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2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级期末专题训练之因数与倍数
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 萧山区期中）a是b的倍数，c是b的倍数（a不等于c）。下列叙述错误的是（　　）
A．a与c的和一定是b的倍数
B．a与c的差一定是b的倍数
C．b既是a的因数，也是c的因数
D．a是c的倍数
2．（2025春 新乡县校级期中）在“20□12□”中的□里填上合适的数字（两个□里的数字可以不同），要使这个六位数同时是2、3、5的倍数，有（　　）种不同的填法。
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025春 新乡县校级期中）下面的数中，因数个数最多的是（　　）
A．12 B．18 C．20 D．36
4．（2025春 通渭县期中）体育课上，列队清点人数时，老师要求按1～10的顺序循环报数，最后一人报5，这个班上体育课的人数一定是（　　）
A．5的倍数 B．10的倍数 C．15的倍数 D．无法确定
5．（2025春 汇川区期中）李老师新买了一部手机，他按下面的信息给自己的手机设置了一个四位数的密码锁（）。a只有一个因数，b的所有因数是1，2，3，6，c是2的最小倍数，这个四位数是2和5的倍数。李老师设置的锁屏密码是（　　）
A．1620 B．2620 C．1925 D．1640
二．填空题（共4小题）
6．（2025春 高新区期中）A是一个自然数，43AA2A是一个六位数，这个六位数一定是（　 　 ）的倍数。
7．（2024春 萧山区期中）两个不同质数的和是16，则它们的积有可能是（　 　 ）和（　 　 ）。
8．（2024春 萧山区期中）一个数，如果等于它本身以外的所有因数相加的和，则该数就被称作“完全数”，在30以内的“完全数”分别是（　 　 ）和（　 　 ）。
9．（2024春 萧山区期中）用2，3，4，0这四个数中的任意三个数组成一个同时含有2、3、5的因数的三位数，则最大是（　 　 ），最小是（　 　 ）。
三．判断题（共4小题）
10．（2022春 镇安县期末）一个质数乘另一个质数，积一定是合数。 　 　 （判断对错）
11．（2025春 潮南区期中）因为6＝2×3，所以6的因数只有2个。（　 　 ）（判断对错）
12．（2025春 魏都区校级期中）用2，3，7组成的数一定是3的倍数．　 　 ．（判断对错）
13．（2025春 西峡县期中）若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有5个因数。（　 　 ）（判断对错）
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 睢宁县校级期中）8和10的最大公因数是2，最小公倍数是40，则2×40＝8×10。
我也来举例：　 　 ，我的结论：　 　 。
根据规律解决问题：24与A的最大公因数是8，最小公倍数是96，A是多少？
15．（2025秋 永康市期末）有A、B两个自然数，数A除以5，余数是3；数B除以5，余数是2。小明认为A与B的和一定是5的倍数。小明的说法是否正确，请说明你的观点和理由。
2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级期末专题训练之因数与倍数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
题号 1 2 3 4 5
答案 D A D A A
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 萧山区期中）a是b的倍数，c是b的倍数（a不等于c）。下列叙述错误的是（　　）
A．a与c的和一定是b的倍数
B．a与c的差一定是b的倍数
C．b既是a的因数，也是c的因数
D．a是c的倍数
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】数感．
【答案】D
【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
举例验证：设a＝6，b＝2，c＝12。进而判断每个选项。
【解答】解：设a＝6，b＝2，c＝12。
A选项：6+12＝18，18÷2＝9，所以a与c的和一定是b的倍数，该选项说法正确；
B选项：12﹣6＝6，6÷2＝3，所以 a与c的差一定是b的倍数，该选项说法正确；
C选项：2既是6的因数，也是12的因数，原说法正确；
D选项：6÷12＝0.5，0.5是小数，不成倍数关系，所以a不是c的倍数，该选项说法错误。
故选：D。
【点评】本题考查因数与倍数的认识。
2．（2025春 新乡县校级期中）在“20□12□”中的□里填上合适的数字（两个□里的数字可以不同），要使这个六位数同时是2、3、5的倍数，有（　　）种不同的填法。
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】2、3、5的倍数特征．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】同时是2、3、5的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数；先确定个位数字，再根据3的倍数特征确定千位上的数字。
【解答】解：分析可知：这个六位数的个位数字是0，即20 120。
当千位上为0时，2+0+0+1+2+0＝5，5不是3的倍数；
当千位上为1时，2+0+1+1+2+0＝6，6是3的倍数；
当千位上为2时，2+0+2+1+2+0＝7，7不是3的倍数；
当千位上为3时，2+0+3+1+2+0＝8，8不是3的倍数；
当千位上为4时，2+0+4+1+2+0＝9，9是3的倍数；
当千位上为5时，2+0+5+1+2+0＝10，10不是3的倍数；
当千位上为6时，2+0+6+1+2+0＝11，11不是3的倍数；
当千位上为7时，2+0+7+1+2+0＝12，12是3的倍数；
当千位上为8时，2+0+8+1+2+0＝13，13不是3的倍数；
当千位上为9时，2+0+9+1+2+0＝14，14不是3的倍数。
因此有3种不同的填法。
故选：A。
【点评】本题主要考查了2、3、5倍数的灵活应用问题。
