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2026年中考数学二轮复习：一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．下列一元二次方程无实数根的是（　　）
A．x2+x﹣1＝0 B．x2﹣1＝0 C．x2+1＝0 D．x2+2x+1＝0
2．当x取t﹣5和1﹣t（t≠3）时，多项式ax2+bx+c（a＞0）的值相等．当x取x0和﹣3时，该多项式的值分别为3n和n2+3，则x0的值可能是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
3．用配方法解方程x2﹣4x+3＝0时，配方后正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝1 D．（x+2）2＝﹣1
4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＜2且k≠1 D．k≤2且k≠1
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，交CD于点F．若AD＝a，CF＝b，DB＝c，则关于x的一元二次方程ax2+4bx+c＝0的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
6．菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是一元二次方程（x﹣6）（x﹣8）＝0的两个根，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．8 B．6 C．5 D．14
7．关于x、y的多项式mx2+kxy+ny2．（m，k，n为非零实数）下列说法：
（1）若k2＝4mn，则多项式是mx2+kxy+ny2一定是完全平方式；
（2）若m＞0，n＞0且k2＜4mn，则多项式mx2+kxy+ny2的值一定是非负数；
（3）若m＞0，n＞0且k2＞4mn，则在实数范围内，多项式mx2+kxy+ny2一定可以分解成（ax+by）（cx+dy）的形式．
其中正确的个数为（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．如图，为纪念国画大师张大千，某校拟打造一处“大千荷韵”主题矩形展区，展区长12m，宽10m．计划在展区四周铺设宽度相同的文创花卉带，中间区域种植仿真荷花草坪．如果要求草坪的面积为展区总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为xm，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共4小题）
9．若等腰三角形的两边a、b满足5a2﹣6a+9＝4ab﹣b2，则这个三角形的周长为　 　 ．
10．请写出一个关于x的一元二次方程，使得它的两根之和为3，则这个方程可以是　 　 ．
11．如图，某校有一块长15m、宽12m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为12m2的9个矩形地块，则路的宽度为
　 　 m．
12．已知m，n是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的两个实数根，则mn的值为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
13．解方程：
（1）（x+1）2＝2； （2）2（x2﹣2）＝7x．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0，若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值．
解：由x2﹣（m+2）x+2m＝0，得：（x﹣2）（x﹣m）＝0，
此方程的两根为x1＝m，x2＝2．
若x1≠x2，则x1＝3；若x1＝x2＝2，
所以，m＝3或2．
请规范抄写解题思路：　 　 ．
15．某商场销售某种商品，当按每件198元销售时，每件可获利80元，平均每天可以售出20件．为了提高销量，商店决定降价出售．经调查发现，该商品单件售价每降价10元，平均每天可多售出5件．
（1）该商品单件售价定为多少元时，日均销售利润可达到1800元？
（2）售卖该商品的日均销售利润能超过1800元吗？说明理由．
16．从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“k（k＞0）倍矩形（其周长为原矩形周长的k倍，其面积亦为原矩形面积的k倍）存在性问题”展开探究．
设原矩形长为m，宽为n．
【特例感知】
（1）已知原矩形m＝4，n＝3，其2倍矩形长为 　 　 ，宽为 　 　 ；
【类比探究】
（2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由；
【一般验证】
（3）求证：无论原矩形m，n取何值，其2倍矩形一定存在．
