误差更小。
(4)乙组同学采用图2所示的方案完成实验，选出一条纸带如图3所示，其中O点为起始点，A、B、C三个连续计时点到O点的距离分别为h1、h2、h3，打点计时器打点周期为T，重物质量m1大于m2，重力加速度为g。打下B点时重物速度大小为______________________，若通过纸带验证OB过程系统机械能守恒，其表达式为_______________________________________________________。
解析：(1)通过打点计时器可以知道计数点之间的时间间隔，所以不需要秒表；由于验证机械能守恒的表达式中质量可以约去，所以不需要天平；需要用刻度尺测量纸带上计数点间的距离，B正确。
(2)为了减小实验误差，释放前必须保持提起的纸带处于竖直位置，手提纸带的一端，并且使重物靠近打点计时器，故合理的为C。
(3)甲组方案更合理，因为在乙组的方案中还受到细线与滑轮之间的阻力影响。
(4)B点的速度大小vB＝，若机械能守恒，则有m1gh2－m2gh2＝m1v＋m2v，整理有(m1－m2)gh2＝。
答案：(1)B　(2)C　(3)甲
(4)　(m1－m2)gh2＝(共45张PPT)
第2课时　实验：
验证机械能守恒定律
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、实验目的
1．验证机械能守恒定律。
2．进一步熟悉打点计时器的使用。
二、实验器材
铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带夹子)、纸带、刻度尺、交流电源、天平、砝码。
三、实验原理与设计
让带有纸带的重物自由下落，利用打点计时器记录重物下落过程中的运动情况。选取纸带上的某点作为高度的起点，量出纸带上其他点相对该点的距离作为高度。用天平称出重物的质量，算出重物经过这些点的重力势能。再计算重物经过这些点的瞬时速度，算出动能。最后，通过比较重物经过这些点的机械能，得出实验结论。
四、实验步骤
1．测质量：使用天平称出重物质量。
2．安装装置：按图甲所示把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与电源连接好。
3．打点：在纸带的一端把重物用夹子固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在打点计时器附近并静止。先接通电源后释放纸带，让重物拉着纸带自由下落。重复几次，得到3～5条打好点的纸带。
4．选纸带：从打好点的纸带中选择一条点迹清晰的纸带并选其中一个点作为参考点，如图乙所示，设打该点时重物的重力势能为0，计算打该点时重物的动能，它就是重物下落过程中动能与重力势能的总和。
5．求机械能：分别计算纸带上其他各点对应的重物的动能和重力势能之和。
2．将测量的数据记入你设计的表格中，并分析数据，得出结论。
(3)图像法(如图所示)

如果在实验误差允许范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。
六、误差分析
本实验的误差主要是由纸带测量产生的偶然误差以及重物和纸带运动中的空气阻力及打点计时器的摩擦阻力引起的系统误差，减小偶然误差的方法是多测几次取平均值。
七、注意事项
1．打点计时器安装要稳固，并使两限位孔的中线在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。
2．应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，可使空气阻力的影响相对减小。
3．实验时，应先接通电源，让打点计时器正常工作后再松开纸带让重物下落。
4．本实验中的几种验证方法可不需要测重物的质量m。
典例分类讲解
PART
02
第二部分
题型一　研究自由下落物体的机械能
　　　打点计时器固定在铁架台上，使重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置验证机械能守恒定律。
(1)关于本实验，下列说法正确的是________。
A．选择密度小体积大的重物，有利于减小误差
B．实验时要先松开纸带后接通电源
C．释放纸带时重物远离打点计时器
D．实验产生误差的主要原因是重物在下落过程中不可避免地受到阻力的作用
D
[解析]　选择密度大体积小的重物，有利于减小误差，故A错误；
为了获取更多的数据点，实验过程中应先接通电源，后释放纸带，释放纸带时重物靠近打点计时器，故B、C错误；
实验产生误差的主要原因是重物在下落过程中不可避免地受到阻力的作用，故D正确。
(2)选用的测量仪器除打点计时器外还需要________。
A．弹簧测力计 B．天平
C．毫米刻度尺 D．秒表
C
(3)在一次实验中，质量为1 kg的重物自由下落，在纸带上打出一系列的点，如图乙所示。图中的纸带________ (选填“左”或“右”)侧是与重物相连的；若纸带相邻两个点之间时间间隔为0.02 s，从起点O到打下计数点B的过程中，重力势能减少量ΔEp＝________J，此过程中物体动能的增加量ΔEk＝________J(g取10 m/s2)；通过计算，数值上ΔEp________(选填“>”“＝”或“<”)ΔEk，这是因为__________________________________。
左
0.501
0.480 2
>
重物和纸带下落过程中受到阻力作用
B
题型二　教材实验创新
　　　如图为一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置，已知重力加速度为g。实验步骤如下：
A．将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调至水平
B．测出挡光条的宽度d
C．将滑块移至图示位置，测出挡光条到光电门的距离l
D．释放滑块，读出挡光条通过光电门的挡光时间t
E．用天平称出托盘和砝码的总质量m
F．……
(1)在滑块从静止释放到运动到光电门的过程中，系统的重力势能减少了________。
[解析]　在滑块从静止释放到运动到光电门的过程中，系统的重力势能减少了ΔEp＝mgl。
(2)挡光条通过光电门时的速率为________。
mgl
(3)下列关于本实验的分析中，正确的是________。
A．调节气垫导轨左端的滑轮，使绳子与导轨平行
B．滑块初始位置与光电门间的距离适当大些
C．挡光条的宽度越大，测量结果越精确
D．应使托盘和砝码质量远小于滑块和挡光条的总质量
AB
[解析]　调节气垫导轨左端的滑轮，使绳子与导轨平行，从而保证挡光条能水平通过光电门，使得测量时间较为精确，故A正确；
滑块初始位置与光电门间的距离适当大些，从而使得滑块通过光电门时速度较大，通过光电门的时间较短，得到滑块的速度就越接近其瞬时速度，故B正确；
若挡光条的宽度越大，得到滑块的速度就越远离其瞬时速度，则测量结果的误差就越大，故C错误；
本实验需要验证的是托盘和砝码以及滑块和挡光条组成的系统机械能守恒，因此不需要托盘和砝码质量远小于滑块和挡光条的总质量，故D错误。
(4)为验证机械能守恒定律，还需要测量的物理量是________________________ (写出物理量的名称和符号)。
[解析]　为验证机械能守恒定律，还需要测量的物理量是用天平称出滑块及挡光条的总质量M。
滑块及挡光条的总质量M
(5)若要符合机械能守恒定律，以上测得的物理量应该满足
___________________________。
(6)由于托盘和滑块运动过程中要克服阻力做功，故该实验的动能增量总是______ (选填“大于”“等于”或“小于”)重力势能的减少量。
[解析]　由于托盘和滑块运动过程中要克服阻力做功，系统的一部分机械能转化为系统的内能，故该实验的动能增量总是小于重力势能的减少量。
小于
　　　用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律，物块2从高处由静止开始下落，物块1上拖着的纸带打出了一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。图乙给出的是实验中获取的一条纸带，其中0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个计时点(图中未标出)，计数点间的距离如图乙所示。已知物块1、2的质量分别为m1＝50 g、m2＝150 g。(电源频率为50 Hz，结果均保留2位有效数字)
(1)在纸带上打下计数点5时的速度v5＝________m/s。
2.4
(2)在打点0～5过程中，系统动能的增加量ΔEk＝________J，系统重力势能的减少量ΔEp＝________J。(g取10 m/s2)
0.58
0.60
9.7
　　　如图是小明同学为验证机械能守恒定律自制的实验
装置，固定在地面上的平台上表面为四分之一圆弧，一铁
架台底端焊接在圆弧最低点F，O点是圆弧的圆心，光电
门1、2、3、4、5分别放置在圆弧的六等分点上。已知当
地重力加速度为g，实验时轻质细绳一端系在O点，另一端连接一质量分布均匀的小钢球，将小球从圆弧最高点由静止释放，运动过程中细绳始终处于伸直状态。
(1)要完成实验，需要测量下列哪些物理量_____。
A．小球的质量m
B．小球的直径d
C．小球球心到细绳悬点O的距离L
D．小球由静止释放到运动至每个光电门位置所用的时间t
[解析]　验证机械能守恒的表达式中，质量可以约去，故不需要测量小球的质量m；为了得到小球经过光电门时的速度，需要测量小球的直径d和小球经过光电门的挡光时间Δt；为了得到小球下落的高度，需要测量小球球心到细绳悬点O的距离L。
BC
(2)测得小球通过光电门2、4的挡光时间为Δt2、Δt4，结合(1)中测定的物理
量，在误差允许范围内若满足_________________________________的关系，则证明小球在2、4两点的机械能相等。
(3)以细线与水平方向夹角θ的正弦sin θ为横坐标，小球速度的平方v2为纵坐标，作出v2－sin θ 的关系图线，若摆动过程中机械能守恒，图线的斜率为__________ (结果用题中所给字母表示)。
2gL
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(2024·6月浙江选考，T16 Ⅰ)在“验证机械能守恒定律”的实验中：
(1)下列操作正确的是_______。
解析：为了减小阻力对实验的影响，且获得最多的数据，故选A。
A　
(2)实验获得一条纸带，截取点迹清晰的一段并测得数据如图所示。已知打点的频率为50 Hz，则打点“13”时，重锤下落的速度大小为_________ m/s(保留3位有效数字)。
3.34
(3)某同学用纸带的数据求出重力加速度g＝9.77 m/s2，并用此g值计算得出打点“1”到“13”过程重锤的重力势能减小值为5.09m，另计算得动能增加值为5.08m(m为重锤质量)，则该结果______(选填“能”或“不能”)验证机械能守恒，理由是_____。
A．在误差允许范围内
B．没有用当地的重力加速度g
解析：计算重力势能时应用当地的重力加速度计算，故不能验证机械能守恒定律，故选B。
不能
B
2．(2025·江苏淮安市期中)为验证机械能守恒定律，某小组同学设计的实验装置如图所示，细线的一端拴一个金属小球，另一端连在天花板O处。先用水平作用力将小球从最低点A处缓慢拉至B点，然后由静止释放，B、A的竖直高度差为h，记录小球通过A处光电门的遮光时间为t，金属小球的直径为d(d h)，整个过程中细线都处于绷直状态，已知当地重力加速度为g。
(1)为了验证机械能守恒定律，下列必须使用的器材是______。(填正确答案前的字母标号)
A．秒表
B．刻度尺
C．天平(含砝码)
解析：光电门具有计时功能，故不需要秒表；实验需使用刻度尺测量B、A的竖直高度差h；验证机械能守恒的表达式中，小球的质量可以约去，故不需要使用天平(含砝码)。
B　
(2)若小球质量为m，小球从B点至A点过程中，重力势能减少量为___________。
解析：小球从B点至A点过程中，重力势能减少量ΔEp＝mgh。
(3)小球通过最低点的速度大小为___________。
mgh
(4)小球从静止释放到最低点的过程中，满足机械能守恒的关系式为______________(用d、g、h、t表示)。
(5)实验时应选用密度稍大的重物，这样做能减小误差的主要原因是_________________________________________________________________。
解析：实验时应选用密度稍大的重物，这样做能减小误差的主要原因是减小空气阻力对实验的影响。
减小空气阻力对实验的影响题组1　机械能守恒的判断
1．下列叙述正确的是(　　)
A．做匀速直线运动物体的机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动物体的机械能一定守恒
C．外力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒
D．系统内只有重力或弹力做功时，系统的机械能一定守恒
解析：选D。做匀速直线运动物体的机械能不一定守恒，如物体匀速上升，机械能增加，故A错误；做匀变速直线运动的物体机械能可能不守恒，如水平面上做匀加速直线运动的物体，机械能增加，故B错误；外力对物体做功为零，物体的机械能不一定守恒，例如物体向上做匀速直线运动时，外力对物体做功为零，机械能增加，故C错误；系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒，故D正确。
2.如图所示的是运 20加油机给歼 10战斗机加油的情景，在加油过程中，加油机和战斗机的飞行高度、速度和方向均不变，关于加油机和战斗机的机械能说法正确的是(　　)
A．战斗机动能增大，势能减小，机械能不变
B．加油机动能减小，势能不变，机械能不变
C．加油机动能减小，势能不变，机械能减小
D．战斗机动能增大，势能增大，机械能增大
解析：选D。战斗机油量增加，质量增大，速度不变，动能增大，高度不变，重力势能增大。机械能为动能和重力势能之和，所以战斗机机械能增大。加油机油量减少，质量减少，速度不变，动能减小，高度不变，重力势能减小。机械能为动能和重力势能之和，所以加油机机械能减小，故A、B、C错误，D正确。
题组2　机械能守恒的简单应用
3．如图所示，运动员将质量为m的足球从地面上以速度v踢出，足球恰好水平击中高为h的球门横梁。以地面为零势能面，不计空气阻力，则足球在飞行过程中的机械能为(　　)
A．mv2 B．mgh
C．mv2＋mgh D．mv2－mgh
解析：选A。以地面为零势能面，故足球在地面上的机械能E＝mv2，由于不计阻力，足球的机械能守恒，则飞行过程的机械能均为mv2。
4．如图所示，水平桌面距地面0.8 m，一质量为2 kg小球自距桌面0.4 m的高度由静止下落。小球可视为质点，不计空气阻力，以桌面为参考平面，重力加速度g取10 m/s2。小球将要落地前，其机械能为(　　)
A．0 B．8 J
C．16 J D．24 J
解析：选B。以桌面为参考平面，则小球刚下落时的机械能为Ek1＝mgh＝8 J，小球下落过程中机械能守恒，则小球将要落地前，其机械能为8 J。
5.(双选)如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中(弹簧保持竖直)，下列关于能的叙述正确的是(　　)
A．小球的机械能守恒
B．小球的动能先增大后减小
C．小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和先减小后增大
D．小球的动能和弹簧的弹性势能之和先增大后减小
解析：选BC。小球下落过程中弹簧弹力对小球做负功，小球的机械能减少，故A错误；小球下落和弹簧接触过程中，开始做加速度逐渐减小的加速运动，当弹簧弹力等于重力时速度最大，然后做加速度逐渐增大的减速运动，故其动能先增大后减小，故B正确；小球下落过程中动能、重力势能以及弹簧弹性势能三者之和保持不变，由于动能先增大后减小，因此弹性势能和重力势能之和先减小后增大，故C正确；由于重力势能一直减小，因此小球的动能和弹簧的弹性势能之和一直增大，故D错误。
6.如图所示，质量为m的某同学练习竖直弹跳，第一阶段，脚没有离地，经过一段时间重心上升h1，人获得速度v1，第二阶段，人整体形态保持不变，重心又上升了h2，到达最高点。重力加速度为g，以下说法正确的是(　　)
A．第一阶段地面支持力对人做的功为零
B．第一阶段地面支持力对人做的功为mgh1
C．第二阶段，重力的功率为零
D．整个过程中人的机械能守恒
解析：选A。第一阶段地面支持力的作用点的位移为零，所以支持力对人做的功为零，故A正确，B错误；第二阶段，重力的功率PG＝，由此可知，重力的功率不为零，故C错误；在起跳过程中，储存在人体肌肉中的化学能转化为人体的机械能，所以人体机械能不守恒，故D错误。
7．(双选)两质量相同的物体A和B，分别从两个高度相同的光滑斜面和光滑圆弧形斜坡的顶端滑向底部，如图所示。若它们的初速度为零，则下列说法正确的是(　　)
A．下滑过程中重力做的功不相等 B．它们在顶端时的机械能相等
C．它们到达底部时的动能相等 D．它们到达底部时的速度相同
解析：选BC。根据WG＝mgh得，重力做功相等，故A错误；在顶点时，由于质量相等，则重力势能相等，动能都为零，所以机械能相等，故B正确；根据mgh＝mv2－0得，到达底端时动能等于重力做功的大小，所以到达底端时的动能相等，故C正确；根据C选项分析可知，到达底端的动能相等，速度大小相等，但方向不同，故D错误。
题组3　连接体的机械能守恒问题
8.如图所示，A、B两物体的质量分别为m、2m，中间用轻杆相连，放在光滑的斜面上，现将它们由静止释放，在下滑的过程中(　　)
A．两物体下滑的加速度不相同 B．轻杆对A做正功，对B做负功
C．系统的机械能守恒 D．任意时刻两物体重力的功率相同
解析：选C。因为两物体用轻杆连接，一起运动，加速度相同，对两物体整体受力分析得(2m＋m)g sin θ＝(2m＋m)a，因此整体加速度a＝g sin θ，故A错误；设杆对B的力为F，隔离B可得2mg sin θ＋F＝2ma，所以F＝0不做功，故B错误；只有重力对系统做功，动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故C正确；因为重力的功率P＝mgvy，虽然两物体速度相同，但是质量不一样，重力的功率不一样，故D错误。
9.(双选)如图所示，上表面是光滑圆弧的质量为M的小车A置于光滑水平面上，有一质量为m的物体B在弧上自由滑下的同时释放A，则(　　)
A．在B下滑的过程中，B的机械能守恒
B．圆弧轨道对B的支持力对B不做功
C．在B下滑的过程中，A的机械能增加
D．A、B组成的系统机械能守恒
解析：选CD。在B下滑的过程中，A向左运动，除了B所受的重力做功外，圆弧轨道对B的支持力对B做负功，故B的机械能减少，A、B错误；B对圆弧轨道的压力对A做正功，故A的机械能增加，C正确；A、B组成的系统只发生系统内动能和重力势能之间的相互转化，系统机械能守恒，D正确。
10.(2025·泉州市期末)如图所示，B物体的质量是A物体质量的一半，不计所有摩擦，A物体从离地面高H处由静止开始下落，以地面为零势能面，当A物体的动能与其重力势能相等时，A物体距地面的高度为(设该过程中B物体未与滑轮相碰)(　　)
A．0.4H B．0.2H
C．0.8H D．H
解析：选A。对A、B两物体组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，B的重力势能不变，所以A重力势能的减小量等于系统动能的增加量，有mAg(H－h)＝(mA＋mB)v2，又因为物体A的动能与其重力势能相等，有mAgh＝mAv2，又因为B物体的质量是A物体质量的一半，解得h＝0.4H。
11.如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)(　　)
A．在任一时刻，两球动能相等
B．在任一时刻，两球加速度相等
C．在任一时刻，两球和弹簧组成的系统动能与重力势能之和保持不变
D．在任一时刻，两球和弹簧组成的系统机械能是不变的
解析：选D。细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P、Q两球受力分析可知aP＞aQ，在任一时刻，两球的动能不一定相等，A、B错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能与重力势能之和发生变化，C错误；Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，D正确。
12.如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时加速度为零
D．圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和先增大后减小
解析：选B。下滑过程中，弹簧的弹力对圆环做功，则圆环机械能不守恒，故A错误；根据几何关系可知，圆环下滑的最大距离为L，根据系统的机械能守恒可知，弹簧弹性势能的增加量等于圆环重力势能的减少量，则弹簧的弹性势能变化了ΔEp＝mgh＝mgL，故B正确；圆环刚向下运动时，重力大于弹力，随着弹力逐渐增大，加速度逐渐减小，当圆环加速度减小到零时，速度最大，继续向下运动，弹簧弹力增大，则圆环下滑到最大距离时合力不为零，加速度不为零，故C错误；根据题意可知，圆环的速度先增大后减小，动能先增大后减小，根据系统的机械能守恒可知，圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，故D错误。
13．(14分)如图所示，一条不可伸长的轻质软绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个质量分别为m、3m的小球a和b，用手按住a球静止于地面时，b球离地面的高度为h，两小球均可视为质点，定滑轮的质量及一切阻力均不计，a球与定滑轮间距足够大，不会相碰，释放a球后，求：
(1)b球落地前的加速度大小；(4分)
(2)b球落地前的动能大小；(6分)
