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第十九章 二次根式
一．选择题（共10小题）
1．若，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）
A．1 B．3 C．6 D．9
2．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．4
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
7．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为20cm2，相邻两张正方形正方形纸片的边长均相差1cm，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（　　）
A． B．
C．42cm2 D．
8．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子AD以固定帐篷．帐篷一边，绳长AD＝2，AD与地面的夹角∠D＝45°，则点D与帐篷底部点C之间的距离DC为（　　）
A． B． C． D．
10．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．化简：　 　 ．
12．若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的　 　 段．
13．若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为　 　 ．
14．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式m3+2m2﹣2025m+2026的值是　 　 ．
15．计算的结果等于　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．大家知道圆周率π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，因为π的整数部分是3，于是小宇用π﹣3表示出π的小数部分．又例如：因为4＜5＜9，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数x，其整数部分的定义是不大于x的最大整数；小数部分大于0且小于1）．请解答下列问题：
（1）的整数部分是　 　 ，小数部分是　 　 ．
（2）设的小数部分为的整数部分为b，求的值．
（3）已知m是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分．
①m的取值范围是　 　 ．
②当m是6的倍数时，且，则n的值＝　 　 ．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为S1，S2．
（1）求S1+S2的值；
（2）用一根长为14m的铁丝，能否围成这两个正方形？
19．有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE．
（1）求长方形木板ABCD的面积；
（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
20．阅读下列材料：
小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小．请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题：
（1）（3+2）（3﹣2）＝5×1＝5＝9﹣4＝32﹣22，
（5+3）（5﹣3）＝8×2＝16＝25﹣9＝52﹣32…
由此可归纳出结论：（a+b）（a﹣b）＝　 　 ．
（2）根据上面的结论计算：
∵，
∴．
类似的：
∵，
∴　 　 ；
（3）类比应用　 　 ；
（4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．若，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）
A．1 B．3 C．6 D．9
【考点】二次根式的化简求值；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】依据题意得，a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，结合，ab＝1，从而可得a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝1×3＝3，故可得解．
【解答】解：由题意得，a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2．
又∵，ab＝1，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝1×3＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值、二次根式的性质与化简，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键．
2．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．4
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式加法、减法、乘法和除法，二次根式的性质逐一验证各选项即可．
【解答】解：根据二次根式加法、减法、乘法和除法逐项分析判断如下：
A、，该选项运算错误，不符合题意；
B、，该选项运算错误，不符合题意；
C、，该选项运算正确，符合题意；
D、，该选项运算错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；立方根．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】依据题意，根据二次根式的性质及立方根的性质逐个判断即可得解．
【解答】解：由题意，对于A、2，故A错误，不合题意；
对于B、2，故B正确，符合题意；
对于C、不能合并，故C错误，不合题意；
对于D、，故D错误，不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简、立方根，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键．
4．下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加法、减法、除法分别进行计算即可得到答案．
【解答】解：根据二次根式的运算法则，逐项分析判断如下：
A． 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；
D． ，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
【解答】解：A．3与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．2，所以B选项符合题意；
C．，所以C选项不符合题意；
D．32，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
6．若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】两个最简二次根式能合并的条件是被开方数相同，因此需使8﹣3k＝2，求解k的值．
【解答】解：由条件可知8﹣3k＝2，
解得k＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解此题的关键．
7．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为20cm2，相邻两张正方形正方形纸片的边长均相差1cm，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（　　）
A． B．
C．42cm2 D．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意求出三个正方形的边长，再计算面积即可．
【解答】解：中间正方形的边长为：cm，
根据题意：最小正方形的边长为：（1）cm，
最大正方形的边长为：（1）cm．
∴最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差：
（1）2﹣（1）2
＝20+1+220﹣1+2
＝4
＝4×2
＝8（cm2）．
故选：D．
【点评】此题考查二次根式的应用，表达正方形的边长是关键．
8．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案．
【解答】解：由添加可知阴影部分的长为：，
∴正方形②的边长为：，
∴正方形③的边长为：，
∴正方形③的面积为：．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式运算的应用，正方形的面积，利用线段的和差得出边长是解题的关键．
9．如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子AD以固定帐篷．帐篷一边，绳长AD＝2，AD与地面的夹角∠D＝45°，则点D与帐篷底部点C之间的距离DC为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】过点A作AE⊥BD于点E，根据勾股定理可得：AE2+DE2＝AD2＝4，进而得出CE＝AC2﹣AE2＝1，即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，
∵∠D＝45°，
∴AE＝DE，
∵AD＝2，
∴根据勾股定理可得：2AE2＝4，
∴，
∵，
根据勾股定理可得：CE＝AC2﹣AE2＝1，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是关键．
10．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的运算法则来计算．