17．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．∴被开方数a为非负数．
（1）【探究新知】若，则a的取值范围是　 　 ．
（2）【知识应用】若，求（a+b）2025的值．
（3）【拓展应用】若，求a﹣20252的值．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．下列一元二次方程无实数根的是（　　）
A．x2+x﹣1＝0 B．x2﹣1＝0 C．x2+1＝0 D．x2+2x+1＝0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】通过计算每个一元二次方程根的判别式，判断是否有实数根．当Δ＜0时，方程无实数根．
【解答】解：根据个一元二次方程根的判别式逐项分析判断如下；
A：x2+x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，有实数根，不符合题意；
B：x2﹣1＝0，
∵a＝1，b＝0，c＝﹣1，
∴Δ＝02﹣4×1×（﹣1）＝0+4＝4＞0，有实数根，不符合题意；
C：x2+1＝0，
∵a＝1，b＝0，c＝1，
∴Δ＝02﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，无实数根，符合题意；
D：x2+2x+1＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝1，
∴Δ＝22﹣4×1×1＝4﹣4＝0，有实数根，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac与根的关系，当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根．
2．当x取t﹣5和1﹣t（t≠3）时，多项式ax2+bx+c（a＞0）的值相等．当x取x0和﹣3时，该多项式的值分别为3n和n2+3，则x0的值可能是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】B
【分析】依据题意，由当x取t﹣5和1﹣t（t≠3）时，多项式ax2+bx+c（a＞0）的值相等，则2，可得b＝4a，结合当x取x0和﹣3时，该多项式ax2+bx+c的值分别为3n和n2+3，可得a4ax0+c＝3n，且9a﹣12a+c＝n2+3，进而上面两式相减得，a4ax0+3a＝3n﹣n2﹣3＝﹣（n）20，故a（4x0+3）＜0，又a＞0，从而4ax0+3＜0，即（x0+1）（x0+3）＜0，可得﹣3＜x0＜﹣1，最后计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵当x取t﹣5和1﹣t（t≠3）时，多项式ax2+bx+c（a＞0）的值相等，
∴2．
∴b＝4a．
又∵当x取x0和﹣3时，该多项式ax2+bx+c的值分别为3n和n2+3，
∴a4ax0+c＝3n，且9a﹣12a+c＝n2+3．
∴上面两式相减得，a4ax0+3a＝3n﹣n2﹣3＝﹣（n）20．
∴a（4x0+3）＜0．
∵a＞0，
∴4ax0+3＜0，即（x0+1）（x0+3）＜0．
∴﹣3＜x0＜﹣1．
∴结合所给选项可得，x0的值可能为﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键．
3．用配方法解方程x2﹣4x+3＝0时，配方后正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝1 D．（x+2）2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可．
【解答】解：由题知，
x2﹣4x+3＝0，
x2﹣4x+4＝﹣3+4，
（x﹣2）2＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键．
4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＜2且k≠1 D．k≤2且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义得出k﹣1≠0，根据一元二次方程根的判别式，得出Δ≥0，解不等式即可求解．
【解答】解：根据题意，可得Δ＝22﹣4（k﹣1）≥0且k﹣1≠0，
解得k≤2且k≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式．熟练掌握以上知识点是关键．
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，交CD于点F．若AD＝a，CF＝b，DB＝c，则关于x的一元二次方程ax2+4bx+c＝0的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
