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第七章 相交线与平行线
一．选择题（共10小题）
1．将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则∠α的度数是（　　）
A．10° B．15° C．30° D．45°
2．如图，AB∥CD，射线CE平分∠BCD，点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF，且满足，若∠BFC＝α，∠ABF＝β，则α与β满足的关系式为（　　）
A．α+β＝90° B．α+2β＝180° C． D．β＝4α
3．如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
4．如图，AB⊥BC，DE平分∠ADC交BC于点E，AE⊥DE，AB∥CD，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①∠1+∠2＝90°；②∠AEB+∠ADC＝180°；③∠DAE＝∠1；④∠F＝135°．其中结论正确的有（　　）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，BF平分∠ABD，BH平分∠EBD，∠FBH＝32°，则∠BED的度数是（　　）
A．58° B．64° C．74° D．82°
6．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠MAC＝56°，∠BAC＝53°．当AM∥BC时，∠BCD的度数为（　　）
A．53° B．56° C．71° D．109°
7．如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于镜面，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律．若入射角i为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为（　　）
A．50° B．40° C．30° D．25°
8．如图，CD是平面镜，AO为入射光线，OB为反射光线，根据物理学原理，法线ON⊥CD．小欣根据图中条件得到∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90°，又因为反射角等于入射角即∠2＝∠1，所以推出∠3＝∠4．小欣推出“∠3＝∠4”这一步推理的依据是（　　）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
9．如图，将长方形纸片翻折，若∠1＝∠2，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
10．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O′A′水平射出，且OA∥O′A′，已知入射波AO与法线的夹角∠1＝25°，则∠A′O′F的度数为（　　）
A．55° B．50° C．60° D．65°
二．填空题（共5小题）
11．书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　 　 ．
12．将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠3＝65°，则∠2＝　 　 ．
13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC的平分线交AB于点E，若AD＝2，AB＝3，则BE的长为 　 　 ．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，点D在AB上运动，点E是AC上一定点．将△ABC沿DE所在直线折叠，点A的对应点为点F，当EF∥BC时，∠BDF＝　 　 ．
15．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架DF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，若∠EON＝120°，则∠CDM的度数为　 　 °．
三．解答题（共5小题）
16．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，∠GHN：∠FGE＝2：1，∠HGF＝140°，GE∥MN．
（1）求∠GHM的度数；
（2）若GH∥DE，∠ABC＝150°，∠BCE＝68°，∠GEC＝118°，求证：GH∥AB．
17．综合与实践
【问题情境】
在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动．
【操作发现】
（1）如图1，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD上，∠F＝90°，若∠1＝2∠2，则∠1＝　 　 °．
（2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系　 　 ．（不用证明）
【综合应用】
（3）在图2的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝60°，如图3，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．将含60°角的三角尺绕着点F转动，且使FG始终在∠PFQ的内部，请问∠AMF+∠CNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
【学以致用】
（4）已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．三角板EFH如图4位置放置，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若PQ∥FH，且∠EFT＝∠ETF．探究∠Q与∠HFT之间的数量关系并说明理由．
18．如图1，AB∥CD，M，N为直线AB，CD上的点，EM和EN交于点E．
（1）若∠EMB＝35°，∠END＝65°，则∠MEN的度数是　 　 ．
（2）求证：∠MEN＝∠END﹣∠EMB．
（3）如图2，MQ平分∠EMB，NQ平分∠END，若∠MEN＝α，试用含α的代数式表示∠MQN的度数．
19．已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成下面的填空部分）
证明：过点G作直线MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴①　 　 ∥CD．
∵MN∥AB，
∴②　 　 ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝③　 　 （④　 　 ）．
∴∠AGD＝∠AGM+∠AGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF＝22°，∠AFC＝72°，那么∠H的度数为 　 　 ．
20．如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC＝n∠EOC．
（1）若∠AOD＝24°，n＝3，求∠DOE的度数；
（2）若DO⊥OE，求n的值；
（3）若n＝4，设∠AOD＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示∠DOE的度数）．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则∠α的度数是（　　）
