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北师大版2026年八年级数学下学期期末模拟考试卷
1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟。
2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，并认真核对条形码上的信息。
3、所有答案必须写在答题卡上，写在试卷、草稿纸上无效；选择题部分用2B铅笔填涂，非选择题部分用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
5、保持答题卡清洁，不要折叠、弄破；严禁在答题卡上做任何标记。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列变形中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
4．2026年郑州植物园迎春花展以“骏马迎春花满商都”为主题，紧扣生肖元素，展示马蹄莲、蝴蝶兰、石斛兰、秋海棠等特色花卉及年宵花卉60余种．如图为展会上一种三角形花架，D，E分别是的中点，若，则的长为（ ）
A． B．7 C．14 D．21
5．下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式无意义
B．当时，分式的值为正数
C．当分式时，
D．无论x取何值，的值总为正数
6．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①平分；
②作图依据是；
③；
④点在的垂直平分线上．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论：
①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ）
A．方程的解是
B．方程的解是
C．关于x，y的方程组的解是
D．不等式的解集是
9．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
10．如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可）
12．已知点与点关于原点对称，则的值是______．
13．若多项式可因式分解为，则的值为________．
14．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________．
15．对于，，我们定义两种运算：，．则__________．
16．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．如图，在中，，，，是所在平面内任意一点，若四边形是“准筝形”，则四边形的面积为_________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18．先化简，再求值：，其中满足．
19．如图，已知：是等边三角形，，，且．
(1)求证：
(2)判断的形状？并说明理由．
20．如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”．
(1)28________“智慧数”（填“是”或“不是”）；
(2)说明16是一个“智慧数”；
(3)设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除．
21．在如图所示的平面直角坐标系中，有．点，，．
(1)将向x轴负方向平移4个单位得到，画出图形并写出点的坐标；
(2)以原点O为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并写出点的坐标；
(3)可以看作是由先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转得到的．除此之外，还可以由经过旋转变换得到，请在图中找出旋转中心．并写出其旋转中心的坐标．
22．把烦恼丢进风里，把自己还给自然．随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某景区计划购买A，B两种型号的帐篷．已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元，用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等．
(1)求A，B两种型号帐篷的单价各多少元？
(2)若该景区计划购买A，B两种型号的帐篷共30顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍．
①B型号帐篷至少要买多少顶？
②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？
23．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．
(1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号）
①；②，③．
(2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值．
(3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围．
24．【阅读】
三角形中位线定义：在中，若点D、E分别是与的中点，则是的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
(1)【定理证明】
证明三角形的中位线定理的方法有多种．我们可以延长至F，使得，连接，再利用全等三角形、平行四边形的知识进行证明，请结合图2，完成证明．
已知：在中，点D，E分别是，的中点．
求证：，且．
(2)【定理应用】
如图3，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，，求的长．
25．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
(1)如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则 ．
(2)如图，在中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形．
(3)如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，，
①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论．
②如图2，当，时，直接写出CD的长．中小学教育资源及组卷应用平台
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C C C C D A B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（答案不唯一）
12．
13．
14．4
15．
16．或或
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解集是；...............3分
在数轴上表示为：
．...............6分
18．（6分）
【详解】解：原式
．...............3分
因为，
所以，．
所以，．
所以，原式．...............6分
19．（6分）
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴．...............3分
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．...............6分
20．（6分）
【详解】（1）解：设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为，则，
展开整理得，
解得，
∵不是奇数，
∴28不是“智慧数”...............2分
（2）解：∵，且和是两个连续奇数，
∴16符合“智慧数”的定义，
∴16是一个“智慧数”；...............4分
（3）解：
，
∵是8的倍数，
∴两个连续奇数为和构造的“智慧数”能被整除．...............6分
21．（8分）
【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为；
；...............3分
（2）解：如图所示，点的坐标为；...............6分
（3）解：连接，并分别作的垂直平分线，相交于点P，
所以，点就是所求的旋转中心．...............8分
22．（8分）
【详解】（1）解：设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，依题意有：
，
解得．
经检验，是原方程的解．
∴ ．
故：，两种型号帐篷的单价分别为800元、500元．...............4分
（2）解：①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，依题意有：
，
解得：．
故：型号帐篷至少要买10顶．
②设总费用为元，则有： ，
．
，
随的增大而减小．
又，
∴当时， ．
故：此计划资金一定够用．...............8分
23．（8分）
【详解】（1）解：解①得：，故不是①的“梦想解”，
解②得：，故不是②的“梦想解”，
解③得：，故是③的“梦想解”，
是方程和不等式③的“梦想解”；...............2分
（2）解方程组，得，
，
方程组的解是不等式组的“梦想解”，
，
解不等式组得：，
为整数，
或；...............5分
（3）解方程：，得：，
解不等式组，得：，
关于x的方程和关于x的不等式组有“梦想解”，
，
解不等式组得：，
因为所有正整数“梦想解”的和为10，所以正整数“梦想解”为1，2，3，4，
，解得：，
综上：．...............8分
24．（12分）
【详解】（1）证明：延长至，使，连接．
是的中点，
．
在和中，
，
(SAS)．
，．
．
是的中点，
．
．
又，
四边形是平行四边形．
，．
．...............6分
（2）解：延长交于点．
平分，
．
，
．
在和中，
，
(ASA)．
，E是的中点．
是的中点，
是的中位线．
．
．
．...............12分
25．（12分）
【详解】（1）解：∵在邻余四边形中，，是钝角，
∴，
又，
∴，
故答案为：；...............3分
（2）证明：连接，
∵垂直平分，
∴，，，
又，
∴，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是邻余四边形；...............6分
（3）解：①四边形是平行四边形，
理由：∵在邻余四边形中，，是钝角，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；...............9分
②过A作交的延长线于F，连接，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
由邻余四边形知：，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，，
∴．...............12分

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