【考点】根的判别式；角平分线的性质；等腰三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】要判断方程根的情况，关键是计算判别式Δ＝16b2﹣4ac，并利用几何关系判断其符号，由角平分线性质可证CF＝BC，再结合射影定理BC2＝c（a+c），代入判别式后可证Δ＞0，故方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：由BE平分∠ABC，可证∠CFB＝∠CBF，
∴CF＝BC，即b＝BC，
结合射影定理，BC2＝BD AB＝c（a+c），
∴b2＝c（a+c），
Δ＝（4b）2﹣4ac
＝16b2﹣4ac
＝16ac+16c2﹣4ac
＝12ac+16c2，
∵a＞0，c＞0，
∴12ac+16c2，即Δ＞0，
判别式Δ＞0，因此方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式与直角三角形射影定理、角平分线性质的综合应用．熟练掌握角平分线性质与射影定理，并能将几何关系转化为代数表达式，是解题的关键
6．菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是一元二次方程（x﹣6）（x﹣8）＝0的两个根，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．8 B．6 C．5 D．14
【考点】根与系数的关系；菱形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先求出方程的解，再根据菱形的对角线互相垂直且平分进行计算即可．
【解答】解：由（x﹣6）（x﹣8）＝0得，
x1＝6，x2＝8，
即菱形ABCD的对角线长为6和8．
因为菱形的对角线互相垂直且平分，
所以菱形ABCD的边长为5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、解一元二次方程﹣因式分解法及菱形的性质，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及菱形的性质是解题的关键．
7．关于x、y的多项式mx2+kxy+ny2．（m，k，n为非零实数）下列说法：
（1）若k2＝4mn，则多项式是mx2+kxy+ny2一定是完全平方式；
（2）若m＞0，n＞0且k2＜4mn，则多项式mx2+kxy+ny2的值一定是非负数；
（3）若m＞0，n＞0且k2＞4mn，则在实数范围内，多项式mx2+kxy+ny2一定可以分解成（ax+by）（cx+dy）的形式．
其中正确的个数为（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；因式分解﹣十字相乘法等；实数范围内分解因式．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】B
【分析】根据完全平方式的条件、二次型的非负性以及因式分解的可能性，根的判别式，需要逐一分析每个陈述的正确性．
【解答】解：根据完全平方式的条件、二次型的非负性以及因式分解的可能性，根的判别式逐项分析判断如下：
（1）当m＝﹣1，n＝﹣1，k＝2时，k2＝4＝4mn，但多项式为﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x﹣y）2，不是完全平方式，该项错误，不符合题意；
（2）∵m＞0，n＞0，且k2＜4mn，
∴4mn﹣k2＞0，
，
∵，且m＞0，
∴，该项正确，符合题意；
（3）mx2+kxy+ny2
，
∵m＞0，n＞0，且k2＞4mn，
∴，
则mx2+kxy+ny2
，
∴当m＞0，n＞0，且k2＞4mn时，在实数范围内，多项式mx2+kxy+ny2一定可以分解成（ax+by）（cx+dy）的形式可分解为（ax+by）（cx+dy）形式，该项正确．符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查多项式的基本性质，包括完全平方式的条件、二次型的非负性以及因式分解的可能性，根的判别式，熟练掌握以上知识点是关键．
8．如图，为纪念国画大师张大千，某校拟打造一处“大千荷韵”主题矩形展区，展区长12m，宽10m．计划在展区四周铺设宽度相同的文创花卉带，中间区域种植仿真荷花草坪．如果要求草坪的面积为展区总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为xm，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设花卉带的宽度应为x米，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意可得：
．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意是关键．
二．填空题（共4小题）
9．若等腰三角形的两边a、b满足5a2﹣6a+9＝4ab﹣b2，则这个三角形的周长为　15　 ．
【考点】配方法的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】15．
【分析】依据题意，由5a2﹣6a+9＝4ab﹣b2，可得（a﹣3）2+（2a﹣b）2＝0，从而可得a﹣3＝0，2a﹣b＝0，进而求出a＝3，b＝2a＝6，然后再分类讨论计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵5a2﹣6a+9＝4ab﹣b2，