A．10° B．15° C．30° D．45°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
∵∠NMF＝90°，∠MFE＝30°，
∴∠MEF＝60°．
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠MEF＝60°．
又∵∠HNM＝45°，
∴∠α＝∠ANM﹣∠HNM＝60°﹣45°＝15°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
2．如图，AB∥CD，射线CE平分∠BCD，点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF，且满足，若∠BFC＝α，∠ABF＝β，则α与β满足的关系式为（　　）
A．α+β＝90° B．α+2β＝180° C． D．β＝4α
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：由题知，
∵∠ABF＝β，，
∴∠CBFβ．
∵∠BFC＝α，
∴∠BCE＝∠CBF+∠BFC．
∵射线CE平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠BCE＝2α+β．
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
则，
整理得，β＝4α．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟知平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
3．如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
∵所给三角形是等腰直角三角形，
∴∠4＝45°．
∵∠1＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝75°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
4．如图，AB⊥BC，DE平分∠ADC交BC于点E，AE⊥DE，AB∥CD，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①∠1+∠2＝90°；②∠AEB+∠ADC＝180°；③∠DAE＝∠1；④∠F＝135°．其中结论正确的有（　　）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】A
【分析】利用直角三角形的两个锐角互余，用到平角等于180°推导角相等，根据角平分线的定义得出角相等．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴∠1+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠B＝180°，
∴∠C＝90°，
∴∠2+∠DEC＝90°，
∴∠AEB＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
故①正确；
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠2，
∴∠ADE＝∠2＝∠AEB，
∵AB∥CD，
∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∠BAD与AEB推不出相等，
故②错误；
∵∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠2，
∴∠DAE+∠2＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DAE＝∠1，
故③正确；
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠MAF＝∠EAF＝∠1+∠FAD，∠NDF＝∠EDF＝∠2+∠FDA，
∵∠1+∠MAE+∠2+∠NDE＝360°，
∴∠1+2（∠1+∠FAD）+∠2+2（∠2+∠FDA）＝360°，
∴3（∠1+∠2）+2（∠FAD+∠FDA）＝360°，
∴∠FAD+∠FDA＝45°，
∴∠F＝180°﹣45°＝135°，
故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，角平分线线的定义，三角形的内角定理，能够将灵活运用以上知识点是解题的关键．
5．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，BF平分∠ABD，BH平分∠EBD，∠FBH＝32°，则∠BED的度数是（　　）
A．58° B．64° C．74° D．82°
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义进行计算即可．
【解答】解：∵BF平分∠ABD，BH平分∠EBD，
∴∠ABF＝∠DBF，∠EBH＝∠DBH．
则令∠ABF＝∠DBF＝α，∠EBH＝∠DBH＝β，
∵∠FBH＝32°，
∴α﹣β＝32°．
∵∠ABE＝∠ABD﹣∠EBD＝2α﹣2β，
∴∠ABE＝64°．
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠ABE＝64°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟知平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
6．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠MAC＝56°，∠BAC＝53°．当AM∥BC时，∠BCD的度数为（　　）
A．53° B．56° C．71° D．109°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：∵AB，CD与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∵∠BAC＝53°，
∴∠ACD＝127°．
∵AM∥BC，∠MAC＝56°，
∴∠ACB＝∠MAC＝56°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝127°﹣56°＝71°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
7．如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于镜面，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律．若入射角i为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为（　　）
A．50° B．40° C．30° D．25°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：∵∠i＝50°，
∴∠r＝∠i＝50°，
∴∠ADC＝90°﹣∠r＝40°．
∵DC∥OB，
∴∠AOB＝∠ADC＝40°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
