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第2课时　向心力和向心加速度
一、向心力的大小
1．向心力大小的决定因素
在m、r相同时，向心力F与角速度的平方ω2成正比；在m、ω相同时，向心力F与半径r成正比；在ω、r相同时，向心力F与质量m成正比。
2．公式
F＝mrω2或F＝m。
二、向心加速度
1．定义：既然做圆周运动的物体受到向心力的作用，那么它必然存在一个由向心力产生的加速度，这个加速度称为向心加速度。
2．大小：a＝rω2＝。
3．方向
向心加速度总是指向圆心。虽然匀速圆周运动中向心加速度大小不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速运动。
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力。(　　)
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的。(　　)
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(　　)
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心。(　　)
(5)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。(　　)
(6)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　)
(7)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
(6)√　(7)×
知识点一　向心力
1．自行车转弯时的运动可看作匀速圆周运动，观察此图，思考以下问题：
哪个力充当自行车转弯时做圆周运动的向心力？
2．如图所示，汽车正在匀速率转弯，小球正在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：
(1)它们的向心力分别是由什么力提供的？
(2)物体做匀速圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？
[提示]　1.地面静摩擦力提供自行车转弯时的向心力。
2．(1)汽车转弯时的向心力由地面的静摩擦力提供，小球的向心力由重力和绳子拉力的合力提供。
(2)大小不变，方向时刻改变。
1．方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
2．作用效果：改变线速度的方向。
3．来源
(1)向心力是根据力的作用效果命名的，它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供。
(2)物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心。
　向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力。做匀速圆周运动的物体，所受的合力提供向心力。
角度1　对向心力的理解
　下列关于向心力的叙述不正确的是(　　)
A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的作用力外，还受到一个向心力的作用
C．向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小
D．向心力可以由某个力来提供，也可以由某几个力的合力来提供，或者由某一个力的分力来提供
[解析]　向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，是一个变力，故A正确，不符合题意；向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以由物体所受的合力提供，也可以由某一个力的分力提供，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，故B错误，符合题意，D正确，不符合题意；向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，故C正确，不符合题意。
[答案]　B
角度2　向心力来源的分析
　画出各图中物体A的受力示意图，并分析其所受向心力的来源。
[解析]　题图a、题图b、题图c中，向心力由物体所受的重力和绳子拉力的合力提供，也可以认为是由绳子拉力的一个分力提供，拉力的另一个分力与重力平衡；题图d中，向心力由绳子的拉力提供；题图e中，向心力由物体所受的静摩擦力提供；题图f中，向心力由侧壁对物体的支持力提供；题图g中，向心力由物体所受的重力和斜面的支持力的合力提供，也可以认为是由支持力的水平分力提供，其竖直分力与重力平衡；题图h中，向心力由飞机所受的重力和空气对飞机的“推举力”的合力提供，这个“推举力”的本质是弹力，弹力总与接触面垂直，所以飞机机身有一定的倾角；它们的受力示意图如图；通过以上分析可以清楚看到，向心力不是某种性质力，而是由重力、弹力、摩擦力这些性质力的合力或分力来提供。
　
　　　　　　
[答案]　见解析
　一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是3 rad/s。盘面上距圆盘中心0.2 m的位置有一个质量为0.1 kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，如图所示。已知小物体与盘面间的动摩擦因数为0.5，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。
(1)求小物体的线速度大小。
(2)求小物体的向心力大小。
(3)当圆盘的角速度增加到多大时，小物体会相对于圆盘滑动？
[解析]　(1)小物体的线速度大小
v＝ωr＝3×0.2 m/s＝0.6 m/s。
(2)小物体的向心力大小
F＝mω2r＝0.1×32×0.2 N＝0.18 N。
(3)当小物体刚好相对于圆盘滑动时，最大静摩擦力提供向心力，则有Ffm＝mωr
又Ffm＝μFN＝μmg
联立可得ω1＝＝ rad/s＝5 rad/s。
[答案]　(1)0.6 m/s　(2)0.18 N　(3)5 rad/s
知识点二　变速圆周运动和一般曲线运动
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合外力不指向圆心，合力F产生改变速度大小和方向两个作用效果。即
(2)向心力公式：某一点的向心力仍可用F＝m＝mω2r公式求解，只不过v、ω都是指那一点的瞬时物理量。
2．一般曲线运动的处理方法
在分析质点经过曲线上某位置的运动时，把包含该位置的曲线上的一小段看成某个圆周的一部分，对该部分用F＝m＝mω2r求解。只是不同位置对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”不同。
　如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则(　　)
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合外力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
[解析]　物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。
[答案]　D
知识点三　向心加速度
1．图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？
2．做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？
3．除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确定向心加速度的方向？
[提示]　1.具有加速度。
2．从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。
3．从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方向。
1．向心加速度的理解
只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
2．圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
3．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度，向心加速度只改变速度的方向，切向加速度只改变线速度的大小，所以在变速圆周运动中，向心加速度的方向总是指向圆心。
4．向心加速度的大小
根据牛顿第二定律F＝ma和向心力表达式F＝m可得向心加速度的大小a＝或a＝ω2r。
5．向心加速度的几种表达式
角度1　向心加速度的理解
　(双选)关于圆周运动中的向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的大小变化越快
B．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快
C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
[解析]　向心加速度是描述做圆周运动的物体线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快，A错误，B正确；向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，C正确；在匀速圆周运动中向心加速度方向不断变化，不是恒量，D错误。
[答案]　BC
　如图1所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的边缘上有A、B、C三点，向心加速度随半径变化图像如图2所示，则(　　)
A．A、B两点加速度关系满足甲图线
B．A、B两点加速度关系满足乙图线
C．A、C两点加速度关系满足甲图线
D．A、C两点加速度关系满足乙图线
[解析]　由题意得，A、B两点的线速度v大小相等，根据a＝可知，加速度a与半径R成反比，加速度关系满足甲图线，A正确，B错误；A、C两点的线速度大小不相等，根据a＝可知， 加速度与半径不成反比，加速度关系不满足甲图线，C错误；A、C两点的角速度不相等，根据a＝ω2R可知，加速度与半径不成正比，加速度关系不满足乙图线，D错误。
[答案]　A
角度2　加速度的相关计算
　(2025·江苏镇江市期末)如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘，C点位于A大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动，则B、C两点的向心加速度大小之比为(　　)
A．2∶1 B．4∶1
C．1∶2 D．1∶4
[解析]　若B点的角速度为ω，则根据v＝ωr可知，A点的角速度为ω，A、C的角速度相等，可知
C点的角速度为ω；根据a＝ω2r可知B、C两点的向心加速度大小之比为4∶1。
[答案]　B
　如图所示，撑开的雨伞上A、B两点到伞轴的距离分别为rA、rB，且rB＝2rA。当转动雨伞使A、B两点绕伞轴做匀速圆周运动时，A、B两点的(　　)
A．周期之比为2∶1
B．角速度之比为2∶1
C．线速度之比为1∶1
D．向心加速度之比为1∶2
[解析]　由于伞为同一个轴，属于同轴转动，则A、B两点以相同的角速度绕伞轴做圆周运动，根据T＝可知，A、B两点周期相等，故A、B错误；根据v＝ωr可知A、B两点的线速度之比vA∶vB＝ωArA∶ωBrB＝1∶2，故C错误；根据a＝ω2r可知aA∶aB＝ωrA∶ωrB＝1∶2，故D正确。
[答案]　D
1．(向心力来源的分析)(2025·龙岩市期末)C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式中程干线客机。如图所示，C919正在空中沿半径为r的水平圆周做匀速盘旋，飞行速率v＝，重力加速度大小为g，则飞机受到的升力为自身重力的(　　)
A．倍 B．倍
C．倍 D．倍
解析：选C。飞机受力分析如图所示，合外力作为向心力F合＝＝，由勾股定理可知飞机受到的升力F＝＝mg，＝。
2.(匀速圆周运动模型)如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面间始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是(　　)
A．两物体受到的摩擦力都增大
B．两物体受到的摩擦力大小都不变
C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
解析：选D。容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变。以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由f＝F＝m4π2n2r得其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确。
3．(变速圆周运动)如图，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对于圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受摩擦力f的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是(　　)
解析：选C。因为圆盘转速不断增大，所以橡皮块将随圆盘一起进行加速圆周运动，此时摩擦力f既要提供指向圆心的向心力，又要提供与运动方向相同的切向力，所以合力方向应该在轨道内侧且与速度成锐角，故C正确。
4．(向心加速度的理解和方向)下列关于向心加速度的说法错误的是(　　)
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：选C。向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，A正确；向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，B正确；物体做匀速圆周运动时，只有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不始终指向圆心，C错误，D正确。
5.(向心加速度的求解)某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度大小为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为(　　)
A． eq \f(rω2,r1) B． eq \f(rω2,r3)
C． D． eq \f(rω2,r2)
解析：选B。三轮相互不打滑，则三轮边缘上各点线速度大小相同，设为v，由甲轮可知v＝ωr1，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小a＝＝ eq \f(rω2,r3) 。(共24张PPT)
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√
题组1　车辆转弯问题
1.一汽车在水平地面上以恒定速率行驶，汽车通过如图所示的a、b、c三处时的向心力(　　)
A．FaFb>Fc
C．Fa>Fc>Fb D．Fa＝Fb＝Fc
2．如图所示，山崖边的公路常被称为最险公路，一辆汽车欲安全通过此弯道公路(公路水平)，下列说法不正确的是(　　)
A．若汽车以恒定的角速度转弯，则选择内
圈较为安全
B．若汽车以恒定的线速度大小转弯，则选
择外圈较为安全
C．汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用
D．汽车在转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用
√
解析：汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用，其中摩擦力提供向心力，故C正确，与题意不符，D错误，与题意相符。
√
√
√
题组2　汽车过桥问题
4.(双选)图为一汽车(质量一定)通过凹形桥(曲率半径一定)
最低点时的示意图，下列判断正确的是(　　)
A．汽车的角速度越大，对桥底的压力越大
B．汽车的速度越大，对桥底的压力越小
C．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越大
D．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越小
√
√
题组3　离心运动
6.一摩托车比赛转弯时的情形如图所示。转弯处路面常是
外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速
度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论
述正确的是(　　)
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析：摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A错误；
摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；
摩托车将沿曲线做离心运动，C、D错误。
7．(双选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，它的示意图如图所示，试管中先装水，再加入粉笔粉末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔粉末沉淀在试管的底端。下列说法正确的是(　　)
A．旋转越快，试管的高度越低
B．粉笔粉末向试管底部运动是一种离心现象
C．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越明显
D．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越不明显
√
√
解析：对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为α，则提供的向心力为mg tan α，当转速增大时，需要的向心力增大，故角度α增大，管越高，A错误；
离心沉淀器是一种离心设备，不同的物质混合，当离心沉淀器工作时，会发生离心现象，B正确；
转速越快，离心运动越剧烈，粉笔粉末的沉淀现象越明显，C正确，D错误。
8.一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮
胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为
80 m的弯道时，下列判断正确的是(　　)
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
√
解析：汽车转弯时受到重力、地面的支持力以及地面给的摩擦力，其中摩擦力提供向心力，A错误；
9．(12分)现有一辆质量m＝9 000 kg的轿车，行驶在沥青铺设的公路上，g取10 m/s2。
(1)如果汽车在公路的水平弯道上以30 m/s的速度转弯，轮胎与地面间的径向最大静摩擦力为车重的0.6，若要汽车不向外发生侧滑，弯道的最小半径是多少？(4分)
答案：150 m　
(2)如果汽车驶过半径R′＝90 m的一段凸形桥面
①若汽车以20 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(4分)
②若汽车在过最高点时不能脱离桥面，则汽车的速度不能超过多少？(4分)
答案：①5×104 N　②30 m/s
10.(14分)离心试验器可以测试人的抗荷能力，其原理图如图所示。被测者坐在椅子上随平台做匀速圆周运动，已知人的质量为m，图中的直线AB的长度为L，与竖直方向成30°角，AC的长度为r，求：
(1)人需要的向心力大小；(4分)
(2)人对椅子的压力；(4分)
答案：mg，方向垂直于座椅面向下
(3)平台做匀速圆周运动的周期T。(6分)(共24张PPT)
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向心力和向心加速度(二)
√
1.滚筒洗衣机脱水时，衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动。
滚筒截面如图所示，A、B为滚筒的最高点和最低点，O为转
轴，则脱水过程中(　　)
A．滚筒对衣物作用力大小恒定
B．滚筒对衣物作用力始终指向转轴
C．衣物到B点时处于失重状态
D．衣物到B点时脱水效果更好
衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动，速度大小不变，以在与转轴等高点为例，衣服受到滚筒水平指向转轴的弹力，竖直方向还受到竖直向上的摩擦力与重力平衡，根据力的合成可知此时滚筒对衣物作用力没有指向转轴，故B错误。
2.(双选)一名运动员骑自行车沿如图所示的水平轨道运动，
其中abc为一段圆弧轨道，自行车上的码表示数一直为
72 km/h，运动员及自行车可视为质点，则(　　)
A．自行车的速度一直保持不变
B．自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向
C．整个过程中，自行车与轨道间的摩擦力方向始终与运动方向相反
D．自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向不可能沿圆弧的切线方向
√
√
解析：沿圆弧轨道abc运动时，速度大小不变，但方向一直沿切线方向在改变，故速度在变，故A错误；
曲线运动某点的速度方向沿该点的切线方向，故自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向，故B正确；
自行车沿圆弧轨道abc运动时，摩擦力提供向心力，指向圆心，故C错误；
自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向指向圆弧的圆心，故D正确。
√
3．在光滑水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．l不变，ω减半且m加倍时，细线的拉力大小不变
B．ω不变，l减半且m加倍时，细线的拉力大小不变