∴a2﹣6a+9+4a2﹣4ab+b2＝0．
∴（a﹣3）2+（2a﹣b）2＝0．
∴a﹣3＝0，2a﹣b＝0．
∴a＝3，b＝2a＝6．
①a＝3为腰，b＝6，此时3+3＝6不合题意；
②b＝6为腰，a＝3，此时这个三角形的周长为6+6+3＝15．
答：这个三角形的周长为15．
【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、三角形三边关系、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键．
10．请写出一个关于x的一元二次方程，使得它的两根之和为3，则这个方程可以是x2﹣3x＝0（答案不唯一）　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x2﹣3x＝0（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程的两根之和为3，
所以这个方程可以是x2﹣3x＝0．
故答案为：x2﹣3x＝0（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
11．如图，某校有一块长15m、宽12m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为12m2的9个矩形地块，则路的宽度为　0.75　 m．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】0.75．
【分析】设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（15﹣4x）m，宽为（12﹣4x）m的矩形，根据小路把种植园分成面积均为12m2的9个矩形地块，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（15﹣4x）m，宽为（12﹣4x）m的矩形，
根据题意得：（15﹣4x）（12﹣4x）＝12×9，
整理得：4x2﹣27x+18＝0，
解得：x1＝0.75，x2＝6（不符合题意，舍去），
即小路的宽度为0.75m，
故答案为：0.75．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．已知m，n是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的两个实数根，则mn的值为　4　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为m，n是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的两个实数根，
所以mn＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根域系数进行是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
13．解方程：
（1）（x+1）2＝2；
（2）2（x2﹣2）＝7x．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（x+1）2＝2，
∴，
∴；
（2）2x2﹣7x﹣4＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝﹣4，
Δ＝b2﹣4ac＝81＞0，
∴，
∴．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法、公式法，解题的关键是会用直接开平方法和公式法解方程．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0，若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值．
解：由x2﹣（m+2）x+2m＝0，得：（x﹣2）（x﹣m）＝0，
此方程的两根为x1＝m，x2＝2．
若x1≠x2，则x1＝3；若x1＝x2＝2，
所以，m＝3或2．
请规范抄写解题思路：　解：x2﹣（m+2）x+2m＝0，因式分解得：（x﹣2）（x﹣m）＝0，
解得x1＝2，x2＝m，
情况1：3为腰长，
则方程必有一根为3，即m＝3，
此时三边长为3、3、2，满足2+3＞3，可以构成三角形；
情况2：3为底边长
则两腰长相等，即方程两根相等，m＝2，
此时三边长2、2、3，满足2+2＞3，可以构成三角形．
综上，m的值为3或2．
故答案为：x2﹣（m+2）x+2m＝0，因式分解得：（x﹣2）（x﹣m）＝0，
解得x1＝2，x2＝m，
情况1：3为腰长，
则方程必有一根为3，即m＝3，
此时三边长为3、3、2，满足2+3＞3，可以构成三角形；
情况2：3为底边长
则两腰长相等，即方程两根相等，m＝2，
此时三边长2、2、3，满足2+2＞3，可以构成三角形．
