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第十章 二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．关于x、y的方程组的解为，则☆，△的值分别为（　　）
A．9，﹣1 B．9，1 C．5，1 D．7，﹣1
2．将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（　　）
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
3．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根木棍，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
4．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（　　）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
6．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为（7，4），若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“…”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“…．”表示的缺失条件应补为（　　）
A．甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50
B．乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50
C．乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50
D．甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50
8．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形ABCD中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　）
A．72 B．68 C．65 D．60
9．请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，五只栖一树，四只没去处；六只栖一树，闲了三棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”假设树有x棵，鸦有y只，根据题意，以下方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．当x取不同值时对应的多项式2mx+3n的值如下表所示，则关于x的方程2mx+3n﹣2＝0的解是（　　）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
2mx+3n 14 10 6 2 ﹣2
A．14 B．2 C．1 D．﹣2
二．填空题（共5小题）
11．某校举行纸飞机飞行赛，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米．若设小康的飞机飞行的距离为x米，小悦的飞机飞行的距离为y米，则可列方程组　 　 ．
12．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①若方程组的解互为相反数，则；②若方程组的解也满足4x+3y＝﹣20，则k＝﹣2；③当k＝1时，方程组的解也是关于x，y的二元一次方程3y﹣x＝k+1的解；
④无论k取何值，代数式10y﹣5x的值不变，始终为定值．其中正确的有　 　 ．（填序号）
13．若方程的解满足x+y＝2025，则k＝　 　 ．
14．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文3a﹣b，2b+c，c+2d，﹣d．例如，明文1，2，3，4对应密文1，7，11，﹣4．当接收方收到密文11，18，0，5时，则解密得到的明文四个数字之和为　 　 ．
15．关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝　 　 ．
三．解答题（共4小题）
16．某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如表格所示：
大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数
1 3 105
3 2 175
（1）求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐人数？
（2）若租用小客车a辆，租用大客车b辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案．
17．某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
18．某仓库需要将660箱紧急物资运往灾区，已知用3辆小型货车和1辆大型货车每次可运输105箱，用2辆小型货车和3辆大型货车每次可运输175箱．
（1）每辆小型货车和每辆大型货车各能运输多少箱物资？
（2）若计划租用小型货车m辆，大型货车n辆，一次运完，恰好每辆车都装满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案．
19．如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板.4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒．而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板．
（1）现有这种规格的长方形纸板21张，怎样裁剪可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？
（2）根据需要，要制成有盖长方体纸盒30个，则需要同样规格的长方形纸板多少张？
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．关于x、y的方程组的解为，则☆，△的值分别为（　　）
A．9，﹣1 B．9，1 C．5，1 D．7，﹣1
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将x＝4代入x+y＝3，解得y＝﹣1，再求出2x+y的值，即可得到答案．
【解答】解：关于x、y的方程组的解为，
将x＝4代入x+y＝3，解得y＝﹣1，
则2x+y＝2×4+（﹣1）＝7，
则☆，△的值分别为7，﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了利用二元一次方程组的解求参数，掌握二元一次方程的解法是解题关键．
2．将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（　　）
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设图中长方体木块的长边减短边的长为xcm，根据两图形给定的数据，得出关于x、h的二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设图中长方体木块的长边减短边的长为xcm，
依题意得：，
解得：，
即桌子的高度h为70cm，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根木棍，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，绳子比木长4.5尺，可得x﹣y＝4.5；对折绳子量木，木比对折绳子长1尺，可得，即，可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：根据题意可得：
，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是关键．
4．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，
设木条长x尺，绳子长y尺，