C．m不变，ω减半且l加倍时，细线的拉力大小不变
D．m不变，l减半且ω加倍时，细线的拉力大小不变
解析：根据F＝mω2l，可知l不变，ω减半且m加倍时，细线的拉力大小变为原来的一半，A错误；
ω不变，l减半且m加倍时，细线的拉力大小不变，B正确；
m不变，ω减半且l加倍时，细线的拉力大小变为原来的一半，C错误；
m不变，l减半且ω加倍时，细线的拉力大小变为原来的2倍，D错误。
√
4.工厂中的行车示意图如图所示。钢丝绳悬点O到所吊铸件
重心P的距离为3 m，铸件质量为2 t，行车以3 m/s 的速度
匀速行驶，重力加速度g取10 m/s2。当行车突然停止运动
时，钢丝绳受到的拉力为(　　)
A．2.6×104 N B．2.0×104 N
C．1.4×104 N D．3.9×104 N
√
5.摆壶铃是现在热门的健身运动。如图所示，某人屈身保持姿
势不变，两手握住壶铃摆动，将该运动视为以两肩连线为轴，
在竖直平面内的圆周运动，则摆至最低点时(　　)
A．手对壶铃的作用力提供壶铃的向心力
B．壶铃的向心力大小与线速度成正比
C．手对壶铃的作用力与壶铃所受的重力是一对平衡力
D．手对壶铃的作用力大小等于壶铃对手的作用力大小
解析：手对壶铃的作用力以及壶铃所受重力沿半径方向的分力一起提供壶铃的向心力，故A错误；


壶铃不是处于平衡状态，手对壶铃的作用力与壶铃所受的重力不是一对平衡力，故C错误；
手对壶铃的作用力与壶铃对手的作用力是一对相互作用力，大小相等，故D正确。
√
7．(双选)如图所示，在光滑水平面上钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿俯视顺时针方向缠绕在两钉子上。现使小球以初速度v0在水平面上沿俯视逆时针方向做匀速圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是(　　)
A．小球的线速度变大 B．小球的角速度变小
C．小球的向心加速度不变 D．细绳对小球的拉力变小
√
√
解析：在绳子完全被释放后与释放前相比，小球所受的拉力与速度垂直，速度大小不变，故A错误；
由v＝ωr，v不变，r变大，可知角速度ω变小，故B正确；
8．(双选)(2025·厦门市期末)大型游乐装置“大摆锤”
的简图如图所示，摆锤a和配重锤b分别固定在摆臂两端，并
可绕摆臂上的转轴O在纸面内转动。若a、b到O的距离之比为
2∶1，在摆臂匀速转动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．a、b的线速度大小之比为2∶1
B．a、b的角速度大小之比为1∶2
C．a、b的向心加速度大小之比为2∶1
D．a、b的向心加速度大小之比为1∶4
√
√
解析：a、b两点同轴转动，所以角速度相等，根据v＝ωr，可得a、b的线速度大小之比va∶vb＝ra∶rb＝2∶1，根据a＝ω2r，可得a、b的向心加速度大小之比aa∶ab＝ra∶rb＝2∶1。
9．(2025·泉州市期末)进入冬季后，北方的冰雪运动吸引了许多南方游客。如图为雪地转转游戏，人乘坐雪圈(尺寸大小忽略不计)绕轴以2 rad/s的角速度在水平雪地上做匀速圆周运动。已知绳子悬挂在离地高为3 m、半径为3 m的水平转盘的边缘，且绳子长为5 m。运动时，绳与水平杆垂直，则雪圈(含人)(　　)
A．线速度大小为8 m/s
B．线速度大小为14 m/s
C．加速度大小为16 m/s2
D．加速度大小为20 m/s2
√
雪圈(含人)做匀速圆周运动的加速度大小a＝ω2r＝22×5 m/s2＝20 m/s2，故C错误，D正确。
10.(双选)如图所示，有一个很大的圆形餐桌，水平桌面中
间嵌着一可绕中心轴O转动的圆盘，圆盘上A处放一质量
为m的菜盘，B处放一质量为0.5m的菜盘，OA＝2OB，圆
盘匀速转动，两菜盘均视为质点且不打滑。下列说法正确的是(　　)
A．A、B两处菜盘的周期之比为1∶2
B．A、B两处菜盘的线速度大小之比为2∶1
C．A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为4∶1　
D．A、B两处菜盘受到的静摩擦力大小之比为4∶1
√
√
同理，依题意有rA＝2rB，根据v＝ωr，可知A、B两处菜盘的线速度大小之比为2∶1，故B正确；
根据a＝ω2r可知A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为2∶1，故C错误；
11.(10分)如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面
上做匀速圆周运动。
已知小球质量m＝0.40 kg，线速度大小v＝1.0 m/s，细线长L＝0.25 m。
(1)求小球的角速度大小ω。(3分)
答案：4.0 rad/s　
(2)求细线对小球的拉力大小F。(3分)
答案：1.6 N　
(3)若细线最大能承受6.4 N的拉力，求小球运行的最大线速度。(4分)
答案：2.0 m/s题组1　圆周运动的物理量及相互关系
1．一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动。圆周的半径为4.0 m，当他的线速度为2.0 m/s时，他的角速度ω为(　　)
A．0.5 rad/s B．1 rad/s
C．2 rad/s D．8 rad/s
解析：选A。根据题意可知，小孩绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，由公式v＝ωr可得，他的角速度ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。
2．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则下列说法不正确的是(　　)
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．运动轨迹的半径为 m D．频率为0.5 Hz
解析：选A。由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系可知ω＝＝π rad/s，A错误；由T＝得转速n＝＝ r/s＝0.5 r/s，B正确；由v＝ωr得r＝＝ m，C正确；由频率与周期的关系得f＝＝0.5 Hz，D正确。
3.金鸡湖摩天轮如图所示，摩天轮高128 m，匀速运行一周需用时45 min。其匀速转动的角速度大小为(　　)
A． rad/s B． rad/s
C． rad/s D． rad/s
解析：选B。该摩天轮匀速转动的角速度大小ω＝＝ rad/s。
题组2　常见传动装置及特点
4.如图所示，两小球固定在一根长为L的杆两端，绕杆上的O点做圆周运动。当小球A的速度为vA时，小球B的速度为vB，则O点到小球A的距离为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A。明确两物体为同轴转动，转动过程中角速度相同；分别对两球根据线速度和角速度的关系式列式，联立即可求出O点到小球A的距离。两小球A、B同轴转动，角速度大小相等，则有ω＝＝，即＝，又rA＋rB＝L，联立可得rA＝。
5．如图所示的是一皮带传动装置，右轮的半径为r，左轮的半径为2r，a、b分别是两轮边缘上的点，c是左轮轮盘上的一点，它到左轮中心的距离为r。若在传动过程中，皮带不打滑，则(　　)
A．a点与b点的周期相等 B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等 D．b点与c点的周期相等
解析：选D。a、b分别是两轮边缘上的点，靠皮带传动，两点的线速度大小相等，根据ω＝可知，由于a、b的半径不相等，所以a点与b点的角速度大小不相等，又T＝，所以a点与b点的周期也不相等，故A、B错误；a、b的线速度大小相等，b、c属于同轴转动，角速度大小相等，根据v＝ωR可知b、c的线速度大小不相等，所以a点与c点的线速度大小不相等，故C错误；b、c属于同轴转动，周期相等，故D正确。
6.在图中，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有相对滑动。下列结论正确的是(　　)
A．ωA∶ωB＝1∶1 B．vA∶vB＝1∶2
C．nB∶nC＝2∶1 D．TA∶TC＝1∶2
解析：选C。设小轮半径为r，则RA＝2r、RB＝r、RC＝r，因为A、B两点为传动关系，所以vA∶vB＝1∶1，根据v＝ωR，可得ωA∶ωB＝1∶2，故A、B错误；由于A、C两点同轴转动，所以ωA＝ωC，ωB∶ωC＝2∶1，根据ω＝2πn可得nB∶nC＝2∶1，故C正确；因为ωA＝ωC，根据T＝可得TA∶TC＝1∶1，故D错误。
7.明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转。”并附有牛力齿轮翻车的图画如图所示，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田。已知A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，B、C齿轮同轴，若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA>rB>rC，则(　　)
A．齿轮A的角速度比齿轮C的角速度大
B．齿轮A、B的角速度大小相等
C．齿轮B、C边缘的线速度大小相等
D．齿轮A边缘的线速度比齿轮C边缘的线速度大
解析：选D。根据题意可知，A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，则齿轮A、B边缘的线速度大小相等，由v＝ωr，rA>rB，则有ωA<ωB，由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，则有ωA<ωB＝ωC，故A、B错误；由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，由v＝ωr可知，由于rB>rC，则有vB>vC，可得vA＝vB>vC，故C错误，D正确。
8.(双选)如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直平面内等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度v0垂直于盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则(　　)
A．飞镖击中P点所需的时间为
B．圆盘的半径可能为 eq \f(gL2,2v)
C．圆盘转动角速度的最小值为
D．P点随圆盘转动的线速度可能为
解析：选AD。飞镖水平抛出后做平抛运动，水平方向的分运动是匀速直线运动，因此t＝，A正确；飞镖击中P点时，P点恰好在圆盘最低点，则有2r＝gt2，解得圆盘的半径r＝ eq \f(gL2,4v) ，B错误；飞镖击中P点，则P点转过的角度满足θ＝ωt＝π＋2kπ(k＝0，1，2，…)，故ω＝＝(k＝0，1，2，…)，则圆盘转动角速度的最小值为，C错误；P点随圆盘转动的线速度v＝ωr＝(k＝0，1，2，…)，当k＝3时，v＝，D正确。
9．(8分)如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，O点正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小(重力加速度为g)。
解析：设球在空中运动的时间为t，此圆盘转过的角度为θ，则R＝vt，h＝gt2
故初速度v＝R
θ＝n·2π(n＝1，2，3，…)
又因为θ＝ωt，则圆盘角速度
ω＝n·＝2πn(n＝1，2，3，…)。
答案：R　2πn(n＝1，2，3，…)
10.(10分)如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，有另一小球P从距圆周最高点h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g。求：
(1)Q球转动的角速度ω；(6分)
(2)Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值。(4分)
解析：(1)小球P做自由落体运动，有
h＝gt2，解得t＝
Q球运动到最高点的时间
t′＝＋nT(n＝0，1，2，3，…)
由于T＝，t＝t′
解得ω＝2π(n＝0，1，2，3，…)。
(2)根据公式T＝
解得T＝(n＝0，1，2，3，…)
当n取0时，周期最大，最大值Tmax＝4。
答案：(1)2π(n＝0，1，2，3，…)
(2)(n＝0，1，2，3，…)　4第3节　离心现象
1．能用向心力及向心加速度等解释生产、生活中的离心现象及其产生原因。
2．了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害。
3．能够利用圆周运动的知识分析竖直面内的圆周运动。
一、车辆转弯时所需的向心力
1．汽车转弯问题
(1)汽车在水平路面上转弯时，有向外侧滑的趋势，地面会对汽车产生指向内侧的静摩擦力。
(2)根据向心力公式f＝m，如果弯道半径一定，汽车速度超过一定限度时，汽车就会向外侧滑。
2．火车转弯问题
(1)转弯处设计成外高内低。
(2)火车以规定速度行驶时，恰好由重力和支持力的合力提供向心力。
3．飞机转弯问题
飞机转弯时所需的向心力由重力和空气对它的作用力的合力提供。
二、竖直平面内的圆周运动分析
1．汽车过凸形路面
汽车驶过凸形路面的顶端时，如图甲所示，由向心力公式G－N＝可知，N2．汽车过凹形路面
汽车驶过凹形路面底部时，如图乙所示，由向心力公式N－G＝可知，N>G。根据牛顿第三定律，汽车行驶到凹形路面底部时，对路面的压力大于汽车受到的重力。
3．实验室的“过山车”
当小球沿圆环内侧轨道经过最高点时，向心力F＝mg＋N，根据向心力公式可得mg＋N＝m。
(1)当N＝0时，mg＝m，小球恰好能通过最高点，此时，小球的速度v＝，所需的向心力完全由重力提供。
(2)小球能通过最高点的条件是在最高点的速度大小v≥。
三、生活中的离心运动
1．定义：做圆周运动的物体，在受到的合外力突然消失或者不足以提供做圆周运动所需要的向心力的情况下，将远离圆心运动。
2．离心运动的应用和防止
(1)应用：离心分离器；离心干燥器；洗衣机的脱水筒。
(2)防止：飞机翻飞旋转，造成过荷现象，飞行员通过加强训练来提高抗荷能力；汽车在公路转弯处必须放慢行车速度。
判断下列说法是否正确。
(1)车辆在水平路面上转弯时，所受重力与支持力的合力提供向心力。(　　)
(2)车辆在水平路面上转弯时，所受摩擦力提供向心力。(　　)
(3)车辆在“内低外高”的路面上转弯时，受到的合力可能为零。(　　)
(4)车辆按规定车速通过“内低外高”的弯道时，向心力是由重力和支持力的合力提供的。(　　)
(5)汽车在拱形桥上行驶，速度小时对桥面的压力大于车重，速度大时压力小于车重。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
知识点一　车辆转弯问题
1．火车转弯时的运动是圆周运动，分析火车的运动回答下列问题：
(1)如果轨道是水平的，火车转弯时受到哪些力的作用？需要的向心力由谁来提供？
(2)靠这种方式使火车转弯有哪些危害？如何改进？
2．摩托车在平直公路转弯和火车转弯，它们的共同点是什么？提供向心力的方式一样吗？
[提示]　1.(1)火车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和外轨对火车的弹力作用，弹力提供火车转弯所需的向心力。
(2)对确定的弯道，火车转弯时速度越大，需要的向心力越大，容易造成对外轨的损坏，甚至造成火车脱轨。可以把弯道处建成外高内低的斜面，由重力和支持力的合力提供向心力。
2．摩托车在平直公路转弯和火车转弯都需要向心力。摩托车转弯时摩擦力可以提供向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设置特别的轨道，由重力和支持力的合力提供向心力。
1．火车转弯问题
(1)火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，故需要很大的向心力。
(2)转弯轨道受力与火车速度的关系
①若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图所示，有mg tan θ＝m eq \f(v,R) ，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈sin θ)，v0为转弯处的规定速度。此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。
②若火车行驶速度v0＞，外轨对轮缘有侧压力。
③若火车行驶速度v0＜，内轨对轮缘有侧压力。
2．车辆转弯问题
(1)水平地面上转弯
汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯，其向心力都是由地面的摩擦力提供的，受力分析如图1所示，这时重力和地面对车的支持力平衡，当f达到最大时，即有fmax＝μmg＝m eq \f(v,R) ，所以车辆转弯的安全速度v≤vmax＝。
(2)外高内低斜面式弯道转弯
此种情况与火车垫高外轨的情境类似，车辆转弯时所需向心力由重力mg和支持力N的合力F合提供，如图2所示。由F合＝mg tan θ＝ eq \f(mv,R) 可得规定速度v0＝。若车速v>，车轮受到沿斜面向下的摩擦力作用；若车速v<，车轮受到沿斜面向上的摩擦力作用。
角度1　火车转弯问题
　(双选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。其简意图如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　)
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
[解析]　火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得r＝，v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，A、B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，C错误；当火车速率小于v时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，D错误。
[答案]　AB
角度2　汽车转弯问题
　为了使汽车快速安全通过弯道，高速公路转弯处的路面通常设计成外侧高、内侧低。已知某高速公路转弯处是一圆弧，圆弧半径r＝850 m，路面的倾角θ＝6°(tan 6°＝0.105)，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，则在该弯道处(　　)
A．汽车受到重力、支持力和向心力
B．汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力
C．当汽车速度等于120 km/h时，汽车会受到平行于路面指向弯道内侧的摩擦力
D．若汽车速度小于60 km/h，汽车会向内侧滑动
[解析]　汽车受到重力、支持力和摩擦力，这些力的合力提供向心力，故A错误；汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力和摩擦力的合力的水平分力，故B错误；结合上述，对汽车进行分析有mg tan θ＝m，解得v≈30 m/s＝108 km/h，当速度大于108 km/h时，汽车会受到沿路面指向内侧的摩擦力，故C正确；根据题中给出的数据可知mg sin θ<μmg cos θ，所以无论汽车以什么速度过弯道都不会向内侧滑动，故D错误。
[答案]　C
角度3　其他转弯问题
　骑行是一项深受人们热爱的运动，如图是场地自行车比赛的圆形赛道。路面与水平面的夹角为13.5°，圆周的半径为60 m，某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动。已知sin 13.5°＝0.233，tan 13.5°＝0.240，g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．该运动员在骑行过程中，所受合外力为零
B．该运动员在骑行过程中，所受合外力沿路面向下
C．若该运动员以12 m/s的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力
D．若该运动员以 m/s的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力
[解析]　该运动员在骑行过程中在该赛道上做匀速圆周运动，所受的合外力提供向心力，指向圆心，故A、B错误；当其不受路面给的侧向摩擦力时，重力和路面的支持力提供向心力，有mg tan 13.5°＝m，得v＝＝12 m/s，故C正确，D错误。
[答案]　C
知识点二　汽车过桥问题
1．向心力来源
汽车过凹凸桥的最低点或最高点时，在竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力。
2．汽车过凹凸桥时压力的分析与讨论
若汽车质量为m，桥面圆弧半径为R，汽车在最高点或最低点速率为v，则汽车对桥面的压力大小情况讨论如下：
项目 汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
受力分析
指向圆心为正方向 G－N＝mN＝G－m N－G＝mN＝G＋m
牛顿第三定律 F压＝N＝G－m F压＝N＝G＋m
讨论 v增大，F压减小；当v增大到 时，F压＝0 v增大，F压增大
　(双选)如图是汽车分别经过拱形桥最高点和凹形桥最低点的情形。下列说法正确的是(　　)
A．过拱形桥最高点时汽车所受支持力大于重力
B．过凹形桥最低点时汽车所受支持力大于重力
C．过拱形桥最高点时汽车所受支持力小于重力
D．过凹形桥最低点时汽车所受支持力小于重力
[解析]　汽车过拱形桥最高点时，重力与支持力的合力提供向心力，即mg－N＝m，所以汽车过拱形桥最高点时，汽车所受支持力小于重力，故A错误，C正确；汽车过凹形桥最低点时，支持力与重力的合力提供向心力，即N－mg＝m，所以汽车过凹形桥最低点时，汽车所受支持力大于重力，故B正确，D错误。
[答案]　BC
　如图所示，有一辆质量为m的汽车(可看作质点)驶上半径为R的圆弧拱形桥。
(1)当汽车以一定速度通过拱形桥顶时(汽车与桥面之间始终有相互作用)，画出此时汽车在竖直方向受力的示意图。
(2)已知m＝1 500 kg、R＝50 m，重力加速度g取10 m/s2，当该汽车以速率v＝5 m/s通过拱形桥顶时，汽车对桥的压力是多大？此时汽车是处于超重状态还是失重状态？
(3)汽车通过桥顶时对桥面的压力过小是不安全的。请你通过分析说明：在设计拱形桥时，