(3)a球能到达的最大高度。(4分)
解析：(1)b球落地前，两球的加速度大小相等，以b球为对象，根据牛顿第二定律可得
3mg－T＝3ma
以a球为对象，根据牛顿第二定律可得
T－mg＝ma
联立解得a＝g。
(2)b球落地前过程，根据系统机械能守恒可得
3mgh－mgh＝(3m＋m)v2
解得b球落地前瞬间的速度大小v＝
则b球落地前的动能
Ekb＝×3mv2＝mgh。
(3)b球落地后，a球继续做竖直上抛运动，继续上升的高度
h′＝＝h
则a球能到达的最大高度
hm＝h＋h′＝h。
答案：(1)g　(2)mgh　(3)h第2节　功　率
1．理解功率的概念，知道平均功率和瞬时功率。　2.掌握平均功率和瞬时功率的计算方法。
3．知道机械的额定功率和实际功率的区别。
一、功率的含义
1．定义：力所做的功W与完成这些功所用的时间t之比。
2．定义式：P＝。
3．单位：在国际单位制中，功率的单位为瓦特，简称瓦，用符号W表示。1 W＝1 J/s，1 kW＝103 W。
4．功率是描述做功快慢的物理量，是标量。
二、常见机械的功率
1．额定功率：动力机械可以长时间工作的最大允许功率。
2．实际功率：实际工作时，动力机械的功率。
三、功率与力、速度的关系
1．功率与力、速度的关系式：P＝Fv(F与v方向相同)。
2．推导
P＝Fv
3．平均功率和瞬时功率
(1)平均功率：当力F为恒力，v为某段时间内的平均速度时，对应P为平均功率。
(2)瞬时功率：若时间间隔很小，我们可将平均速度看成瞬时速度，那么此时的功率P可看成该时刻的瞬时功率。
(3)当物体受力为变力时，在力与速度方向相同的情况下，功率P＝Fv仍然成立，此时v为瞬时速度，F为相应时刻的力，P为对应的瞬时功率。
判断下列说法是否正确。
(1)由公式P＝知，做功越多，功率越大。(　　)
(2)力对物体做功越快，力的功率一定越大。(　　)
(3)物体的速度为v，则重力的功率一定是mgv。(　　)
(4)发动机不能在实际功率等于额定功率的情况下长时间工作。(　　)
(5)汽车爬坡时常常需要换高速挡。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
知识点一　对功率概念的理解
　关于功率的概念，下列说法正确的是(　　)
A．功率是表示力做功快慢的物理量
B．功率是表示力做功多少的物理量
C．由P＝可知，功率与时间成反比
D．只要F不为零，v也不为零，这个力的功率P就一定不为零
[解析]　功率是表示力做功快慢的物理量，功是表示力做功多少的物理量，A正确，B错误；P＝是功率的定义式，功率与时间没有决定关系，不能说功率与时间成反比，C错误；由于P＝Fv cos α，当α＝90°时，功率P为零，D错误。
[答案]　A
　关于功率，下列说法正确的是(　　)
A．由功率公式P＝可知，做功的时间越短，功率就越大
B．由功率公式P＝可知，只要知道W和t的值就可以求任意时刻的功率
C．由P＝Fv可知，汽车的功率和它的速度成正比
D．由P＝Fv可知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
[解析]　功率与做功多少和时间都有关系，做功多少不确定，功率大小不能确定，A错误；由P＝能够求出平均功率的大小，不能求出任意时刻的瞬时功率，B错误；当牵引力一定时，根据P＝Fv知汽车发动机的功率与速度成正比，C错误；由公式P＝Fv可知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与汽车的速度成反比，D正确。
[答案]　D
知识点二　平均功率和瞬时功率
如图所示，某部队正用吊车将一台坦克车从码头上吊起装上舰船。
(1)将质量为m的坦克车以速度v匀速吊起，坦克车在t时间内匀速上升高度h。怎样计算吊车的功率？其瞬时功率是多少？
(2)若坦克车在相同的时间t内，从静止开始以加速度a匀加速上升高度h，该过程中吊车的平均功率是多少？其瞬时功率是多少？
[提示]　(1)吊车对坦克车做的功W＝mgh
功率P＝＝
瞬时功率P瞬＝Fv＝mgv。
(2)该过程中吊车的平均功率
P＝＝＝
瞬时功率P瞬＝Fv＝(mg＋ma)at。
1．公式P＝和P＝Fv的比较
比较项目 P＝ P＝Fv
适用条件 (1)功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率(2)当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率 (1)功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，一般用来求瞬时功率(2)当v为平均速度时，所求功率为平均功率
联系 (1)公式P＝Fv是P＝的推论(2)功率P的大小与W、t无关
2.功率的计算
(1)平均功率的计算
①利用P＝。
②利用P＝F，其中为物体运动的平均速度。
(2)瞬时功率的计算
①利用公式P＝Fv，其中v为瞬时速度。
②利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度。
③利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体所受外力在速度v方向上的分力。
　如图所示，竖直墙面上的M点到地面有Ⅰ、Ⅱ两条固定光滑轨道，从M点静止释放的物块沿不同轨道滑到地面，下列说法正确的是(　　)
A．物块滑到地面时，沿Ⅰ下滑重力的瞬时功率等于沿Ⅱ下滑重力的瞬时功率
B．物块滑到地面时，沿Ⅰ下滑重力的瞬时功率大于沿Ⅱ下滑重力的瞬时功率
C．物块运动过程中，沿Ⅰ下滑重力的平均功率等于沿Ⅱ下滑重力的平均功率
D．物块运动过程中，沿Ⅰ下滑重力的平均功率小于沿Ⅱ下滑重力的平均功率
[解析]　设斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律可知a＝g sin θ，v2＝2as＝2g sin θ＝2gh，v＝，可知两次物块到达底端的速度相等，则重力的瞬时功率P＝mgv sin θ，可知物块滑到地面时，沿Ⅰ下滑的重力的瞬时功率大于沿Ⅱ下滑的重力的瞬时功率，故A错误，B正确；根据运动学规律有＝gt2sin θ，则物块重力的平均功率＝＝mgh，则物块运动过程中，沿Ⅰ下滑时重力的平均功率大于沿Ⅱ下滑时重力的平均功率，故C、D错误。
[答案]　B
　如图所示，质量相等的两物块分别在恒力F1、F2作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，F1、F2的大小相等，两力与水平面的夹角相同，两物块运动了相同的位移。设此过程中F1对物块做的功为W1，F2对物块做的功为W2，F1的平均功率为P1，F2的平均功率为P2则(　　)
A．若水平面光滑，则W1＞W2 B．若水平面粗糙，则W1＞W2
C．若水平面光滑，则P1＜P2 D．若水平面粗糙，则P1＞P2
[解析]　两个作用力大小相等，作用的位移也相等，作用力对物块做的功W＝Fs cosα，无论水平面光滑与否，都有W1＝W2，故A、B错误；若水平面光滑，则F cos α＝ma，两种情况下物块运动的加速度相同，由s＝at2，可知两物块运动相同的位移的时间相同，又由P＝，可知力F的平均功率相同，所以P1＝P2，故C错误；若水平面粗糙，由牛顿第二定律得F1cos α－μ(mg－F1sin α)＝ma1，F2cos α－μ(mg＋F2sin α)＝ma2，则a1＞a2，由s＝at2可知t1＜t2，由P＝可知P1＞P2，故D正确。
[答案]　D
知识点三　功率的估算
　引体向上是中学生体育测试的项目之一。若一个普通中学生在30 s内完成12次引体向上，则此过程中该学生克服重力做功的平均功率最接近(g取10 m/s2)(　　)
A．5 W B．20 W
C．100 W D．400 W
[解析]　学生体重约为50 kg，每次引体向上上升高度约为0.5 m，一次引体向上克服重力做功W＝mgh＝50×10×0.5 J＝250 J，全过程克服重力做功的平均功率＝＝ W＝100 W。
[答案]　C
　某举重运动员在0.5 s内由支撑到起立将杠铃举起过程中的示意图如图所示，杠铃的质量为100 kg，已知杠铃的实际直径是40 cm，可算出该运动员在上述过程中对杠铃做功的平均功率约为(g取10 m/s2)(　　)
A．500 W B．800 W
C．1 200 W D．1 800 W
[解析]　先估测杠铃被举高的高度。根据题图中提供的信息比照，估算举高的高度为55～65 cm。由公式P＝、W＝mgh可知，运动员对杠铃做功的平均功率为1 100～1 300 W，故C正确。
[答案]　C
1．(对功率的理解)(双选)关于功率公式P＝和P＝Fv，下列说法正确的是(　　)
A．力F和速度v均为矢量，故根据公式P＝Fv求得的功率P为矢量
B．由公式P＝Fv可知，若功率保持不变，则随着汽车速度增大汽车所受的牵引力减小
C．由公式P＝Fv可知，在牵引力F一定时，功率与速度成正比
D．由P＝可知，力做的功越多，功率越大
解析：选BC。虽然力F和速度v均为矢量，但是功率P为标量，故A错误；由公式P＝Fv可知，若功率保持不变，则随着汽车速度的增大，汽车所受的牵引力减小，当速度达到最大值时，牵引力最小，故B正确；由P＝Fv可知，当牵引力不变时，汽车牵引力的功率一定与它的速度成正比，故C正确；根据P＝可知t相同时，W越大P越大，故D错误。
2．(功率的计算)踢毽子是我国传统的民间体育运动。如图所示为一个小孩在踢毽子，每30秒能踢60次，每次毽子重心上升约25 cm，毽子质量为20 g，重力加速度g取10 m/s2。毽子在空中运动过程中克服重力做功的平均功率约为(　　)
A．0 B．0.1 W
C．0.2 W D．2.5 W
解析：选B。由题意可得，毽子在空中运动一次所用时间为0.5 s，上升过程中克服重力做的功W＝mgh＝0.02×10×0.25 J＝0.05 J，平均功率P＝＝ W＝0.1 W。
3．(功率的计算)如图甲，质量m＝2 kg的物体静止在水平面上，物体跟水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。从t＝0时刻起，物体受到一个水平力F的作用而开始运动，F随时间t变化的规律如图乙所示，g取10 m/s2，则F在前6 s的平均功率为(　　)
A．60 W B．56 W
C．28 W D．16 W
解析：选B。前4 s内，物体的加速度大小a1＝＝ m/s2＝3 m/s2，物体通过的位移s1＝a1t＝×3×42 m＝24 m，4 s时物体的速度v1＝a1t1＝12 m/s，4 s到6 s内，由于F2＝μmg＝4 N，则物体做匀速直线运动，通过的位移s2＝v1t2＝12×2 m＝24 m，则前6 s内，水平力F做的总功W＝F1s1＋F2s2＝10×24 J＋4×24 J＝336 J，则F在前6 s的平均功率＝＝ W＝56 W。
4．(平均功率和瞬时功率)(2025·泉州市期末)如图所示，质量m＝1 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，忽略空气阻力。求：(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)前2 s内重力所做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)在2 s末，重力的瞬时功率。
解析： (1)根据牛顿第二定律有
mg sin θ－μmg cos θ＝ma
木块的加速度a＝2 m/s2
前2 s内木块的位移s＝at2＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功
W＝mgs sin θ＝24 J。
(2)重力在前2 s内的平均功率
＝＝12 W。
(3)木块在2 s末的速度
v＝at＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgv sin θ＝24 W。
答案：(1)24 J　(2)12 W　(3)24 W第1节　机械功
1．理解功的概念及其物理意义。　2.知道正功、负功的概念，能利用功的一般公式进行计算。
3．理解总功的概念，会计算外力对物体所做的总功。
一、机械功的含义
1．机械功的定义：如果作用于某物体的恒力大小为F，该物体沿力的方向运动的位移大小为s，则F与s的乘积称为机械功，简称功。
2．恒力做功的公式：W＝Fs cos α，其中F、s、α分别为力的大小、位移的大小、力与位移方向的夹角。
3．单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，用符号J表示。
二、机械功的计算
1．正功和负功
(1)当α＝0°时，cos α＝1，W＝Fs，表示力F与物体位移方向相同。
(2)当α＝90°时，cos α＝0，W＝0，表示力F与物体位移的方向垂直时，对物体不做功。
(3)当0°≤α<90°时，cos α>0，W＝Fs cos α>0，表示力F对物体做正功。
(4)当90°<α≤180°时，cos α<0，W＝Fs cos α<0，表示力F对物体做负功，也可说物体克服这个力做了功。
(5)当α＝180°时，cos α＝－1，W＝－Fs，表示力F与物体位移方向相反。
2．总功的计算
当一个物体在多个外力的共同作用下发生一段位移时，这些外力对物体所做的总功等于：
(1)各个外力分别对物体做功的代数和，即W总＝W1＋W2＋W3＋…＝F1s cos α1＋F2s cos α2＋F3s cos α3＋…
(2)这些外力的合力对物体做的功，即W总＝F合·s cos α。
判断下列说法是否正确。
(1)物体做自由落体运动时，重力对物体一定做功。(　　)
(2)汽车沿斜坡向上加速行驶时，牵引力对汽车一定做功。(　　)
(3)力F1做功10 J，力F2做功－20 J，则F1比F2做功多。(　　)
(4)作用在同一物体上的两个力，一个做正功，一个做负功，则二力一定反向。(　　)
(5)功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和。(　　)
提示：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
知识点一　对功的理解及正、负功的判断
如图所示，马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。
(1)小车(包括人)受到几个力作用？每个力对小车做功吗？做正功还是负功？
(2)马对小车做的功是否等于马的拉力F(设F与水平方向的夹角为α)和小车的位移l的乘积？
(3)若小车做匀加速运动，合力做什么功？若小车做匀减速运动，合力做什么功？怎样求合力的功？
[提示]　(1)小车(包括人)受4个力作用：重力、支持力、拉力、摩擦力，其中拉力做正功，摩擦力做负功，重力和支持力不做功。
(2)不等于。因为W＝Fl cos α。
(3)若小车做匀加速运动，则合力做正功。若小车做匀减速运动，则合力做负功。合力的功等于拉力F做的功与摩擦力做的功的代数和，或者等于拉力和摩擦力的合力做的功。
1．对功的理解
(1)功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的代数和，或者等于合力所做的功。
(2)公式W＝Fs cos α只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。式中的s是力的作用点的位移，α是力F的方向与位移s的方向的夹角。
(3)公式W＝Fs cos α，可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(s cos α)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(F cos α)s。
2．正、负功的判断
(1)根据力F的方向和物体位移l方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形。
(2)根据力的方向与物体瞬时速度方向的夹角θ判断——常用于曲线运动的情形。
如图所示：
①若夹角θ是锐角，则力做正功。
②若夹角θ是钝角，则力做负功。
③若夹角θ是直角，则力不做功。
3．正负功的物理意义
项目 动力学角度 能量角度
正功 力对物体做正功，这个力是动力，对物体的运动起推动作用 力对物体做正功，向物体提供了能量，使物体的能量增加
负功 力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用 力对物体做负功，物体向外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，物体自身的能量减少
角度1　对功的理解
　关于功的概念，下列说法正确的是(　　)
A．功有正、负之分，说明功有方向
B．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量
C．若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有发生位移
D．一个恒力对物体做的功由力的大小和物体在该力的方向上发生的位移决定
[解析]　功有正、负之分，说明是动力做功还是阻力做功，不说明方向，功是标量，故A、B错误；根据W＝Fs cos α 可知，当力的方向与位移的方向垂直时，力不做功，但物体有位移，故C错误；根据W＝Fs cos α可知，一个恒力对物体做的功由力的大小和物体在该力的方向上发生的位移决定，故D正确。
[答案]　D
角度2　功的正负的判断
　如图所示，若用轻绳拴一物体，使物体以恒定加速度向下做减速运动，则下列说法正确的是(　　)
A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功
B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功
C．重力做正功，拉力做正功，合外力做负功
D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功
[解析]　物体所受重力与速度方向相同，所以重力做正功，拉力与速度方向相反，所以拉力做负功，由物体以恒定加速度向下做减速运动可知加速度向上，合外力向上，与速度方向相反，所以合外力做负功。
[答案]　A
　(双选)如图所示，两箱相同的货物，现要用电梯将它们运上五楼，其中图甲是用台阶式电梯，图乙是用履带式电梯，假设从一楼运到二楼两种情况下电梯都是匀加速运动，关于此过程下列说法正确的是(　　)
A．货物所受的摩擦力都做正功
B．货物所受的支持力都不做功
C．图甲中货物所受的支持力不做功
D．图乙中货物所受的支持力不做功
[解析]　题图甲中货物受到的支持力竖直向上做正功，题图乙中货物受到的支持力垂直于斜面不做功，故B、C错误，D正确。因为两种情况下电梯都是做匀加速运动，所以题图甲中货物所受摩擦力方向向右，上升过程摩擦力做正功；题图乙中货物所受摩擦力方向沿履带向上，上升过程摩擦力做正功，故A正确。
[答案]　AD
知识点二　恒力做功的计算
1．恒力做功的求法
(1)W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移s cos α，即将物体的位移分解为沿F方向上和垂直于F方向上的两个分位移s1和s2，则F做的功W＝Fs1＝Fs cos α。
(2)W等于力F在位移s方向上的分力F cos α乘以物体的位移s，即将力F分解为沿s方向上和垂直于s方向上的两个分力F1和F2，则F做的功W＝F1s＝Fs cos α。
2．基本步骤
(1)找出该力的大小；
(2)找出物体相对于地面的位移；
(3)找出该力与位移间的夹角；
(4)代入功的公式W＝Fs cos α。
3．总功的计算
(1)先由W＝Fs cos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合s cos α计算总功，此时α为F合的方向与位移s的方向间的夹角。
　用恒力F使质量为5 kg的物体从静止开始，以4 m/s2的加速度匀加速上升，不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．前2 s内恒力F 做的功是400 J
B．前2 s内合力做的功为零
C．前2 s内物体克服重力做的功是560 J
D．前2 s内重力做的功是－400 J
[解析]　根据牛顿第二定律可知，恒力F＝mg＋ma＝5×10 N＋5×4 N＝70 N，2 s内物体上升的高度h＝at2＝×4×22 m＝8 m，前2 s内恒力F 做功W1＝Fh＝70×8 J＝560 J ，故A错误；前2 s内重力做功W2＝－mgh＝－400 J ，即前2 s内物体克服重力做功为400 J ，故C错误，D正确；前2 s内合力做的功W＝W1＋W2＝160 J ，故B错误。
[答案]　D
　如图所示，将一个大小为50 N、方向与水平方向成60°角的力F作用在一个质量为6 kg 的物体上，物体沿水平地面匀速前进了8 m，g取10 m/s2，下列关于物体所受各力做功的说法正确的是(　　)
A．力F对物体做的功为400 J B．摩擦力对物体做的功为200 J
C．重力做的功为480 J D．合力做的功为0
[解析]　WF＝Fs cos 60°＝200 J，
Wf＝－fs＝－F cos 60°·s＝－200 J，
WG＝0，W支＝0，
W合＝WF＋Wf＋WG＋W支＝0。
[答案]　D
　(双选)质量为m的A物体在水平恒力F1的作用下沿水平面运动，经t0后撤去F1，其运动图像如图所示。质量为2m的B物体在水平恒力F2的作用下沿水平面运动，经t0后撤去F2，其v－t图像恰与A的重合，则下列说法正确的是(　　)
A．F1、F2大小相等
B．A、B受到的摩擦力大小相等
C．F1、F2对A、B做功之比为1∶2
D．全过程中摩擦力对A、B做功之比为1∶2
[解析]　由速度—时间图像可知，两个匀加速运动过程和匀减速运动过程的加速度之比均为1∶1，A、B的质量之比为1∶2，由牛顿第二定律可知f＝ma1，A、B所受摩擦力之比为1∶2，由F－f＝ma2可知，A、B所受拉力之比为1∶2，故A、B错误；由速度—时间图像可知，A、B两物体的加速位移相等，根据W＝Fs1知F1、F2对A、B做功之比等于拉力之比，为1∶2，故C正确；由速度—时间图像可知，A、B两物体的总位移s相等，根据摩擦力做功Wf＝－fs知摩擦力做功之比为1∶2，故D正确。