所列方程组为：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（　　）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设购买A、B型铁锹的数量为未知数，根据总价列出方程，化简后结合正整数条件确定未知数的取值，进而得到购买方式的数量．
【解答】解：设购买A型铁锹x把，B型铁锹y把，
则根据题意列二元一次方程得，8x+10y＝300，
解得，
∵y为正整数，
∴150﹣4x是5的倍数，即x是5的倍数．
设x＝5k（k为正整数），代入得4×5k+5y＝150，
解得y＝30﹣4k，
∵x＞0，y＞0，
∴，
解得0＜k≤7．
∵k为正整数，
∴k可以取1，2，3，4，5，6，7，
k＝1时，x＝5，y＝26；
k＝2时，x＝10，y＝22；
k＝3时，x＝15，y＝18；
k＝4时，x＝20，y＝14；
k＝5时，x＝25，y＝10；
k＝6时，x＝30，y＝6；
k＝7时，x＝35，y＝2．
综上所述，共有7种购买方式，所以只有选项B正确，符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题的数量关系列方程，并结合正整数条件确定方程的解是解题的关键．
6．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为（7，4），若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二元一次方程组的应用；坐标与图形性质．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】每个长方形的长为x，宽为y，根据点B的坐标，列出关于x、y的二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意得：，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“…”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“…．”表示的缺失条件应补为（　　）
A．甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50
B．乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50
C．乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50
D．甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据方程组，以及如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，再根据x+y＝50得出结论．
【解答】解：∵如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，
∴xy＝50；
∵x+y＝50，
∴如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形ABCD中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　）
A．72 B．68 C．65 D．60
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据图中各边之间的关系，列出关于x、y的二元一次方程组，解之可得出x、y的值，再由长方形的面积公式即可得出结果．
【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
∴阴影部分的总面积为：29（9+3y）﹣8xy＝29（9+3×4）﹣8×17×4＝65，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，五只栖一树，四只没去处；六只栖一树，闲了三棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”假设树有x棵，鸦有y只，根据题意，以下方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据“五只栖一树，四只没去处；六只栖一树，闲了三棵树”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵五只栖一树，四只没去处，
∴5x+4＝y；
∵六只栖一树，闲了三棵树，
∴6（x﹣3）＝y，即6x﹣18＝y，
∴根据题意得可列出方程，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．当x取不同值时对应的多项式2mx+3n的值如下表所示，则关于x的方程2mx+3n﹣2＝0的解是（　　）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
2mx+3n 14 10 6 2 ﹣2
A．14 B．2 C．1 D．﹣2
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】由表格可知，当x＝0时，2mx+3n＝6，即3n＝6；当x＝1时，2mx+3n＝2，即2m+6＝2，联立方程组，解方程组求出m，n的值，把m，n分别代入2mx+3n﹣2＝0，进而求出x的值．
【解答】解：由表格可知，当x＝0时，2mx+3n＝6，即3n＝6，
当x＝1时，2mx+3n＝2，即2m+6＝2，
联立方程组，
解得：，
把m＝﹣2，n＝2分别代入2mx+3n﹣2＝0，可得：2×（﹣2）x+3×2﹣2＝0
解得：x＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．某校举行纸飞机飞行赛，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米．若设小康的飞机飞行的距离为x米，小悦的飞机飞行的距离为y米，则可列方程组　　 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】．
【分析】根据“小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，
∴x﹣2y＝1；
∵两人折的纸飞机飞行距离总和为43米，
∴x+y＝43．
∴根据题意可列出方程组．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①若方程组的解互为相反数，则；②若方程组的解也满足4x+3y＝﹣20，则k＝﹣2；③当k＝1时，方程组的解也是关于x，y的二元一次方程3y﹣x＝k+1的解；
④无论k取何值，代数式10y﹣5x的值不变，始终为定值．其中正确的有　②③④　 ．（填序号）
【考点】解二元一次方程组；相反数；二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】②③④．
【分析】先求出方程的解，然后根据二元一次方程的解的意义进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：，
解得：，
若方程组的解互为相反数，则x+y＝0，
即2kk0，
解得：k，
故①不正确；
若方程组的解也满足4x+3y＝﹣20，
∴4（2k）+3（k）＝20，
解得：k＝﹣2，
故②正确；
当k＝1时，x，y，
把x，y代入方程3y﹣x＝k+1，
∵左边＝32，右边＝1+1＝2，
∴左边＝右边，
∴当k＝1时，方程组的解也是关于x，y的二元一次方程3y﹣x＝k+1的解，
故③正确；
当时，
10y﹣5x＝10（k）﹣5（2k）
＝10k+4﹣10k﹣1
＝3，
∴无论k取何值，代数式10y﹣5x的值不变，始终为定值，
故④正确；
所以，上列说法，其中正确的有②③④，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，相反数，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键，
13．若方程的解满足x+y＝2025，则k＝　2026　 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】2026．
【分析】先将两个方程相加，直接构造出 x+y的表达式，从而建立关于 k 的方程，避免单独求解 x和 y，即可求出k的值．
【解答】解：已知，
将方程①与②左右两边相加：
（3x﹣y）+（2x+6y）＝（4k﹣5）+k，
化简得：
5x+5y＝5k﹣5，
两边同时除以5，得到：
x+y＝k﹣1，
∵x+y＝2025，
∴k﹣1＝2025，
∴k＝2026．