对于同样的车速，拱形桥圆弧的半径是大些比较安全还是小些比较安全？
[解析]　(1)汽车竖直方向受力如图所示。
(2)根据牛顿第二定律和向心加速度公式，有
mg－N＝m
代入数据有N＝14 250 N
根据牛顿第三定律，可知汽车对桥面的压力大小
N′＝N＝14 250 N
因为N′＜mg＝15 000 N
因此汽车处于失重状态。
(3)由(2)可知N′＝N＝mg－m
即R较大时，N′就较大，因此拱桥圆弧的半径大些比较安全。
[答案]　(1)见解析图　(2)14 250 N　失重
(3)见解析
知识点三　离心运动
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受什么力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
[提示]　(1)重力和空气阻力。
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体受到的合力不足以提供所需的向心力。
1．物体做离心运动的原因：提供向心力的合外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力。
注意：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际上并不存在。
2．合外力与向心力的关系(如图所示)
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合>mrω2或F合>，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。
(3)若0(4)若F合＝0，则物体做直线运动。
　(双选)滚筒洗衣机里衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果。滚筒截面如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．衣物运动到最低点B点时处于超重状态
B．衣物和水都做离心运动
C．衣物运动到最高点A时脱水效果更好
D．衣物运动到最低点B时脱水效果更好
[解析]　衣物运动到最低点B时，加速度指向圆心，竖直向上，处于超重状态，故A正确；衣物受到筒的支持力和重力，做圆周运动，水所受合力不足以提供向心力，做离心运动，故B错误；根据牛顿第二定律可知，在最低点有N1－mg＝m，在最高点有N2＋mg＝m，则N1＞N2，衣物运动到最低点B时脱水效果更好，故C错误，D正确。
[答案]　AD
　短道速滑，是我国运动员的优势项目，在比赛中，运动员通过弯道时如果不能很好地控制速度，将会发生侧滑而离开赛道，用圆弧虚线Ob代表弯道，Oa表示运动员在O点的速度方向(如图)，将运动员视为质点，下列说法正确的是(　　)
A．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
B．发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需的向心力
C．若在O点发生侧滑，则滑动方向在Oa右侧
D．若在O点发生侧滑，则滑动方向在Oa与Ob之间
[解析]　发生侧滑的原因是赛道对运动员的摩擦力小于运动员通过弯道时需要的向心力，不是运动员受到的合力方向背离圆心，A、B错误；运动员侧滑时会沿半径方向有远离圆心的运动分量，若此时摩擦力消失，运动员会沿Oa的方向运动，但实际上运动员还会受到大致沿半径方向上的摩擦力作用，所以若在O点发生侧滑，则滑动方向在Oa与Ob之间，C错误，D正确。
[答案]　D
1.(车辆转弯问题)如图所示，一汽车正在道路上转弯，弯道处的路面是倾斜的且与水平面所成夹角为θ。汽车在该弯道处以10 m/s的速率转弯时，沿倾斜路面恰好没有上、下滑动的趋势。已知汽车在弯道上做圆周运动的半径为40 m，重力加速度取10 m/s2，则tan θ的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A。对汽车根据牛顿第二定律得Fn＝m，同时有tan θ＝，代入数值联立解得tan θ＝。
2．(车辆转弯问题)如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，路面外高内低，当轿车行驶的速率为vc时，轿车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)
A．有质量更大的卡车经过时，与轿车相比，vc的值变小
B．路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
C．车速高于vc时，车辆就会向外侧滑动
D．车速高于vc，但不超出某一最高限度时，车辆不会向外侧滑动
解析：选D。由题意可知，轿车该弯道处受力如图所示，
根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝ eq \f(mv,R) ，解得vc＝，可知质量更大的卡车经过时，与轿车相比，vc的值不变；路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值不变，故A、B错误。车速高于vc时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，车辆有向外侧滑动的趋势，车辆受到指向内侧的静摩擦力，所以只要速度不超出最高限度，车辆不会向外侧滑动，故C错误，D正确。
3．(拱形桥问题)(2025·陕西西安市期中)如图所示，一辆质量为m的汽车先过一段凹形桥，再过一段拱形桥，M、N分别为桥的最低点和最高点，且汽车通过M、N两点时的速度均不为0。汽车在通过两种桥面的过程中均未脱离桥面，下列说法正确的是(　　)
A．汽车通过M点时处于失重状态
B．汽车通过M点时的加速度可能为0
C．汽车通过N点时，无论速度多大，对桥面始终有压力
D．汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小
解析：选D。汽车通过M点时，根据牛顿第二定律可知FN－mg＝ma＝m，加速度方向竖直向上，故此时汽车处于超重状态，由于汽车通过M、N两点时的速度均不为0，故汽车加速度大小不为0，故A、B错误；汽车通过N点时，根据牛顿第二定律可知mg－FN＝m，若mg＝m，即v＝时，此时桥面对汽车的支持力为0，根据牛顿第三定律可知，此时汽车对桥面的压力为0，故C错误；根据牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力等于汽车对桥面的压力，由上述可知FM压＝mg＋m，FN压＝mg－m，故汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小，故D正确。
4．(离心运动)如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法不正确的是(　　)
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变小，小球将可能沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变大，小球将可能沿轨迹Pc做近心运动
解析：选B。由F＝知，拉力变小，F提供的向心力不足，R变大，小球做离心运动，故C正确，B错误；反之，F变大，小球做近心运动，D正确；当F突然消失时，小球将沿直线运动，A正确。第1节　匀速圆周运动快慢的描述
1．理解线速度、角速度、转速、周期、频率等概念，会对它们进行定量计算。　2.知道线速度、角速度、周期之间的关系。　3.理解匀速圆周运动的概念和特点。　4.会分析常见传动装置中各物理量间的关系。
一、线速度
1．匀速圆周运动：在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动。
2．定义：做匀速圆周运动的物体上某点通过的弧长s与所用时间t之比称为匀速圆周运动的线速度，即v＝。
3．标矢性：线速度是矢量，其方向总是沿圆周的切线方向。
4．物理意义：描述质点沿圆周运动快慢的物理量。
二、角速度
1．定义：半径转过的角度φ与所用时间t之比称为匀速圆周运动的角速度，即ω＝。
2．单位：弧度每秒，符号是rad/s。
3．物理意义：描述质点沿圆周转动快慢的物理量。
三、周期、频率和转速
1．周期：周期性运动每重复一次所需要的时间，用T表示，在国际单位制中单位为秒(s)。
2．频率：在一段时间内，运动重复的次数与这段时间之比，用f表示，在国际单位制中单位为赫兹(Hz)。频率的大小等于周期的倒数，即f＝。
3．转速：物体一段时间内转过的圈数与这段时间之比，常用n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。当转速n以转每秒为单位时，转速与频率大小相等，即n＝f。
四、线速度、角速度和周期的关系
1．线速度和周期的关系式：v＝。
2．角速度和周期的关系式：ω＝。
3．线速度和角速度的关系：在匀速圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积，关系式为v＝rω。
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同。(　　)
(2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力不为零。(　　)
(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变。(　　)
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变。(　　)
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
知识点一　圆周运动的物理量及相互关系
如图所示，有一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时：
(1)a、b、c三点角速度和周期各有什么关系？
(2)a、b、c三点做圆周运动的线速度有什么关系？
[提示]　(1)ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc。
(2)va＝vc＞vb。
1．物理量的定义
(1)线速度：单位时间(1 s内)转过的弧长。
(2)角速度：单位时间(1 s内)转过的圆心角。
(3)周期：转一圈所用的时间。
(4)频率(转速)：单位时间内转过的圈数。
2．各物理量之间的关系
(1)v＝＝＝2πnr
(2)ω＝＝＝2πn
(3)v＝ωr
3．物理量之间关系的分析技巧
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
(2)对线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。
(3)在讨论v、ω、r三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系。ω、T和n三个物理量可相互换算，只要其中一个量确定，其余两个量也就确定了。
　(2025·河北卷，T5)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟摇绳的圈数约为(　　)
A．90 B．120
C．150 D．180
[解析]　根据题意可知跳绳的转动角速度ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，故每分钟跳绳的圈数n＝＝150。
[答案]　C
　A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，以下说法不正确的是(　　)
A．A、B运动的线速度大小之比为3∶4
B．A、B运动的角速度大小之比为3∶2
C．A、B运动的周期之比为2∶3
D．A、B做圆周运动的半径之比为8∶9
[解析]　根据v＝可知，A、B运动的线速度大小之比为4∶3，A错误，符合题意；根据ω＝可知，A、B运动的角速度大小之比为3∶2，B正确，不符合题意；根据T＝可知，A、B运动的周期之比为2∶3，C正确，不符合题意；根据r＝可知，A、B做圆周运动的半径之比为8∶9，D正确，不符合题意。
[答案]　A
知识点二　常见传动装置及特点
跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。
讨论：(1)在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速度的大小关系如何？
(2)如果跷跷板的支点不在板的中点，线速度和角速度的关系如何？
[提示]　(1)线速度和角速度都相同。
(2)角速度相同，线速度不同。
1．三种传动装置
项目 同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
2.求解思路
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。
(3)选择公式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析，若角速度大小相等，则根据v∝r 分析。
角度1　皮带传动
　(双选)如图所示的传动装置中，A轮顺时针转动，并通过皮带带动B轮转动(皮带不打滑)。a、b分别是两轮边缘上的点，它们的线速度大小分别为va、vb。下列判断正确的是(　　)
A．B轮顺时针转动 B．B轮逆时针转动
C．va＝vb D．va＞vb
[解析]　由题图可知，B轮的转动方向与A轮转动方向一定是相反的，所以B轮逆时针转动，故A错误，B正确；a点与b点属于同缘传动，所以两点具有大小相等的线速度，即va＝vb，故C正确，D错误。
[答案]　BC
角度2　齿轮传动
　在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为1∶2∶3，当齿轮转动时，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点(　　)
A．线速度大小之比为1∶3 B．角速度大小之比为3∶1
C．周期之比为1∶1 D．转速之比为1∶3
[解析]　由题意可知，当齿轮转动的时候，三个齿轮边缘在相同时间内转的齿数相等，即线速度大小相等，因此有vA∶vB＝1∶1，故A错误；由线速度与角速度关系公式v＝ωr，可知小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点的角速度之比ωA∶ωB＝3∶1，故B正确；由周期与角速度关系公式T＝，可知周期与角速度成反比，即TA∶TB＝1∶3，故C错误；根据转速与周期的关系式n＝，可得转速与周期成反比，即nA∶nB＝3∶1，故D错误。
[答案]　B
角度3　同轴转动
　如图所示，两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．a球的线速度比b球的线速度大
B．a球的角速度比b球的角速度小
C．a球的线速度与b球的线速度大小相等
D．a球的角速度与b球的角速度大小相等
[解析]　两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，转动一圈的时间相等，故周期相同，角速度大小相等，故B错误，D正确；由于a球的转动半径较小，a球和b球的角速度相同，根据v＝ωr可知，a球的线速度比b球的线速度小，故A、C错误。
[答案]　D
角度4　混合传动
　绿色出行，自行车是一种不错的选择。自行车基本原理如图所示，a、b、c分别为链轮、飞轮和后轮上的三个点，已知链轮、飞轮和后轮的半径之比为2∶1∶6，将后轮悬空，匀速转动踏板时，a、b、c三点的(　　)
A．线速度大小之比为6∶6∶1 B．角速度之比为1∶6∶6
C．转速之比为2∶2∶1 D．周期之比为2∶1∶1
[解析]　根据传动装置的特点，可知va＝vb，飞轮和后轮同轴转动，则ωb＝ωc，根据v＝rω，可得＝＝，则a、b、c三点的线速度大小之比va∶vb∶vc＝1∶1∶6，故A错误；根据ω＝，可得＝＝，则a、b、c三点的角速度之比ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，故B错误；根据转速n＝，可得a、b、c三点的转速之比na∶nb∶nc＝ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，故C错误；根据T＝，可得a、b、c三点的周期之比Ta∶Tb∶Tc＝2∶1∶1，故D正确。
[答案]　D
知识点三　匀速圆周运动及其周期性
1．对匀速圆周运动的理解
(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化。
(2)匀速的含义
①速度的大小不变，即速率不变；
②转动快慢不变，即角速度大小不变。
2．匀速圆周运动的周期性
(1)问题特点：匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个是匀速圆周运动，另一个是其他形式的运动。一般处理这类问题时，要把一个物体运动的时间t，与圆周运动的周期T联系起来，才能更快解决问题。
(2)分析技巧
①抓住联系点：明确题中多个物体的运动性质；多个物体参与运动时，虽然每个运动独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等。
②先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期的规律。
角度1　对匀速圆周运动的理解
　关于匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．匀速圆周运动是速度不变的运动
B．匀速圆周运动的加速度不变化
C．任意相等时间内通过的位移相等
D．匀速圆周运动的角速度保持不变
[解析]　匀速圆周运动速度方向时刻在变化，是变速运动，故A错误；匀速圆周运动的加速度方向时刻在变化，故B错误；任意相等时间内通过的路程相等，但位移不一定相等，故C错误；匀速圆周运动转动快慢不变，角速度不变，故D正确。
[答案]　D
角度2　匀速圆周运动的周期性
　如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略子弹重力、圆筒的阻力及空气阻力。
(1)子弹做什么运动？圆筒做什么运动？
(2)为什么圆筒上只有一个弹孔？
(3)子弹与圆筒的运动时间有何关系？
(4)子弹的速度v应满足什么条件？
[解析]　(1)子弹不受外力，子弹做匀速直线运动；圆筒匀速转动，圆筒做匀速圆周运动。
(2)子弹从进入的弹孔中射出，所以只留下了一个弹孔。
(3)圆筒的周期T＝
子弹的运动时间应为
t＝T＋nT＝π(n＝0，1，2，3，…)。
(4)子弹的速度应满足
＝π(n＝0，1，2，3，…)
可解得v＝(n＝0，1，2，3，…)。
[答案]　(1)(2)见解析
(3)t＝π(n＝0，1，2，3，…)
(4)v＝(n＝0，1，2，3，…)
1．(圆周运动的物理量及相互关系)如图所示，秒针绕O点转动，A、B为秒针的两个端点。在转动时，A、B的角速度和线速度分别记为ωA、ωB和vA、vB，则(　　)
A．ωA<ωB B．ωA>ωB
C．vAvB
解析：选C。A、B为秒针的两个端点，他们属于同轴转动，故A、B的角速度大小相等，A、B错误；转动过程中，A点的半径小于B的半径，根据线速度与角速度的关系v＝ωr，可得vA2.(常见传动装置及特点)如图所示为学生使用的修正带，修正带的核心结构为咬合良好的两个齿轮，大、小齿轮的齿数之比n1∶n2＝k∶1。A、B两点分别位于大、小齿轮的边缘，当使用修正带时，纸带的运动会带动两轮转动，则两轮转动时，A、B两点的(　　)
A．角速度之比为1∶k B．角速度之比为1∶1
C．线速度大小之比为1∶k D．转速之比为k∶1
解析：选A。修正带靠齿轮传动，所以边缘线速度大小相等，故A、B两点的线速度大小之比为1∶1，故C错误；根据半径与齿轮关系得＝＝，由公式v＝ωr可得，A、B两点的角速度大小之比ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶k，故B错误，A正确；由公式ω＝2πn可得，转速之比nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶k，故D错误。
3.(对匀速圆周运动的理解)如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中(　　)
A．任意相等时间内笔尖通过的位移相同 B．笔尖的速率不变
C．相同时间内笔尖转过的角度不同 D．笔尖做的是匀速运动
解析：选B。笔尖做匀速圆周运动，任意相等时间内笔尖通过的位移大小相等，但方向不一定相同，故A错误；圆规匀速转动画圆的过程中，笔尖的线速度大小不变，即笔尖的速率不变，故B正确；圆规匀速转动画圆的过程中，角速度不变，则相同时间内笔尖转过的角度相同，故C错误；笔尖的速度大小不变，但方向一直改变，笔尖做的不是匀速运动，故D错误。
4.(匀速运动的周期性)如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑、半径为R，上部侧面开有小口A，在小口A的正下方h处开有小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从B口处飞出，小球进入A口的最小速率为(　　)
A．πR B．πR
C．πR D．πR
解析：选B。小球在竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2，可得小球在圆筒内的运动时间t＝，在水平方向，以圆周运动的规律来研究，运动的时间t＝n(n＝1，2，3，…)，联立可得v0＝＝nπR(n＝1，2，3，…)，当n＝1时，可得最小速率v0＝πR。1．(2025·三明市期末)在“探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系”的实验中。
(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到的方法是___________。
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．演绎法
(2)如图所示，A、B都为质量相同的钢球，图中所示是在研究向心力的大小Fn与___________的关系。
A．质量m B．角速度ω
C．半径r
(3)如图所示，若图中标尺上黑白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4，由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速塔轮相对应的半径之比为___________ 。