[答案]　CD
1．(对功的理解及正、负功的判断)(双选)下列说法正确的是(　　)
A．－10 J的功小于＋5 J的功
B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．一个力对物体做负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动
D．功是矢量，正、负表示方向
解析：选BC。功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功，不表示大小，比较功的大小需要比较其绝对值，所以－10 J的功大于＋5 J的功，故A、D错误，B正确；一个力对物体做负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动，故C正确。
2．(对功的理解及正、负功的判断)(2025·辽宁大连市期中)如图所示，在匀速上升的升降机中，物块始终静止在固定的斜面上，关于物块所受各力做功的说法正确的是(　　)
A．重力做正功 B．支持力做负功
C．摩擦力不做功 D．摩擦力做正功
解析：选D。重力方向竖直向下，位移方向竖直向上，可知重力做负功，A错误；支持力垂直于斜面向上，与位移的夹角为锐角，可知支持力做正功，B错误；摩擦力方向沿斜面向上，与位移的夹角为锐角，可知摩擦力做正功，C错误，D正确。
3．(恒力做功的计算)如图，在大小F＝10 N的方向向右的水平恒力作用下，物体受到的滑动摩擦力大小f＝6 N。物体水平向右移动5 m的过程中，以下说法不正确的是(　　)
A．恒力F对物体做功50 J B．滑动摩擦力f对物体做功30 J
C．合力对物体做功20 J D．物体克服f做功30 J
解析：选B。由做功公式可得，恒力F对物体做功W＝Fs＝10×5 J＝50 J，故A正确；滑动摩擦力f对物体做功Wf＝－fs＝－30 J，则物体克服f做功为30 J，故B错误，D正确；合力对物体做功W合＝W＋Wf＝20 J，故C正确。
4.(利用v－t图像求功)(双选)被弹射器弹出的质量为2 kg的物体在水平面上做直线运动，某时刻在物体运动方向上施加一水平拉力F，之后物体运动的v－t图像如图所示。若物体所受摩擦力大小为10 N，则在前5 s内(　　)
A．拉力F做功150 J B．拉力F做功100 J
C．摩擦力做功250 J D．物体克服摩擦力做功250 J
解析：选AD。由图像可得物体的加速度a＝ m/s2＝－2 m/s2，根据牛顿第二定律有F－f＝ma，解得F＝6 N。由于v－t图线与横轴所围面积表示位移，所以前5 s内物体发生的位移s＝×5×10 m＝25 m，故拉力F做功WF＝Fs＝6×25 J＝150 J，A正确，B错误；摩擦力做功Wf＝－fs＝－10×25 J＝－250 J，即物体克服摩擦力做功250 J，故C错误，D正确。题组1　动能和动能定理
1．下列关于动能的说法正确的是(　　)
A．两个物体中，速度大的动能也大
B．某物体的速度加倍，它的动能也加倍
C．做匀速直线运动的物体动能保持不变
D．某物体的动能保持不变，则速度一定不变
解析：选C。动能的表达式为Ek＝mv2，即物体的动能大小由质量和速度大小共同决定，速度大的物体的动能不一定大，故A错误；速度加倍，它的动能变为原来的4倍，故B错误；速度不变，动能不变，故C正确；速度方向变化，动能也可不变，故D错误。
2．关于动能、动能定理，下列说法正确的是(　　)
A．动能不变的物体，一定处于平衡状态
B．一定质量的物体，速度变化时，其动能一定变化
C．运动物体所受的合外力为零，则物体的动能一定不变
D．运动物体所受的合外力不为零，则物体的动能一定变化
解析：选C。物体的动能不变，说明物体的质量和速率不变，但是速度方向可能变化，则不一定处于平衡状态，A错误；一定质量的物体，速度变化时，速度的大小不一定变化，故动能不一定改变，B错误；运动物体所受合外力为零，合外力对物体不做功，由动能定理可知，物体动能不变，C正确；运动物体所受的合外力不为零，但合外力做功可能为零，动能不一定变化，D错误。
3．两个物体A、B的质量之比为mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们和水平桌面间的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比为(　　)
A．2∶1 B．1∶2
C．4∶1 D．1∶4
解析：选B。物体滑行过程中只有摩擦力做功，根据动能定理，对A：－μmAgsA＝0－Ek，对B：－μmBgsB＝0－Ek，故＝＝，B正确。
4．(双选)质点在恒力作用下，从静止开始做匀加速直线运动，则质点的动能(　　)
A．与它通过的位移成正比
B．与它通过的位移的二次方成正比
C．与它运动的时间成正比
D．与它运动的时间的二次方成正比
解析：选AD。由动能定理得Fs＝mv2，运动的位移s＝at2，质点的动能在恒力F一定的条件下与质点的位移成正比，与物体运动的时间的二次方成正比。
题组2　探究恒力做功与动能改变的关系
5．某学习小组做“探究恒力做功与动能改变的关系”实验，如图甲所示。
(1)实验中所用电磁打点计时器是一种使用______(选填“交流”或“直流”)电源的计时仪器，它的工作电压是4～6 V，当电源的频率为50 Hz时，它每隔______s打一次点。
(2)实验中，为了把重物所受的重力作为小车所受的牵引力，需要满足的条件是：
①在未挂重物时，通过垫木块使木板适当倾斜，目的是_______________________；
②已知小车质量为M，重物质量为m，则M_____(选填“>”“ ”“＝”“<”或“ ”)m；
(3)选出一条纸带如图乙所示，其中O点为打点计时器打下的第一个点，A、B、C为相邻的三个计数点。用刻度尺测得OA＝s1，OB＝s2，OC＝s3，已知相邻两计数点间时间间隔为T，重力加速度为g，则打下B点时小车的速度大小为v＝______，与之对应小车所受的牵引力做功W＝______。
解析：(1)实验中所用电磁打点计时器是一种使用交流电源的计时仪器，当电源的频率为50 Hz时，它每隔0.02 s打一次点。
(2)①在未挂重物时，通过垫木块使木板适当倾斜，目的是平衡摩擦力；
②为了把重物所受的重力作为小车所受的牵引力，需要M m。
(3)打下B点时小车的速度大小v＝AC＝；把重物所受的重力作为小车所受的牵引力，则B点对应小车所受的牵引力做功W＝mgs2。
答案：(1)交流　0.02　(2)①平衡摩擦力　②
(3)　mgs2
题组3　动能定理的基本应用
6．如图所示，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球在空中达到的最高点的高度为h，在最高点时的速度为v，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．运动员踢球时对足球做功mv2
B．足球上升过程重力做功mgh
C．运动员踢球时对足球做功mv2＋mgh
D．足球上升过程克服重力做功mv2＋mgh
解析：选C。足球上升过程中足球所受重力做负功，WG＝－mgh，B、D错误；从运动员踢球至足球上升至最高点的过程中，W－mgh＝mv2，故运动员踢球时对足球做的功W＝mv2＋mgh，C正确，A错误。
7．质量为M的汽车在平直的公路上行驶，发动机的输出功率P和汽车所受的阻力f都恒定不变，在时间t内，汽车的速度由v0增加到最大速度vm，汽车前进的距离为s，则在这段时间内发动机所做的功W不可用下列哪个式子计算(　　)
A．W＝Pt
B．W＝(v0＋vm) ft
C．W＝fvmt
D．W＝Mvm2－Mv02＋fs
解析：选B。发动机所做的功W＝Pt，A正确；汽车运动时做加速度减小的变加速运动，则平均速度不等于(v0＋vm)，发动机的牵引力逐渐减小，当速度达到最大时，牵引力才等于f，则发动机做功W＝Fs不等于(v0＋vm)ft，B错误；汽车达到最大速度时F＝f，此时P＝fvm，则发动机所做的功W＝fvmt，C正确；根据动能定理W－fs ＝Mvm2－Mv02，发动机所做的功W＝Mvm2－Mv02＋fs，D正确。
8．如图所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，速度为6 m/s，下滑的高度为5 m。若物体的质量为1 kg，则下滑过程中物体克服阻力所做的功为(g取10 m/s2)(　　)
A．50 J B．18 J
C．32 J D．0
解析：选C。由动能定理得mgh－Wf＝mv2，故Wf＝mgh－mv2＝1×10×5 J－×1×62 J＝32 J，C正确。
9．(双选)人通过滑轮将质量为m的物体沿粗糙的斜面由静止开始匀加速地由斜面底端拉上顶端，物体上升的高度为h，到达斜面顶端的速度为v，如图所示。在此过程中(　　)
A．物体所受合外力做的功为mgh＋mv2
B．物体所受合外力做的功为mv2
C．人对物体做的功为mgh
D．人对物体做的功大于mgh
解析：选BD。物体沿斜面做匀加速运动，根据动能定理有W合＝WF－Wf－mgh＝mv2，其中Wf为物体克服摩擦力做的功，人对物体做的功即为人对物体的拉力做的功，所以W人＝WF＝Wf＋mgh＋mv2，A、C错误，B、D正确。
10．如图所示，斜面高h，质量为m的物块，在沿斜面向上的恒力F作用下，能匀速沿斜面向上运动，若把此物块放在斜面顶端，在沿斜面向下同样大小的恒力F作用下物块由静止向下滑动，滑至底端时其动能的大小为(　　)
A．mgh B．2mgh
C．2Fh D．Fh
解析：选B。物块匀速上滑时，根据动能定理得WF－mgh－Wf＝0，物块下滑时，根据动能定理得WF＋mgh－Wf＝Ek－0，联立两式解得Ek＝2mgh，故B正确。
11．如图(a)，从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图(b)所示。由图可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中(　　)
A．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
B．甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
解析：选A。由题图(b)可知，下滑过程中，甲做匀加速直线运动，乙做加速度逐渐减小的加速运动，则甲沿Ⅱ下滑，乙沿Ⅰ下滑，任意时刻甲的速度都小于乙的速度，可知同一时刻甲的动能比乙的小，故A正确，B错误；乙沿Ⅰ下滑，开始时乙速度为0，到N点时乙竖直方向速度为零，根据瞬时功率公式P＝mgvy，可知重力瞬时功率先增大后减小，故C、D错误。
12．(10分)(2024·新课标卷，T24)将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量m＝42 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，当P绳与竖直方向的夹角α＝37°时，Q绳与竖直方向的夹角β＝53°。(sin 37°＝0.6)
(1)求此时P、Q绳中拉力的大小。(6分)
(2)若开始竖直下降时重物距地面的高度h＝10 m，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功。(4分)
解析：(1)重物下降的过程中受力平衡，设此时P、Q绳中拉力的大小分别为T1和T2，竖直方向
T1cos α＝mg＋T2cos β
水平方向T1sin α＝T2sin β
联立代入数值得
T1＝1 200 N，T2＝900 N。
(2)整个过程，根据动能定理得
W＋mgh＝0
解得两根绳子拉力对重物做的总功
W＝－4 200 J。
答案：(1)1 200 N　900 N　(2)－4 200 J(共37张PPT)
第2节　功　率
学习目标
1．理解功率的概念，知道平均功率和瞬时功率。　2.掌握平均功率和瞬时功率的计算方法。　3．知道机械的额定功率和实际功率的区别。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、功率的含义
1．定义：力所做的功W与完成这些功所用的时间t______。
2．定义式：P＝__________。
3．单位：在国际单位制中，功率的单位为______，简称____，用符号W表示。1 W＝1 J/s，1 kW＝103 W。
4．功率是描述做功快慢的物理量，是标量。
之比
瓦特
瓦
二、常见机械的功率
1．额定功率：动力机械可以________工作的最大允许功率。
2．实际功率：实际工作时，动力机械的功率。
长时间
三、功率与力、速度的关系
1．功率与力、速度的关系式：P＝_____(F与v方向相同)。
Fv
Fs
Fv
3．平均功率和瞬时功率
(1)平均功率：当力F为恒力，v为某段时间内的__________时，对应P为平均功率。
(2)瞬时功率：若时间间隔很小，我们可将平均速度看成__________，那么此时的功率P可看成该时刻的瞬时功率。
(3)当物体受力为变力时，在力与速度方向相同的情况下，功率P＝Fv仍然成立，此时v为__________，F为相应时刻的力，P为对应的__________。
平均速度
瞬时速度
瞬时速度
瞬时功率
√
×　
×　
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　对功率概念的理解
√
[解析]　功率是表示力做功快慢的物理量，功是表示力做功多少的物理量，A正确，B错误；



由于P＝Fv cos α，当α＝90°时，功率P为零，D错误。
√
[解析]　功率与做功多少和时间都有关系，做功多少不确定，功率大小不能确定，A错误；


当牵引力一定时，根据P＝Fv知汽车发动机的功率与速度成正比，C错误；
由公式P＝Fv可知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与汽车的速度成反比，D正确。
知识点二　平均功率和瞬时功率
如图所示，某部队正用吊车将一台坦克车从码头上吊起装上舰船。
(1)将质量为m的坦克车以速度v匀速吊起，坦克车在t时间内匀速上升高度h。怎样计算吊车的功率？其瞬时功率是多少？
(2)若坦克车在相同的时间t内，从静止开始以加速度a匀加速上升高度h，该过程中吊车的平均功率是多少？其瞬时功率是多少？
　　　如图所示，竖直墙面上的M点到地面有Ⅰ、Ⅱ两条固定光滑轨道，从M点静止释放的物块沿不同轨道滑到地面，下列说法正确的是(　　)
A．物块滑到地面时，沿Ⅰ下滑重力的瞬时功率等于沿
Ⅱ下滑重力的瞬时功率
B．物块滑到地面时，沿Ⅰ下滑重力的瞬时功率大于沿
Ⅱ下滑重力的瞬时功率
C．物块运动过程中，沿Ⅰ下滑重力的平均功率等于沿Ⅱ下滑重力的平均功率
D．物块运动过程中，沿Ⅰ下滑重力的平均功率小于沿Ⅱ下滑重力的平均功率
√
　　　如图所示，质量相等的两物块分别在恒力F1、F2作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，F1、F2的大小相等，两力与水平面的夹角相同，两物块运动了相同的位移。设此过程中F1对物块做的功为W1，F2对物块做的功为W2，F1的平均功率为P1，F2的平均功率为P2则(　　)
A．若水平面光滑，则W1＞W2
B．若水平面粗糙，则W1＞W2
C．若水平面光滑，则P1＜P2
D．若水平面粗糙，则P1＞P2
√
[解析]　两个作用力大小相等，作用的位移也相等，作用力对物块做的功W＝Fs cosα，无论水平面光滑与否，都有W1＝W2，故A、B错误；
知识点三　功率的估算
　　　引体向上是中学生体育测试的项目之一。若一个普通
中学生在30 s内完成12次引体向上，则此过程中该学生克服
重力做功的平均功率最接近(g取10 m/s2)(　　)
A．5 W B．20 W
C．100 W D．400 W
√
　　　某举重运动员在0.5 s内由支撑到起立将杠铃举起过
程中的示意图如图所示，杠铃的质量为100 kg，已知杠铃
的实际直径是40 cm，可算出该运动员在上述过程中对杠
铃做功的平均功率约为(g取10 m/s2)(　　)
A．500 W
B．800 W
C．1 200 W
D．1 800 W
√
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
√
解析：虽然力F和速度v均为矢量，但是功率P为标量，故A错误；
由公式P＝Fv可知，若功率保持不变，则随着汽车速度的增大，汽车所受的牵引力减小，当速度达到最大值时，牵引力最小，故B正确；
由P＝Fv可知，当牵引力不变时，汽车牵引力的功率一定与它的速度成正比，故C正确；
√
2．(功率的计算)踢毽子是我国传统的民间体育运动。如图所示
为一个小孩在踢毽子，每30秒能踢60次，每次毽子重心上升约
25 cm，毽子质量为20 g，重力加速度g取10 m/s2。毽子在空中
运动过程中克服重力做功的平均功率约为(　　)
A．0 B．0.1 W
C．0.2 W D．2.5 W
√
3．(功率的计算)如图甲，质量m＝2 kg的物体静止在水平面上，物体跟水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。从t＝0时刻起，物体受到一个水平力F的作用而开始运动，F随时间t变化的规律如图乙所示，g取10 m/s2，则F在前6 s的平均功率为(　　)
A．60 W
B．56 W
C．28 W
D．16 W
4．(平均功率和瞬时功率)(2025·泉州市期末)如图所示，质量m＝1 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，忽略空气阻力。求：(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)前2 s内重力所做的功；
答案：24 J　
(2)前2 s内重力的平均功率；
答案：12 W　
(3)在2 s末，重力的瞬时功率。
解析：木块在2 s末的速度
v＝at＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgv sin θ＝24 W。
答案：24 W(共25张PPT)
课后达标检测
√
题组1　动能和动能定理
1．下列关于动能的说法正确的是(　　)
A．两个物体中，速度大的动能也大
B．某物体的速度加倍，它的动能也加倍
C．做匀速直线运动的物体动能保持不变
D．某物体的动能保持不变，则速度一定不变
速度加倍，它的动能变为原来的4倍，故B错误；
速度不变，动能不变，故C正确；
速度方向变化，动能也可不变，故D错误。
√
2．关于动能、动能定理，下列说法正确的是(　　)
A．动能不变的物体，一定处于平衡状态
B．一定质量的物体，速度变化时，其动能一定变化
C．运动物体所受的合外力为零，则物体的动能一定不变
D．运动物体所受的合外力不为零，则物体的动能一定变化
解析：物体的动能不变，说明物体的质量和速率不变，但是速度方向可能变化，则不一定处于平衡状态，A错误；
一定质量的物体，速度变化时，速度的大小不一定变化，故动能不一定改变，B错误；
运动物体所受合外力为零，合外力对物体不做功，由动能定理可知，物体动能不变，C正确；
运动物体所受的合外力不为零，但合外力做功可能为零，动能不一定变化，D错误。
√
3．两个物体A、B的质量之比为mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们和水平桌面间的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比为(　　)
A．2∶1 B．1∶2
C．4∶1 D．1∶4
√
√
4．(双选)质点在恒力作用下，从静止开始做匀加速直线运动，则质点的动能(　　)
A．与它通过的位移成正比
B．与它通过的位移的二次方成正比
C．与它运动的时间成正比
D．与它运动的时间的二次方成正比
题组2　探究恒力做功与动能改变的关系
5．某学习小组做“探究恒力做功与动能改变的关系”实验，如图甲所示。
(1)实验中所用电磁打点计时器是一种使用______(选填“交流”或“直流”)电源的计时仪器，它的工作电压是4～6 V，当电源的频率为50 Hz时，它每隔______s打一次点。
解析：实验中所用电磁打点计时器是一种使用交流电源的计时仪器，当电源的频率为50 Hz时，它每隔0.02 s打一次点。
交流
0.02
(2)实验中，为了把重物所受的重力作为小车所受的牵引力，需要满足的条件是：
①在未挂重物时，通过垫木块使木板适当倾斜，目的是_______________；
②已知小车质量为M，重物质量为m，则M_____(选填“>”“ ”“＝”“<”或“ ”)m；
解析：①在未挂重物时，通过垫木块使木板适当倾斜，目的是平衡摩擦力；
②为了把重物所受的重力作为小车所受的牵引力，需要M m。
平衡摩擦力

(3)选出一条纸带如图乙所示，其中O点为打点计时器打下的第一个点，A、B、C为相邻的三个计数点。用刻度尺测得OA＝s1，OB＝s2，OC＝s3，已知相邻两计数点间时间间隔为T，重力加速度为g，则打下B点时小车的速
度大小为v＝______，与之对应小车所受的牵引力做功W＝______。
mgs2
√
解析：足球上升过程中足球所受重力做负功，WG＝－mgh，B、D错误；
√
解析：发动机所做的功W＝Pt，A正确；
汽车达到最大速度时F＝f，此时P＝fvm,则发动机所做的功W＝fvmt,C正确；
√
8．如图所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，速度为6 m/s，下滑的高度为5 m。若物体的质量为1 kg，则下滑过程中物体克服阻力所做的功为(g取10 m/s2)(　　)
A．50 J B．18 J
C．32 J D．0
√
√
√
10．如图所示，斜面高h，质量为m的物块，在沿斜面向上的恒力F作用下，能匀速沿斜面向上运动，若把此物块放在斜面顶端，在沿斜面向下同样大小的恒力F作用下物块由静止向下滑动，滑至底端时其动能的大小为(　　)
A．mgh B．2mgh
C．2Fh D．Fh
解析：物块匀速上滑时，根据动能定理得WF－mgh－Wf＝0，物块下滑时，根据动能定理得WF＋mgh－Wf＝Ek－0，联立两式解得Ek＝2mgh，故B正确。