综上，m的值为3或2．　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】一元二次方程及应用；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】x2﹣（m+2）x+2m＝0，因式分解得：（x﹣2）（x﹣m）＝0，
解得x1＝2，x2＝m，
情况1：3为腰长，
则方程必有一根为3，即m＝3，
此时三边长为3、3、2，满足2+3＞3，可以构成三角形；
情况2：3为底边长
则两腰长相等，即方程两根相等，m＝2，
此时三边长2、2、3，满足2+2＞3，可以构成三角形．
综上，m的值为3或2．
【分析】先将方程因式分解，得到两根x1＝m，x2 ＝2，分两种情况讨论：①当 3 为腰时，方程的一根为 3；当 3 为底时，方程的两根相等（即腰长相等），每种情况都要验证三边能否构成三角形．
【解答】解：x2﹣（m+2）x+2m＝0，因式分解得：（x﹣2）（x﹣m）＝0，
解得x1＝2，x2＝m，
情况1：3为腰长，
则方程必有一根为3，即m＝3，
此时三边长为3、3、2，满足2+3＞3，可以构成三角形；
情况2：3为底边长
则两腰长相等，即方程两根相等，m＝2，
此时三边长2、2、3，满足2+2＞3，可以构成三角形．
综上，m的值为3或2．
故答案为：x2﹣（m+2）x+2m＝0，因式分解得：（x﹣2）（x﹣m）＝0，
解得x1＝2，x2＝m，
情况1：3为腰长，
则方程必有一根为3，即m＝3，
此时三边长为3、3、2，满足2+3＞3，可以构成三角形；
情况2：3为底边长
则两腰长相等，即方程两根相等，m＝2，
此时三边长2、2、3，满足2+2＞3，可以构成三角形．
综上，m的值为3或2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，并能根据等腰三角形的性质进行分类讨论，同时验证三边关系是解题的关键．
15．某商场销售某种商品，当按每件198元销售时，每件可获利80元，平均每天可以售出20件．为了提高销量，商店决定降价出售．经调查发现，该商品单件售价每降价10元，平均每天可多售出5件．
（1）该商品单件售价定为多少元时，日均销售利润可达到1800元？
（2）售卖该商品的日均销售利润能超过1800元吗？说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）该商品单件售价定为178元时，日均销售利润可达到1800元；
（2）售卖该商品的日均销售利润不能超过1800元，理由如下：
设该商品单件售价为m元，日均销售利润为w元，则w＝（m﹣118）（205）x2+178x﹣14042，
即w（m﹣178）2+1800，
∵a0，
∴当m＝178时，w取得最大值，最大值为1800，
∴售卖该商品的日均销售利润不能超过1800元．
【分析】（1）设该商品单件售价为x元，则每件可获利（x﹣118）元，平均每天可售出（205）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）售卖该商品的日均销售利润不能超过1800元，设该商品单件售价为m元，日均销售利润为w元，利用日均销售利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出w关于m的函数关系式，利用二次函数的性质，即可求出w的最大值，进而可得出售卖该商品的日均销售利润不能超过1800元．
【解答】解：（1）设该商品单件售价为x元，则每件可获利x﹣（198﹣80）＝（x﹣118）元，平均每天可售出（205）件，
根据题意得：（x﹣118）（205）＝1800，
整理得：x2﹣356+31684＝0，
解得：x1＝x2＝178．
答：该商品单件售价定为178元时，日均销售利润可达到1800元；
（2）售卖该商品的日均销售利润不能超过1800元，理由如下：
设该商品单件售价为m元，日均销售利润为w元，则w＝（m﹣118）（205）x2+178x﹣14042，
即w（m﹣178）2+1800，
∵a0，
∴当m＝178时，w取得最大值，最大值为1800，
∴售卖该商品的日均销售利润不能超过1800元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
16．从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“k（k＞0）倍矩形（其周长为原矩形周长的k倍，其面积亦为原矩形面积的k倍）存在性问题”展开探究．
设原矩形长为m，宽为n．
【特例感知】
（1）已知原矩形m＝4，n＝3，其2倍矩形长为 　12　 ，宽为 　2　 ；
【类比探究】
（2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由；
【一般验证】
（3）求证：无论原矩形m，n取何值，其2倍矩形一定存在．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）12；2；
（2）原矩形的倍矩形不存在．理由如下：
由题意，设倍矩形长x、宽y，满足：，
∴x，y是方程，则2t2﹣7t+12＝0．