解析：(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，由于可变量较多，因此主要用到的方法是控制变量法。
(2)由题图可知，A、B为质量相同的钢球，两球都分别放在转动半径相同的位置上，因此实验是在研究向心力的大小Fn与角速度ω的关系。
(3)实验显示出两个小球所受向心力的比为1∶4，由向心力公式可得mωrA∶mωrB＝1∶4，其中rA＝rB，解得ωA∶ωB＝1∶2，由于两塔轮是皮带传动，则两轮边缘的线速度大小相等，则有ωARA∶ωBRB＝1∶1，可得RA∶RB＝2∶1。
答案：(1)C　(2)B　(3)2∶1
2．用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使变速塔轮匀速转动，槽内的球做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺上的红白相间的等分格。某次实验图片如图所示，请回答相关问题：
(1)左、右筒露出标尺上的红白相间的等分格之比表示的是__________________。
A．A、B两球的向心力之比
B．A、B两球的线速度之比
C．A、B两球的角速度之比
(2)A、B为两个相同的小球，放在图示的位置。转动手柄时，皮带连接的左、右变速塔轮对应的半径之比为2∶1，则可以判断图中筒的标尺上露出的红白相间的等分格的比值为___________。
A．16∶1 B．4∶1
C．1∶4 D．∶1
解析：(1)左、右筒露出标尺上的红白相间的等分格之比表示的是A、B两球的向心力之比。
(2)由向心力的表达式F＝mω2r可知，在小球的质量m相同、转动半径r也相同的情况下，两个变速塔轮是通过皮带传动，即两变速塔轮边缘点的线速度大小相等，结合线速度与角速度的关系v＝ωr可知，与皮带连接的两个变速塔轮的角速度之比＝＝＝1∶2，则题图中筒的标尺上露出的红白相间的等分格的比值F1∶F2＝mωr∶mωr＝1∶4。
答案： (1)A　(2)C
3．(2025·龙岩市期中)如图所示为向心力演示器，用来探究小球做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω、轨道半径r之间的关系，当皮带分别套在两边塔轮(从上往下数)第一层、第二层和第三层时，左、右两塔轮角速度之比分别为1∶1、1∶2和1∶3，小球在A、B、C处绕转轴转动时的半径比为1∶2∶1。
(1)当探究向心力大小与半径的关系时，应将皮带置于___________(选填“第一层”“第二层”或“第三层”)，将两个相同的小球分别置于___________和___________处(后两空用图中A、B、C表示)。
(2)当探究向心力大小与角速度的关系时，应将两个相同的小球分别置于___________和___________处(用图中A、B、C表示)。若将皮带置于第二层，则左、右套筒露出的格数之比应为___________。
解析：(1)根据控制变量法，当探究向心力大小与半径的关系时，应控制角速度不变，故将皮带置于第一层；转动半径不同，故将两个相同的小球分别置于B和C处。
(2)当探究向心力大小与角速度的关系时，应控制半径一样，故应将两个相同的小球分别置于A和C处；若将皮带置于第二层，则两个相同的小球受到的向心力之比F1∶F2＝ωr∶ωr＝ω∶ω＝1∶4，故左、右套筒露出的格数之比应为1∶4。
答案：(1)第一层　B　C　(2)A　C　1∶4
4．(2025·浙江温州市期中)在“探究向心力大小的表达式”实验中，如图甲所示为“向心力演示器”及配套小球，图中1、2、3为放置小球的卡槽，卡槽1和3到各自转轴的距离相等；变速塔轮由左、右两部分构成，两侧各有三个半径不等的圆盘。实验中左、右圆盘可通过皮带连接，转动转子时左、右套筒下降，标尺露出的格子数可显示小球转动过程中向心力的大小。
(1)结合图甲所示，完成下列问题：
①本实验采用的实验方法是___________。
A．等效法 B．控制变量法
C．模拟法
②在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左、右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的___________(选填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”)之比；在加速转动手柄过程中，左、右标尺露出红白相间等分标记的比值___________(选填“不变”“变大”或“变小”)。
(2)某小组想进一步探究，采用图乙所示的装置，滑块套在水平杆上，随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力F的大小。滑块上固定一遮光片，宽度为d，光电门可以记录遮光片通过的时间Δt，测得旋转半径为r。滑块随杆做匀速圆周运动，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和时间Δt的数据，以F为纵坐标，以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条如图丙所示直线，图线斜率为k，则滑块的质量为_________________________________(用k、r、d表示)。
解析：(1)①本实验探究向心力与质量、半径和角速度之间的关系，先控制其中两个物理量不变，探究向心力与另一个物理量的关系，则采用的实验方法是控制变量法。
②根据F＝mω2r，在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左、右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的角速度平方之比。在加速转动手柄过程中，小球质量不变，两变速盘的半径之比不变，则两小球的角速度平方之比不变，左、右标尺露出红白相间等分标记的比值不变。
(2)根据题意有F＝m，推得F＝·，故F－图线的斜率k＝，故m＝。
答案：(1)①B　②角速度平方　不变　(2)
5．某同学用如图所示的装置探究物体做圆周运动的向心力大小与半径、线速度、质量的关系。用一根细线系住钢球，另一端连接在固定于铁架台上端的力传感器上，直径为d的钢球静止于A点，将光电门固定在A的正下方。钢球底部竖直地粘住一片宽度为x的遮光条。
(1)用天平测出钢球质量，用刻度尺测出摆线长度。
(2)将钢球拉至不同位置由静止释放，读出钢球经过A点时力传感器的读数F及光电门的遮光时间t，算出钢球速度的平方值，具体数据见下表：
项目 1 2 3 4 5
F/N 0.124 0.143 0.162 0.181 0.200
v2/(m2·s－2) 2.0 4.0 5.8 8.0 10.1
请在下面的坐标图中，画出F－v2的关系图像。
(3)由图像可知，钢球所受的重力为___________N。
(4)若图线的斜率为k，钢球质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式为______________________(用所给物理量的符号表示)。
(5)某同学通过进一步学习知道了向心力的公式，发现实验中使用公式m求得钢球经过A点的向心力比测量得到的向心力大，你认为产生误差的主要原因是___________________________________________________________________________________________________________________________________________。
解析：(2)画出F－v2的关系图像如图所示。
(3)根据F－mg＝m，整理有F＝mg＋v2
由上述式子，结合图像可知，图线的纵截距为钢球所受的重力，即mg＝0.104 N。
(4)由之前的分析可知图像的解析式为F＝mg＋v2，若图线的斜率为k，钢球的质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式可改写为F＝kv2＋mg。
(5)产生误差的主要原因是光电门测出的是遮光条通过时的速度，大于钢球球心通过最低点的速度，即速度测大了。
答案：(2)见解析图　(3)0.104　(4)F＝kv2＋mg
(5)见解析(共22张PPT)
课后达标检测
√
题组1　圆周运动的物理量及相互关系
1．一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动。圆周的半径为4.0 m，当他的线速度为2.0 m/s时，他的角速度ω为(　　)
A．0.5 rad/s B．1 rad/s
C．2 rad/s D．8 rad/s
√
√
√
√
5．如图所示的是一皮带传动装置，右轮的半径为r，左轮的半径为2r，a、b分别是两轮边缘上的点，c是左轮轮盘上的一点，它到左轮中心的距离为r。若在传动过程中，皮带不打滑，则(　　)
A．a点与b点的周期相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．b点与c点的周期相等
a、b的线速度大小相等，b、c属于同轴转动，角速度大小相等，根据v＝ωR可知b、c的线速度大小不相等，所以a点与c点的线速度大小不相等，故C错误；
b、c属于同轴转动，周期相等，故D正确。
6.在图中，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点
位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们
之间靠摩擦传动，接触面上没有相对滑动。下列结论正
确的是(　　)
A．ωA∶ωB＝1∶1 B．vA∶vB＝1∶2
C．nB∶nC＝2∶1 D．TA∶TC＝1∶2
√
解析：设小轮半径为r，则RA＝2r、RB＝r、RC＝r，因为A、B两点为传动关系，所以vA∶vB＝1∶1，根据v＝ωR，可得ωA∶ωB＝1∶2，故A、B错误；
由于A、C两点同轴转动，所以ωA＝ωC，ωB∶ωC＝2∶1，根据ω＝2πn可得nB∶nC＝2∶1，故C正确；
7.明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转。”并附有牛力齿轮翻车的图画如图所示，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田。已知A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，B、C齿轮同轴，若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA>rB>rC，则(　　)
A．齿轮A的角速度比齿轮C的角速度大
B．齿轮A、B的角速度大小相等
C．齿轮B、C边缘的线速度大小相等
D．齿轮A边缘的线速度比齿轮C边缘的线速度大
√
解析：根据题意可知，A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，则齿轮A、B边缘的线速度大小相等，由v＝ωr，rA>rB，则有ωA<ωB，由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，则有ωA<ωB＝ωC，故A、B错误；
由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，由v＝ωr可知，由于rB>rC，则有vB>vC，可得vA＝vB>vC，故C错误，D正确。
√
√
9．(8分)如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，O点正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小(重力加速度为g)。
10.(10分)如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，有另一小球P从距圆周最高点h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g。求：
(1)Q球转动的角速度ω；(6分)
(2)Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值。(4分)(共54张PPT)
第3节　离心现象
学习目标
1．能用向心力及向心加速度等解释生产、生活中的离心现象及其产生原因。
2．了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危 害。
3．能够利用圆周运动的知识分析竖直面内的圆周运动。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、车辆转弯时所需的向心力
1．汽车转弯问题
(1)汽车在水平路面上转弯时，有向外侧滑的趋势，地面会对汽车产生指向______的静摩擦力。
内侧
2．火车转弯问题
(1)转弯处设计成__________。
(2)火车以规定速度行驶时，恰好由______和________的合力提供向心力。
3．飞机转弯问题
飞机转弯时所需的向心力由重力和空气对它的作用力的合力提供。
外高内低
重力
支持力
小于
大于
(1)当N＝0时，mg＝________，小球恰好能通过最高点，此时，小球的速度v＝________，所需的向心力完全由______提供。
(2)小球能通过最高点的条件是在最高点的速度大小v≥________。
mg＋N
重力
三、生活中的离心运动
1．定义：做圆周运动的物体，在受到的合外力突然______或者不足以提供做圆周运动________________的情况下，将______圆心运动。
2．离心运动的应用和防止
(1)应用：离心分离器；离心干燥器；洗衣机的________。
(2)防止：飞机翻飞旋转，造成过荷现象，飞行员通过加强训练来提高抗荷能力；汽车在公路转弯处必须______行车速度。
消失
所需要的向心力
远离
脱水筒
放慢
判断下列说法是否正确。
(1)车辆在水平路面上转弯时，所受重力与支持力的合力提供向心力。(　　)
(2)车辆在水平路面上转弯时，所受摩擦力提供向心力。(　　)
(3)车辆在“内低外高”的路面上转弯时，受到的合力可能为零。(　　)
(4)车辆按规定车速通过“内低外高”的弯道时，向心力是由重力和支持力的合力提供的。(　　)
(5)汽车在拱形桥上行驶，速度小时对桥面的压力大于车重，速度大时压力小于车重。(　　)
√
×　
×　
√
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　车辆转弯问题
1．火车转弯时的运动是圆周运动，分析火车的运动回答下列问题：
(1)如果轨道是水平的，火车转弯时受到哪些力的作用？需要的向心力由谁来提供？
[提示]　火车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和外轨对火车的弹力作用，弹力提供火车转弯所需的向心力。
(2)靠这种方式使火车转弯有哪些危害？如何改进？
[提示]　对确定的弯道，火车转弯时速度越大，需要的向心力越大，容易造成对外轨的损坏，甚至造成火车脱轨。可以把弯道处建成外高内低的斜面，由重力和支持力的合力提供向心力。
2．摩托车在平直公路转弯和火车转弯，它们的共同点是什么？提供向心力的方式一样吗？


[提示]　摩托车在平直公路转弯和火车转弯都需要向心力。摩托车转弯时摩擦力可以提供向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设置特别的轨道，由重力和支持力的合力提供向心力。
1．火车转弯问题
(1)火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，故需要很大的向心力。
角度1　火车转弯问题
√
√
当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，C错误；
当火车速率小于v时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，D错误。
角度2　汽车转弯问题
　　　为了使汽车快速安全通过弯道，高速公路转弯处的路面通常设计成外侧高、内侧低。已知某高速公路转弯处是一圆弧，圆弧半径r＝850 m，路面的倾角θ＝6°(tan 6°＝0.105)，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，则在该弯道处(　　)
A．汽车受到重力、支持力和向心力
B．汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力
C．当汽车速度等于120 km/h时，汽车会受到平行于路面指向弯道内侧的摩擦力
D．若汽车速度小于60 km/h，汽车会向内侧滑动
√
[解析]　汽车受到重力、支持力和摩擦力，这些力的合力提供向心力，故A错误；
汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力和摩擦力的合力的水平分力，故B错误；



根据题中给出的数据可知mg sin θ<μmg cos θ，所以无论汽车以什么速度过弯道都不会向内侧滑动，故D错误。
√
角度3　其他转弯问题
[解析]　该运动员在骑行过程中在该赛道上做匀速圆周运动，所受的合外力提供向心力，指向圆心，故A、B错误；
知识点二　汽车过桥问题
1．向心力来源
汽车过凹凸桥的最低点或最高点时，在竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力。
2．汽车过凹凸桥时压力的分析与讨论
若汽车质量为m，桥面圆弧半径为R，汽车在最高点或最低点速率为v，则汽车对桥面的压力大小情况讨论如下：
　　　(双选)如图是汽车分别经过拱形桥最高点和凹形桥最低点的情形。下列说法正确的是(　　)

A．过拱形桥最高点时汽车所受支持力大于重力
B．过凹形桥最低点时汽车所受支持力大于重力
C．过拱形桥最高点时汽车所受支持力小于重力
D．过凹形桥最低点时汽车所受支持力小于重力
√
√
　　　如图所示，有一辆质量为m的汽车(可看作质点)驶上半径
为R的圆弧拱形桥。
(1)当汽车以一定速度通过拱形桥顶时(汽车与桥面之间始终有相互作用)，画出此时汽车在竖直方向受力的示意图。
[解析]　汽车竖直方向受力如图所示。

[答案]　解析图　
(2)已知m＝1 500 kg、R＝50 m，重力加速度g取10 m/s2，当该汽车以速率v＝5 m/s通过拱形桥顶时，汽车对桥的压力是多大？此时汽车是处于超重状态还是失重状态？
根据牛顿第三定律，可知汽车对桥面的压力大小
N′＝N＝14 250 N
因为N′＜mg＝15 000 N
因此汽车处于失重状态。
[答案]　14 250 N　失重
(3)汽车通过桥顶时对桥面的压力过小是不安全的。请你通过分析说明：在设计拱形桥时，对于同样的车速，拱形桥圆弧的半径是大些比较安全还是小些比较安全？
[答案]　见解析
知识点三　离心运动
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受什么力？
[提示]　重力和空气阻力。
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
[提示]　旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体做离心运动的条件是什么？
[提示]　物体受到的合力不足以提供所需的向心力。
1．物体做离心运动的原因：提供向心力的合外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力。
注意：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际上并不存在。
　　　(双选)滚筒洗衣机里衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果。滚筒截面如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．衣物运动到最低点B点时处于超重状态
B．衣物和水都做离心运动
C．衣物运动到最高点A时脱水效果更好
D．衣物运动到最低点B时脱水效果更好
√
√
[解析]　衣物运动到最低点B时，加速度指向圆心，竖直向上，处于超重状态，故A正确；
衣物受到筒的支持力和重力，做圆周运动，水所受合力不足以提供向心力，做离心运动，故B错误；
　　　短道速滑，是我国运动员的优势项目，在比赛中，运动员
通过弯道时如果不能很好地控制速度，将会发生侧滑而离开赛道，
用圆弧虚线Ob代表弯道，Oa表示运动员在O点的速度方向(如图)，
将运动员视为质点，下列说法正确的是(　　)
A．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
B．发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需的向心力
C．若在O点发生侧滑，则滑动方向在Oa右侧
D．若在O点发生侧滑，则滑动方向在Oa与Ob之间
√
[解析]　发生侧滑的原因是赛道对运动员的摩擦力小于运动员通过弯道时需要的向心力，不是运动员受到的合力方向背离圆心，A、B错误；
运动员侧滑时会沿半径方向有远离圆心的运动分量，若此时摩擦力消失，运动员会沿Oa的方向运动，但实际上运动员还会受到大致沿半径方向上的摩擦力作用，所以若在O点发生侧滑，则滑动方向在Oa与Ob之间，C错误，D正确。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
√
2．(车辆转弯问题)如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，路面外高内低，当轿车行驶的速率为vc时，轿车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)
A．有质量更大的卡车经过时，与轿车相比，vc的值
变小
B．路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
C．车速高于vc时，车辆就会向外侧滑动
D．车速高于vc，但不超出某一最高限度时，车辆不会向外侧滑动
车速高于vc时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，车辆有向外侧滑动的趋势，车辆受到指向内侧的静摩擦力，所以只要速度不超出最高限度，车辆不会向外侧滑动，故C错误，D正确。
√
3．(拱形桥问题)(2025·陕西西安市期中)如图所示，一辆质量为m的汽车先过一段凹形桥，再过一段拱形桥，M、N分别为桥的最低点和最高点，且汽车通过M、N两点时的速度均不为0。汽车在通过两种桥面的过程中均未脱离桥面，下列说法正确的是(　　)
A．汽车通过M点时处于失重状态
B．汽车通过M点时的加速度可能为0
C．汽车通过N点时，无论速度多大，对桥面始终有压力