11．如图(a)，从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图(b)所示。由图可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中(　　)
A．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
B．甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
√
解析：由题图(b)可知，下滑过程中，甲做匀加速直线运动，乙做加速度逐渐减小的加速运动，则甲沿Ⅱ下滑，乙沿Ⅰ下滑，任意时刻甲的速度都小于乙的速度，可知同一时刻甲的动能比乙的小，故A正确，B错误；
乙沿Ⅰ下滑，开始时乙速度为0，到N点时乙竖直方向速度为零，根据瞬时功率公式P＝mgvy，可知重力瞬时功率先增大后减小，故C、D错误。
12．(10分)(2024·新课标卷，T24)将重物从高层楼房的窗外运到
地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的
距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在
重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量m＝42 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，当P绳与竖直方向的夹角α＝37°时，Q绳与竖直方向的夹角β＝53°。(sin 37°＝0.6)
(1)求此时P、Q绳中拉力的大小。(6分)
解析：重物下降的过程中受力平衡，设此时P、Q绳中拉力的大小分别为T1和T2，竖直方向
T1cos α＝mg＋T2cos β
水平方向T1sin α＝T2sin β
联立代入数值得
T1＝1 200 N，T2＝900 N。
答案：1 200 N　900 N　
(2)若开始竖直下降时重物距地面的高度h＝10 m，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功。(4分)
解析：整个过程，根据动能定理得
W＋mgh＝0
解得两根绳子拉力对重物做的总功
W＝－4 200 J。
答案：－4 200 J(共27张PPT)
课后达标检测
题组1　功率的理解和计算
1．(双选)关于力对物体做功的功率，下列说法正确的是(　　)
A．力对物体做功越多，这个力的功率就越大
B．力对物体做功的时间越短，这个力的功率就越大
C．力对物体做功少，其功率也可能很大；力对物体做功多，其功率也可能较小
D．功率是表示做功快慢的物理量，而不是表示做功多少的物理量
√
√
如果W小，但当t很小时，P也可能很大；如果W较大，但当t很大时，P也可能较小，故C正确；
√
由P＝Fv cos θ可知，瞬时功率除了与F、v有关，还与F和v的夹角θ有关，若θ＝90°，则F的功率为零，B错误；
用电器正常工作时的实际功率是额定功率，额定功率是在正常条件下可以长时间工作的最大功率，实际功率可以短时间内大于额定功率，不可以长时间大于额定功率，D正确，C错误。
√
3．质量为m的物体静止在粗糙水平地面上，现用一水平恒力F拉动物体，经过一段时间后其速度变为v，重力加速度为g，则(　　)
A．在这段时间内，摩擦力做正功
B．在这段时间内，拉力做负功
C．物体的速度为v时，拉力的功率为Fv
D．物体的速度为v时，重力的功率为mgv
解析：由于摩擦力方向与运动方向相反，所以摩擦力对物体做负功，故A错误；
由于拉力方向与运动方向相同，所以拉力对物体做正功，故B错误；
物体的速度为v时，拉力的功率P＝Fv，由于重力与速度方向垂直，所以重力的功率为0，故C正确，D错误。
√
4．如图所示，小明体重为600N，小亮体重为400 N，两人同时从一楼出发上到三楼，小明先到达，小亮后到达，则下列说法正确的是(　　)
A．小明上楼功率大 B．小亮上楼功率大
C．小明上楼做功少 D．小亮上楼做功多
√
5．如图所示，分别用力F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，在此过程中F1、F2、F3的平均功率分别为P1、P2、P3，则(　　)

A．P1＝P2＝P3 B．P1＞P2＝P3
C．P3＞P2＞P1 D．P1＞P2＞P3
解析：物体的加速度相同，说明物体受到的合力相同，即拉力F沿着斜面方向的分力都相同，根据功的公式W＝Fs可得，拉力在沿着斜面方向上的分力相同，位移相同，所以拉力做的功相同，由于物体的运动情况相同，所以物体运动的时间也相同，则拉力的平均功率也就相同，故A正确。
√
√
7．(2025·广东韶关市期末)甲、乙两物体所受重力之比为1∶2，它们从同一高度同时释放各自做自由落体运动，历时4 s落地，则甲物体下落第1 s末和乙物体下落第3 s末重力的瞬时功率之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶6 D．1∶9
解析：根据PG＝mgvy＝mg·gt＝mg2t，可得甲物体下落第1 s末和乙物体下落第3 s末重力的瞬时功率之比PG甲∶PG乙＝(1×1)∶(2×3)＝1∶6。
√
√
9．小明同学骑电动自行车沿平直公路行驶，因电瓶“没电”，故改用脚蹬骑车匀速前行。设小明与车的总质量为100 kg，人与车的速度恒为5 m/s，骑行过程中所受阻力约为车和人总重的0.02，g取10 m/s2，小明骑此电动车做功的功率约为(　　)
A．10 W B．100 W
C．1 000 W D．10 000 W
解析：根据题意可得，人骑车时匀速前行，人对车向前的动力F＝f＝0.02mg＝0.02×1 000 N＝20 N，故小明骑此电动自行车做功的功率P＝Fv＝20×5 W＝100 W。
10．(双选)如图所示，位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体仍做速度为v的匀速运动，则以下说法正确的是(　　)

A．F2一定大于F1 B．F2的大小可能等于F1
C．F2的功率一定小于F1的功率 D．F2的功率可能等于F1的功率
√
√
依题意，可知F2的功率P2＝F2v cos θ＝μ(mg－F2sin θ)v，F1的功率P1＝F1v＝μmgv，显然F2的功率小于F1的功率，故C正确，D错误。
√
11．一质量为1 kg的物体(视为质点)静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到水平外力F作用，F－t图像如图所示。下列判断正确的是(　　)
A．前2 s内外力的平均功率是5 W
B．第2 s内外力所做的功是4 J
C．第2 s末外力的瞬时功率最大
D．第1 s末与第2 s末外力的瞬时功率之比为9∶4
第2 s内外力做功W2＝F2s2＝1×3.5 J＝3.5 J，B错误；
√
√
解析：功率是描述力做功快慢的物理量，因此重力的功率描述重力做功的快慢，故A正确；
13.(12分)如图所示，一台起重吊车将质量m＝500 kg
的重物由静止开始以 a＝0.2 m/s2加速度竖直向上
匀加速提升，t＝10 s末之后保持功率不变继续提升重物，直至
重物匀速上升。g取10 m/s2不计空气阻力，求：
(1)前10 s起重吊车拉力F的大小；(2分)
解析：由牛顿第二定律有F－mg＝ma
解得F＝5 100 N。
答案：5 100 N　
(2)10 s末起重机的瞬时功率P；(2分)
解析：起重机做匀加速直线运动，有
v＝at
P＝Fv
解得P＝10 200 W。
答案：10 200 W　
(3)重物上升的最大速度vm；(2分)
解析：达到最大速度时，加速度为零，有
P＝mgvm
解得vm＝2.04 m/s。
答案：2.04 m/s
(4)重物开始运动后15 s内起重机提升重物的平均功率。(6分)
答案：6 800 W题组1　功的理解及正、负功的判断
1.如图所示，一箱苹果相对静止地沿着倾角为θ的斜面减速下滑，对于箱子正中央的一只苹果，它周围苹果对它作用力的合力(　　)
A．对这只苹果不做功 B．对这只苹果做正功
C．对这只苹果做负功 D．无法确定
解析：选C。对整体分析，根据牛顿第二定律可知加速度沿斜面向上，则箱子正中央的苹果受周围苹果的作用力偏向左上，与位移夹角为钝角，对苹果做负功。
2．(2025·厦门市期中)如图所示，一物体静止在斜面上，现在使斜面体向右匀速移动一段距离，物体相对斜面始终静止，则下列关于物体所受各力对物体做功的说法正确的是(　　)
A．重力做正功 B．支持力不做功
C．摩擦力做负功 D．合力做正功
解析：选C。对物体受力分析可知物体受重力、弹力和摩擦力，受力分析图如图所示，由于物体在水平方向移动，重力的方向与物体位移方向垂直，所以重力对物体不做功，支持力的方向与位移方向的夹角小于90°，则支持力对物体做正功，摩擦力的方向与位移方向的夹角大于90°，所以摩擦力对物体做负功，所受合外力为0，故合外力不做功。
3.如图所示，小物块与斜面体一起沿水平面向右做匀速直线运动。关于斜面体对物块做功，下列说法正确的是(　　)
A．支持力不做功 B．支持力做正功
C．摩擦力做正功 D．摩擦力与支持力做功代数和不为零
解析：选C。小物块与斜面体一起沿水平面向右做匀速直线运动，物块处于平衡状态，受重力、垂直于斜面向上的支持力与沿斜面向上的静摩擦力作用，支持力方向与物块位移方向之间的夹角为钝角，可知支持力做负功，故A、B错误；根据上述可知，静摩擦力与物块位移方向之间的夹角为锐角，则摩擦力做正功，故C正确；摩擦力与支持力的合力方向竖直向上，与物块位移方向垂直，合力不做功，则可知摩擦力与支持力做功代数和为零，故D错误。
题组2　恒力做功的计算
4．某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进l距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进l距离，则先后两次拉力F做的功W1和W2的关系是(　　)
A．W1>W2 B．W1＝W2
C．W1解析：选B。拉力做功W1＝W2＝Fl。
5．(2025·江苏常州市期末)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。现使斜面向右水平匀速移动一段距离L，物体与斜面的相对位置不变，如图所示，在此过程中摩擦力对物体所做的功为(　　)
A．μmgL cos2θ B．－μmgL cos2θ
C．mgL sinθcos θ D．－mgL sin θcos θ
解析：选C。物体在斜面静止受力如图所示，由平衡条件得，物体所受的静摩擦力f＝mg sin θ，摩擦力对物体做的功W＝fL cos θ＝mgL sin θcos θ。
6.如图所示，两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，物体发生一段位移后，力F1对物体做功为4 J，力F2对物体做功为3 J，则力F1与F2的合力对物体做功为(　　)
A．7 J B．5 J
C．3.5 J D．1 J
解析：选A。力F1与F2的合力对物体做功W＝3 J＋4 J＝7 J。
7.如图所示，一个物体放在水平面上，在与竖直方向成θ角的斜向下的推力F的作用下沿平面移动了位移s，若物体的质量为m，物体与地面之间的动摩擦因数为μ，则在此过程中(　　)
A．摩擦力做的功为－μmgs B．摩擦力做的功为－μmgs cos θ
C．力F做的功为Fs sin θ D．力F做的功为Fs cos θ
解析：选C。摩擦力的大小f＝μFN＝μ(mg＋F cos θ)，摩擦力做的功Wf＝fs cos 180°＝－μmgs－μFs cos θ，故A、B错误；力F做的功WF＝F sin θ·s＝Fs sin θ，故C正确，D错误。
8.如图所示，用大小为12 N、沿水平方向的恒力F作用在质量为2 kg 的木箱上，使木箱在水平地面上沿直线运动，已知木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.50，g取10 m/s2，当木箱从静止开始运动了12 m时(　　)
A．力F做的功W1＝120 J B．重力做的功W2＝240 J
C．克服摩擦力做的功为120 J D．合力做的功W合＝0
解析：选C。根据做功公式可得力F做的功W1＝Fl＝144 J，故A错误；在重力方向上没有位移，重力不做功，故B错误；根据做功公式可得摩擦力f做的功W3＝－fl＝－μmgl＝－120 J，所以克服摩擦力做的功为120 J，故C正确；合力做的功W合＝W1＋W3＝24 J，故D错误。
9.如图所示，质量为60 kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将他的身体视为一根直棒，已知重心在C点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离OA、OB分别为1.0 m和0.60 m，若他在1 min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，重力加速度g取10 m/s2，则运动员1 min内克服重力做功约为(　　)
A．150 J B．204 J
C．4 500 J D．7 200 J
解析：选C。由几何知识可知，人肩部上升的距离为0.4 m时，人重心上升的高度为h＝×0.4 m＝0.25 m，则1次俯卧撑克服重力做功W克1＝mgh＝60×10×0.25 J＝150 J。1 min内做了30个俯卧撑，1 min 内克服重力做功W克＝30W克1＝30×150 J＝4 500 J，故C正确。
10．(双选)(2025·三明市期末)如图所示，质量为m的飞机在水平甲板上，受到与竖直方向成θ角的斜向下的拉力F作用，沿水平方向移动了距离s，飞机与水平面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中(　　)
A．摩擦力做的功为fs B．摩擦力做的功为－fs
C．重力做的功为0 D．力F做的功为Fs cos θ
解析：选BC。摩擦力大小为f做负功，则摩擦力做的功Wf＝－fs，故A错误，B正确；由于竖直方向上没有位移，故重力不做功，故C正确；由题意得，拉力与位移方向上的夹角为90°－θ，则根据功的公式得WF＝Fs cos (90°－θ)＝Fs sin θ，故D错误。
11．(双选)质量为2 kg的物体置于水平面上，在水平拉力F的作用下做匀变速直线运动，拉力F作用2 s后撤去，物体运动的v－t 图像如图所示，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．拉力F做功75 J B．拉力F做功150 J
C．物体克服摩擦力做功175 J D．物体克服摩擦力做功100 J
解析：选BC。由题图可知，前2 s的加速度a1＝ m/s2＝2.5 m/s2，后4 s的加速度大小a2＝ m/s2＝2.5 m/s2，则由牛顿第二定律可知，阻力f＝ma2＝2×2.5 N＝5 N，牵引力F＝ma1＋f＝10 N，前2 s内的位移s1＝×2 m＝15 m，后4 s的位移s2＝ m＝20 m，则拉力做功W1＝Fs1＝10×15 J＝150 J，克服摩擦力所做的功Wf＝f(s1＋s2)＝5×(15＋20)J＝175 J，故B、C正确，A、D错误。
12.如图所示，物体由静止开始分别沿不同路径Ⅰ、Ⅱ由顶端A下滑至底端B，两次下滑过程中物体与斜面间的动摩擦因数相同，且不计路径Ⅱ中转折处的能量损失，则物体到达B点的过程中摩擦力做功(　　)
A．第一次小 B．第二次小
C．两次一样大 D．无法确定
解析：选C。设斜面倾角为α，物体沿斜面下滑时，克服摩擦力所做的功Wf＝μmg cos α·s＝μmgL，L是斜面在水平面上的投影长度，Ⅰ和Ⅱ的路径虽然不同，但它们在水平面上的投影长度L相同，因此它们克服摩擦力所做的功相同。
13．如图所示，重物P放在粗糙的水平板OM上，当水平板绕O端缓慢抬高，在重物P没有滑动之前，下列说法正确的是(　　)
A．P受到的支持力做正功 B．P受到的支持力不做功
C．P受到的摩擦力做负功 D．P受到的摩擦力做正功
解析：选A。当水平板绕O端缓慢抬高，在重物P没有滑动之前，P绕O端转动，支持力垂直于板向上，支持力与速度方向相同，故支持力做正功，摩擦力沿板方向，与速度方向垂直，所以摩擦力不做功，故A正确，B、C、D错误。
14．(12分)用起重机把质量为200 kg的物体提高了5 m。(g取10 m/s2)
(1)若物体匀速上升，钢绳的拉力做了多少功？重力做了多少功？克服重力做了多少功？这些力的总功是多少？(8分)
(2)若物体匀加速上升，加速度a＝2 m/s2，绳的拉力做了多少功？物体所受各力的总功是多少？(4分)
解析：(1)物体匀速提升，由平衡条件得
钢绳的拉力F＝mg＝200×10 N＝2 000 N
钢绳的拉力做功WF＝Fh＝2 000×5 J＝1.0×104 J
重力做功WG＝－mgh＝－200×10×5 J＝－1.0×104 J
则物体克服重力做功为1.0×104 J
这些力所做的总功W总＝WF＋WG＝0。
(2)根据牛顿第二定律得T－mg＝ma
得T＝m(g＋a)＝200×(10＋2)N＝2 400 N
绳的拉力做功WT＝Th＝2 400×5 J＝1.2×104 J
物体所受各力的总功等于合外力做的功W总′＝mah＝200×2×5 J＝2 000 J。
答案：(1)1.0×104 J　－1.0×104 J
1．0×104 J　0
(2)1.2×104 J　2 000 J(共37张PPT)
第1章　功和机械能
第1节　机械功
学习目标
1．理解功的概念及其物理意义。　2.知道正功、负功的概念，能利用功的一般公式进行计算。　3．理解总功的概念，会计算外力对物体所做的总功。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、机械功的含义
1．机械功的定义：如果作用于某物体的恒力大小为F，该物体沿力的方向运动的位移大小为s，则F与s的乘积称为机械功，简称功。
2．恒力做功的公式：W＝___________，其中F、s、α分别为力的大小、位移的大小、力与位移方向的夹角。
3．单位：在国际单位制中，功的单位是______，用符号____表示。
Fs cos α
焦耳
J
二、机械功的计算
1．正功和负功
(1)当α＝0°时，cos α＝1，W＝_____，表示力F与物体位移方向相同。
(2)当α＝90°时，cos α＝0，W＝___，表示力F与物体位移的方向垂直时，对物体________。
(3)当0°≤α<90°时，cos α>0，W＝Fs cos α>0，表示力F对物体做______。
(4)当90°<α≤180°时，cos α<0，W＝Fs cos α<0，表示力F对物体做______，也可说物体______这个力做了功。
(5)当α＝180°时，cos α＝－1，W＝－Fs，表示力F与物体位移方向相反。
Fs
0
不做功
正功
负功
克服
2．总功的计算
当一个物体在多个外力的共同作用下发生一段位移时，这些外力对物体所做的总功等于：
(1)各个外力分别对物体做功的________，即W总＝W1＋W2＋W3＋…＝F1s cos α1＋F2s cos α2＋F3s cos α3＋…
(2)这些外力的______对物体做的功，即W总＝F合·s cos α。
代数和
合力
判断下列说法是否正确。
(1)物体做自由落体运动时，重力对物体一定做功。(　　)
(2)汽车沿斜坡向上加速行驶时，牵引力对汽车一定做功。(　　)
(3)力F1做功10 J，力F2做功－20 J，则F1比F2做功多。(　　)
(4)作用在同一物体上的两个力，一个做正功，一个做负功，则二力一定反向。(　　)
(5)功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和。(　　)
√
√
×　
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　对功的理解及正、负功的判断
如图所示，马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。

(1)小车(包括人)受到几个力作用？每个力对小车做功吗？做正功还是负功？
[提示]　小车(包括人)受4个力作用：重力、支持力、拉力、摩擦力，其中拉力做正功，摩擦力做负功，重力和支持力不做功。
(2)马对小车做的功是否等于马的拉力F(设F与水平方向的夹角为α)和小车的位移l的乘积？
[提示]　不等于。因为W＝Fl cos α。
(3)若小车做匀加速运动，合力做什么功？若小车做匀减速运动，合力做什么功？怎样求合力的功？
[提示]　若小车做匀加速运动，则合力做正功。若小车做匀减速运动，则合力做负功。合力的功等于拉力F做的功与摩擦力做的功的代数和，或者等于拉力和摩擦力的合力做的功。
1．对功的理解
(1)功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的代数和，或者等于合力所做的功。
(2)公式W＝Fs cos α只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。式中的s是力的作用点的位移，α是力F的方向与位移s的方向的夹角。
(3)公式W＝Fs cos α，可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(s cos α)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(F cos α)s。
2．正、负功的判断
(1)根据力F的方向和物体位移l方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形。
(2)根据力的方向与物体瞬时速度方向的夹角θ判断——常用于曲线运动的情形。
如图所示：
①若夹角θ是锐角，则力做正功。
②若夹角θ是钝角，则力做负功。
③若夹角θ是直角，则力不做功。
3．正负功的物理意义
项目 动力学角度 能量角度
正功 力对物体做正功，这个力是动力，对物体的运动起推动作用 力对物体做正功，向物体提供了能量，使物体的能量增加