故答案为：2026．
【点评】本题考查了一元一次不等式组无解的条件判断．熟练掌握“不等式组解集的几何意义（数轴上区间是否有公共部分）”是解题的关键．
14．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文3a﹣b，2b+c，c+2d，﹣d．例如，明文1，2，3，4对应密文1，7，11，﹣4．当接收方收到密文11，18，0，5时，则解密得到的明文四个数字之和为　14　 ．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】14．
【分析】根据接收方收到密文11，18，0，5，列出三元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴a+b+c+d＝5+4+10﹣5＝14，
即解密得到的明文四个数字之和为14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
15．关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝　﹣4　 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】因为两个二元一次方程组有相同的解，所以这个解同时满足四个方程．把两个方程组中不含m，n的方程挑出来，组成新的方程组求出x，y，再代入含m，n的方程求解．
【解答】解：联立不含m，n的方程：
，
由第二个方程得x＝5y﹣3，代入第一个方程：
3（5y﹣3）﹣2y＝4，
15y﹣9﹣2y＝4，
13y＝13，
y＝1，
代入x＝5y﹣3得x＝2，
∴公共解为，
将x＝2，y＝1代入含m，n的方程：
，
由第一个方程得n＝7﹣2m，代入第二个方程：
4m﹣3（7﹣2m）＝19，
4m﹣21+6m＝19，
10m＝40，
m＝4，
代入n＝7﹣2m得n＝﹣1，
mn＝4×（﹣1）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了二元一次方程组的同解问题，以及方程组的代入消元法与加减消元法的应用．熟练掌握先求公共解，再代入求参数的思路是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
16．某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如表格所示：
大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数
1 3 105
3 2 175
（1）求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐人数？
（2）若租用小客车a辆，租用大客车b辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）每辆大客车满员能坐45人，每辆小客车满员能坐20人；
（2）共有2种租车方案，
方案1：租用11辆小客车，4辆大客车；
方案2：租用2辆小客车，8辆大客车．
【分析】（1）设每辆大客车满员能坐x人，每辆小客车满员能坐y人，根据表格中的数据，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的两种客车同时将师生运送完毕且每辆车均满员，可列出关于a，b的二元一次方程组，结合a，b均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每辆大客车满员能坐x人，每辆小客车满员能坐y人，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆大客车满员能坐45人，每辆小客车满员能坐20人；
（2）根据题意得：20a+45b＝400，
∴a＝20b，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用11辆小客车，4辆大客车；
方案2：租用2辆小客车，8辆大客车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键．
17．某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】竖式纸盒加工480个，横式纸盒加工360个，恰好能将购进的纸板全部用完．
【分析】设竖式纸盒加工m个、横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设竖式纸盒加工m个、横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完，
由题意得：，
解得：，
答：竖式纸盒加工480个，横式纸盒加工360个，恰好能将购进的纸板全部用完．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．某仓库需要将660箱紧急物资运往灾区，已知用3辆小型货车和1辆大型货车每次可运输105箱，用2辆小型货车和3辆大型货车每次可运输175箱．
（1）每辆小型货车和每辆大型货车各能运输多少箱物资？
（2）若计划租用小型货车m辆，大型货车n辆，一次运完，恰好每辆车都装满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）每辆小型货车能运输20箱物资，每辆大型货车能运输45箱物资；
（2）共有3种租车方案：①租用小型货车24辆，大型货车4辆；②租用小型货车15辆，大型货车8辆；③租用小型货车6辆，大型货车12辆．
【分析】（1）设每辆小型货车能运输x箱物资，每辆大型货车能运输y箱物资，根据用3辆小型货车和1辆大型货车每次可运输105箱，用2辆小型货车和3辆大型货车每次可运输175箱．，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据某仓库需要将660箱紧急物资运往灾区，计划租用小型货车m辆，大型货车n辆，一次运完，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每辆小型货车能运输x箱物资，每辆大型货车能运输y箱物资，
由题意得：，
解得：，
答：每辆小型货车能运输20箱物资，每辆大型货车能运输45箱物资；
（2）由题意得：20m+45n＝660，
整理得：m＝33n，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案：
①租用小型货车24辆，大型货车4辆；
②租用小型货车15辆，大型货车8辆；
③租用小型货车6辆，大型货车12辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
19．如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板.4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒．而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板．
（1）现有这种规格的长方形纸板21张，怎样裁剪可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？
（2）根据需要，要制成有盖长方体纸盒30个，则需要同样规格的长方形纸板多少张？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）用18张纸板按图①所示的方法裁剪，3张纸板按图②所示的方法裁剪，可制成的无盖纸盒数最多，最多能做9个；
（2）加工方还需要购进同样规格的长方形纸板80张．
【分析】（1）设用x张纸板按图①所示的方法裁剪，用y张纸板按图②所示的方法裁剪，根据现有这种规格的长方形纸板21张，裁得的小长方形纸板的总数量是裁得的小正方形纸板总数量的4倍，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）当裁剪出的小长方形和小正方形正好配套时，制成的无盖纸盒最多，
设用x张纸板按图①所示的方法裁剪，用y张纸板按图②所示的方法裁剪，
根据题意得：，
解得：，
∴3y＝9，
答：用18张纸板按图①所示的方法裁剪，3张纸板按图②所示的方法裁剪，可制成的无盖纸盒数最多，最多能做9个；
（2）根据题意得：80（张），
答：加工方还需要购进同样规格的长方形纸板80张．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

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