D．汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小
4．(离心运动)如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法不正确的是(　　)
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变小，小球将可能沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变大，小球将可能沿轨迹Pc做近心运动
√
反之，F变大，小球做近心运动，D正确；
当F突然消失时，小球将沿直线运动，A正确。(共25张PPT)
课后达标检测
1．(2025·三明市期末)在“探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系”的实验中。
(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到的方法是___________。
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．演绎法
解析：在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，由于可变量较多，因此主要用到的方法是控制变量法。
C　
(2)如图所示，A、B都为质量相同的钢球，图中所示是在研究向心力的大小Fn与___________的关系。
A．质量m
B．角速度ω
C．半径r
解析：由题图可知，A、B为质量相同的钢球，两球都分别放在转动半径相同的位置上，因此实验是在研究向心力的大小Fn与角速度ω的关系。
B
(3)如图所示，若图中标尺上黑白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4，由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速塔轮相对应的半径之比为___________。
2∶1
2．用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使变速塔轮匀速转动，槽内的球做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺上的红白相间的等分格。某次实验图片如图所示，请回答相关问题：
(1)左、右筒露出标尺上的红白相间的等分格之比表示的是__________。
A．A、B两球的向心力之比
B．A、B两球的线速度之比
C．A、B两球的角速度之比
解析：左、右筒露出标尺上的红白相间的等分格之比表示的是A、B两球的向心力之比。
A　
C
3．(2025·龙岩市期中)如图所示为向心力演示器，用来探究小球做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω、轨道半径r之间的关系，当皮带分别套在两边塔轮(从上往下数)第一层、第二层和第三层时，左、右两塔轮角速度之比分别为1∶1、1∶2和1∶3，小球在A、B、C处绕转轴转动时的半径比为1∶2∶1。
(1)当探究向心力大小与半径的关系时，应将皮带置于___________(选填“第一层”“第二层”或“第三层”)，将两个相同的小球分别置于_______和_______处(后两空用图中A、B、C表示)。
解析：根据控制变量法，当探究向心力大小与半径的关系时，应控制角速度不变，故将皮带置于第一层；转动半径不同，故将两个相同的小球分别置于B和C处。
第一层
B
C
(2)当探究向心力大小与角速度的关系时，应将两个相同的小球分别置于_______和_______处(用图中A、B、C表示)。若将皮带置于第二层，则左、右套筒露出的格数之比应为___________。
A
C
1∶4
4．(2025·浙江温州市期中)在“探究向心力大小的表达式”实验中，如图甲所示为“向心力演示器”及配套小球，图中1、2、3为放置小球的卡槽，卡槽1和3到各自转轴的距离相等；变速塔轮由左、右两部分构成，两侧各有三个半径不等的圆盘。实验中左、右圆盘可通过皮带连接，转动转子时左、右套筒下降，标尺露出的格子数可显示小球转动过程中向心力的大小。
(1)结合图甲所示，完成下列问题：
①本实验采用的实验方法是___________。
A．等效法 B．控制变量法
C．模拟法
②在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左、右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的___________(选填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”)之比；在加速转动手柄过程中，左、右标尺露出红白相间等分标记的比值_______(选填“不变”“变大”或“变小”)。
B　
角速度平方
不变
解析：①本实验探究向心力与质量、半径和角速度之间的关系，先控制其中两个物理量不变，探究向心力与另一个物理量的关系，则采用的实验方法是控制变量法。
②根据F＝mω2r，在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左、右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的角速度平方之比。在加速转动手柄过程中，小球质量不变，两变速盘的半径之比不变，则两小球的角速度平方之比不变，左、右标尺露出红白相间等分标记的比值不变。
5．某同学用如图所示的装置探究物体做圆周运动的向心力大小与半径、线速度、质量的关系。用一根细线系住钢球，另一端连接在固定于铁架台上端的力传感器上，直径为d的钢球静止于A点，将光电门固定在A的正下方。钢球底部竖直地粘住一片宽度为x的遮光条。
(1)用天平测出钢球质量，用刻度尺测出摆线长度。
(2)将钢球拉至不同位置由静止释放，读出钢球经过A点时力传感器的读数F及光电门的遮光时间t，算出钢球速度的平方值，具体数据见下表：
项目 1 2 3 4 5
F/N 0.124 0.143 0.162 0.181 0.200
v2/(m2·s－2) 2.0 4.0 5.8 8.0 10.1
请在下面的坐标图中，画出F－v2的关系图像。
解析：画出F－v2的关系图像如图所示。
答案：见解析图
(3)由图像可知，钢球所受的重力为___________N。
0.104
(4)若图线的斜率为k，钢球质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式为________________(用所给物理量的符号表示)。
F＝kv2＋mg
解析：产生误差的主要原因是光电门测出的是遮光条通过时的速度，大于钢球球心通过最低点的速度，即速度测大了。
见解析(共49张PPT)
第3章　圆周运动
第1节　匀速圆周运动快慢的描述
学习目标
1．理解线速度、角速度、转速、周期、频率等概念，会对它们进行定量计算。　2.知道线速度、角速度、周期之间的关系。　3.理解匀速圆周运动的概念和特点。　4.会分析常见传动装置中各物理量间的关系。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、线速度
1．匀速圆周运动：在任意相等时间内通过的弧长都______的圆周运动。
2．定义：做匀速圆周运动的物体上某点通过的_______与所用_______之比称为匀速圆周运动的线速度，即v＝______。
3．标矢性：线速度是______，其方向总是沿圆周的______方向。
4．物理意义：描述质点沿圆周运动快慢的物理量。
相等
弧长s
时间t
矢量
切线
二、角速度
1．定义：半径转过的_______与所用_______之比称为匀速圆周运动的角速度，即ω＝_______。
2．单位：__________，符号是rad/s。
3．物理意义：描述质点沿圆周转动快慢的物理量。
角度φ
时间t
弧度每秒
三、周期、频率和转速
1．周期：周期性运动每重复一次所需要的时间，用T表示，在国际单位制中单位为秒(s)。
2．频率：在一段时间内，运动重复的次数与这段时间之比，用f表示，在国际单位制中单位为赫兹(Hz)。频率的大小等于周期的______，即f＝____。
3．转速：物体一段时间内转过的圈数与这段时间之比，常用n表示，单位为______________或转每分(r/min)。当转速n以转每秒为单位时，转速与频率大小相等，即n＝f。
倒数
转每秒(r/s)
四、线速度、角速度和周期的关系
1．线速度和周期的关系式：______________。
2．角速度和周期的关系式：______________。
3．线速度和角速度的关系：在匀速圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积，关系式为_______。
v＝rω
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同。(　　)
(2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力不为零。(　　)
(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变。(　　)
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变。(　　)
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小。(　　)
√
×　
×　
√
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　圆周运动的物理量及相互关系
如图所示，有一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时：
(1)a、b、c三点角速度和周期各有什么关系？
(2)a、b、c三点做圆周运动的线速度有什么关系？
[提示]　(1)ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc。
(2)va＝vc＞vb。
1．物理量的定义
(1)线速度：单位时间(1 s内)转过的弧长。
(2)角速度：单位时间(1 s内)转过的圆心角。
(3)周期：转一圈所用的时间。
(4)频率(转速)：单位时间内转过的圈数。
√
　　　A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，
在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向
改变的角度之比是3∶2，以下说法不正确的是(　　)
A．A、B运动的线速度大小之比为3∶4
B．A、B运动的角速度大小之比为3∶2
C．A、B运动的周期之比为2∶3
D．A、B做圆周运动的半径之比为8∶9
√
知识点二　常见传动装置及特点
跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。
讨论：(1)在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速度的大小关系如何？
(2)如果跷跷板的支点不在板的中点，线速度和角速度的关系如何？
[提示]　(1)线速度和角速度都相同。
(2)角速度相同，线速度不同。
角度1　皮带传动
　　　(双选)如图所示的传动装置中，A轮顺时针转动，并通过皮带带动B轮转动(皮带不打滑)。a、b分别是两轮边缘上的点，它们的线速度大小分别为va、vb。下列判断正确的是(　　)
A．B轮顺时针转动
B．B轮逆时针转动
C．va＝vb
D．va＞vb
√
√
[解析]　由题图可知，B轮的转动方向与A轮转动方向一定是相反的，所以B轮逆时针转动，故A错误，B正确；
a点与b点属于同缘传动，所以两点具有大小相等的线速度，即va＝vb，故C正确，D错误。
√
角度2　齿轮传动
　　　在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为
1∶2∶3，当齿轮转动时，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘
的B点(　　)
A．线速度大小之比为1∶3 B．角速度大小之比为3∶1
C．周期之比为1∶1 D．转速之比为1∶3
[解析]　由题意可知，当齿轮转动的时候，三个齿轮边缘在相同时间内转的齿数相等，即线速度大小相等，因此有vA∶vB＝1∶1，故A错误；
由线速度与角速度关系公式v＝ωr，可知小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点的角速度之比ωA∶ωB＝3∶1，故B正确；
√
角度3　同轴转动
　　　如图所示，两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．a球的线速度比b球的线速度大
B．a球的角速度比b球的角速度小
C．a球的线速度与b球的线速度大小相等
D．a球的角速度与b球的角速度大小相等
[解析]　两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，转动一圈的时间相等，故周期相同，角速度大小相等，故B错误，D正确；
由于a球的转动半径较小，a球和b球的角速度相同，根据v＝ωr可知，a球的线速度比b球的线速度小，故A、C错误。
√
角度4　混合传动
　　　绿色出行，自行车是一种不错的选择。自行车基本原理如图所示，a、b、c分别为链轮、飞轮和后轮上的三个点，已知链轮、飞轮和后轮的半径之比为2∶1∶6，将后轮悬空，匀速转动踏板时，a、b、c三点的(　　)
A．线速度大小之比为6∶6∶1
B．角速度之比为1∶6∶6
C．转速之比为2∶2∶1
D．周期之比为2∶1∶1
知识点三　匀速圆周运动及其周期性
1．对匀速圆周运动的理解
(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化。
(2)匀速的含义
①速度的大小不变，即速率不变；
②转动快慢不变，即角速度大小不变。
2．匀速圆周运动的周期性
(1)问题特点：匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个是匀速圆周运动，另一个是其他形式的运动。一般处理这类问题时，要把一个物体运动的时间t，与圆周运动的周期T联系起来，才能更快解决问题。
(2)分析技巧
①抓住联系点：明确题中多个物体的运动性质；多个物体参与运动时，虽然每个运动独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等。
②先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期的规律。
√
角度1　对匀速圆周运动的理解
　　　关于匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．匀速圆周运动是速度不变的运动
B．匀速圆周运动的加速度不变化
C．任意相等时间内通过的位移相等
D．匀速圆周运动的角速度保持不变
[解析]　匀速圆周运动速度方向时刻在变化，是变速运动，故A错误；
匀速圆周运动的加速度方向时刻在变化，故B错误；
任意相等时间内通过的路程相等，但位移不一定相等，故C错误；
匀速圆周运动转动快慢不变，角速度不变，故D正确。
角度2　匀速圆周运动的周期性
　　　如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略子弹重力、圆筒的阻力及空气阻力。
(1)子弹做什么运动？圆筒做什么运动？
[解析]　子弹不受外力，子弹做匀速直线运动；圆筒匀速转动，圆筒做匀速圆周运动。
[答案]　见解析
(2)为什么圆筒上只有一个弹孔？
[解析]　子弹从进入的弹孔中射出，所以只留下了一个弹孔。
[答案]　见解析
(3)子弹与圆筒的运动时间有何关系？
(4)子弹的速度v应满足什么条件？
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(圆周运动的物理量及相互关系)如图所示，秒针绕O点
转动，A、B为秒针的两个端点。在转动时，A、B的角速
度和线速度分别记为ωA、ωB和vA、vB，则(　　)
A．ωA<ωB B．ωA>ωB
C．vAvB
解析：A、B为秒针的两个端点，他们属于同轴转动，故A、B的角速度大小相等，A、B错误；
转动过程中，A点的半径小于B的半径，根据线速度与角速度的关系v＝ωr，可得vA√
2.(常见传动装置及特点)如图所示为学生使用的修正带，修正
带的核心结构为咬合良好的两个齿轮，大、小齿轮的齿数
之比n1∶n2＝k∶1。A、B两点分别位于大、小齿轮的边缘，当使用修正带时，纸带的运动会带动两轮转动，则两轮转动时，A、B两点的(　　)
A．角速度之比为1∶k B．角速度之比为1∶1
C．线速度大小之比为1∶k D．转速之比为k∶1
解析：修正带靠齿轮传动，所以边缘线速度大小相等，故A、B两点的线速度大小之比为1∶1，故C错误；



由公式ω＝2πn可得，转速之比nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶k，故D错误。
√
3.(对匀速圆周运动的理解)如图所示，在圆规匀速转动画圆
的过程中(　　)
A．任意相等时间内笔尖通过的位移相同
B．笔尖的速率不变
C．相同时间内笔尖转过的角度不同
D．笔尖做的是匀速运动
解析：笔尖做匀速圆周运动，任意相等时间内笔尖通过的位移大小相等，但方向不一定相同，故A错误；
圆规匀速转动画圆的过程中，笔尖的线速度大小不变，即笔尖的速率不变，故B正确；
圆规匀速转动画圆的过程中，角速度不变，则相同时间内笔尖转过的角度相同，故C错误；
笔尖的速度大小不变，但方向一直改变，笔尖做的不是匀速运动，故D错误。
√(共46张PPT)
第2节　科学探究：向心力
学习目标
1．理解向心力是一种效果力，其效果是产生向心加速度，方向总是指向圆心。
2．知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算。
3．知道在变速圆周运动中向心力为合力沿半径方向的分力。
4．知道决定向心加速度的有关因素，并能利用向心加速度公式进行有关计算。
第1课时　实验：探究影响
向心力大小的因素
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体一定受到指向圆心的合外力的作用，这个力称为向心力。
2．方向：始终沿半径指向圆心。
3．作用效果：向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。
4．来源：向心力可能是弹力、重力或摩擦力，也可能是某几个力的合力。
二、探究影响向心力大小的因素
实验方案一　用绳和沙袋定性研究
如图甲所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B。同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
步骤1：手握绳结A，如图乙所示，使沙袋在水平方向上做匀速圆周运动，每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤2：手仍然握绳结A，但使沙袋在水平方向上每秒运动2周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤3：改为手握绳结B，使沙袋在水平方向上每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤1和步骤2两者相比，可以比较在半径相同的情况下，向心力大小与角速度的关系。
步骤1和步骤3两者相比，可以比较在角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系。
实验方案二　利用向心力演示器探究
1．实验目的
(1)定性分析影响向心力大小的因素。
(2)学会使用向心力演示器。
(3)探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系。
2．实验器材
向心力演示器、小球等。
3．实验原理与设计
(1)基本思想：控制变量法。
①变量的控制要求：
物体的质量、角速度、转动半径对向心力均有影响。要研究一个因变量与三个自变量的关系，应先控制其中的两个自变量不变，先研究向心力与第三个自变量之间的关系。
②设计思路：
若讨论向心力与物体质量的关系，则应控制角速度、转动半径不变；
若讨论向心力与角速度的关系，则应控制物体质量、转动半径不变；
若讨论向心力与半径的关系，则应控制物体质量、角速度不变。
(2)实验原理：
①保持两个小球的质量m和角速度ω相同
将两球分别放置于长槽和短槽中进行实验，比较向心力F与运动半径r之间的关系。
②保持两个小球的质量m和运动半径r相同
用皮带连接半径不同的变速塔轮进行实验，比较向心力F与角速度ω之间的关系。
③保持运动半径r和角速度ω相同
用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力的大小与质量m的关系。
4．实验设计——各个物理量的测量和调整方法
(1)向心力的测量：由塔轮中心标尺露出的等分格的读数读出。
(2)质量的测量：用天平直接测量。
质量的调整：选用不同的钢球和铝球。
(3)轨道半径的测量：根据长、短槽上的刻度读出小球到转轴的距离。
轨道半径的调整：改变小球放置在长、短槽上的位置。
(4)角速度的测量：通过测量变速塔轮的直径确定角速度的比值。
角速度的调整：改变皮带所连接的变速塔轮。
实验方案三　利用力传感器和光电传感器探究
如图所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω。实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小。光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光条挡光的时间，由挡光条的宽度和挡光条做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度。
实验时采用控制变量的方法，分别研究向心力与质量、
半径、角速度的关系。
实验结论：向心力的大小与物体的质量成正比，与角速度的平方成正比，与转动半径成正比。
典例分类讲解
PART
02
第二部分
题型一　用绳和沙袋定性研究
　　　同学们分小组探究影响向心力大小的因素。如图甲所示，同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空中甩动，使纸杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力。
(1)下列说法正确的是_______。