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×12＝49﹣96＝﹣47＜0．
∵判别式Δ＜0，方程无实数根，
∴原矩形的倍矩形不存在；
（3）由题意，设2倍矩形长为x，宽为y，
∴，
∴x，y为方程t2﹣2（m+n）t+2mn＝0的两个正实数根．
∴Δ＝[﹣2（m+n）]2﹣4×1×2mn＝4（m2+2mn+n2）﹣8mn＝4m2+8mn+4n2﹣8mn＝4m2﹣4mn+4n2＝4（m2﹣mn+n2）．
又∵，且矩形的长m、宽n均为正数，
∴平方数非负：，n2≥0，
∴m2﹣mn+n2≥0，则Δ＝4（m2﹣mn+n2）≥0．
又∵x+y＝2（m+n）＞0，xy＝2mn＞0，
∴方程的两个根均为正实数，即存在正数x，y作为2倍矩形的长和宽．
综上，无论m，n取何值，其2倍矩形一定存在．
【分析】（1）依据题意，设原矩形长为m，宽为n，故原矩形周长C原＝2（m+n），面积S原＝mn，又设k倍矩形的长为x，宽为y（x＞0，y＞0），则，从而x，y可看作一元二次方程t2﹣k（m+n）t+kmn＝0的两个正实数根，方程有正实数根则k倍矩形存在．结合m＝4，n＝3，k＝2，可得，进而x，y是方程t2﹣14t+24＝0的根，求出t1＝12，t2＝2，从而可以计算得解；
（2）依据题意，设倍矩形长x、宽y，满足：，可得x，y是方程，则2t2﹣7t+12＝0，故Δ＝（﹣7）2﹣4×2×12＝49﹣96＝﹣47＜0，进而可以得解；
（3）依据题意，设2倍矩形长为x，宽为y，则，从而x，y为方程t2﹣2（m+n）t+2mn＝0的两个正实数根，可得Δ＝[﹣2（m+n）]2﹣4×1×2mn＝4（m2+2mn+n2）﹣8mn＝4m2+8mn+4n2﹣8mn＝4m2﹣4mn+4n2＝4（m2﹣mn+n2），结合，且矩形的长m、宽n均为正数，故可得m2﹣mn+n2≥0，则Δ＝4（m2﹣mn+n2）≥0，又x+y＝2（m+n）＞0，xy＝2mn＞0，最后可得方程的两个根均为正实数，即存在正数x，y作为2倍矩形的长和宽，即可得解．
【解答】（1）解：设原矩形长为m，宽为n，
∴原矩形周长C原＝2（m+n），面积S原＝mn．
设k倍矩形的长为x，宽为y（x＞0，y＞0），
∴，
∴x，y可看作一元二次方程t2﹣k（m+n）t+kmn＝0的两个正实数根，方程有正实数根则k倍矩形存在．
又∵m＝4，n＝3，k＝2，
∴，
∴x，y是方程t2﹣14t+24＝0的根，
∴t1＝12，t2＝2．
∴矩形的长为12，宽为2．
故答案为：12，2；
（2）解：由题意，设倍矩形长x、宽y，满足：，
∴x，y是方程，则2t2﹣7t+12＝0．
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×12＝49﹣96＝﹣47＜0．
∵判别式Δ＜0，方程无实数根，
∴原矩形的倍矩形不存在；
（3）证明：由题意，设2倍矩形长为x，宽为y，
∴，
∴x，y为方程t2﹣2（m+n）t+2mn＝0的两个正实数根．
∴Δ＝[﹣2（m+n）]2﹣4×1×2mn＝4（m2+2mn+n2）﹣8mn＝4m2+8mn+4n2﹣8mn＝4m2﹣4mn+4n2＝4（m2﹣mn+n2）．
又∵，且矩形的长m、宽n均为正数，
∴平方数非负：，n2≥0，
∴m2﹣mn+n2≥0，则Δ＝4（m2﹣mn+n2）≥0．
又∵x+y＝2（m+n）＞0，xy＝2mn＞0，
∴方程的两个根均为正实数，即存在正数x，y作为2倍矩形的长和宽．
综上，无论m，n取何值，其2倍矩形一定存在．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
17．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．∴被开方数a为非负数．
（1）【探究新知】若，则a的取值范围是a≥0　 ．
（2）【知识应用】若，求（a+b）2025的值．
（3）【拓展应用】若，求a﹣20252的值．
【考点】根的判别式；二次根式有意义的条件．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）a≥0；
（2）﹣1；
（3）2026．
【分析】（1）根据被开方数为非负数可得答案；
（2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可；
（3）由被开方数为非负数确定a的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案．
【解答】解：（1），则a的取值范围是a≥0；
故答案为：a≥0；
（2）由条件可得：
，
解得：，
∴（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝（﹣1）2025＝﹣1；
（3）由条件可得a﹣2026≥0，
a≥2026，
∴，
，
，
a﹣2026＝20252，
∴a﹣20252＝2026．
【点评】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法．熟练掌握以上知识点是关键．

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