负功 力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用 力对物体做负功，物体向外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，物体自身的能量减少
√
角度1　对功的理解
　　　关于功的概念，下列说法正确的是(　　)
A．功有正、负之分，说明功有方向
B．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量
C．若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有发生位移
D．一个恒力对物体做的功由力的大小和物体在该力的方向上发生的位移决定
[解析]　功有正、负之分，说明是动力做功还是阻力做功，不说明方向，功是标量，故A、B错误；
根据W＝Fs cos α 可知，当力的方向与位移的方向垂直时，力不做功，但物体有位移，故C错误；
根据W＝Fs cos α可知，一个恒力对物体做的功由力的大小和物体在该力的方向上发生的位移决定，故D正确。
√
角度2　功的正负的判断
　　　 如图所示，若用轻绳拴一物体，使物体以
恒定加速度向下做减速运动，则下列说法正确的是
(　　)
A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功
B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功
C．重力做正功，拉力做正功，合外力做负功
D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功
[解析]　物体所受重力与速度方向相同，所以重力做正功，拉力与速度方向相反，所以拉力做负功，由物体以恒定加速度向下做减速运动可知加速度向上，合外力向上，与速度方向相反，所以合外力做负功。
(双选)如图所示，两箱相同的货物，现要用电梯将它们运上五楼，其中图甲是用台阶式电梯，图乙是用履带式电梯，假设从一楼运到二楼两种情况下电梯都是匀加速运动，关于此过程下列说法正确的是(　　)
A．货物所受的摩擦力都做正功
B．货物所受的支持力都不做功
C．图甲中货物所受的支持力不做功
D．图乙中货物所受的支持力不做功
√
√
[解析]　题图甲中货物受到的支持力竖直向上做正功，题图乙中货物受到的支持力垂直于斜面不做功，故B、C错误，D正确。
因为两种情况下电梯都是做匀加速运动，所以题图甲中货物所受摩擦力方向向右，上升过程摩擦力做正功；题图乙中货物所受摩擦力方向沿履带向上，上升过程摩擦力做正功，故A正确。
知识点二　恒力做功的计算
1．恒力做功的求法
(1)W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移s cos α，即将物体的位移分解为沿F方向上和垂直于F方向上的两个分位移s1和s2，则F做的功W＝Fs1＝Fs cos α。
(2)W等于力F在位移s方向上的分力F cos α乘以物体的位移s，即将力F分解为沿s方向上和垂直于s方向上的两个分力F1和F2，则F做的功W＝F1s＝Fs cos α。
2．基本步骤
(1)找出该力的大小；
(2)找出物体相对于地面的位移；
(3)找出该力与位移间的夹角；
(4)代入功的公式W＝Fs cos α。
3．总功的计算
(1)先由W＝Fs cos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合s cos α计算总功，此时α为F合的方向与位移s的方向间的夹角。
√
　　　用恒力F使质量为5 kg的物体从静止开始，以4 m/s2的加速度匀加速上升，不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．前2 s内恒力F 做的功是400 J
B．前2 s内合力做的功为零
C．前2 s内物体克服重力做的功是560 J
D．前2 s内重力做的功是－400 J
前2 s内重力做功W2＝－mgh＝－400 J ，即前2 s内物体克服重力做功为400 J ，故C错误，D正确；
前2 s内合力做的功W＝W1＋W2＝160 J ，故B错误。
√
　　　如图所示，将一个大小为50 N、方向与水平方
向成60°角的力F作用在一个质量为6 kg 的物体上，
物体沿水平地面匀速前进了8 m，g取10 m/s2，下列关
于物体所受各力做功的说法正确的是(　　)
A．力F对物体做的功为400 J
B．摩擦力对物体做的功为200 J
C．重力做的功为480 J
D．合力做的功为0
[解析]　WF＝Fs cos 60°＝200 J，
Wf＝－fs＝－F cos 60°·s＝－200 J，
WG＝0，W支＝0，
W合＝WF＋Wf＋WG＋W支＝0。
　　　(双选)质量为m的A物体在水平恒力F1的作用下沿水
平面运动，经t0后撤去F1，其运动图像如图所示。质量为
2m的B物体在水平恒力F2的作用下沿水平面运动，经t0后撤
去F2，其v－t图像恰与A的重合，则下列说法正确的是(　　)
A．F1、F2大小相等
B．A、B受到的摩擦力大小相等
C．F1、F2对A、B做功之比为1∶2
D．全过程中摩擦力对A、B做功之比为1∶2
√
√
[解析]　由速度—时间图像可知，两个匀加速运动过程和匀减速运动过程的加速度之比均为1∶1，A、B的质量之比为1∶2，由牛顿第二定律可知f＝ma1，A、B所受摩擦力之比为1∶2，由F－f＝ma2可知，A、B所受拉力之比为1∶2，故A、B错误；
由速度—时间图像可知，A、B两物体的加速位移相等，根据W＝Fs1知F1、F2对A、B做功之比等于拉力之比，为1∶2，故C正确；
由速度—时间图像可知，A、B两物体的总位移s相等，根据摩擦力做功Wf＝－fs知摩擦力做功之比为1∶2，故D正确。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(对功的理解及正、负功的判断)(双选)下列说法正确的是(　　)
A．－10 J的功小于＋5 J的功
B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．一个力对物体做负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动
D．功是矢量，正、负表示方向
解析：功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功，不表示大小，比较功的大小需要比较其绝对值，所以－10 J的功大于＋5 J的功，故A、D错误，B正确；
一个力对物体做负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动，故C正确。
√
√
2．(对功的理解及正、负功的判断)(2025·辽宁大连市期中)如图所示，在匀速上升的升降机中，物块始终静止在固定的斜面上，关于物块所受各力做功的说法正确的是(　　)
A．重力做正功
B．支持力做负功
C．摩擦力不做功
D．摩擦力做正功
解析：重力方向竖直向下，位移方向竖直向上，可知重力做负功，A错误；
支持力垂直于斜面向上，与位移的夹角为锐角，可知支持力做正功，B错误；
摩擦力方向沿斜面向上，与位移的夹角为锐角，可知摩擦力做正功，C错误，D正确。
√
3．(恒力做功的计算)如图，在大小F＝10 N的方向向右的水平恒力作用下，物体受到的滑动摩擦力大小f＝6 N。物体水平向右移动5 m的过程中，以下说法不正确的是(　　)

A．恒力F对物体做功50 J B．滑动摩擦力f对物体做功30 J
C．合力对物体做功20 J D．物体克服f做功30 J
解析：由做功公式可得，恒力F对物体做功W＝Fs＝10×5 J＝50 J，故A正确；
滑动摩擦力f对物体做功Wf＝－fs＝－30 J，则物体克服f做功为30 J，故B错误，D正确；
合力对物体做功W合＝W＋Wf＝20 J，故C正确。
4.(利用v－t图像求功)(双选)被弹射器弹出的质量为2 kg的
物体在水平面上做直线运动，某时刻在物体运动方向上施
加一水平拉力F，之后物体运动的v－t图像如图所示。若物
体所受摩擦力大小为10 N，则在前5 s内(　　)
A．拉力F做功150 J
B．拉力F做功100 J
C．摩擦力做功250 J
D．物体克服摩擦力做功250 J
√
√
摩擦力做功Wf＝－fs＝－10×25 J＝－250 J，即物体克服摩擦力做功250 J，故C错误，D正确。第4节　势能及其改变
1．知道重力做功与路径无关。　2.理解重力势能的概念，知道重力势能具有相对性、系统性，会用重力势能的计算式进行相关计算。　3.理解重力做功与重力势能变化的关系。　4.理解弹性势能的概念，会分析决定弹簧弹性势能大小的相关因素。
一、重力势能
1．定义：物体因为处于一定的高度而具有的能量。
2．公式：Ep＝mgh，式中h是物体重心到零势能参考平面的高度。
3．标矢性：重力势能是标量，单位：焦耳；符号：J。
二、重力做功与重力势能改变的关系
1．重力做功的表达式：W＝mgh1－mgh2。
2．重力做功的特点：重力做功与始末位置的高度差有关，与路径无关。
3．重力做功与重力势能改变的关系：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减小多少；物体克服重力做多少功，物体的重力势能就增大多少。
4．相对性：重力势能值与参考平面的选取有关，是相对的，而重力势能的改变量与参考平面的选取无关。
三、弹性势能及其改变
1．定义：物体因为发生弹性形变而具有的能量。
2．弹簧的弹性势能：弹簧的弹性形变越大，具有的弹性势能就越大；在同样的形变下，弹簧的劲度系数越大，具有的弹性势能就越大。
3．弹簧弹力做功与弹性势能改变的关系：弹簧的弹力对外做多少功，弹性势能就减小多少；物体克服弹力做多少功，弹性势能就增大多少。
4．势能
(1)定义：由相对位置决定的能量称为势能。
(2)系统性：势能是存储于一个物体系统内的能量，不是物体单独具有的，而是相互作用的物体所共有的。
判断下列说法是否正确。
(1)物体只要运动，其重力一定做功。(　　)
(2)物体的高度只要发生变化，其重力一定做功。(　　)
(3)重力做功多少取决于物体所受的重力和它通过的路程。(　　)
(4)重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1与Ep2方向相反。(　　)
(5)不同弹簧发生相同的形变时弹力做功相同。(　　)
(6)弹簧被压缩时，弹性势能为负；弹簧被拉伸时，弹性势能为正。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
知识点一　重力做功的特点
如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中思考并讨论以下问题：
(1)甲、乙、丙三种情况下重力做的功各是多少？
(2)重力做功有什么特点？
[提示]　(1)三种情况下重力做的功都是mgh。
(2)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
1．做功表达式
WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，式中Δh指初位置与末位置的高度差；h1、h2分别指初位置、末位置的高度。
2．做功的正负
物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功。
3．做功的大小
重力对物体做功的大小只跟物体的起点与终点的高度差有关，与物体运动的路径无关。
角度1　重力做功的特点
　如图所示，一物体从A点出发，分别沿粗糙斜面AB和光滑斜面AC下滑及斜向上抛出，运动后到达同一水平面上的B、C、D三点。关于重力的做功情况，下列说法正确的是(　　)
A．沿AB面滑下时，重力做功最多
B．沿AC面滑下时，重力做功最多
C．沿AD抛物线运动时，重力做功最多
D．三种情况下运动时，重力做的功相等
[解析]　由于重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关，故三种情况下运动时，重力做的功相等，均为WG＝mgh。
[答案]　D
角度2　重力做功的求解
　如图所示，质量为m的小球从斜面上高为h的A点处滚下，经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达高为的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为(　　)
A． B．
C．mgh D．0
[解析]　方法一：分段法
小球由A→B，重力做正功W1＝mgh
小球由B→C，重力做功为0
小球由C→D，重力做负功W2＝－mg·
故小球由A→D全过程中重力做功
WG＝W1＋W2＝mg＝mgh。
方法二：全过程法
全过程，小球的高度差h1－h2＝h，故WG＝mgh。
[答案]　B
知识点二　重力做功和重力势能的变化
如图所示，幼儿园的小朋友们正在玩滑梯(选地面为参考面，小朋友质量为m)：
(1)在最高点(高度为h)和地面处的重力势能各是多少？
(2)下滑过程中重力做多少功？重力势能如何变化？
[提示]　(1)最高点与地面的重力势能分别为mgh、0。
(2)重力做功W＝mgh。重力势能减少了mgh。
1．对重力势能的理解
(1)系统性：重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上的物体单独具有的。
(2)相对性：重力势能Ep＝mgh与参考平面的选择有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度。重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正、负之分。当物体在参考平面上方时，Ep为正值；当物体在参考平面下方时，Ep为负值。注意物体重力势能的正、负是表示比零势能大，还是比零势能小。
(3)参考平面选择的任意性：视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所到达的最低点为零势能参考平面。
(4)重力势能变化的绝对性：物体从一个位置运动到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取及过程无关，它的变化量是绝对的。
2．重力做功与重力势能的变化
(1)表达式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(2)重力做多少正功，重力势能就减小多少；克服重力做多少功，重力势能就增加多少。
角度1　对重力势能的理解
　(双选)下列关于重力势能的理解，正确的是(　　)
A．放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零
B．重力势能的变化量与参考平面的选取无关
C．重力势能减小时，重力对物体做正功
D．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
[解析]　重力势能和零势能面选取有关，放在地面上的物体，它的重力势能不一定等于零，故A错误；重力势能的变化量与物体的质量和变化高度有关，与参考平面的选取无关，故B正确；重力势能减小时，高度下降，重力对物体做正功，故C正确；若物体在零势能面下方，物体与零势能面的距离越大，则重力势能越小，故D错误。
[答案]　BC
角度2　重力做功和重力势能的变化
　一个0.1 kg的球从1.8 m的高处落到地上又弹回到1 m高度，选下落起点为参考面(g取10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．整个过程重力做功为1.8 J
B．整个过程重力做了0.8 J的负功
C．整个过程物体的重力势能一定减少了0.8 J
D．物体在地面时的重力势能为0
[解析]　整个过程重力做功WG＝mgΔh＝0.1×10×(1.8－1) J＝0.8 J，可知整个过程重力做功为0.8 J，则物体的重力势能一定减少了0.8 J；选下落起点为参考面，物体在地面时的重力势能Ep＝－mgh＝－0.1×10×1.8 J＝－1.8 J。
[答案]　C
　如图所示，树上与A等高的P处有一个质量m＝0.3 kg的苹果下落。苹果有可能被人用篮子在与B等高处接住，也可能落到地面C处，还可能落到地面后滚入坑底D处。(g取10 m/s2)
(1)分别以A、C、E所在水平面为零势能面，求P处苹果的重力势能。
(2)苹果由P分别落至C或落至D处的过程中，求重力所做的功以及重力势能的变化量。
[解析]　(1)以A所在水平面为零势能面，P的相对高度hA＝0
则P处苹果的重力势能EpA＝mghA＝0
以C所在水平面为零势能面，P的相对高度
hC＝2.2 m
则P处苹果的重力势能
EpC＝mghC＝0.3×10×2.2 J＝6.6 J
以E所在水平面为零势能面，P的相对高度
hE＝－1.6 m
则P处苹果的重力势能
EpE＝mghE＝0.3×10×(－1.6) J＝－4.8 J。
(2)苹果由P落至C处，高度降低ΔhC＝2.2 m
则重力做正功WGC＝mgΔhC＝0.3×10×2.2 J＝6.6 J
重力势能变化量ΔEpC＝－WGC＝－6.6 J
苹果由P落至D处，高度降低ΔhD＝5.2 m
则重力做正功
WGD＝mgΔhD＝0.3×10×5.2 J＝15.6 J。
重力势能变化量ΔEpD＝－WGD＝－15.6 J
[答案]　(1)0　6.6 J　－4.8 J　(2)6.6 J　－6.6 J　15.6 J　－15.6 J
知识点三　弹性势能
如图所示，某人正在用拉力器锻炼臂力。
(1)人不用力时，弹簧不伸长，此时弹簧有弹性势能吗？
(2)人拉弹簧时对弹簧做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？
(3)在弹簧弹性限度内，人将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多吗？弹性势能越大吗？
(4)有的拉力器有2条弹簧，有的有4条弹簧，拉伸相同长度，用力一样吗？克服弹力做功相同吗？
[提示]　(1)弹簧不伸长，没有弹性势能。
(2)人对弹簧做正功，弹性势能增加。
(3)将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多，弹性势能越大。
(4)用力不一样，克服弹力做功也不相同。
1．对弹性势能的理解
(1)
(2)
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
如图所示，O为弹簧的原长处。
(1)弹力做负功时：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功时：如物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp。
角度1　对弹性势能的理解
　关于弹性势能说法正确的是(　　)
A．同一根弹簧在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
B．劲度系数越小，弹性势能越大
C．弹簧越长，弹性势能越大
D．弹性势能与劲度系数和形变量无关
[解析]　同一根弹簧，劲度系数一定，在弹性限度内，弹簧的形变量越大，弹性势能越大，故A正确。弹簧的弹性势能由劲度系数与形变量共同决定，当劲度系数越小，形变量也越小时，弹性势能越小；当弹簧越长，形变量越大，但弹簧的劲度系数非常小时，弹簧的弹性势能也可能越小，故B、C、D错误。
[答案]　A
角度2　弹力做功和弹性势能
　如图所示，一轻弹簧左端固定，右端连接一物体，物体放在光滑的水平面上。现对物体施加一作用力F，使物体处于静止状态。然后撤去F，物体将向右运动。物体从静止开始向右运动一直到速度再次为零的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧的弹性势能逐渐减小 B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．弹簧的弹性势能先减小后增大 D．弹簧的弹性势能先增大后减小
[解析]　物体从静止开始向右运动一直到速度再次为零的过程中，弹簧先逐渐恢复原长，再逐渐被拉长，则弹性势能先减小后增大。
[答案]　C
角度3　重力做功、弹力做功和势能变化
　如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中(弹簧保持竖直)，下列说法正确的是(　　)
A．小球的速度先增大后减小 B．重力势能先减小后增大
C．弹性势能先增大后减小 D．重力先做正功后做负功
[解析]　在小球刚接触弹簧的时候，弹簧的弹力小于小球所受的重力，合力向下，小球还是向下加速，当弹簧的弹力和小球所受的重力相等时，小球的速度达到最大，之后弹力大于重力，小球开始减速，直至减为零。根据以上分析，小球的速度先变大后变小，故A正确；小球一直向下运动，小球的重力做正功，重力势能一直减小，故B、D错误；弹簧的弹力一直做负功，弹簧的弹性势能一直在增大，故C错误。
[答案]　A
1．(重力做功的特点)小李将质量为m的篮球(视为质点)从距水平地面的高度为h处由静止释放，篮球多次弹起后静止在地面上，篮球第n次弹起的高度hn＝(n＝1，2，3，…)，重力加速度大小为g。整个过程中，篮球受到的重力做的功为(　　)
A．0 B．mgh
C．mgh D．2mgh
解析：选C。由题意可知最终篮球将静止在地面上，整个过程篮球初、末状态的高度差为h，所以篮球受到的重力做的功为mgh。
2．(重力做功的特点)如图所示，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中到达最高点2的高度为h，重力加速度为g，则(　　)
A．由位置1到位置2重力做功mgh
B．由位置2到位置3重力做功－mgh
C．由位置1到位置3重力做功2mgh
D．由位置1到位置3重力做功为零
解析：选D。由位置1到位置2，高度增加，重力做负功，故重力做功为－mgh，故A错误；由位置2到位置3，高度降低，重力做正功，故重力做功为mgh，故B错误；由位置1到位置3，两位置等高，故重力做功为零，故C错误，D正确。