A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
BD
[解析]　由向心力公式F＝mω2r可得，当保持质量、绳长不变，增大转速，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，A错误，B正确；
保持质量、角速度不变，增大绳长，由向心力公式可知，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，C错误，D正确。
(2)如图乙所示，绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学看手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据。
操作一：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；
操作四与一相比较：_______、________相同，向心力大小与_______有关。
[解析]　操作四与一相比较，半径、角速度相同，水杯中的水质量不同，由向心力公式F＝mω2r可知，质量增大，向心力大小增大，即向心力大小与质量有关。
半径
角速度
质量
题型二　利用向心力演示器探究
　　　(2025·三明市期中)图甲所示的是向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量、角速度和半径之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处到各自转轴中心的距离之比为2∶1∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量、角速度和半径之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是___________。
A．探究两个互成角度的力的合成规律
B．验证机械能守恒定律
C．探究加速度与力、质量的关系
C
[解析]　探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。探究两个互成角度的力的合成规律，采用的是等效替代的实验方法，故A错误；
验证机械能守恒定律，并没有采用控制变量法，故B错误；
探究加速度与力、质量的关系，采用的实验方法是控制变量法，故C正确。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第___________(选填“一”“二”或“三”)层塔轮。
[解析]　在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，可知两小球做圆周运动的半径之比为2∶1，此时探究的是向心力大小与半径的关系，应控制两小球做圆周运动的角速度相等，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
一
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，传动皮带位于第三层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为___________。
A．3∶1 B．1∶3
C．9∶1 D．1∶9
D
题型三　教材实验创新
　　　某物理兴趣小组验证“向心力与线速度大小关系”的实验装置如图所示。
实验步骤如下：
①按照图示安装仪器，轻质细线上端固定在力的传感器上，下端悬挂一小钢球。小钢球静止时刚好位于光电门中央；
②将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器示数为F1，用米尺量出细线长L；
③将小钢球拉到适当高度处且细线拉直，静止释放小钢球，光电计时器记录小钢球遮光时间t，力的传感器示数最大值为F；
④改变小钢球的释放位置，重复上述过程。
B
(2)小钢球经过光电门时所受合力的表达式为___________。
A．F－F1 B．F＋F1
C．F1 D．F
[解析]　由题知，将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器示数为F1，小钢球经过光电门时力的传感器示数为F，则小钢球经过光电门时所受合力的表达式为F合 ＝F－F1。
A
C
(4)处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力的关系为___________(选填“相等”或“不相等”)，则能验证向心力与线速度大小的关系。
[解析]　处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力的关系为相等，则能验证向心力与线速度大小的关系。
相等
(5)本实验误差的主要来源为_____________(选填“摆长测量”或“空气阻力”)。
摆长测量
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．某同学用向心力演示器来探究物体做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(1)该同学应采用的实验方法是___________。
A．理想实验法 B．控制变量法
C．等效替代法 D．理想模型法
解析：探究物体做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。
B　
(2)若要探究F与m之间的关系，应采用下列甲、乙、丙三图中的_________图。
乙
解析：若要探究F与m之间的关系，应使两小球质量不相等，两小球做圆周运动半径和角速度相等，则应采用题图乙。
(3)某次实验时，左右两标尺显示如图丁所示，此时左右
两处小球所受向心力大小之比约为___________。
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
解析：某次实验时，左右两标尺显示如题图丁所示，此时左右两处小球所受向心力大小之比约为1∶4。
C
(4)在探究F与ω之间的关系时，若左右两标尺显示如图丁
所示，则左右变速塔轮半径之比为___________。
A．1∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．1∶3
B
(5)通过本实验可以得到的结论是___________。
A．在r与ω一定的情况下，F与m成正比
B．在r与m一定的情况下，F与ω成反比
C．在m与ω一定的情况下，F与r成反比
D．在r与m一定的情况下，F与ω2成正比
解析：根据F＝mω2r，在r与ω一定的情况下，F与m成正比，故A正确；
在r与m一定的情况下，F与ω2成正比，故B错误，D正确；
在m与ω一定的情况下，F与r成正比，故C错误。
AD
2．某实验小组通过如图所示的装置验证向心力公式。一个体积较小，质量为m的滑块套在水平杆上，力传感器通过一根细绳连接滑块，用来测量绳中拉力F的大小，滑块的中心到转轴的距离为L，滑块随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动。通过力传感器获得细绳拉力F，利用秒表记录转动n圈的时间t。
(1)认为绳的张力充当向心力，如果F＝______________________(用题目所给物理量的字母表示)，则向心力的表达式得到验证。
(2)该小组验证向心力的表达式时，经多次实验，仪器正常，操作规范读数准确，发现拉力F的测量值与滑块的向心力的理论值相比______(选填“偏大”“偏小”或“相同”)，主要原因是______________________________。
偏小
滑块与水平杆之间有摩擦力
可知拉力F的测量值与滑块的向心力的理论值相比偏小。
偏小的主要原因是滑块与水平杆间有摩擦力，会产生实验误差。(共48张PPT)
第2课时　向心力和向心加速度
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、向心力的大小
1．向心力大小的决定因素
在m、r相同时，向心力F与角速度的平方ω2成正比；在m、ω相同时，向心力F与半径r成正比；在ω、r相同时，向心力F与质量m成正比。
2．公式
F＝______或F＝______。
mrω2
二、向心加速度
1．定义：既然做圆周运动的物体受到向心力的作用，那么它必然存在一个由________产生的加速度，这个加速度称为____________。
3．方向
向心加速度总是指向______。虽然匀速圆周运动中向心加速度大小不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速运动。
向心力
向心加速度
rω2
圆心
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力。(　　)
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的。(　　)
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(　　)
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心。(　　)
(5)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。(　　)
(6)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　)
(7)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。(　　)
×　
×　
√
×　
×　
√
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　向心力
1．自行车转弯时的运动可看作匀速圆周运动，观察此图，思考以下问题：

哪个力充当自行车转弯时做圆周运动的向心力？
[提示]　地面静摩擦力提供自行车转弯时的向心力。
2．如图所示，汽车正在匀速率转弯，小球正在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：

(1)它们的向心力分别是由什么力提供的？
(2)物体做匀速圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？
[提示]　(1)汽车转弯时的向心力由地面的静摩擦力提供，小球的向心力由重力和绳子拉力的合力提供。
(2)大小不变，方向时刻改变。
1．方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
2．作用效果：改变线速度的方向。
3．来源
(1)向心力是根据力的作用效果命名的，它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供。
(2)物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心。
向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力。做匀速圆周运动的物体，所受的合力提供向心力。
√
角度1　对向心力的理解
　　　下列关于向心力的叙述不正确的是(　　)
A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的作用力外，还受到一个向心力的作用
C．向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小
D．向心力可以由某个力来提供，也可以由某几个力的合力来提供，或者由某一个力的分力来提供
[解析]　向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，是一个变力，故A正确，不符合题意；
向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以由物体所受的合力提供，也可以由某一个力的分力提供，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，故B错误，符合题意，D正确，不符合题意；
向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，故C正确，不符合题意。
角度2　向心力来源的分析
　　　画出各图中物体A的受力示意图，并分析其所受向心力的来源。
[解析]　题图a、题图b、题图c中，向心力由物体所受的重力和绳子拉力的合力提供，也可以认为是由绳子拉力的一个分力提供，拉力的另一个分力与重力平衡；题图d中，向心力由绳子的拉力提供；题图e中，向心力由物体所受的静摩擦力提供；题图f中，向心力由侧壁对物体的支持力提供；题图g中，向心力由物体所受的重力和斜面的支持力的合力提供，也可以认为是由支持力的水平分力提供，其竖直分力与重力平衡；题图h中，向心力由飞机所受的重力和空气对飞机的“推举力”的合力提供，这个“推举力”的本质是弹力，弹力总与接触面垂直，所以飞机机身有一定的倾角；
它们的受力示意图如图；通过以上分析可以清楚看到，向心力不是某种性质力，而是由重力、弹力、摩擦力这些性质力的合力或分力来提供。
[答案]　见解析
　　　一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是3 rad/s。盘面上距圆盘中心0.2 m的位置有一个质量为0.1 kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，如图所示。已知小物体与盘面间的动摩擦因数为0.5，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。
(1)求小物体的线速度大小。
[解析]　小物体的线速度大小
v＝ωr＝3×0.2 m/s＝0.6 m/s。
[答案]　0.6 m/s　
(2)求小物体的向心力大小。
[解析]　小物体的向心力大小
F＝mω2r＝0.1×32×0.2 N＝0.18 N。
[答案]　0.18 N　
(3)当圆盘的角速度增加到多大时，小物体会相对于圆盘滑动？
[答案]　5 rad/s
知识点二　变速圆周运动和一般曲线运动
√
[解析]　物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；
物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。
知识点三　向心加速度
1．图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？
[提示]　具有加速度。
2．做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？
[提示]　从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。
3．除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确定向心加速度的方向？
[提示]　从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方向。
1．向心加速度的理解
只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
2．圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
3．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度，向心加速度只改变速度的方向，切向加速度只改变线速度的大小，所以在变速圆周运动中，向心加速度的方向总是指向圆心。
5．向心加速度的几种表达式
角度1　向心加速度的理解
　　　(双选)关于圆周运动中的向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的大小变化越快
B．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快
C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
√
√
[解析]　向心加速度是描述做圆周运动的物体线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快，A错误，B正确；
向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，C正确；
在匀速圆周运动中向心加速度方向不断变化，不是恒量，D错误。
　　　如图1所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的边缘上有A、B、C三点，向心加速度随半径变化图像如图2所示，则(　　)
A．A、B两点加速度关系满足甲图线
B．A、B两点加速度关系满足乙图线
C．A、C两点加速度关系满足甲图线
D．A、C两点加速度关系满足乙图线
√
A、C两点的角速度不相等，根据a＝ω2R可知，加速度与半径不成正比，加速度关系不满足乙图线，D错误。
角度2　加速度的相关计算
　　　(2025·江苏镇江市期末)如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘，C点位于A大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动，则B、C两点的向心加速度大小之比为(　　)
A．2∶1 B．4∶1
C．1∶2 D．1∶4
√
√
　　　如图所示，撑开的雨伞上A、B两点到伞轴的
距离分别为rA、rB，且rB＝2rA。当转动雨伞使A、B
两点绕伞轴做匀速圆周运动时，A、B两点的(　　)
A．周期之比为2∶1
B．角速度之比为2∶1
C．线速度之比为1∶1
D．向心加速度之比为1∶2
根据v＝ωr可知A、B两点的线速度之比vA∶vB＝ωArA∶ωBrB＝1∶2，故C错误；
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
√
2.(匀速圆周运动模型)如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转
动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面间始终保持相对
静止。当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列
说法正确的是(　　)
A．两物体受到的摩擦力都增大
B．两物体受到的摩擦力大小都不变
C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
解析：容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变。以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由f＝F＝m4π2n2r得其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确。
3．(变速圆周运动)如图，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对于圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受摩擦力f的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是(　　)
√
解析：因为圆盘转速不断增大，所以橡皮块将随圆盘一起进行加速圆周运动，此时摩擦力f既要提供指向圆心的向心力，又要提供与运动方向相同的切向力，所以合力方向应该在轨道内侧且与速度成锐角，故C正确。
√
4．(向心加速度的理解和方向)下列关于向心加速度的说法错误的是(　　)
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，A正确；
向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，B正确；
物体做匀速圆周运动时，只有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不始终指向圆心，C错误，D正确。
√向心力和向心加速度(二)
1.滚筒洗衣机脱水时，衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动。滚筒截面如图所示，A、B为滚筒的最高点和最低点，O为转轴，则脱水过程中(　　)
A．滚筒对衣物作用力大小恒定
B．滚筒对衣物作用力始终指向转轴
C．衣物到B点时处于失重状态
D．衣物到B点时脱水效果更好
解析：选D。在最低点时有FN1－mg＝，在最高点有FN2＋mg＝，则FN1>FN2，衣物运动到最低点B时脱水效果更好，故A、C错误，D正确；衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动，速度大小不变，以在与转轴等高点为例，衣服受到滚筒水平指向转轴的弹力，竖直方向还受到竖直向上的摩擦力与重力平衡，根据力的合成可知此时滚筒对衣物作用力没有指向转轴，故B错误。
2.(双选)一名运动员骑自行车沿如图所示的水平轨道运动，其中abc为一段圆弧轨道，自行车上的码表示数一直为72 km/h，运动员及自行车可视为质点，则(　　)
A．自行车的速度一直保持不变
B．自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向
C．整个过程中，自行车与轨道间的摩擦力方向始终与运动方向相反
D．自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向不可能沿圆弧的切线方向
解析：选BD。沿圆弧轨道abc运动时，速度大小不变，但方向一直沿切线方向在改变，故速度在变，故A错误；曲线运动某点的速度方向沿该点的切线方向，故自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向，故B正确；自行车沿圆弧轨道abc运动时，摩擦力提供向心力，指向圆心，故C错误；自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向指向圆弧的圆心，故D正确。
3．在光滑水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．l不变，ω减半且m加倍时，细线的拉力大小不变
B．ω不变，l减半且m加倍时，细线的拉力大小不变
C．m不变，ω减半且l加倍时，细线的拉力大小不变