3．（2025春 新乡县校级期中）下面的数中，因数个数最多的是（　　）
A．12 B．18 C．20 D．36
【考点】找一个数的因数的方法．
【专题】应用意识．
【答案】D
【分析】先列举出各数的因数，再数出个数，找出因数个数最多的数即可。
【解答】解：A选项：12的因数有：1，2，3，4，6，12；共有6个因数；
B选项：18的因数有：1，2，3，6，9，18；共有6个因数；
C选项：20的因数有：1，2，4，5，10，20；共有6个因数；
D选项：36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；共有9个因数；
9＞6
故选：D。
【点评】本题考查找一个数因数的方法。
4．（2025春 通渭县期中）体育课上，列队清点人数时，老师要求按1～10的顺序循环报数，最后一人报5，这个班上体育课的人数一定是（　　）
A．5的倍数 B．10的倍数 C．15的倍数 D．无法确定
【考点】找一个数的倍数的方法；5的倍数特征．
【答案】A
【分析】根据5的倍数的特征（个位是0或5的数是5的倍数），可判断总人数符合5的倍数的特征。
【解答】解：按1～10循环报数最后余5，人数就是10的倍数加5，个位一定是5，符合5的倍数特征。
故选：A。
【点评】本题考查5的倍数认识。
5．（2025春 汇川区期中）李老师新买了一部手机，他按下面的信息给自己的手机设置了一个四位数的密码锁（）。a只有一个因数，b的所有因数是1，2，3，6，c是2的最小倍数，这个四位数是2和5的倍数。李老师设置的锁屏密码是（　　）
A．1620 B．2620 C．1925 D．1640
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法；5的倍数特征．
【专题】数感．
【答案】A
【分析】1只有一个因数；因数只有1，2，3，6，则这个数是6；2最小的倍数是2；既是2的倍数又是5的倍数的数，末尾只能是0；据此分析。
【解答】解：这个四位数是1620，所以李老师设置的锁屏密码是1620。
故选：A。
【点评】本题考查2、5倍数的特征。
二．填空题（共4小题）
6．（2025春 高新区期中）A是一个自然数，43AA2A是一个六位数，这个六位数一定是（　3　 ）的倍数。
【考点】2、3、5的倍数特征．
【专题】应用意识．
【答案】3。
【分析】3的倍数特征：各个位上数字相加的和是3的倍数；求出这个六位数各数位上的数字之和，即可得出这个六位数是3的倍数。
【解答】解：根据2、3、5倍数的特征：
4+3+A+A+2+A
＝4+3+2+A+A+A
＝（4+3+2）+（A+A+A）
＝9+3A
＝3×（3+A）
因为A是一个自然数，所以3×（3+A）一定是3的倍数，即这个六位数一定是3的倍数。
故答案为：3。
【点评】本题主要考查2、3、5倍数的特征及应用。
7．（2024春 萧山区期中）两个不同质数的和是16，则它们的积有可能是（　39　 ）和（　55　 ）。
【考点】合数与质数的初步认识．
【答案】39；55。
【分析】小于16的质数有：2、3、5、7、11、13，据此分析组合计算。
【解答】解：3+13＝16
3×13＝39
5+11＝16
5×11＝55
所以它们的积有可能是39和55。
故答案为：39；55。
【点评】本题考查质数的认识。
8．（2024春 萧山区期中）一个数，如果等于它本身以外的所有因数相加的和，则该数就被称作“完全数”，在30以内的“完全数”分别是（　6　 ）和（　28　 ）。
【考点】找一个数的因数的方法．
【专题】数感．
【答案】6；28。
【分析】例如12的因数有1、2、3、4、6、12。除去12，剩下的因数和为：1+2+3+4+6＝16，16≠12，所以12不是完全数；使用列乘法算式法找出一个数的所有因数，再根据完全数的定义，找出30以内的完全数。
【解答】解：6的因数有1、2、3、6。除去6，和为：1+2+3＝6，6＝6，所以6是完全数；
28的因数有1、2、4、7、14、28。除去28，剩下的因数和为：1+2+4+7+14＝28，28＝28，所以28是完全数。
故答案为：6；28。
【点评】本题考查找一个数因数的方法。
9．（2024春 萧山区期中）用2，3，4，0这四个数中的任意三个数组成一个同时含有2、3、5的因数的三位数，则最大是（　420　 ），最小是（　240　 ）。
【考点】2、3、5的倍数特征．
【专题】数感．
【答案】420，240。
【分析】2和倍数特征：个位是0、2、4、6、8（偶数）的数；3的倍数特征：各个数位上的数的和是3的倍数；5的倍数特征：个位是0或5的数。这个数同时含有2、3、5的因数的三位数，个位必须是0，且各数位上的数字之和是3的倍数。要想组成的数最大，要把数按照从大到小的顺序从高位到低位排下来；要想组成的数最小，要把数按照从小到大的顺序从高位到低位排下来，但是最高位不能是零。
【解答】解：用2，3，4，0这四个数中的任意三个数组成一个同时含有2、3、5的因数的三位数，则最大是420，最小是240。
故答案为：420，240。
【点评】关键是熟练掌握2、3、4的倍数特征及整数的写法及大小比较。
三．判断题（共4小题）
10．（2022春 镇安县期末）一个质数乘另一个质数，积一定是合数。 　√　 （判断对错）
【考点】合数与质数的初步认识．
【专题】数感；应用意识．
【答案】√
【分析】根据质数、合数的意义，一个自然数，如果只有1和它的倍数两个因数，这样数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。据此解答。
【解答】解：因为质数只有两个因数，合数至少有3个因数，所以一个质数乘另一个质数，积一定是合数。
因此，题干中的结论是正确的。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是理解掌握质数、合数的意义及应用。
11．（2025春 潮南区期中）因为6＝2×3，所以6的因数只有2个。（　×　 ）（判断对错）
【考点】找一个数的因数的方法．
【专题】应用意识．
【答案】×。
【分析】因数是指能整除这个数的正整数。找一个数的因数，要把所有能整除它的数都找出来，而不只是分解质因数的结果。1和这个数本身天然是该数的因数。
【解答】解：6＝1×6＝2×3
所以，6的因数有：1、2、3、6，共4个。题干说法错误。
故答案为：×
【点评】此题考查了找一个数因数的方法，应注意理解和运用
12．（2025春 魏都区校级期中）用2，3，7组成的数一定是3的倍数．　√　 ．（判断对错）