8．如图，CD是平面镜，AO为入射光线，OB为反射光线，根据物理学原理，法线ON⊥CD．小欣根据图中条件得到∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90°，又因为反射角等于入射角即∠2＝∠1，所以推出∠3＝∠4．小欣推出“∠3＝∠4”这一步推理的依据是（　　）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
【考点】垂线；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】由ON⊥CD，所以∠CON＝∠DON＝90°，即∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，又∠2＝∠1，根据等角的余角相等得∠3＝∠4．
【解答】解：由条件可知∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，
又∵反射角等于入射角即∠2＝∠1，
∴∠3＝∠4，
所以这一步推理的依据是等角的余角相等，
故选：B．
【点评】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
9．如图，将长方形纸片翻折，若∠1＝∠2，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【考点】平行线的性质；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
由翻折可知，∠3＝∠1+∠2．
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝2∠1．
∵∠3+∠2＝180°，
∴2∠1+∠1＝180°，
∴∠1＝60°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及角的计算，能根据题意得出关于∠1的等式是解题的关键．
10．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O′A′水平射出，且OA∥O′A′，已知入射波AO与法线的夹角∠1＝25°，则∠A′O′F的度数为（　　）
A．55° B．50° C．60° D．65°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
∵∠1＝25°，
∴∠AOF＝2∠1＝50°．
∵EG⊥OA，
∴∠OFN＝90°﹣∠AOF＝40°，
∴∠O′FM＝∠OFN＝40°．
∵EG⊥O′A′，
∴∠A′O′F＝90°﹣∠O′FM＝50°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　112°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】112°．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：分别过点D和点E作AB的平行线，
∵DH∥AB，EK∥AB，AB∥MN，
∴EK∥MN，DH∥EK，
∴∠KEF＝∠EFM，∠HDE＝∠DEK．
∵EF⊥MN，
∴∠KEF＝∠EFM＝90°．
∵∠DEF＝126°，
∴∠HDE＝∠DEK＝126°﹣90°＝36°．
∵DH∥AB，
∴∠BCD+∠CDH＝180°．
∵∠BCD＝104°，
∴∠CDH＝180°﹣104°＝76°，
∴∠CDE＝∠CDH+∠HDE＝76°+36°＝112°．
故答案为：112°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
12．将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠3＝65°，则∠2＝　55°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】55°．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
∵直尺的对边平行，∠3＝65°，
∴∠4＝∠3＝65°．
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1＝90°﹣65°＝25°，
∴∠2＝∠1+30°＝25°+30°＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC的平分线交AB于点E，若AD＝2，AB＝3，则BE的长为 　1　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据平行线的性质及等角对等边得出AE＝AD＝2，再结合AB长即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝2．
∵AB＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，点D在AB上运动，点E是AC上一定点．将△ABC沿DE所在直线折叠，点A的对应点为点F，当EF∥BC时，∠BDF＝　130°或50°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】130°或50°．
【分析】根据题意，画出示意图，再结合平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：当点F在AC下方时，如图所示，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠C＝90°．
由折叠可知，∠F＝∠A＝20°，
∴∠EDC＝∠EMF＝70°，
∴∠ADM＝70°﹣20°＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣50°＝130°．
当点F在AC上方时，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠C＝90°．
由折叠可知，∠AED＝∠FED＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣20°﹣45°＝115°，
∴∠BDF＝2×115°﹣180°＝50°，
综上所述，∠BDF＝130°或50°．
故答案为：130°或50°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
15．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架DF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，若∠EON＝120°，则∠CDM的度数为　120　 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】120．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EON+∠OGD＝180°．
∵DM∥OE，
∴∠OGD+∠CDM＝180°，
∴∠CDM＝∠EON．
∵∠EON＝120°，
∴∠CDM＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，∠GHN：∠FGE＝2：1，∠HGF＝140°，GE∥MN．
（1）求∠GHM的度数；
（2）若GH∥DE，∠ABC＝150°，∠BCE＝68°，∠GEC＝118°，求证：GH∥AB．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）100°；
（2）如图，过点C作直线QC∥AB，
∵QC∥AB，∠ABC＝150°，