D．m不变，l减半且ω加倍时，细线的拉力大小不变
解析：选B。根据F＝mω2l，可知l不变，ω减半且m加倍时，细线的拉力大小变为原来的一半，A错误；ω不变，l减半且m加倍时，细线的拉力大小不变，B正确；m不变，ω减半且l加倍时，细线的拉力大小变为原来的一半，C错误；m不变，l减半且ω加倍时，细线的拉力大小变为原来的2倍，D错误。
4.工厂中的行车示意图如图所示。钢丝绳悬点O到所吊铸件重心P的距离为3 m，铸件质量为2 t，行车以3 m/s 的速度匀速行驶，重力加速度g取10 m/s2。当行车突然停止运动时，钢丝绳受到的拉力为(　　)
A．2.6×104 N B．2.0×104 N
C．1.4×104 N D．3.9×104 N
解析：选A。当行车突然停止运动时，铸件做圆周运动，根据牛顿第二定律有FT－mg＝m，则FT＝mg＋m，代入数据解得FT＝2.6×104 N，根据牛顿第三定律有FT′＝FT＝2.6×104 N。
5.摆壶铃是现在热门的健身运动。如图所示，某人屈身保持姿势不变，两手握住壶铃摆动，将该运动视为以两肩连线为轴，在竖直平面内的圆周运动，则摆至最低点时(　　)
A．手对壶铃的作用力提供壶铃的向心力
B．壶铃的向心力大小与线速度成正比
C．手对壶铃的作用力与壶铃所受的重力是一对平衡力
D．手对壶铃的作用力大小等于壶铃对手的作用力大小
解析：选D。手对壶铃的作用力以及壶铃所受重力沿半径方向的分力一起提供壶铃的向心力，故A错误；根据Fn＝m，可知壶铃的向心力大小与线速度大小的平方成正比，故B错误；壶铃不是处于平衡状态，手对壶铃的作用力与壶铃所受的重力不是一对平衡力，故C错误；手对壶铃的作用力与壶铃对手的作用力是一对相互作用力，大小相等，故D正确。
6.(2024·广东卷，T5)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　)
A．r B．l
C．r D．l
解析：选A。由题意可知当插销刚卡进固定端盖时弹簧的伸长量Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销，由弹力提供向心力有F＝mlω2，对卷轴有v＝rω，联立解得v＝r。
7．(双选)如图所示，在光滑水平面上钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿俯视顺时针方向缠绕在两钉子上。现使小球以初速度v0在水平面上沿俯视逆时针方向做匀速圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是(　　)
A．小球的线速度变大 B．小球的角速度变小
C．小球的向心加速度不变 D．细绳对小球的拉力变小
解析：选BD。在绳子完全被释放后与释放前相比，小球所受的拉力与速度垂直，速度大小不变，故A错误；由v＝ωr，v不变，r变大，可知角速度ω变小，故B正确；小球的加速度a＝，r变大，向心加速度变小，故C错误；细绳对小球的拉力F＝ma＝m，r变大，细绳对小球的拉力变小，故D正确。
8．(双选)(2025·厦门市期末)大型游乐装置“大摆锤”的简图如图所示，摆锤a和配重锤b分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴O在纸面内转动。若a、b到O的距离之比为2∶1，在摆臂匀速转动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．a、b的线速度大小之比为2∶1
B．a、b的角速度大小之比为1∶2
C．a、b的向心加速度大小之比为2∶1
D．a、b的向心加速度大小之比为1∶4
解析：选AC。a、b两点同轴转动，所以角速度相等，根据v＝ωr，可得a、b的线速度大小之比va∶vb＝ra∶rb＝2∶1，根据a＝ω2r，可得a、b的向心加速度大小之比aa∶ab＝ra∶rb＝2∶1。
9．(2025·泉州市期末)进入冬季后，北方的冰雪运动吸引了许多南方游客。如图为雪地转转游戏，人乘坐雪圈(尺寸大小忽略不计)绕轴以2 rad/s的角速度在水平雪地上做匀速圆周运动。已知绳子悬挂在离地高为3 m、半径为3 m的水平转盘的边缘，且绳子长为5 m。运动时，绳与水平杆垂直，则雪圈(含人)(　　)
A．线速度大小为8 m/s B．线速度大小为14 m/s
C．加速度大小为16 m/s2 D．加速度大小为20 m/s2
解析：选D。水平转盘半径为3 m，离地高为3 m，绳长为5 m，根据几何关系可知，雪圈(含人)做匀速圆周运动的半径r＝ m＝5 m，则线速度大小v＝ωr＝2×5 m/s＝10 m/s，故A、B错误；雪圈(含人)做匀速圆周运动的加速度大小a＝ω2r＝22×5 m/s2＝20 m/s2，故C错误，D正确。
10.(双选)如图所示，有一个很大的圆形餐桌，水平桌面中间嵌着一可绕中心轴O转动的圆盘，圆盘上A处放一质量为m的菜盘，B处放一质量为0.5m的菜盘，OA＝2OB，圆盘匀速转动，两菜盘均视为质点且不打滑。下列说法正确的是(　　)
A．A、B两处菜盘的周期之比为1∶2
B．A、B两处菜盘的线速度大小之比为2∶1
C．A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为4∶1　
D．A、B两处菜盘受到的静摩擦力大小之比为4∶1
解析：选BD。圆盘上A、B两个点属于同轴转动，有ωA＝ωB，根据ω＝可知A、B两处菜盘的周期之比为1∶1，故A错误；同理，依题意有rA＝2rB，根据v＝ωr，可知A、B两处菜盘的线速度大小之比为2∶1，故B正确；根据a＝ω2r可知A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为2∶1，故C错误；A、B两处的菜盘所受的静摩擦力提供向心力，可得f＝ma，所以＝＝4∶1，故D正确。
11.(10分)如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动。
已知小球质量m＝0.40 kg，线速度大小v＝1.0 m/s，细线长L＝0.25 m。
(1)求小球的角速度大小ω。(3分)
(2)求细线对小球的拉力大小F。(3分)
(3)若细线最大能承受6.4 N的拉力，求小球运行的最大线速度。(4分)
解析：(1)小球的角速度大小
ω＝＝ rad/s＝4.0 rad/s。
(2)细线对小球的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得F＝m＝0.40× N＝1.6 N。
(3)细线对小球的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得F m＝m，解得v m＝ ＝2.0 m/s。
答案：(1)4.0 rad/s　 (2)1.6 N　(3)2.0 m/s(共27张PPT)
课后达标检测
向心力和向心加速度(一)
1.如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆
锥筒固定不动，小球A紧贴内壁在图中所示的水平面内做匀速
圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A．小球受到重力、弹力和向心力
B．小球受到的弹力大于小球所受的重力
C．小球受到的合力等于零
D．小球受到的弹力小于小球的向心力
√
解析：小球受重力、弹力两力的作用，受力分析如图所示，两力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可知，小球受到的弹力大于小球所受的重力，也大于小球的向心力。
√
3.(双选)如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量
为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面
内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖
直方向的夹角为θ。下列说法正确的是(　　)
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速度越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
√
√
解析：向心力是效果力，本题中小球只受到重力、绳的拉力两个力的作用，向心力是由二者的合力提供，或说是由拉力在水平方向上的分力提供，A错误，B正确；
4.如图，两个相同的小球在内表面光滑的漏斗形容器内做
水平的圆周运动，甲的位置高于乙的位置。关于它们的向
心力大小和周期大小，下列关系正确的是(　　)
A．F甲＝F乙　T甲＝T乙
B．F甲＝F乙　T甲＞T乙
C．F甲＞F乙　T甲＝T乙
D．F甲＜F乙　T甲＞T乙
√
5.(双选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位
置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中
小球所需向心力是(　　)
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
√
√
解析：分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图。如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。
√
6.如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳
悬于以速度v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车
前后壁分别接触，由于某种原因，小车突然停止，此时两悬
线的拉力之比FB∶FA为(g取10 m/s2)(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
√
7．下列关于向心加速度的说法正确的是(　　)
A．向心加速度越大，物体速率变化得越快
B．向心加速度的大小与轨道半径成反比
C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
解析：向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，故A错误；



向心加速度为沿半径方向的加速度，方向时刻改变，指向圆心，且方向垂直于速度方向，故C正确，D错误。
√
√
由a＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度a与半径r成正比，D正确。
√
9．(2025·浙江宁波市期末)如图所示，当风扇匀速转动时，到转轴距离相同的a、b两点(　　)
A．线速度相同
B．转动周期相同
C．角速度不相同
D．向心加速度大小不同
解析：a、b两点随风扇转动，角速度、周期均相同，线速度是矢量，两点的运动方向不同，所以线速度不同。根据a＝ω2r可知，向心加速度大小相同，方向不同。
√
10．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为(　　)
A．10 m/s2 B． 100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
解析：纽扣上各点绕其中心做圆周运动的角速度相等，已知n＝50 r/s，则an＝ω2r＝(2πn)2r＝4×π2×502×1×10－2 m/s2≈1×103 m/s2，C正确。
√
11．(2025·陕西咸阳市期末)夏季易发生洪涝灾害，当道路受损严重时，人们多采用航空救援。如图所示是航空救援直升机正在向受灾中心运送救援人员。a、b是螺旋桨上同一叶片上的两点，当叶片转动时(　　)
A．两点的角速度ωa<ωb
B．两点的线速度vaC．两点的周期TaD．两点的向心加速度aa＝ab
解析：a、b是螺旋桨上同一叶片上的两点，所以a、b两点的角速度相等，周期相等；根据v＝ωr，a＝ω2r，由于ra√
12．(2025·安徽淮北市期末)如图所示为一皮带传动装置的示意图，大轮半径为2r，小轮半径为r，a是小轮边缘上的点，b是大轮边缘上的点，c是大轮上到中心转轴距离为r的点，则传动装置匀速转动且不打滑时，下列关于a、b、c三点的运动情况说法正确的(　　)
A．向心加速度大小关系为2aa＝4ab＝ac
B．线速度大小关系为2va＝vb＝2vc
C．周期关系为Ta＝Tb＝Tc
D．角速度大小关系为ωa＝2ωb＝2ωc
解析：由题可知，a、b、c三点的运动半径关系为2ra＝rb＝2rc，同轴转动的角速度大小相等，可知ωb＝ωc，皮带上各点的线速度大小相等，可知va＝vb，根据线速度与角速度关系式v＝ωr，可知三点的线速度与角速度的关系为va＝vb＝2vc，ωa＝2ωb＝2ωc，故B错误，D正确；
向心加速度a＝ω2r，可知三点的向心加速度大小关系为aa＝2ab＝4ac，故A错误；
√
解析：两球绕同一轴转动，则角速度相等，即小球A的角速度为ω，A错误；
小球B的线速度v＝2ωL，B错误；
小球A的向心加速度aA＝ω2L，C正确；
小球B的向心加速度aB＝ω2·2L＝2ω2L，D错误。
√
14．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有两个小物块A、B，它们到圆盘中心的距离分别为r和2r，它们随圆盘一起匀速转动，关于小物块A、B各物理量之比正确的是(　　)
A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B．周期之比TA∶TB＝1∶2
C．线速度之比vA∶vB＝1∶1
D．向心加速度之比aA∶aB＝2∶1
√
15．如图所示，一部机器由电动机带动，机器上的皮带轮半径是电动机皮带轮半径的3倍，皮带与两轮之间不发生滑动。那么，电动机皮带轮与机器皮带轮边缘的角速度之比、向心加速度之比分别为(　　)
A．3∶1　3∶1
B．1∶3　1∶3
C．3∶1　9∶1
D．2∶1　4∶1题组1　车辆转弯问题
1.一汽车在水平地面上以恒定速率行驶，汽车通过如图所示的a、b、c三处时的向心力(　　)
A．FaFb>Fc
C．Fa>Fc>Fb D．Fa＝Fb＝Fc
解析：选A。汽车在水平地面上以恒定速率行驶，通过题图所示的a、b、c三处时半径逐渐减小，故由向心力F＝m，解得Fa2．如图所示，山崖边的公路常被称为最险公路，一辆汽车欲安全通过此弯道公路(公路水平)，下列说法不正确的是(　　)
A．若汽车以恒定的角速度转弯，则选择内圈较为安全
B．若汽车以恒定的线速度大小转弯，则选择外圈较为安全
C．汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用
D．汽车在转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用
解析：选D。汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用，其中摩擦力提供向心力，故C正确，与题意不符，D错误，与题意相符。汽车转弯时，径向的静摩擦力提供向心力有一个最大静摩擦力的限制，所需向心力越小，则汽车越安全。根据公式F＝m＝mω2r，易知，汽车以恒定的角速度转弯，选择内圈时，轨道半径较小，所需向心力较小，较为安全；汽车以恒定的线速度大小转弯，选择外圈时，轨道半径较大，所需向心力较小，较为安全，故A、B正确，与题意不符。
3.铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R。若质量为m的火车转弯时速度等于 ，则(　　)
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
解析：选C。火车在水平面内做圆周运动，当重力与铁轨的支持力恰好提供火车转弯所需的向心力时，由力的合成可得mg tan θ＝，有v＝，可见此时轮缘与内、外轨之间无挤压，A、B错误；由图可知此时铁轨对火车的支持力N＝，C正确，D错误。
题组2　汽车过桥问题
4.(双选)图为一汽车(质量一定)通过凹形桥(曲率半径一定)最低点时的示意图，下列判断正确的是(　　)
A．汽车的角速度越大，对桥底的压力越大
B．汽车的速度越大，对桥底的压力越小
C．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越大
D．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越小
解析：选AC。根据FN－mg＝ma＝mω2r＝m，结合牛顿第三定律可知，汽车的角速度越大，对桥底的压力越大；汽车的速度越大，对桥底的压力越大；汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越大。
5.如图所示，当汽车以12 m/s的速度通过拱形桥顶时，对桥顶的压力为车自身所受重力的。如果要使汽车沿桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力恰好为零，则汽车通过桥顶的速度为(　　)
A．3 m/s B．10 m/s
C．12 m/s D．24 m/s
解析：选D。根据牛顿第二定律得mg－N＝m，其中N＝mg，解得R＝57.6 m。当车对桥顶无压力时，有mg＝，代入数据解得v′＝24 m/s，D正确。
题组3　离心运动
6.一摩托车比赛转弯时的情形如图所示。转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析：选B。摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，C、D错误。
7．(双选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，它的示意图如图所示，试管中先装水，再加入粉笔粉末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔粉末沉淀在试管的底端。下列说法正确的是(　　)
A．旋转越快，试管的高度越低
B．粉笔粉末向试管底部运动是一种离心现象
C．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越明显
D．旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越不明显
解析：选BC。对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为α，则提供的向心力为mg tan α，当转速增大时，需要的向心力增大，故角度α增大，管越高，A错误；离心沉淀器是一种离心设备，不同的物质混合，当离心沉淀器工作时，会发生离心现象，B正确；转速越快，离心运动越剧烈，粉笔粉末的沉淀现象越明显，C正确，D错误。
8.一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是(　　)
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
解析：选D。汽车转弯时受到重力、地面的支持力以及地面给的摩擦力，其中摩擦力提供向心力，A错误；当最大静摩擦力提供向心力时，速度为临界速度，大于这个速度则发生侧滑，根据牛顿第二定律可知f＝m，解得v＝＝20 m/s，所以汽车转弯的速度为20 m/s时，所需的向心力小于1.4×104 N，汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车能安全转弯的向心加速度a＝＝ m/s2＝7.0 m/s2，即汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2，D正确。
9．(12分)现有一辆质量m＝9 000 kg的轿车，行驶在沥青铺设的公路上，g取10 m/s2。
(1)如果汽车在公路的水平弯道上以30 m/s的速度转弯，轮胎与地面间的径向最大静摩擦力为车重的0.6，若要汽车不向外发生侧滑，弯道的最小半径是多少？(4分)
(2)如果汽车驶过半径R′＝90 m的一段凸形桥面
①若汽车以20 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(4分)
②若汽车在过最高点时不能脱离桥面，则汽车的速度不能超过多少？(4分)
解析：(1)对汽车进行受力分析，由静摩擦力提供向心力，则有0.6mg＝m eq \f(v,Rmin)
解得Rmin＝150 m。
(2)①对汽车进行受力分析，由沿半径方向的合力提供向心力，则有
mg－FN1＝m eq \f(v,R′)
根据牛顿第三定律有
FN2＝FN1
解得FN2＝5×104 N。
②若汽车在过最高点时不能脱离桥面，当速度最大时，恰好由重力提供向心力，则有
mg＝m eq \f(v,R′)
解得vmax＝30 m/s。
答案：(1)150 m　(2)①5×104 N　②30 m/s
10.(14分)离心试验器可以测试人的抗荷能力，其原理图如图所示。被测者坐在椅子上随平台做匀速圆周运动，已知人的质量为m，图中的直线AB的长度为L，与竖直方向成30°角，AC的长度为r，求：
(1)人需要的向心力大小；(4分)
(2)人对椅子的压力；(4分)
(3)平台做匀速圆周运动的周期T。(6分)
解析：(1)以人为研究对象，因为人做匀速圆周运动，所以人所受重力和支持力的合力提供向心力，如图所示
则人需要的向心力大小
Fn＝mg tan 30°＝mg。
(2)人受到的支持力FN＝＝mg
则人对座椅的压力大小FN′＝FN＝mg
方向垂直于座椅面向下。
(3)根据牛顿第二定律有mg tan 30°＝mR
根据几何关系有R＝r＋L sin 30°＝r＋
解得T＝π 。
答案：(1)mg　(2)mg，方向垂直于座椅面向下
(3)π向心力和向心加速度(一)
1.如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，小球A紧贴内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A．小球受到重力、弹力和向心力
B．小球受到的弹力大于小球所受的重力
C．小球受到的合力等于零
D．小球受到的弹力小于小球的向心力
解析：选B。小球受重力、弹力两力的作用，受力分析如图所示，两力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可知，小球受到的弹力大于小球所受的重力，也大于小球的向心力。
2.如图所示的是一种新型高速列车，当它转弯时，车厢会自动倾斜，提供转弯需要的向心力；假设这种新型列车以360 km/h的速度在水平面内转弯，弯道半径为1.5 km，则质量为75 kg的乘客在列车转弯过程中受到的合力为(　　)
A．0 B．1 000 N
C．500 N D．500 N
解析：选D。列车转弯时做圆周运动，乘客所受的合力F合＝m，又360 km/h＝100 m/s，1.5 km＝1 500 m，得F合＝75× N＝500 N。