【解答】解：原式＝2，故A选项不符合题意；
原式＝2，故B选项符合题意；
原式，故C选项不符合题意；
原式，故D选项不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
二．填空题（共5小题）
11．化简：　　 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以3a，化解解答即可．
【解答】解：根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以3a可得：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握性质是解题的关键．
12．若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的　②　 段．
【考点】二次根式的加减法；实数与数轴．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】②．
【分析】根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段数即可．
【解答】解：由条件可得，
∵，
∴表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的②段，
故答案为：②．
【点评】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，无理数的估算，掌握二次根式的性质是解题关键．
13．若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为　　 ．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，将长和宽相乘，利用二次根式的乘法法则计算．
【解答】解：由条件可知．
计算过程：
，
，
因此．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．
14．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式m3+2m2﹣2025m+2026的值是　2026　 ．
【考点】二次根式的化简求值；平方差公式．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】2026．
【分析】首先对m进行分母有理化，再利用等式的性质计算出m2+2m+1的值，最后整体代入得结论．
【解答】解：∵m，
∴m+1．
∴（m+1）2＝2026，即m2+2m+1＝2026．
∴m3+2m2﹣2025m+2026
＝m3+2m2+m﹣2026m+2026
＝m（m2+2m+1）﹣2026m+2026
＝2026m﹣2026m+2026
＝2026．
故答案为：2026．
【点评】本题考查了代数式的求值，掌握二次根式的分母有理化、等式的性质、整体代入的思想方法是解决本题的关键．
15．计算的结果等于　12　 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】12．
【分析】使用完全平方公式展开各项，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：
＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的运算规则和完全平方公式．
三．解答题（共5小题）
16．大家知道圆周率π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，因为π的整数部分是3，于是小宇用π﹣3表示出π的小数部分．又例如：因为4＜5＜9，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数x，其整数部分的定义是不大于x的最大整数；小数部分大于0且小于1）．请解答下列问题：
（1）的整数部分是　3　 ，小数部分是　3　 ．
（2）设的小数部分为的整数部分为b，求的值．
（3）已知m是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分．
①m的取值范围是　25＜m＜36　 ．
②当m是6的倍数时，且，则n的值＝　　 ．
【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）3，3；
（2）4；
（3）①25＜m＜36；②．
【分析】（1）先估算的大小，求出答案即可；
（2）先估算的大小，分别求出其整数部分和小数部分，然后再把a，b的值代入计算即可；
（3）①先根据已知条件求出的整数部分，从而确定m的取值范围；
②根据①中求出的m的取值范围和已知条件，求出m，再将m代入即可求出n．
【解答】解：（1）∵34，∴的整数部分是3，小数部分是3，
故答案为：3，3；
（2）∵23，
∴的小数部分是，
∴a，
∵67，
∴的整数部分是6，
∴b＝6，
∴64，
∴的值为4；
（3）①∵是一个无理数，且表示的小数部分，
∴的整数部分是5，
∴56，即25＜m＜36，
故答案为：25＜m＜36；
②∵m是6的倍数，且25＜m＜36，
∴m＝30．
∵，
∴n．
故答案为：．
【点评】此题考查二次根式的化简求值和估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
17．计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再计算；
（2）用完全平方公式展开再计算加减．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键．
18．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为S1，S2．
（1）求S1+S2的值；
（2）用一根长为14m的铁丝，能否围成这两个正方形？
【考点】二次根式的加减法；估算无理数的大小；完全平方公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）8m2；
（2）能围成这两个正方形．
【分析】（1）先求出S1，S2的代数式，再相加即可；
（2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可．
【解答】解：（1）由题意可得：，，
∴
＝8（m2）；
（2）两个正方形的周长分别为 和 ，
总周长为，
∵，142＝196，192＜196，
∴能围成这两个正方形．
【点评】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算，正确进行计算是解题关键．
19．有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE．
（1）求长方形木板ABCD的面积；
（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力；应用意识．
【答案】（1）18cm2（2）木工乙的想法可行，理由见解析．
【分析】（1）依据题意，先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可；
（2）依据题意，由矩形面积公式列式计算，然后比较大小即可；
【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：，
∴，．
∴矩形ABCD木板的面积为．
（2）木工乙的想法可行，理由如下：
从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为，
∴裁出长为：，
由（1）得长方形ABCD的长为宽为，
∵4，6，，
∴，，
∴可以裁出所求的长方形木料．
∴木工乙的想法可行．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．
20．阅读下列材料：
小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小．请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题：
（1）（3+2）（3﹣2）＝5×1＝5＝9﹣4＝32﹣22，
（5+3）（5﹣3）＝8×2＝16＝25﹣9＝52﹣32…
由此可归纳出结论：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．
（2）根据上面的结论计算：
∵，
∴．
类似的：
∵，
∴　　 ；
（3）类比应用　　 ；
（4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小．
【考点】二次根式的混合运算；实数大小比较；规律型：数字的变化类；平方差公式；分母有理化．
【专题】规律型；二次根式；运算能力．
【答案】（1）a2﹣b2；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）根据题意可得规律（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）根据结合题意求解即可；
（3）先求出，再由进行求解即可；
（4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可．
【解答】解：（1）（3+2）（3﹣2）＝5×1＝5＝9﹣4＝32﹣22
（5+3）（5﹣3）＝8×2＝16＝25﹣9＝52﹣32……
以此类推可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2．
（2）
，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
故答案为：；
（4）∵，
，
∴，
，
∵，
∴．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，实数大小比较，规律型：数字的变化类，平方差公式，分母有理化，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．

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