3.(重力势能和弹性势能)如图所示，质量为m的物块与弹簧连接，静止在倾角为θ的光滑斜面上，且弹簧与斜面平行。用一外力使物块缓慢沿斜面运动直至弹簧恢复原长，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k。该过程中，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧弹力做负功 B．弹簧的弹性势能一直增大
C．物块的重力势能增加了 D．物块的重力势能增加了
解析：选D。用一外力使物块缓慢沿斜面运动直至弹簧恢复原长，弹簧弹力做正功，弹簧弹性势能减小，故A、B错误；物块静止时，根据受力平衡有mg sinθ＝kx，弹簧恢复原长的过程中，物块的重力势能增加了ΔEp＝mgx sin θ＝，故C错误，D正确。
4．(重力做功与重力势能的变化)(2025·莆田市期中)如图所示的是一种大型机械车间运输货物的天车，天车通过钢索竖直悬挂货物，现将一质量m＝2000 kg的货物(可视为质点)沿着与水平方向成30°角的方向匀速吊起，使货物在10 s内向斜上方移动了L＝5 m的距离，空气阻力不计，钢索始终竖直，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)10 s内钢索对货物的拉力做的功WF；
(2)10 s末拉力的瞬时功率P；
(3)10 s内货物的重力做的功WG及重力势能的变化量ΔEp。
解析：(1)货物做匀速直线运动，由平衡条件可知钢索拉力大小
F＝mg＝2×104 N
10 s内钢索对货物的拉力做的功
WF＝FL sin 30°
代入数据解得WF＝5×104 J。
(2)10 s末时的速度大小
v＝＝0.5 m/s
10 s末钢索拉力的瞬时功率P＝Fv sin 30°
代入数据解得P＝5×103 W。
(3)10 s内重力做的功
WG＝－mgL sin 30°＝－5×104 J
由于WG＝－ΔEp
解得ΔEp＝5×104 J。
答案：(1)5×104 J　(2)5×103 W　(3)－5×104 J　5×104 J(共48张PPT)
第3节　动能和动能定理
学习目标
1．知道动能的符号、单位和表达式，会根据动能的表达式计算物体的动能。　2.能运用牛顿第二定律和匀变速直线运动的规律，推导恒力做功与物体动能改变的关系，理解动能定理的物理意义。　3.能应用动能定理解决简单的问题。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、动能
1．定义：物体因运动而具有的能量。
2．表达式：Ek＝___________。
3．单位：在国际单位制中，动能的单位为______，符号为J，1_____________＝1 kg·(m/s2)·m＝1_______＝1 J。
4．标矢性：动能是标量，只有______。
焦耳
kg·(m/s)2
N·m
大小
二、动能定理
1．内容：合外力对物体所做的功等于物体______________。
2．表达式：W＝____________＝______________________。
动能的变化量
Ek2－Ek1
判断下列说法是否正确。
(1)速度大的物体动能也大。(　　)
(2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。(　　)
(3)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同。(　　)
(4)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。(　　)
(5)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。(　　)
(6)物体的动能增加，合外力做正功。(　　)
√
×　
×　
×　
×　
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　动能和动能定理的理解
如图所示，一个物体的质量为m、初速度为v1，在与运动方向相同的恒力F(不计摩擦阻力)的作用下发生一段位移l，速度增大到v2，则：
(1)力F对物体所做的功多大？
[提示]　W＝Fl。
(2)物体的加速度多大？
(3)物体的初速、末速、位移之间有什么关系？

(4)结合上述三式你能综合推导得到什么样的式子？
1．对动能的理解
(1)动能是标量，没有负值，与物体的速度方向无关。
(2)动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。
(3)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
3．动能定理
(1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功。
(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。

②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。
√
角度1　对动能的理解
　　　关于动能，下列说法错误的是(　　)
A．凡是运动的物体都具有动能
B．动能没有负值
C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能却不一定变化
D．动能不变的物体一定处于平衡状态
[解析]　物体由于运动而具有的能量叫作动能，A正确，不符合题意；

速度是矢量，当速度大小不变而方向变化时，动能不变，但动能变化时，速度的大小一定发生了改变，C正确，不符合题意；
物体的速度方向发生变化但大小不变时，其动能不变，但物体却处于非平衡状态，D错误，符合题意。
　　　一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上做匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是(　　)
A．Δv＝－10 m/s B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0
√
角度2　对动能定理的理解
　　　下列关于动能定理的说法正确的是(　　)
A．合外力对物体做多少正功，动能就增加多少
B．合外力对物体做多少负功，动能就增加多少
C．合外力对物体做正功，动能也可能保持不变
D．不管合外力对物体做多少正功，动能均保持不变
√
[解析]　合外力做正功时，物体的动能增加，增加量等于合外力所做的功，故A正确；
合外力做负功时，物体的动能减小，减小量等于合外力做功的绝对值，故B错误；
只要合外力做功，物体的动能就一定会发生改变，故C、D错误。
√
　　　如图所示，左端固定的轻质弹簧被物块压缩，物块被释放后，由静止开始从A点沿粗糙水平面向右运动。离开弹簧后，经过B点的动能为Ek，该过程中，弹簧对物块做的功为W，则物块克服摩擦力做的功Wf为(　　)

A．Ek B．W
C．Ek－W D．W－Ek
[解析]　从A点到B点过程，根据动能定理可得W－Wf＝Ek－0，解得物块克服摩擦力做的功Wf＝W－Ek。
知识点二　探究恒力做功与动能改变的关系
1．实验器材
小车、钩码、天平、打点计时器、低压交流电源、细绳、一端附有定滑轮的长木板等。
2．实验原理
在钩码的拉动下，小车的速度大小发生了变化，则小车的动能发生了变化。钩码对小车的拉力对小车做了功，只要能求出小车动能的变化量、小车运动的位移以及钩码对小车的拉力(近似等于钩码所受的重力)，就可以研究W＝Fs与ΔEk之间的关系。
3．数据测量
(1)拉力的测量：用钩码所受的重力作为小车所受拉力，由于钩码质量很小，可认为小车所受拉力F的大小等于钩码所受重力的大小。
(2)位移的测量：在纸带上记下第一个点O的位置，再在纸带上任意点开始选取n个点1、2、3、4、……并量出各点到位置O的距离，即为小车运动的位移s。
5．实验结论
恒力对物体所做的功等于物体动能的改变量。
　　　某同学把附有滑轮的长木板平放在实验桌上，将细绳一端拴在小车上，另一端绕过定滑轮，挂上适当的钩码，使小车在钩码的牵引下运动，以此定量探究绳拉力做功与小车动能变化的关系。此外还准备了打点计时器及配套的电源、导线、复写纸、纸带、小木块等。组装的实验装置如图所示。
(1)若要完成该实验，必需的实验器材还有哪些_______________________。
[解析]　本实验需要知道小车的动能，因此还需要用天平(包括砝码)测出小车的质量，用刻度尺测量纸带上点迹之间的长度，求出小车的瞬时速度。
刻度尺、天平(包括砝码)
(2)实验开始时，他先调节木板上定滑轮的高度，使牵引小车的细绳与木板平行。他这样做的目的是____(填字母代号)。
A．避免小车在运动过程中发生抖动
B．可使打点计时器在纸带上打出的点迹清晰
C．可以保证小车最终能够实现匀速直线运动
D．可在平衡摩擦力后使细绳拉力等于小车受的合力
[解析]　牵引小车的细绳与木板平行的目的是在平衡摩擦力后使细绳拉力等于小车受的合力，D正确。
D
(3)平衡摩擦力后，当他用多个钩码牵引小车时，发现小车运动过快，致使纸带上打出的点数较少，难以选到合适的点计算小车速度。在保证所挂钩码数目不变的条件下，请你利用本实验的器材提出一个解决办法：_________________________________。
[解析]　在保证所挂钩码数目不变的条件下，要减小小车加速度可以增加小车的质量，故可在小车上加适量砝码(或钩码)。
可在小车上加适量砝码(或钩码)
(4)他将钩码所受重力做的功当作细绳拉力做的功，经多次实验发现拉力做功总是要比小车动能增量大一些。造成这一情况的可能原因是_______(填字母代号)。
A．在接通电源的同时释放了小车
B．小车释放时离打点计时器太近
C．阻力未完全被小车所受重力沿木板方向的分力平衡掉
D．钩码做匀加速运动，钩码所受重力大于细绳拉力
CD
[解析]　当小车在运动过程中存在阻力时，拉力做正功和阻力做负功之和等于小车动能增量，故拉力做功总是要比小车动能增量大一些；当钩码加速运动时，钩码所受重力大于细绳拉力，此同学将钩码所受重力做的功当作细绳拉力做的功，则拉力做功要比小车动能增量大，故只有C、D正确。
知识点三　动能定理的基本应用
1．解题步骤
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程。
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和。
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
2．优先应用动能定理的情况
(1)不涉及物体运动过程中的加速度和时间的问题。
(2)变力做功或曲线运动问题。
(3)涉及F、s、m、v、W、Ek等物理量的问题。
(4)有多个运动过程且不需要研究整个过程的中间状态的问题。
√
√
√
　　　A、B两物体的质量之比mA∶mB＝2∶1，它们以
相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停
止，其速度图像如图所示，那么，A、B两物体所受摩
擦阻力之比FA∶FB与A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比WA∶WB分别为(　　)
A．4∶1，2∶1 B．4∶1，4∶1
C．1∶4，1∶2 D．1∶2，1∶4
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(动能和动能定理)下列说法正确的是(　　)
A．如果物体所受合力为零，则合力对物体做的功一定为零
B．如果合力对物体所做的功为零，则合力一定为零
C．物体在合力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D．物体的动能不变，所受合力一定为零
解析：由功的定义可知，物体所受合力为零，则合力对物体做的功一定为零，A正确；
合力做的功为零，合力不一定为零，B错误；
物体的速度大小不变，方向改变，物体做变速运动，动能不变， C错误；
物体的速度大小不变，方向改变，动能不变，合力不等于零， D错误。
√
2．(动能定理的基本应用)(2025·云南卷，T2)如图所示，中
老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直
轨道逐渐加速到144 km/h，在此过程中列车对座椅上的一
高中生所做的功最接近(　　)
A．4×105 J B．4×104 J
C．4×103 J D．4×102 J
√
匀速运动阶段摩擦力与重力的分力是平衡力，摩擦力方向与货物运动方向相反，做负功，故C、D错误。
4．(探究恒力做功与动能改变的关系)在“探究恒力做功与动能改变的关系”实验中，某实验小组采用如图甲所示的实验装置和实验器材。
(1)为了用细线的拉力表示小车受到的合外力，实验中必须进行的操作是______________________；为了能够用沙桶和沙所受的重力代替拉力，必须满足的条件是_______________________________________。
解析：为了用细线的拉力表示小车受到的合外力，实验时应平衡小车受到的摩擦力，即改变木板的倾角，使重力的一个分力平衡小车及纸带受到的摩擦力；要用沙桶和沙所受的重力代替拉力，须使得小车的质量远大于沙桶和沙的质量。
平衡小车受到的摩擦力
小车的质量远大于沙桶和沙的质量
(2)图乙为实验中打出的一条纸带，现选取纸带中的A、B两点对应的过程来探究恒力做功与动能改变的关系。已知打点计时器的打点周期为T，重力加速度为g。若沙与沙桶的总质量为m1，小车的质量为m2，则此过程恒力做的功W＝_______，动能的改变量ΔEk＝__________________________ (用题中或图中的物理量符号表示)。
m1gs(共23张PPT)
课后达标检测
√
题组1　功的理解及正、负功的判断
1.如图所示，一箱苹果相对静止地沿着倾角为θ的斜面减速下滑，对于箱子正中央的一只苹果，它周围苹果对它作用力的合力(　　)
A．对这只苹果不做功 B．对这只苹果做正功
C．对这只苹果做负功 D．无法确定
解析：对整体分析，根据牛顿第二定律可知加速度沿斜面向上，则箱子正中央的苹果受周围苹果的作用力偏向左上，与位移夹角为钝角，对苹果做负功。
√
2．(2025·厦门市期中)如图所示，一物体静止在斜面上，现在使斜面体向右匀速移动一段距离，物体相对斜面始终静止，则下列关于物体所受各力对物体做功的说法正确的是(　　)
A．重力做正功
B．支持力不做功
C．摩擦力做负功
D．合力做正功
解析：对物体受力分析可知物体受重力、弹力和摩擦力，受力分析图如图所示，由于物体在水平方向移动，重力的方向与物体位移方向垂直，所以重力对物体不做功，支持力的方向与位移方向的夹角小于90°，则支持力对物体做正功，摩擦力的方向与位移方向的夹角大于90°，所以摩擦力对物体做负功，所受合外力为0，故合外力不做功。
√
3.如图所示，小物块与斜面体一起沿水平面向右做匀速直线
运动。关于斜面体对物块做功，下列说法正确的是(　　)
A．支持力不做功
B．支持力做正功
C．摩擦力做正功
D．摩擦力与支持力做功代数和不为零
解析：小物块与斜面体一起沿水平面向右做匀速直线运动，物块处于平衡状态，受重力、垂直于斜面向上的支持力与沿斜面向上的静摩擦力作用，支持力方向与物块位移方向之间的夹角为钝角，可知支持力做负功，故A、B错误；
根据上述可知，静摩擦力与物块位移方向之间的夹角为锐角，则摩擦力做正功，故C正确；
摩擦力与支持力的合力方向竖直向上，与物块位移方向垂直，合力不做功，则可知摩擦力与支持力做功代数和为零，故D错误。
√
题组2　恒力做功的计算
4．某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进l距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进l距离，则先后两次拉力F做的功W1和W2的关系是(　　)
A．W1>W2 B．W1＝W2
C．W1解析：拉力做功W1＝W2＝Fl。
√
5．(2025·江苏常州市期末)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。现使斜面向右水平匀速移动一段距离L，物体与斜面的相对位置不变，如图所示，在此过程中摩擦力对物体所做的功为(　　)
A．μmgL cos2θ B．－μmgL cos2θ
C．mgL sinθcos θ D．－mgL sin θcos θ
解析：物体在斜面静止受力如图所示，由平衡条件得，物体
所受的静摩擦力f＝mg sin θ，摩擦力对物体做的功
W＝fL cos θ＝mgL sin θcos θ。
√
6.如图所示，两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上，使
物体运动，物体发生一段位移后，力F1对物体做功为4 J，力F2
对物体做功为3 J，则力F1与F2的合力对物体做功为(　　)
A．7 J B．5 J
C．3.5 J D．1 J
解析：力F1与F2的合力对物体做功W＝3 J＋4 J＝7 J。
√
7.如图所示，一个物体放在水平面上，在与竖直方向成θ角的斜
向下的推力F的作用下沿平面移动了位移s，若物体的质量为m，
物体与地面之间的动摩擦因数为μ，则在此过程中(　　)
A．摩擦力做的功为－μmgs B．摩擦力做的功为－μmgs cos θ
C．力F做的功为Fs sin θ D．力F做的功为Fs cos θ
解析：摩擦力的大小f＝μFN＝μ(mg＋F cos θ)，摩擦力做的功Wf＝fs cos 180°＝－μmgs－μFs cos θ，故A、B错误；
力F做的功WF＝F sin θ·s＝Fs sin θ，故C正确，D错误。
√
8.如图所示，用大小为12 N、沿水平方向的恒力F作用在质量为
2 kg 的木箱上，使木箱在水平地面上沿直线运动，已知木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.50，g取10 m/s2，当木箱从静止开始运动了12 m时(　　)
A．力F做的功W1＝120 J B．重力做的功W2＝240 J
C．克服摩擦力做的功为120 J D．合力做的功W合＝0
解析：根据做功公式可得力F做的功W1＝Fl＝144 J，故A错误；
在重力方向上没有位移，重力不做功，故B错误；
根据做功公式可得摩擦力f做的功W3＝－fl＝－μmgl＝－120 J，所以克服摩擦力做的功为120 J，故C正确；
合力做的功W合＝W1＋W3＝24 J，故D错误。
√
9.如图所示，质量为60 kg的某运动员在做俯卧撑运动，运
动过程中可将他的身体视为一根直棒，已知重心在C点，
其垂线与脚、两手连线中点间的距离OA、OB分别为1.0 m和0.60 m，若他在1 min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，重力加速度g取10 m/s2，则运动员1 min内克服重力做功约为(　　)
A．150 J B．204 J
C．4 500 J D．7 200 J
10．(双选)(2025·三明市期末)如图所示，质量为m的飞机在水平甲板上，受到与竖直方向成θ角的斜向下的拉力F作用，沿水平方向移动了距离s，飞机与水平面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中(　　)
A．摩擦力做的功为fs
B．摩擦力做的功为－fs
C．重力做的功为0
D．力F做的功为Fs cos θ
√
√
解析：摩擦力大小为f做负功，则摩擦力做的功Wf＝－fs，故A错误，B正确；
由于竖直方向上没有位移，故重力不做功，故C正确；
由题意得，拉力与位移方向上的夹角为90°－θ，则根据功的公式得WF＝Fs cos (90°－θ)＝Fs sin θ，故D错误。
11．(双选)质量为2 kg的物体置于水平面上，在水平拉力F的作用下做匀变速直线运动，拉力F作用2 s后撤去，物体运动的v－t 图像如图所示，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．拉力F做功75 J
B．拉力F做功150 J
C．物体克服摩擦力做功175 J
D．物体克服摩擦力做功100 J
√
√
√
12.如图所示，物体由静止开始分别沿不同路径Ⅰ、Ⅱ由顶端A下滑至底端B，两次下滑过程中物体与斜面间的动摩擦因数相同，且不计路径Ⅱ中转折处的能量损失，则物体到达B点的过程中摩擦力做功(　　)
A．第一次小
B．第二次小
C．两次一样大
D．无法确定
解析：设斜面倾角为α，物体沿斜面下滑时，克服摩擦力所做的功Wf＝μmg cos α·s＝μmgL，L是斜面在水平面上的投影长度，Ⅰ和Ⅱ的路径虽然不同，但它们在水平面上的投影长度L相同，因此它们克服摩擦力所做的功相同。
√
13．如图所示，重物P放在粗糙的水平板OM上，当水平板绕O端缓慢抬高，在重物P没有滑动之前，下列说法正确的是(　　)
A．P受到的支持力做正功 B．P受到的支持力不做功
C．P受到的摩擦力做负功 D．P受到的摩擦力做正功
解析：当水平板绕O端缓慢抬高，在重物P没有滑动之前，P绕O端转动，支持力垂直于板向上，支持力与速度方向相同，故支持力做正功，摩擦力沿板方向，与速度方向垂直，所以摩擦力不做功，故A正确，B、C、D错误。
14．(12分)用起重机把质量为200 kg的物体提高了5 m。(g取10 m/s2)
(1)若物体匀速上升，钢绳的拉力做了多少功？重力做了多少功？克服重力做了多少功？这些力的总功是多少？(8分)
解析：物体匀速提升，由平衡条件得
钢绳的拉力F＝mg＝200×10 N＝2 000 N
钢绳的拉力做功WF＝Fh＝2 000×5 J＝1.0×104 J
重力做功WG＝－mgh＝－200×10×5 J＝－1.0×104 J
则物体克服重力做功为1.0×104 J
这些力所做的总功W总＝WF＋WG＝0。
答案：1.0×104 J　－1.0×104 J　1．0×104 J　0
(2)若物体匀加速上升，加速度a＝2 m/s2，绳的拉力做了多少功？物体所受各力的总功是多少？(4分)
解析：根据牛顿第二定律得T－mg＝ma