3.(双选)如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是(　　)
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速度越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
解析：选BC。向心力是效果力，本题中小球只受到重力、绳的拉力两个力的作用，向心力是由二者的合力提供，或说是由拉力在水平方向上的分力提供，A错误，B正确；由mg tan θ＝m＝mL sin θ得v＝∝、T＝2π∝，C正确，D错误。
4.如图，两个相同的小球在内表面光滑的漏斗形容器内做水平的圆周运动，甲的位置高于乙的位置。关于它们的向心力大小和周期大小，下列关系正确的是(　　)
A．F甲＝F乙　T甲＝T乙 B．F甲＝F乙　T甲＞T乙
C．F甲＞F乙　T甲＝T乙 D．F甲＜F乙　T甲＞T乙
解析：选B。分析小球的受力，如图所示。
可知，弹力和重力合力提供向心力，满足mg tan θ＝mr，两小球质量相同，故向心力相同，由于甲小球做圆周运动的轨道半径大于乙小球做圆周运动的轨道半径，故甲的周期大于乙的周期，故B符合题意。
5.(双选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是(　　)
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
解析：选CD。分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图。如图所示，
对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。
6.如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以速度v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁分别接触，由于某种原因，小车突然停止，此时两悬线的拉力之比FB∶FA为(g取10 m/s2)(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：选C。FB＝mg，FA＝mg＋m＝3mg，所以FB∶FA＝1∶3。
7．下列关于向心加速度的说法正确的是(　　)
A．向心加速度越大，物体速率变化得越快
B．向心加速度的大小与轨道半径成反比
C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
解析：选C。向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，故A错误；由an＝ω2r可知当角速度一定时，向心加速度的大小与轨道半径成正比，由an＝可知当线速度一定时，向心加速度的大小与轨道半径成反比，故B错误；向心加速度为沿半径方向的加速度，方向时刻改变，指向圆心，且方向垂直于速度方向，故C正确，D错误。
8．(双选)对于匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．由a＝ 知，向心加速度a与半径r成反比
B．由a＝r知，向心加速度a与半径r成正比
C．由ω＝ 知，角速度ω与周期T成反比
D．由a＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度a与半径r成正比
解析：选CD。由a＝知，线速度不变时，向心加速度a与半径r成反比，A错误；由a＝r知，周期不变时，向心加速度a与半径r成正比，B错误；由ω＝知，角速度ω与周期T成反比，C正确；由a＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度a与半径r成正比，D正确。
9．(2025·浙江宁波市期末)如图所示，当风扇匀速转动时，到转轴距离相同的a、b两点(　　)
A．线速度相同 B．转动周期相同
C．角速度不相同 D．向心加速度大小不同
解析：选B。a、b两点随风扇转动，角速度、周期均相同，线速度是矢量，两点的运动方向不同，所以线速度不同。根据a＝ω2r可知，向心加速度大小相同，方向不同。
10．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为(　　)
A．10 m/s2 B． 100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
解析：选C。纽扣上各点绕其中心做圆周运动的角速度相等，已知n＝50 r/s，则an＝ω2r＝(2πn)2r＝4×π2×502×1×10－2 m/s2≈1×103 m/s2，C正确。
11．(2025·陕西咸阳市期末)夏季易发生洪涝灾害，当道路受损严重时，人们多采用航空救援。如图所示是航空救援直升机正在向受灾中心运送救援人员。a、b是螺旋桨上同一叶片上的两点，当叶片转动时(　　)
A．两点的角速度ωa<ωb B．两点的线速度vaC．两点的周期Ta解析：选B。a、b是螺旋桨上同一叶片上的两点，所以a、b两点的角速度相等，周期相等；根据v＝ωr，a＝ω2r，由于ra12．(2025·安徽淮北市期末)如图所示为一皮带传动装置的示意图，大轮半径为2r，小轮半径为r，a是小轮边缘上的点，b是大轮边缘上的点，c是大轮上到中心转轴距离为r的点，则传动装置匀速转动且不打滑时，下列关于a、b、c三点的运动情况说法正确的(　　)
A．向心加速度大小关系为2aa＝4ab＝ac
B．线速度大小关系为2va＝vb＝2vc
C．周期关系为Ta＝Tb＝Tc
D．角速度大小关系为ωa＝2ωb＝2ωc
解析：选D。由题可知，a、b、c三点的运动半径关系为2ra＝rb＝2rc，同轴转动的角速度大小相等，可知ωb＝ωc，皮带上各点的线速度大小相等，可知va＝vb，根据线速度与角速度关系式v＝ωr，可知三点的线速度与角速度的关系为va＝vb＝2vc，ωa＝2ωb＝2ωc，故B错误，D正确；向心加速度a＝ω2r，可知三点的向心加速度大小关系为aa＝2ab＝4ac，故A错误；周期与角速度的关系为T＝，可知三点的周期关系为2Ta＝Tb＝Tc，故C错误。
13．如图所示，长为2L的轻杆中点与一端点各固定小球A和B，杆的另一端点与转轴O相连，两小球与杆绕O点做匀速圆周运动。若小球B的角速度为ω，下列选项正确的是(　　)
A．小球A的角速度为 B．小球B的线速度为ωL
C．小球A的向心加速度为ω2L D．小球B的向心加速度为4ω2L
解析：选C。两球绕同一轴转动，则角速度相等，即小球A的角速度为ω，A错误；小球B的线速度v＝2ωL，B错误；小球A的向心加速度aA＝ω2L，C正确；小球B的向心加速度aB＝ω2·2L＝2ω2L，D错误。
14．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有两个小物块A、B，它们到圆盘中心的距离分别为r和2r，它们随圆盘一起匀速转动，关于小物块A、B各物理量之比正确的是(　　)
A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1 B．周期之比TA∶TB＝1∶2
C．线速度之比vA∶vB＝1∶1 D．向心加速度之比aA∶aB＝2∶1
解析：选A。两物块同轴转动，则角速度相等，即角速度之比ωA∶ωB＝1∶1；根据T＝可知周期之比TA∶TB＝1∶1；根据v＝ωr可知，线速度之比vA∶ vB＝1∶2；根据a＝ωv可知向心加速度之比aA∶ aB＝1∶2。
15．如图所示，一部机器由电动机带动，机器上的皮带轮半径是电动机皮带轮半径的3倍，皮带与两轮之间不发生滑动。那么，电动机皮带轮与机器皮带轮边缘的角速度之比、向心加速度之比分别为(　　)
A．3∶1　3∶1 B．1∶3　1∶3
C．3∶1　9∶1 D．2∶1　4∶1
解析：选A。由于皮带与两轮之间不发生滑动，则两轮边缘的线速度大小相等，由公式ω＝可知，电动机皮带轮与机器皮带轮边缘的角速度之比为半径的反比即为3∶1，由公式a＝可知，电动机皮带轮与机器皮带轮边缘的向心加速度之比为半径的反比即为3∶1。第2节　科学探究：向心力
1．理解向心力是一种效果力，其效果是产生向心加速度，方向总是指向圆心。
2．知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算。
3．知道在变速圆周运动中向心力为合力沿半径方向的分力。
4．知道决定向心加速度的有关因素，并能利用向心加速度公式进行有关计算。
第1课时　实验：探究影响向心力大小的因素
一、向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体一定受到指向圆心的合外力的作用，这个力称为向心力。
2．方向：始终沿半径指向圆心。
3．作用效果：向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。
4．来源：向心力可能是弹力、重力或摩擦力，也可能是某几个力的合力。
二、探究影响向心力大小的因素
实验方案一　用绳和沙袋定性研究
如图甲所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B。同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
步骤1：手握绳结A，如图乙所示，使沙袋在水平方向上做匀速圆周运动，每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤2：手仍然握绳结A，但使沙袋在水平方向上每秒运动2周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤3：改为手握绳结B，使沙袋在水平方向上每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤1和步骤2两者相比，可以比较在半径相同的情况下，向心力大小与角速度的关系。
步骤1和步骤3两者相比，可以比较在角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系。
实验方案二　利用向心力演示器探究
1．实验目的
(1)定性分析影响向心力大小的因素。
(2)学会使用向心力演示器。
(3)探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系。
2．实验器材
向心力演示器、小球等。
3．实验原理与设计
(1)基本思想：控制变量法。
①变量的控制要求：
物体的质量、角速度、转动半径对向心力均有影响。要研究一个因变量与三个自变量的关系，应先控制其中的两个自变量不变，先研究向心力与第三个自变量之间的关系。
②设计思路：
若讨论向心力与物体质量的关系，则应控制角速度、转动半径不变；
若讨论向心力与角速度的关系，则应控制物体质量、转动半径不变；
若讨论向心力与半径的关系，则应控制物体质量、角速度不变。
(2)实验原理：
①保持两个小球的质量m和角速度ω相同
将两球分别放置于长槽和短槽中进行实验，比较向心力F与运动半径r之间的关系。
②保持两个小球的质量m和运动半径r相同
用皮带连接半径不同的变速塔轮进行实验，比较向心力F与角速度ω之间的关系。
③保持运动半径r和角速度ω相同
用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力的大小与质量m的关系。
4．实验设计——各个物理量的测量和调整方法
(1)向心力的测量：由塔轮中心标尺露出的等分格的读数读出。
(2)质量的测量：用天平直接测量。
质量的调整：选用不同的钢球和铝球。
(3)轨道半径的测量：根据长、短槽上的刻度读出小球到转轴的距离。
轨道半径的调整：改变小球放置在长、短槽上的位置。
(4)角速度的测量：通过测量变速塔轮的直径确定角速度的比值。
角速度的调整：改变皮带所连接的变速塔轮。
实验方案三　利用力传感器和光电传感器探究
如图所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω。实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小。光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光条挡光的时间，由挡光条的宽度和挡光条做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度。
实验时采用控制变量的方法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系。
实验结论：向心力的大小与物体的质量成正比，与角速度的平方成正比，与转动半径成正比。
题型一　用绳和沙袋定性研究
　同学们分小组探究影响向心力大小的因素。如图甲所示，同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空中甩动，使纸杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力。
(1)下列说法正确的是___________。
A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图乙所示，绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学看手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据。
操作一：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；
操作四与一相比较：___________、___________相同，向心力大小与___________有关。
[解析]　(1)由向心力公式F＝mω2r可得，当保持质量、绳长不变，增大转速，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，由向心力公式可知，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，C错误，D正确。
(2)操作四与一相比较，半径、角速度相同，水杯中的水质量不同，由向心力公式F＝mω2r可知，质量增大，向心力大小增大，即向心力大小与质量有关。
[答案]　(1)BD　(2)半径　角速度　质量
题型二　利用向心力演示器探究
　(2025·三明市期中)图甲所示的是向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量、角速度和半径之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处到各自转轴中心的距离之比为2∶1∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量、角速度和半径之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是___________。
A．探究两个互成角度的力的合成规律
B．验证机械能守恒定律
C．探究加速度与力、质量的关系
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第___________(选填“一”“二”或“三”)层塔轮。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，传动皮带位于第三层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为___________。
A．3∶1 B．1∶3
C．9∶1 D．1∶9
[解析]　(1)探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。探究两个互成角度的力的合成规律，采用的是等效替代的实验方法，故A错误；验证机械能守恒定律，并没有采用控制变量法，故B错误；探究加速度与力、质量的关系，采用的实验方法是控制变量法，故C正确。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，可知两小球做圆周运动的半径之比为2∶1，此时探究的是向心力大小与半径的关系，应控制两小球做圆周运动的角速度相等，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
(3)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，可知两小球做圆周运动的半径相等，传动皮带位于第三层，根据v＝ωR，可知两小球做圆周运动的角速度之比ω左∶ω右＝1∶3，根据F＝mω2r，可得当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为F左∶F右＝ω∶ω＝1∶9。
[答案]　(1)C　(2)一　(3)D
题型三　教材实验创新
　某物理兴趣小组验证“向心力与线速度大小关系”的实验装置如图所示。
实验步骤如下：
①按照图示安装仪器，轻质细线上端固定在力的传感器上，下端悬挂一小钢球。小钢球静止时刚好位于光电门中央；
②将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器示数为F1，用米尺量出细线长L；
③将小钢球拉到适当高度处且细线拉直，静止释放小钢球，光电计时器记录小钢球遮光时间t，力的传感器示数最大值为F；
④改变小钢球的释放位置，重复上述过程。
已知小钢球的直径是d，当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示：
(1)小钢球经过光电门时瞬时速度表达式为___________。
A． B．
C． D．
(2)小钢球经过光电门时所受合力的表达式为___________。
A．F－F1 B．F＋F1
C．F1 D．F
(3)小钢球经过光电门时所需向心力的表达式为___________。
A． B．
C． D．
(4)处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力的关系为___________(选填“相等”或“不相等”)，则能验证向心力与线速度大小的关系。
(5)本实验误差的主要来源为_____________(选填“摆长测量”或“空气阻力”)。
[解析]　(1)由题知小钢球的直径为d，小钢球遮光时间为t，则小钢球经过光电门时瞬时速度表达式为。
(2)由题知，将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器示数为F1，小钢球经过光电门时力的传感器示数为F，则小钢球经过光电门时所受合力的表达式为F合 ＝ F－F1。
(3)小钢球经过光电门时所需向心力的表达式为F向＝m＝。
(4)处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力的关系为相等，则能验证向心力与线速度大小的关系。
(5)根据以上分析，只需要满足F－F1＝，则本实验误差的主要来源为摆长测量。
[答案]　(1)B　(2)A　(3)C　(4)相等　(5)摆长测量
1．某同学用向心力演示器来探究物体做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(1)该同学应采用的实验方法是___________。
A．理想实验法 B．控制变量法
C．等效替代法 D．理想模型法
(2)若要探究F与m之间的关系，应采用下列甲、乙、丙三图中的_________图。
(3)某次实验时，左右两标尺显示如图丁所示，此时左右两处小球所受向心力大小之比约为___________。
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
(4)在探究F与ω之间的关系时，若左右两标尺显示如图丁所示，则左右变速塔轮半径之比为___________。
A．1∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．1∶3
(5)通过本实验可以得到的结论是___________。
A．在r与ω一定的情况下，F与m成正比
B．在r与m一定的情况下，F与ω成反比
C．在m与ω一定的情况下，F与r成反比
D．在r与m一定的情况下，F与ω2成正比
解析：(1)探究物体做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。
(2)若要探究F与m之间的关系，应使两小球质量不相等，两小球做圆周运动半径和角速度相等，则应采用题图乙。
(3)某次实验时，左右两标尺显示如题图丁所示，此时左右两处小球所受向心力大小之比约为1∶4。
(4)在探究F与ω之间的关系时，应控制两球质量和做圆周运动半径相同，根据F＝mω2r，若左右两标尺显示如题图丁所示，则有ω左∶ω右＝∶＝1∶2，根据v＝ωr，由于左右变速塔轮边缘线速度大小相等，则左右变速塔轮半径之比R左∶R右＝ω右∶ω左＝2∶1。
(5)根据F＝mω2r，在r与ω一定的情况下，F与m成正比，故A正确；在r与m一定的情况下，F与ω2成正比，故B错误，D正确；在m与ω一定的情况下，F与r成正比，故C错误。
答案：(1)B　(2)乙　(3)C　(4)B　(5)AD
2．某实验小组通过如图所示的装置验证向心力公式。一个体积较小，质量为m的滑块套在水平杆上，力传感器通过一根细绳连接滑块，用来测量绳中拉力F的大小，滑块的中心到转轴的距离为L，滑块随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动。通过力传感器获得细绳拉力F，利用秒表记录转动n圈的时间t。
(1)认为绳的张力充当向心力，如果F＝______________________(用题目所给物理量的字母表示)，则向心力的表达式得到验证。
(2)该小组验证向心力的表达式时，经多次实验，仪器正常，操作规范读数准确，发现拉力F的测量值与滑块的向心力的理论值相比___________(选填“偏大”“偏小”或“相同”)，主要原因是______________________________。
解析：(1)滑块转动的周期T＝，绳的张力充当向心力，由向心力公式F＝mr得F＝mL，若该式成立，则向心力的表达式得到验证。
(2)滑块做圆周运动时，滑块受到水平杆的摩擦力，设滑块受水平杆的摩擦力大小是Ff，方向沿水平杆指向圆心，对滑块由牛顿第二定律可得F＋Ff＝mL
解得F＝mL－Ff
可知拉力F的测量值与滑块的向心力的理论值相比偏小。
偏小的主要原因是滑块与水平杆间有摩擦力，会产生实验误差。
答案：(1)　(2)偏小　滑块与水平杆之间有摩擦力

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