∴∠QCB＝180°﹣150°＝30°，
∴∠QCE＝∠BCE﹣∠QCB＝68°﹣30°＝38°，
∵GH∥DE，
∴∠DEG＝∠EGH＝100°，
∴∠DEC＝360°﹣∠DEG﹣∠GEC＝360°﹣100°﹣118°＝142°，
∵∠QCE+∠DEC＝38°+142°＝180°，
∴QC∥DE，
又∵QC∥AB，H∥DE，
∴GH∥AB．
【分析】（1）根据题意，设∠FGE＝α，∠GHN＝2α，利用GE∥MN，求出α＝40°，即可得到结果；
（2）根据题意，作直线QC∥AB，求出∠QCE＝38°，利用GH∥DE，求得∠DEC＝142°，有∠QCE+∠DEC＝180°，证得结论．
【解答】（1）解：设∠FGE＝α，∠GHN＝2α，
则∠EGH＝∠HGF﹣∠FGE＝140°﹣α，
∵GE∥MN，
∴∠GHM＝∠EGH，∠EGH+∠GHN＝180°，
∴∠EGH+∠GHN＝140°﹣α+2α＝180°，
解得α＝40°，
∴∠GHM＝∠EGH＝140°﹣α＝140°﹣40°＝100°；
（2）证明：如图，过点C作直线QC∥AB，
∵QC∥AB，∠ABC＝150°，
∴∠QCB＝180°﹣150°＝30°，
∴∠QCE＝∠BCE﹣∠QCB＝68°﹣30°＝38°，
∵GH∥DE，
∴∠DEG＝∠EGH＝100°，
∴∠DEC＝360°﹣∠DEG﹣∠GEC＝360°﹣100°﹣118°＝142°，
∵∠QCE+∠DEC＝38°+142°＝180°，
∴QC∥DE，
又∵QC∥AB，H∥DE，
∴GH∥AB．
【点评】本题考查了平行的判定和性质，角度的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
17．综合与实践
【问题情境】
在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动．
【操作发现】
（1）如图1，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD上，∠F＝90°，若∠1＝2∠2，则∠1＝　80　 °．
（2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系　∠AEF+∠FGC＝90°　 ．（不用证明）
【综合应用】
（3）在图2的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝60°，如图3，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．将含60°角的三角尺绕着点F转动，且使FG始终在∠PFQ的内部，请问∠AMF+∠CNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
【学以致用】
（4）已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．三角板EFH如图4位置放置，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若PQ∥FH，且∠EFT＝∠ETF．探究∠Q与∠HFT之间的数量关系并说明理由．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）80；
（2）∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）不变，∠AMF+∠CNF＝75°，理由如下：如图3，
∵FN、FM分别平分∠QFG、∠EFP，
∴∠QFG＝2∠3＝2∠4，∠EFP＝2∠1＝2∠2，
设∠3＝∠4＝α，
∵∠QFP＝60°，
∴∠PFN＝60°﹣α，∠PFG＝60°﹣2α，
∵∠EFG＝90°，
∴∠EFP＝2∠1＝∠EFG﹣∠PFG＝90°﹣（60°﹣2α）＝30°+2α，
∴∠1＝∠2＝15°+α，
∴∠MFN＝∠PFN+∠2＝（60°﹣α）+（15°+α）＝75°，
由②方法可得∠AMF+∠FNC＝∠MFN＝75°，
即∠AMF+∠CNF＝75°；
（4）设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．
∵PQ//FH，
∴∠QPE＝∠H，
∵∠H＝60°，
∴∠QPE＝60°，
∵AB//CD，
∴∠AFE+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝180°﹣x，
∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x，
∵EQ平分∠CEH，
∴∠QEH∠CEH＝105°x，
∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，
∴15°x+105°x+∠QPE＝180°，
∴∠Q＝15°x，
∴∠Q﹣∠HFT＝15°．
【分析】（1）利用平行线的性质和已知角度关系求解；
（2）通过平行线的性质和直角三角形的性质找出角度关系；
（3）借助角平分线的定义和前面得出的角度关系来判断∠AMF+∠CNF的值是否变化；
（4）通过设未知数，利用平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理探究∠Q与∠HFT之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴∠2＝∠EGD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝2∠2，
∵∠1＝2∠EGD，
∵∠FGE＝60°，
∴∠1+∠EGD＝180°﹣60°＝120°，
∴2∠EGD+∠EGD＝120°，即∠EGD＝40°，
∴∠1＝2∠EGD＝80°，
故答案为：80；
（2）如图，∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵在Rt△EFG中，∠FEG+∠FGE＝90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠AEF+∠FGC＝180°﹣90°＝90°；
故答案为：∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）不变，∠AMF+∠CNF＝75°，理由如下：如图3，
，
∵FN、FM分别平分∠QFG、∠EFP，
∴∠QFG＝2∠3＝2∠4，∠EFP＝2∠1＝2∠2，
设∠3＝∠4＝α，
∵∠QFP＝60°，
∴∠PFN＝60°﹣α，∠PFG＝60°﹣2α，
∵∠EFG＝90°，
∴∠EFP＝2∠1＝∠EFG﹣∠PFG＝90°﹣（60°﹣2α）＝30°+2α，
∴∠1＝∠2＝15°+α，
∴∠MFN＝∠PFN+∠2＝（60°﹣α）+（15°+α）＝75°，
由②方法可得∠AMF+∠FNC＝∠MFN＝75°，
即∠AMF+∠CNF＝75°；
（4）设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．
∵PQ//FH，
∴∠QPE＝∠H，
∵∠H＝60°，
∴∠QPE＝60°，
∵AB//CD，
∴∠AFE+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝180°﹣x，
∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x，
∵EQ平分∠CEH，
∴∠QEH∠CEH＝105°x，
∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，
∴15°x+105°x+∠QPE＝180°，
∴∠Q＝15°x，
∴∠Q﹣∠HFT＝15°．