得T＝m(g＋a)＝200×(10＋2)N＝2 400 N
绳的拉力做功WT＝Th＝2 400×5 J＝1.2×104 J
物体所受各力的总功等于合外力做的功W总′＝mah＝200×2×5 J＝2 000 J。
答案：1.2×104 J　2 000 J题组1　功率的理解和计算
1．(双选)关于力对物体做功的功率，下列说法正确的是(　　)
A．力对物体做功越多，这个力的功率就越大
B．力对物体做功的时间越短，这个力的功率就越大
C．力对物体做功少，其功率也可能很大；力对物体做功多，其功率也可能较小
D．功率是表示做功快慢的物理量，而不是表示做功多少的物理量
解析：选CD。功率P＝，表示力在单位时间内所做的功。当t一定时，W越大，P越大；当W一定时，t越小，P越大，单纯只强调两个因素中的一个，而不说明另一个因素情况的说法是错误的，故A、B错误；如果W小，但当t很小时，P也可能很大；如果W较大，但当t很大时，P也可能较小，故C正确；由P＝可知P是表示做功快慢的物理量，P越大反映的是单位时间内做功越多，也就是做功越快，故D正确。
2．下面关于功率的说法正确的是(　　)
A．由P＝可知，机器做功越多，其功率越大
B．由P＝Fv可知，只要F、v均不为零，F的功率就不为零
C．实际功率既可以长时间小于额定功率，也可以长时间大于额定功率
D．额定功率是在正常条件下可以长时间工作的最大功率
解析：选D。由P＝可知，机器做功越多，其功率不一定越大，还要看时间，A错误；由P＝Fv cos θ可知，瞬时功率除了与F、v有关，还与F和v的夹角θ有关，若θ＝90°，则F的功率为零，B错误；用电器正常工作时的实际功率是额定功率，额定功率是在正常条件下可以长时间工作的最大功率，实际功率可以短时间内大于额定功率，不可以长时间大于额定功率，D正确，C错误。
3．质量为m的物体静止在粗糙水平地面上，现用一水平恒力F拉动物体，经过一段时间后其速度变为v，重力加速度为g，则(　　)
A．在这段时间内，摩擦力做正功
B．在这段时间内，拉力做负功
C．物体的速度为v时，拉力的功率为Fv
D．物体的速度为v时，重力的功率为mgv
解析：选C。由于摩擦力方向与运动方向相反，所以摩擦力对物体做负功，故A错误；由于拉力方向与运动方向相同，所以拉力对物体做正功，故B错误；物体的速度为v时，拉力的功率P＝Fv，由于重力与速度方向垂直，所以重力的功率为0，故C正确，D错误。
4．如图所示，小明体重为600N，小亮体重为400 N，两人同时从一楼出发上到三楼，小明先到达，小亮后到达，则下列说法正确的是(　　)
A．小明上楼功率大 B．小亮上楼功率大
C．小明上楼做功少 D．小亮上楼做功多
解析：选A。根据W＝Gh可知小明体重较大，则小明上楼做功多；根据P＝可知，小明用时间较短，可知小明上楼的功率大。
5．如图所示，分别用力F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，在此过程中F1、F2、F3的平均功率分别为P1、P2、P3，则(　　)
A．P1＝P2＝P3 B．P1＞P2＝P3
C．P3＞P2＞P1 D．P1＞P2＞P3
解析：选A。物体的加速度相同，说明物体受到的合力相同，即拉力F沿着斜面方向的分力都相同，根据功的公式W＝Fs可得，拉力在沿着斜面方向上的分力相同，位移相同，所以拉力做的功相同，由于物体的运动情况相同，所以物体运动的时间也相同，则拉力的平均功率也就相同，故A正确。
6．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t＝t1时刻F做功的瞬时功率是(　　)
A． B．t
C．t1 D．t
解析：选C。根据牛顿第二定律得a＝，在t＝t1时刻，木块的速度为v＝at1＝t1，F做功的瞬时功率是P＝Fv＝t1。
7．(2025·广东韶关市期末)甲、乙两物体所受重力之比为1∶2，它们从同一高度同时释放各自做自由落体运动，历时4 s落地，则甲物体下落第1 s末和乙物体下落第3 s末重力的瞬时功率之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶6 D．1∶9
解析：选C。根据PG＝mgvy＝mg·gt＝mg2t，可得甲物体下落第1 s末和乙物体下落第3 s末重力的瞬时功率之比PG甲∶PG乙＝(1×1)∶(2×3)＝1∶6。
题组2　功率的估算
8．如图所示，质量为50 kg的同学在做仰卧起坐运动。若该同学上半身的质量为全身质量的，她在1 min内做了50个仰卧起坐，每次上半身重心上升的距离约为0.3 m，重力加速度g取10 m/s2，则1 min内她克服重力做的功W和相应的功率P约为(　　)
A．W＝4 500 J　P＝75 W B．W＝450 J　P＝7.5 W
C．W＝3 600 J　P＝60 W D．W＝360 J　P＝6 W
解析：选A。每次上半身重心上升的距离约为0.3 m，则她每一次克服重力做的功约为W0＝mgh＝×50×10×0.3 J＝90 J；1 min内克服重力所做的总功W＝50×W0＝50×90 J＝4 500 J；相应的功率为P＝＝ W＝75 W，故A正确。
9．小明同学骑电动自行车沿平直公路行驶，因电瓶“没电”，故改用脚蹬骑车匀速前行。设小明与车的总质量为100 kg，人与车的速度恒为5 m/s，骑行过程中所受阻力约为车和人总重的0.02，g取10 m/s2，小明骑此电动车做功的功率约为(　　)
A．10 W B．100 W
C．1 000 W D．10 000 W
解析：选B。根据题意可得，人骑车时匀速前行，人对车向前的动力F＝f＝0.02mg＝0.02×1 000 N＝20 N，故小明骑此电动自行车做功的功率P＝Fv＝20×5 W＝100 W。
10．(双选)如图所示，位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体仍做速度为v的匀速运动，则以下说法正确的是(　　)
A．F2一定大于F1 B．F2的大小可能等于F1
C．F2的功率一定小于F1的功率 D．F2的功率可能等于F1的功率
解析：选BC。依题意，设物体质量为m，与地面间的动摩擦因数为μ，F2的方向与水平面所在的夹角为θ，根据平衡条件可得F1＝μmg，F2cos θ＝μ(mg－F2sin θ)，可得F2＝，当cos θ＋μsin θ＝1时，F2的大小等于F1，故A错误，B正确；依题意，可知F2的功率P2＝F2v cos θ＝μ(mg－F2sin θ)v，F1的功率P1＝F1v＝μmgv，显然F2的功率小于F1的功率，故C正确，D错误。
11．一质量为1 kg的物体(视为质点)静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到水平外力F作用，F－t图像如图所示。下列判断正确的是(　　)
A．前2 s内外力的平均功率是5 W
B．第2 s内外力所做的功是4 J
C．第2 s末外力的瞬时功率最大
D．第1 s末与第2 s末外力的瞬时功率之比为9∶4
解析：选D。前1 s内，物体的加速度a1＝＝ m/s2＝3 m/s2，物体在前1 s内的位移s1＝a1t＝×3×12 m＝1.5 m，1 s末的速度是v1＝a1t1＝3×1 m/s＝3 m/s，第2 s内的加速度是a2＝＝ m/s2＝1 m/s2，第2 s内的位移s2＝v1t2＋a2t＝3×1 m＋×1×12 m＝3.5 m，前2 s内外力F对物体做的功W＝F1s1＋F2s2＝3×1.5 J＋1×3.5 J＝8 J，可知前2 s内外力的平均功率P＝＝ W＝4 W，A错误；第2 s内外力做功W2＝F2s2＝1×3.5 J＝3.5 J，B错误；第1 s末外力的功率是P1＝F1v1＝3×3 W＝9 W，第2 s末物体的速度v2＝v1＋a2t2＝ m/s＝4 m/s，此时外力的功率P2＝F2v2＝1×4 W＝4 W，可知第2 s末外力功率不是最大，第1 s末和第2 s末外力的瞬时功率之比是9∶4，C错误，D正确。
12．(双选)(2025·福州质检)质量为m的小球从高h处由静止自由下落，经时间t落地，关于重力的功率，下列说法正确的是(　　)
A．重力的功率描述重力做功的快慢 B．全过程重力的平均功率等于
C．全过程重力的平均功率等于 D．落地时重力的功率等于2mg
解析：选AC。功率是描述力做功快慢的物理量，因此重力的功率描述重力做功的快慢，故A正确；重力做的功W＝mgh，重力的平均功率P＝＝，故B错误，C正确；落地时的瞬时速度v＝，落地时重力的瞬时功率P＝mgv＝mg，故D错误。
13.(12分)如图所示，一台起重吊车将质量m＝500 kg的重物由静止开始以 a＝0.2 m/s2加速度竖直向上匀加速提升，t＝10 s末之后保持功率不变继续提升重物，直至重物匀速上升。g取10 m/s2不计空气阻力，求：
(1)前10 s起重吊车拉力F的大小；(2分)
(2)10 s末起重机的瞬时功率P；(2分)
(3)重物上升的最大速度vm；(2分)
(4)重物开始运动后15 s内起重机提升重物的平均功率。(6分)
解析：(1)由牛顿第二定律有F－mg＝ma
解得F＝5 100 N。
(2)起重机做匀加速直线运动，有
v＝at
P＝Fv
解得P＝10 200 W。
(3)达到最大速度时，加速度为零，有
P＝mgvm
解得vm＝2.04 m/s。
(4)匀加速直线运动阶段拉力做功
W1＝Fh
h＝at2
10 s到15 s拉力的功
W2＝Pt′＝51 000 J
平均功率＝＝6 800 W。
答案：(1)5 100 N　(2)10 200 W　(3)2.04 m/s
(4)6 800 W(共24张PPT)
课后达标检测
题组1　重力做功与重力势能
1．(双选)(2025·莆田市期末)关于重力势能，下列说法正确的是(　　)
A．重力势能的变化只跟物体所处的初、末位置有关，与物体实际经过的路径无关
B．物体与参考平面的距离越大，它的重力势能也越大
C．重力势能的变化量与参考平面的选取无关
D．一个物体的重力势能从－10 J变化到4 J，重力势能减少了
√
√
解析：重力势能的变化只跟物体所处的初、末位置有关，与物体实际经过的路径无关，且重力势能的变化量与参考平面的选取无关，但物体重力势能的大小与零势能参考面的选取有关，所以放在地面上的物体重力势能不一定为零，故A、C正确；
若物体在零势能参考面的上方，则物体与参考平面的距离越大，它的重力势能越大；反之，若物体在零势能参考面的下方，则物体与参考平面的距离越大，它的重力势能越小，故B错误；
一个物体的重力势能从－10 J变化到4 J，重力势能增加，故D错误。
2．如图所示，静止的小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为h，桌面距地面高为H，小球质量为m，则以下说法正确的是(　　)
A．小球的重力势能的减少量为mgh
B．以地面为参考面，小球的重力势能的减少量为mg(H＋h)
C．小球沿竖直轨道下滑到桌面上的过程，重力做功最少
D．小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，重力做功不一样多
√
解析：小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，下降的竖直高度都相同，所以重力做功一样多，故C、D错误；
重力势能的变化量与零势能面的选取无关，重力做的正功就等于重力势能的减少量，重力做功为mgh，重力势能的减少量为mgh，故B错误，A正确。
√
3.如图所示，质量为m的金属小球，从离水面H高处自由下落
后进入水中。已知水深为h，若以水面为参考平面，小球运
动至水底时的重力势能为(　　)
A．mgH B．－mgh
C．mg(H－h) D．－mg(H＋h)
解析：以水面为参考平面，小球运动至水底时的重力势能Ep＝－mgh。
√
4．(2025·三明市期末)如图所示，质量m＝2 kg的小球，从离桌面H＝1.0 m高处由静止下落，桌面离地面的高度h＝0.8 m，若以桌面为参考平面，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球在A点的重力势能为36 J
B．小球在桌面上的重力势能为0
C．整个下落过程中重力势能减少了20 J
D．若改变所选择的参考平面，小球在A、B点的重力势能不变
解析：若以桌面为参考平面，小球在桌面上的重力势能Ep＝0，小球在A点的重力势能Ep＝mgH＝20 J，A错误，B正确；
小球在B点的重力势能Ep′＝－mgh＝－16 J，整个下落过程中重力势能的减少量ΔEp＝mg(H＋h)＝36 J，C错误；
若改变所选择的参考平面，根据Ep＝mgh，则小球在A、B点的重力势能改变，D错误。
√
5.如图所示，日光岩是鼓浪屿的最高峰，山脚到顶峰的高度约
为90 m，一质量为70 kg的游客从山脚登上顶峰。重力加速度
g取10 m/s2，则游客在该过程中(　　)
A．重力做功约为6.3×104 J
B．重力做功约为－6.3×104 J
C．因时间未知，无法求出此过程重力做功
D．因路程未知，无法求出此过程重力做功
解析：重力做功与时间和路程无关，只与初末位置的高度有关，因人上行，则重力做负功，重力做功WG＝－mgh＝－70×10×90 J＝－6.3×104 J。
√
6. 排球是许多人喜爱的体育项目之一，如图所示为某
同学将排球竖直向上垫起，一段时间后排球落回地面。
已知排球在最高点时的重力势能为1 J，落到地面时
的重力势能为－2 J，下列说法正确的是(　　)
A．重力对排球所做的功等于重力与路程的乘积
B．上升阶段排球克服重力做的功大于下降阶段重力做的功
C．排球在最高点的重力势能大于落到地面时的重力势能
D．考虑阻力时，上升阶段排球的重力做的功和重力势能变化量绝对值间的关系为|WG|>|ΔEp|
解析：重力对排球所做的功等于重力与竖直高度的乘积，A错误；
排球在最高点时的重力势能为1 J，上升阶段排球克服重力做功为1 J，落到地面时的重力势能为－2 J，则下降阶段重力做功3 J，则上升阶段排球克服重力做的功小于下降阶段重力做的功，B错误；
排球在最高点的重力势能大于落到地面时的重力势能，C正确；
上升阶段排球的重力做的功和重力势能变化量绝对值间的关系为|WG|＝|ΔEp|，与是否有阻力无关，D错误。
题组2　弹性势能
7．如图所示，在一次“蹦极”运动中，人由高空下落到最低点的整个过程中，下列说法不正确的是(　　)
A．重力对人做正功
B．人的重力势能减小
C．橡皮绳对人做正功
D．橡皮绳的弹性势能增加
√
解析：人一直在下落，故重力对人做正功，人的重力势能不断减小，故A、B正确；
橡皮绳不断伸长，弹力对人做负功，使橡皮绳的弹性势能不断增加，故C错误，D正确。
√
8.如图所示，小明在玩蹦床游戏。当他从接触床面到运动至最
低点的过程中，下列说法不正确的是(　　)
A．小明的重力势能一直减小
B．蹦床的弹性势能一直增大
C．小明在最低点时的速度为零
D．小明受到蹦床的弹力是由于自身发生形变
解析：从接触床面到运动至最低点的过程中，高度减小，小明的重力势能一直减小，A正确，不符合题意；
从接触床面到运动至最低点的过程中，蹦床的形变量一直在增大，所以蹦床的弹性势能一直增大 ，B正确，不符合题意；
小明运动到最低点时不能再向下运动了，说明小明此时的速度等于零，C正确，不符合题意；
小明受到蹦床的弹力是由于蹦床发生形变，D错误，符合题意。
√
9.如图所示，一轻弹簧一端固定于О点，另一端系一重物，将重物从与悬点О在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．重力做正功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
B．重力做正功，弹簧弹力做正功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧，则重力做正功，弹力不做功
D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧，则重力做功不变，弹力不做功
解析：重物由A点摆向最低点B的过程中，重力做正功，弹簧伸长，弹力对重物做负功，弹簧弹性势能增加，A、B错误；
若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧，由于细绳不可伸长，则重物下落的高度变小，重力仍做正功，但做功变小，细绳上弹力一直与重物速度方向垂直，弹力不做功，C正确，D错误。
10．(双选)雨滴的下落运动并不能看成“自由落体”运动，在接近地面时，雨滴往往做匀速运动，这时的速度通常叫作收尾速度。关于一定质量的雨滴从高空下落的运动，下列说法正确的是(　　)
A．雨滴所受阻力是恒定的
B．重力一直做正功
C．重力的功率先增大后不变
D．雨滴的重力势能先减小后不变
√
√
解析：雨滴在匀速之前所受阻力在增大，故A错误；
雨滴下落，高度降低，则重力一直做正功，故B正确；
根据P＝Fv＝mgv，重力mg大小不变，速度v先增大后不变，则重力的功率先增大后不变，故C正确；
由于重力一直做正功，则雨滴的重力势能一直在减小，故D错误。
√
12.(8分)如图所示，假设某跳高运动员质量为60 kg、身高为1.8 m，在某次背越式跳高中跳过2.1 m高的横杆而平落在垫子上，落垫时运动员的重心离地高度为60 cm。g取10 m/s2，试估算：
(1)上升阶段运动员至少要克服重力做多少功？(4分)
答案：720 J　
(2)下降阶段重力做了多少功？(4分)
解析：下降阶段，重心下降距离
h2＝2.1 m－0.6 m＝1.5 m
重力做功W2＝mgh2＝900 J。
答案：900 J(共48张PPT)
第4节　势能及其改变
学习目标
1．知道重力做功与路径无关。　2.理解重力势能的概念，知道重力势能具有相对性、系统性，会用重力势能的计算式进行相关计算。　3.理解重力做功与重力势能变化的关系。　4.理解弹性势能的概念，会分析决定弹簧弹性势能大小的相关因素。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、重力势能
1．定义：物体因为处于一定的高度而具有的能量。
2．公式：Ep＝_____，式中h是物体______到零势能参考平面的高度。
3．标矢性：重力势能是______，单位：______；符号：____。
mgh
重心
标量
焦耳
J
二、重力做功与重力势能改变的关系
1．重力做功的表达式：W＝____________。
2．重力做功的特点：重力做功与始末位置的________有关，与______无关。
3．重力做功与重力势能改变的关系：WG＝____________＝________。重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减小多少；物体克服重力做多少功，物体的重力势能就增大多少。
4．相对性：重力势能值与参考平面的选取有关，是______的，而重力势能的改变量与参考平面的选取无关。
mgh1－mgh2
高度差
路径
Ep1－Ep2
－ΔEp
相对
三、弹性势能及其改变
1．定义：物体因为发生__________而具有的能量。
2．弹簧的弹性势能：弹簧的弹性形变越大，具有的弹性势能就______；在同样的形变下，弹簧的劲度系数越大，具有的弹性势能就______。
3．弹簧弹力做功与弹性势能改变的关系：弹簧的弹力对外做多少功，弹性势能就减小多少；物体克服弹力做多少功，弹性势能就增大多少。
弹性形变
越大
越大
4．势能
(1)定义：由__________决定的能量称为势能。
(2)系统性：势能是存储于一个物体系统内的能量，不是物体单独具有的，而是相互作用的物体所______的。
相对位置
共有
判断下列说法是否正确。
(1)物体只要运动，其重力一定做功。(　　)
(2)物体的高度只要发生变化，其重力一定做功。(　　)
(3)重力做功多少取决于物体所受的重力和它通过的路程。(　　)
(4)重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1与Ep2方向相反。(　　)
(5)不同弹簧发生相同的形变时弹力做功相同。(　　)
(6)弹簧被压缩时，弹性势能为负；弹簧被拉伸时，弹性势能为正。(　　)
√
×　
×　
×　
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　重力做功的特点
如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中思考并讨论以下问题：
(1)甲、乙、丙三种情况下重力做的功各是多少？
(2)重力做功有什么特点？
[提示]　(1)三种情况下重力做的功都是mgh。
(2)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
1．做功表达式
WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，式中Δh指初位置与末位置的高度差；h1、h2分别指初位置、末位置的高度。
2．做功的正负
物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功。
3．做功的大小
重力对物体做功的大小只跟物体的起点与终点的高度差有关，与物体运动的路径无关。
√
角度1　重力做功的特点
　　　如图所示，一物体从A点出发，分别沿粗糙斜面AB和光滑斜面AC下滑及斜向上抛出，运动后到达同一水平面上的B、C、D三点。关于重力的做功情况，下列说法正确的是(　　)
A．沿AB面滑下时，重力做功最多
B．沿AC面滑下时，重力做功最多
C．沿AD抛物线运动时，重力做功最多
D．三种情况下运动时，重力做的功相等
[解析]　由于重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关，故三种情况下运动时，重力做的功相等，均为WG＝mgh。
角度2　重力做功的求解
√
知识点二　重力做功和重力势能的变化
如图所示，幼儿园的小朋友们正在玩滑梯(选地面为参考面，
小朋友质量为m)：
(1)在最高点(高度为h)和地面处的重力势能各是多少？
(2)下滑过程中重力做多少功？重力势能如何变化？
[提示]　(1)最高点与地面的重力势能分别为mgh、0。
(2)重力做功W＝mgh。重力势能减少了mgh。
1．对重力势能的理解