【考点】2、3、5的倍数特征．
【专题】综合填空题；数的整除．
【答案】见试题解答内容
【分析】3的倍数的特征，各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数．据此判断．
【解答】解：因为2+3+7＝12，12是3的倍数，所以用2、3、7三个数字组成的三位数一定是3的倍数．
故答案为：√．
【点评】此题考查的目的是理解掌握3的倍数的特征及应用．
13．（2025春 西峡县期中）若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有5个因数。（　×　 ）（判断对错）
【考点】找一个数的因数的方法．
【专题】数感．
【答案】×。
【分析】根据质数的定义及因数的意义，已知m是三个互不相同质数的乘积，可以通过列举法找出m的所有因数，统计因数的总个数，再与题干中的数量进行比较即可判断正误。
【解答】解：因为a、b、c是互不相同的质数，且m＝a×b×c。
所以m的因数包含以下几类：
数字1，共1个；
单个质数a、b、c，共3个；
两个质数的乘积a×b、a×c、b×c，共3个；
三个质数的乘积m，共1个。
m的因数总个数为：1+3+3+1＝8（个）
m有8个因数，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】灵活掌握质数的定义及因数的意义，是解答此题的关键。
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 睢宁县校级期中）8和10的最大公因数是2，最小公倍数是40，则2×40＝8×10。
我也来举例：　6和15的最大公因数是3，6和15的最小公倍数是30，3×30＝6×15。（答案不唯一）　 ，我的结论：　两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。　 。
根据规律解决问题：24与A的最大公因数是8，最小公倍数是96，A是多少？
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】6和15的最大公因数是3，6和15的最小公倍数是30，3×30＝6×15。（答案不唯一）
两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
A是32。
【分析】分析题意，可以考虑求出6和15的最大公因数、最小公倍数；
再观察两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积与这两个数的乘积的大小关系，从而得到结论；
然后用所得结论，结合已知条件可求出A。
【解答】解：举例：6和15的最大公因数是3，6和15的最小公倍数是30，3×30＝6×15。（答案不唯一）
结论：两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
8×96÷24＝32
所以A是32。
故答案为：6和15的最大公因数是3，6和15的最小公倍数是30，3×30＝6×15。（答案不唯一）
两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
【点评】本题考查了求两数的最大公因数和最小公倍数。
15．（2025秋 永康市期末）有A、B两个自然数，数A除以5，余数是3；数B除以5，余数是2。小明认为A与B的和一定是5的倍数。小明的说法是否正确，请说明你的观点和理由。
【考点】2、3、5的倍数特征．
【专题】数的整除；运算能力．
【答案】正确；
数A除以5，余数是3，数B除以5，余数是2，那么A与B的和为：A+B＝5的倍数+5。5是5的倍数。所以小明的说法正确。
【分析】已知数A除以5余3，说明A可以表示为5的倍数加3；数B除以5余2，说明B可以表示为5的倍数加2。A与B的和为（5的倍数+3）+（5的倍数+2），整理后可得“5的倍数+5”，因为5是5的倍数，所以5的倍数加5仍是5的倍数。
【解答】解：数A除以5，余数是3；数B除以5，余数是2。那么A与B的和为：A+B＝5的倍数+5。5是5的倍数。所以小明的说法正确。
【点评】本题考查了5的倍数的特征。
考点卡片
1．因数和倍数的意义
【知识点归纳】
假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：24是倍数，6是因数．　×　 ．（判断对错）
分析：约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．
解：24÷6＝4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．
例2：一个数的因数都比这个数的倍数小．　×　 ．（判断对错）
分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最大因数也是5．由此即可解答．
解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；
故答案为：×．
点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．
2．找一个数的因数的方法
【知识点归纳】
1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．
2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是2的倍数．
4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
6．最后一位是5或0的数是5的倍数．
7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
【命题方向】
常考题型：
例：从18的约数中选4个数，组成一个比例是　1：2＝3：6　 ．
分析：先写出18的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．
解：18的约数有：1，2，3，6，9，18；
1：2＝3：6；
故答案为：1：2＝3：6．
点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，写出其中的一种即可．
3．找一个数的倍数的方法
【知识点归纳】
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．