【点评】本题主要涉及平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练运用上述知识点求解．
18．如图1，AB∥CD，M，N为直线AB，CD上的点，EM和EN交于点E．
（1）若∠EMB＝35°，∠END＝65°，则∠MEN的度数是　30°　 ．
（2）求证：∠MEN＝∠END﹣∠EMB．
（3）如图2，MQ平分∠EMB，NQ平分∠END，若∠MEN＝α，试用含α的代数式表示∠MQN的度数．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）30°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠EHB＝∠END．
∵∠MEN＝∠EHB﹣∠EMB，
∴∠MEN＝∠END﹣∠EMB；
（3）．
【分析】（1）根据平行线的性质进行计算即可；
（2）根据平行线的性质进行证明即可；
（3）根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】（1）解：如图所示，
∵AB∥CD，∠END＝65°，
∴∠EHB＝∠END＝65°．
又∵∠EMB＝35°，
∴∠MEN＝∠EHB﹣∠EMB＝65°﹣35°＝30°．
故答案为：30°；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠EHB＝∠END．
∵∠MEN＝∠EHB﹣∠EMB，
∴∠MEN＝∠END﹣∠EMB；
（3）解：如图所示，
∵AB∥CD，
∴∠EGB＝∠END．
∵∠MEN＝∠EGB﹣∠EMB，
∴∠MEN＝∠END﹣∠EMB，
同理可得，∠MQN＝∠QND﹣∠QMB．
∵MQ平分∠EMB，NQ平分∠END，
∴∠QMB∠EMB，∠QND∠END，
∴∠MQN（∠END﹣∠EMB）∠MEN．
∵∠MEN＝α，
∴∠MQN．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
19．已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成下面的填空部分）
证明：过点G作直线MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴①MN ∥CD．
∵MN∥AB，
∴②　∠A ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝③　∠DGM （④　两直线平行，内错角相等　 ）．
∴∠AGD＝∠AGM+∠AGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF＝22°，∠AFC＝72°，那么∠H的度数为 　32°　 ．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等；
（2）见解答；
（3）32°．
【分析】（1）由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D；
（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D；
（3）如图所示，利用平行线的性质求出∠GAB的值，再利用平行线线的性质和外角性质进行计算即可．
【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等．
（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D．
（3）如图所示，
∵∠AFC＝72°；
∴∠GAB＝180°﹣72°＝108°，
∵AH平分∠GAB，
∴∠HAB54°，
∵DC∥AB，
∴∠HQC＝54°，
∴∠H＝∠HQC﹣∠HDF＝54°﹣22°＝32°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
20．如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC＝n∠EOC．
（1）若∠AOD＝24°，n＝3，求∠DOE的度数；
（2）若DO⊥OE，求n的值；
（3）若n＝4，设∠AOD＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示∠DOE的度数）．
【考点】垂线；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∠EOC＝68°；
（2）n＝2；
（3）．
【分析】（1）根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝24°，即可算出∠AOC的度数，根据平角的性质可得∠BOC的度数，由n＝3，即可算出∠EOC的度数，再根据∠EOD＝∠COD+∠EOC代入计算即可得出答案；
（2）设∠AOD＝x，根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝x，即可算出∠AOC的度数，根据平角的性质可得∠BOC的度数，根据垂线的性质，可得∠DOE＝90°，即可算出∠COE＝90°﹣∠COD的度数，由∠BOC＝n∠EOC，代入计算即可算出n的值；
（3）根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝α，即可算出∠AOC关于α的表达式，根据平角的性质可得∠BOC关于α的表达式，由n＝4，即可得出∠BOC＝4∠EOC，代入计算即可得出∠EOC 关于α的表达式，再根据∠EOD＝∠COD+∠EOC代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝24°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝48°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣48°＝132°，
∵n＝3，
∴∠BOC＝3∠EOC＝132°，
∴，
∠EOD＝∠COD+∠EOC＝24°+44°＝68°；
（2）设∠AOD＝x，
∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝x，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝x+x＝2x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2x，
∵DO⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣x，
∵∠BOC＝n∠EOC，
∴180°﹣2x＝n（90°﹣x），
∴n＝2；
（3）∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝α，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝α+α＝2α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2α，
∵n＝4，
∴∠BOC＝4∠EOC＝180°﹣2α，
∴45，
∴∠EOD＝∠COD+∠EOC＝4545．
【点评】本题主要考查了垂线的性质，余角和补角及角的计算，熟练掌握垂线的性质，余角和补角及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键．

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