(1)系统性：重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上的物体单独具有的。
(2)相对性：重力势能Ep＝mgh与参考平面的选择有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度。重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正、负之分。当物体在参考平面上方时，Ep为正值；当物体在参考平面下方时，Ep为负值。注意物体重力势能的正、负是表示比零势能大，还是比零势能小。
(3)参考平面选择的任意性：视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所到达的最低点为零势能参考平面。
(4)重力势能变化的绝对性：物体从一个位置运动到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取及过程无关，它的变化量是绝对的。
2．重力做功与重力势能的变化
(1)表达式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(2)重力做多少正功，重力势能就减小多少；克服重力做多少功，重力势能就增加多少。
角度1　对重力势能的理解
　　　(双选)下列关于重力势能的理解，正确的是(　　)
A．放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零
B．重力势能的变化量与参考平面的选取无关
C．重力势能减小时，重力对物体做正功
D．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
√
√
[解析]　重力势能和零势能面选取有关，放在地面上的物体，它的重力势能不一定等于零，故A错误；
重力势能的变化量与物体的质量和变化高度有关，与参考平面的选取无关，故B正确；
重力势能减小时，高度下降，重力对物体做正功，故C正确；
若物体在零势能面下方，物体与零势能面的距离越大，则重力势能越小，故D错误。
角度2　重力做功和重力势能的变化
　　　一个0.1 kg的球从1.8 m的高处落到地上又弹回到1 m高度，选下落起点为参考面(g取10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．整个过程重力做功为1.8 J
B．整个过程重力做了0.8 J的负功
C．整个过程物体的重力势能一定减少了0.8 J
D．物体在地面时的重力势能为0
√
[解析]　整个过程重力做功WG＝mgΔh＝0.1×10×(1.8－1) J＝0.8 J，可知整个过程重力做功为0.8 J，则物体的重力势能一定减少了0.8 J；选下落起点为参考面，物体在地面时的重力势能Ep＝－mgh＝－0.1×10×1.8 J＝－1.8 J。
　　　如图所示，树上与A等高的P处有一个质量
m＝0.3 kg的苹果下落。苹果有可能被人用篮子在
与B等高处接住，也可能落到地面C处，还可能落
到地面后滚入坑底D处。(g取10 m/s2)
(1)分别以A、C、E所在水平面为零势能面，求P处苹果的重力势能。
[解析]　以A所在水平面为零势能面，P的相对高度hA＝0
则P处苹果的重力势能EpA＝mghA＝0
以C所在水平面为零势能面，P的相对高度
hC＝2.2 m
则P处苹果的重力势能
EpC＝mghC＝0.3×10×2.2 J＝6.6 J
以E所在水平面为零势能面，P的相对高度
hE＝－1.6 m
则P处苹果的重力势能
EpE＝mghE＝0.3×10×(－1.6) J＝－4.8 J。
[答案]　0　6.6 J　－4.8 J　
(2)苹果由P分别落至C或落至D处的过程中，求重力所做的功以及重力势能的变化量。
[解析]　苹果由P落至C处，高度降低ΔhC＝2.2 m
则重力做正功WGC＝mgΔhC＝0.3×10×2.2 J＝6.6 J
重力势能变化量ΔEpC＝－WGC＝－6.6 J
苹果由P落至D处，高度降低ΔhD＝5.2 m
则重力做正功WGD＝mgΔhD＝0.3×10×5.2 J＝15.6 J。
重力势能变化量ΔEpD＝－WGD＝－15.6 J
[答案]　6.6 J　－6.6 J　15.6 J　－15.6 J
知识点三　弹性势能
如图所示，某人正在用拉力器锻炼臂力。
(1)人不用力时，弹簧不伸长，此时弹簧有弹性势能吗？
[提示]　弹簧不伸长，没有弹性势能。
(2)人拉弹簧时对弹簧做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？
[提示]　人对弹簧做正功，弹性势能增加。
(3)在弹簧弹性限度内，人将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多吗？弹性势能越大吗？
[提示]　将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多，弹性势能越大。
(4)有的拉力器有2条弹簧，有的有4条弹簧，拉伸相同长度，用力一样吗？克服弹力做功相同吗？
[提示]　用力不一样，克服弹力做功也不相同。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
如图所示，O为弹簧的原长处。
(1)弹力做负功时：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功时：如物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp。
√
角度1　对弹性势能的理解
　　　关于弹性势能说法正确的是(　　)
A．同一根弹簧在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
B．劲度系数越小，弹性势能越大
C．弹簧越长，弹性势能越大
D．弹性势能与劲度系数和形变量无关
[解析]　同一根弹簧，劲度系数一定，在弹性限度内，弹簧的形变量越大，弹性势能越大，故A正确。
弹簧的弹性势能由劲度系数与形变量共同决定，当劲度系数越小，形变量也越小时，弹性势能越小；当弹簧越长，形变量越大，但弹簧的劲度系数非常小时，弹簧的弹性势能也可能越小，故B、C、D错误。
√
角度2　弹力做功和弹性势能
　　　如图所示，一轻弹簧左端固定，右端连接一物体，
物体放在光滑的水平面上。现对物体施加一作用力F，使物体处于静止状态。然后撤去F，物体将向右运动。物体从静止开始向右运动一直到速度再次为零的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧的弹性势能逐渐减小 B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．弹簧的弹性势能先减小后增大 D．弹簧的弹性势能先增大后减小
[解析]　物体从静止开始向右运动一直到速度再次为零的过程中，弹簧先逐渐恢复原长，再逐渐被拉长，则弹性势能先减小后增大。
√
角度3　重力做功、弹力做功和势能变化
　　　如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，那
么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中(弹簧保
持竖直)，下列说法正确的是(　　)
A．小球的速度先增大后减小
B．重力势能先减小后增大
C．弹性势能先增大后减小
D．重力先做正功后做负功
[解析]　在小球刚接触弹簧的时候，弹簧的弹力小于小球所受的重力，合力向下，小球还是向下加速，当弹簧的弹力和小球所受的重力相等时，小球的速度达到最大，之后弹力大于重力，小球开始减速，直至减为零。根据以上分析，小球的速度先变大后变小，故A正确；
小球一直向下运动，小球的重力做正功，重力势能一直减小，故B、D错误；
弹簧的弹力一直做负功，弹簧的弹性势能一直在增大，故C错误。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
解析：由题意可知最终篮球将静止在地面上，整个过程篮球初、末状态的高度差为h，所以篮球受到的重力做的功为mgh。
√
2．(重力做功的特点)如图所示，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中到达最高点2的高度为h，重力加速度为g，则(　　)
A．由位置1到位置2重力做功mgh
B．由位置2到位置3重力做功－mgh
C．由位置1到位置3重力做功2mgh
D．由位置1到位置3重力做功为零
解析：由位置1到位置2，高度增加，重力做负功，故重力做功为－mgh，故A错误；
由位置2到位置3，高度降低，重力做正功，故重力做功为mgh，故B错误；
由位置1到位置3，两位置等高，故重力做功为零，故C错误，D正确。
√
解析：用一外力使物块缓慢沿斜面运动直至弹簧恢复原长，弹簧弹力做正功，弹簧弹性势能减小，故A、B错误；
4．(重力做功与重力势能的变化)(2025·莆田市期中)如图所示的是一种大型机械车间运输货物的天车，天车通过钢索竖直悬挂货物，现将一质量m＝2000 kg的货物(可视为质点)沿着与水平方向成30°角的方向匀速吊起，使货物在10 s内向斜上方移动了L＝5 m的距离，空气阻力不计，钢索始终竖直，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)10 s内钢索对货物的拉力做的功WF；
解析：货物做匀速直线运动，由平衡条件可知钢索拉力大小
F＝mg＝2×104 N
10 s内钢索对货物的拉力做的功
WF＝FL sin 30°
代入数据解得WF＝5×104 J。
答案：5×104 J　
(2)10 s末拉力的瞬时功率P；
答案：5×103 W　
(3)10 s内货物的重力做的功WG及重力势能的变化量ΔEp。
解析：10 s内重力做的功
WG＝－mgL sin 30°＝－5×104 J
由于WG＝－ΔEp
解得ΔEp＝5×104 J。
答案：－5×104 J　5×104 J(共46张PPT)
第5节　科学验证：
机械能守恒定律
学习目标
1．知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化。　2.会正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件。　3.在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能应用机械能守恒定律解决简单问题。　4.掌握验证机械能守恒的原理及数据处理方法。
第1课时　机械能守恒定律
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、机械能
1．定义：运动的物体往往既有动能又有势能，物体的______与__________、弹性势能之和称为机械能。
2．表达式：若用符号E表示机械能，则物体的机械能E＝__________。
3．动能和势能的相互转化：在物体运动过程中，不同形式的能量常会相互转化。例如，射箭时，弓的__________减小，箭的动能增大；蹦极时，__________会转化为动能和弹性势能等。
动能
重力势能
Ep＋Ek
弹性势能
重力势能
二、机械能守恒
1．自由落体运动中机械能守恒的推导
(1)如图所示，如果小球只在重力作用下自由下落，从A到B的过程中重力做功为WG，根据动能定理可知，
WG＝________________________。
由重力做功与重力势能改变的关系可知，重力做的功等于小球下落过程中重力势能的减少量，即WG＝____________。
mgh1－mgh2
重力势能
Ek1＋Ep1
(2)在小球自由落体运动中，只有重力做功，小球在A点的动能与重力势能的总和等于在B点的动能与重力势能的总和。由于A、B两点是任意选定的，故在自由落体运动中，任何位置(时刻)物体的__________保持不变。
2．同样可以证明，在只有______做功的物体系统内，动能和弹性势能可相互转化，总的机械能保持不变。
3．机械能守恒定律：大量研究结果表明，在只有重力或弹力这类力做功的情况下，物体系统的动能与势能相互转化，机械能的总量保持不变。
4．能量守恒定律：事实上，并非只有动能和势能可以相互转化，任何形式的能量都可以相互转化，但________保持不变，这就是更普遍的能量守恒定律。
总机械能
弹力
总能量
判断下列说法是否正确。
(1)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。(　　)
(2)合力为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
(3)合力做功为零，物体的机械能保持不变。(　　)
(4)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒。(　　)
×　
×　
×　
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　机械能守恒的判断
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。
(忽略轨道的阻力和其他阻力)过山车下滑时，过山车受哪
些力作用？各做什么功？动能和势能怎么变化？机械能守
恒吗？
[提示]　过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能守恒。
1．从做功的角度理解守恒条件
(1)单个物体只受重力，不受其他力，如自由落体运动；
(2)单个物体除受重力，还受其他力，但其他力不做功，如物体沿光滑固定的斜面下滑，物体受重力和支持力作用，但支持力不做功；
(3)对于多个物体组成的系统来说，除重力和系统内的弹力做功之外，外力不做功，有内力做功，但内力做功的代数和为零。
2．从能量转化的角度理解守恒条件
对于某一系统，系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内也没有机械能与其他形式的能发生转化。
3．机械能守恒的判断方法
(1)做功条件分析法：分析物体系统的受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若只有重力或系统内弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则物体系统的机械能守恒。
(2)能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒。
(3)增减情况分析法：若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒。
　　　关于下列对配图的说法正确的是(　　)

A．图1中“蛟龙号”被吊车匀速吊下水的过程中它的机械能守恒
B．图2中物块在恒力F作用下沿固定光滑斜面匀加速上滑过程中，物块机械能守恒
C．图3中物块沿固定斜面匀速下滑过程中，物块机械能不守恒
D．图4中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能守恒
√
[解析]　题图1中“蛟龙号”被吊车匀速吊下水的过程中，重力势能不断减小，动能不变，所以机械能不守恒，故A错误；
题图2中物块在恒力F作用下沿固定光滑斜面匀加速上滑过程中，重力势能和动能均增大，则其机械能增大，故B错误；
题图3中物块沿固定斜面匀速下滑过程中，重力势能减小，动能不变，故机械能不守恒，故C正确；
题图4中撑竿跳高运动员在上升过程中，撑竿的弹性势能转化为运动员的机械能，所以运动员的机械能不守恒，故D错误。
知识点二　机械能守恒定律的简单应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义
守恒角度 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
转化角度 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
转移角度 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能(不用选择参考平面)
2.解题思路
角度1　重力作用下的机械能守恒
√
√
[解析]　若以地面为参考平面，物体落到海平面时的势能为－mgh，故A错误；
此过程重力做正功，做功的数值为mgh，故B正确；
　　　从地面以v0的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为g，以地面为重力势能的零势能面。
(1)求物体上升的最大高度h。
(2)物体的重力势能为动能的一半时，求物体离地面的高度h1。
(3)物体的重力势能和动能相等时，求物体离地面的高度h2。
(4)物体的动能是重力势能的一半时，求物体离地面的高度h3。
角度2　重力和弹簧弹力作用下的机械能守恒
√
角度3　非质点类物体的机械能守恒问题
　　　如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质
小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，
则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？
知识点三　连接体的机械能守恒问题
1．绳连接物体模型
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．弹簧连接物体模型
(1)由于弹簧的形变会使弹簧具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(2)弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
(3)如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)。
角度1　绳连接物体模型
　　　(双选)如图所示，用一跨在轻质光滑定滑轮两侧的轻质细绳连
接质量分别为M、m的两物块，开始用手控制M使整体处于静止状态，
且M > m。若不计空气阻力，则放手后，物块M由静止自由下降的过
程中(M未接触地面，m未到定滑轮)，下列说法正确的是(　　)
A．轻质细绳对M做正功
B．轻质细绳对M、m做功代数和不一定为0
C．M和m组成的系统机械能守恒
D．M机械能的减少量等于m机械能的增加量
√
√
[解析]　物块M向下运动，轻绳拉力向上，则轻质细绳对M做负功，A错误；
物块m向上运动，轻绳拉力对m做正功，同一根绳上拉力相等，两物块运动距离相等，则轻绳对两物块做功的代数和为零，B错误；
系统只存在动能和重力势能的转化，则系统机械能守恒，C正确；
由以上分析可知，M机械能减小，m机械能增大，且机械能变化大小相等，D正确。
√
角度2　弹簧连接物体模型
　　　(2025·江苏徐州市期末)一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面
上，其正上方A位置有一个小球，小球从静止开始下落，在B位置
接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置
小球速度减小到零。下列关于小球下落阶段的说法正确的是(　　)
A．在B位置，小球动能最大
B．从A→D位置，小球机械能守恒
C．从A→D位置，小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
D．从A→C位置，小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
[解析]　小球从A到B做自由落体运动，从B到C过程，由于弹簧弹力小于小球重力，小球做加速度减小的加速运动，在C位置小球所受弹力大小等于重力，此时小球加速度为零，小球的速度最大，动能最大，故A错误；
小球从A→D位置，由于弹力对小球做负功，所以小球的机械能不守恒，故B错误；
小球从A→D位置，由于小球在A、D两位置的动能均为零，根据系统机械能守恒可知，从A→D位置，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故C错误；
根据系统机械能守恒可知，从A→C位置小球重力势能的减少量等于小球动能与弹簧弹性势能的增加量之和，即小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(机械能守恒的判断)下列物体在运动过程中，机械能守恒的是(　　)
A．做自由落体运动的物体
B．雨点匀速下落
C．沿粗糙的斜面，向下做匀速运动的木块
D．被起重机拉着向上做匀速运动的货物
解析：做自由落体运动的物体，只受重力作用，物体的机械能守恒，故A正确；
雨点匀速下落，动能不变，重力势能减小，机械能减小，机械能不守恒，故B错误；
沿粗糙的斜面向下做匀速运动的木块，由于克服摩擦力做功，木块的机械能减小，机械能不守恒，故C错误；
被起重机拉着向上做匀速运动的货物，动能不变，重力势能增大，机械能增大，机械能不守恒，故D错误。
√
2.(单物体的机械能守恒问题)如图所示，小物块m沿光滑曲
面从A点静止下滑。已知A点离地面高度为h1，B点离地面
高度为h2，当地重力加速度为g，以A点所在位置的水平面
为参考平面。下列说法正确的是(　　)
A．小物块在B点的重力势能为mgh2
B．下滑到B点过程中，小物块的机械能先增大后减小
C．小物块在B点的机械能为0
D．下滑到B点过程中，小物块重力势能的变化量为mgh1－mgh2
解析：根据重力势能的定义式可得，小物块在B点的重力势能EpB＝－mg(h1－h2)，重力势能的变化量ΔEp＝mgh2－mgh1，故A、D错误；
小物块下滑到B点过程中，只有重力做功，小物块的机械能守恒，初始时机械能为零，所以小物块在B点的机械能为零，故C正确，B错误。
√
√
解析：A球上升h时有一定的速度，由于惯性还会继续上升，A错误；
B球下落过程，绳上的拉力对B球做负功，B球机械能减少，绳上的拉力对A球做正功，A球机械能增多，B、D错误；

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