1．末尾是偶数的数就是2的倍数．
2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
4．最后一位是5或0的数是5的倍数．
5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．
【命题方向】
常考题型：
例1：个位上是3、6、9的数，都是3的倍数．　×　 ．（判断对错）
分析：举个反例证明，3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
解：13，16，29是个位上分别是3，6，9可是它们都不是3的倍数，所以个位上是3、6、9的数，都是3的倍数得说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查3的倍数的特征．注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
例：一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是　120　 ．
分析：既有因数3，又是2和5的倍数，就是这个三位数同时是2、3、5的倍数，根据2、3、5的倍数特征可知：这个三位数个位必需是0，因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1，然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数，因为1+0＝1，1再加2、5、8的和是3的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中2是最小的，据此解答．
解：由分析可知；一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是；120；
故答案为：120．
点评：本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1．
4．合数与质数的初步认识
【知识点解释】
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）
【命题方向】
常考题型：
例1：所有的质数都是奇数． 　×　 ．（判断对错）
分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．
解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．
故答案为：×．
点评：本题混淆了质数和奇数的定义．
例2：已知a×b+3＝x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是 　1997　 ．
分析：x是奇数，因为偶数+奇数＝奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3＝1997．
解：x是奇数，a×b一 定为偶数，
则a、b必有一个为最小的质数2，
小于1000的最大的质数为997，
所以x的最大值为2×997+3＝1997．
故答案为：1997．
点评：在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．
5．5的倍数特征
【知识点归纳】
（1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。
（2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。
【方法总结】
如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5；
如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5；
如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。
【常考题型】
1、368至少加上（　　）是5的倍数，231至少加上（　　）是5的倍数。
答案：2；4
2、24以内，5的倍数有哪些？
答案：5，10，15，20
3、从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（各写2个即可）。
2的倍数有：　 　
5的倍数有：　 　
既是2的倍数又是5的倍数有：　 　
答案：502、702；（答案不唯一）
750、205；（答案不唯一）
270、250（答案不唯一）
6．2、3、5的倍数特征
【知识点归纳】
（1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。
（2）偶数与奇数：
①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。
②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。
（3）3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
（4）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。
（5）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。
【方法总结】
每相邻的2个自然数中，就会有一个是2的倍数；每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数；每相邻的5个自然数中，就会有一个是5的倍数。
2、5的倍数末尾只能是0和5，而3的倍数末尾没有限制。
【常考题型】
1、一个两位数，既是2的倍数，又是5的倍数，这个数最大是（　　）
A．90 B．92 C．95
答案：A
2、要使17□50同时是2、3、5的倍数，那么□里最大能填（　　），最小能填（　　）。
答案：8；2
3、写出符合要求的最小的两位数：
（1）既是2的倍数，又是3的倍数：（　　）。
（2）既是3的倍数，又是5的倍数：（　　）。
（3）既是2的倍数，又是5的倍数：（　　）。
（4）既是2和5的倍数，又是3的倍数：（　　）。
答案：12；15；10；30

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