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2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级期末专题训练之染色问题
一．选择题（共5小题）
1．（2025秋 泰兴市期末）一个正方体木块，表面涂油漆（底面不涂）。王师傅按照如图的方法把它切成若干块棱长相等的小正方体木块。这些小正方体木块中，6个面都没有涂油漆的有（　　）块。
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2025秋 崇川区期末）一个表面涂色的正方体，表面积是216平方厘米。把它切成棱长为2厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有（　　）个。
A．6 B．12 C．24 D．48
3．（2025秋 小店区期末）一个表面涂满蓝色的正方体，把它的每条棱平均分成4份，再切成同样大小的小正方体。在这些小正方体中，只有一面涂色的小正方体有（　　）个。
A．8 B．16 C．24
4．（2025 淮安）将一个棱长5厘米的正方体木块表面涂色后切割成棱长1厘米的小正方体（无损耗），其中两面涂色的有（　　）个。
A．8 B．27 C．36 D．54
5．（2025秋 徐州期中）一个表面涂色的正方体，将它的每条棱切分成4等份，其中三面涂色的小正方体有（　　）个。
A．8 B．12 C．16 D．24
二．填空题（共4小题）
6．（2025秋 平顶山期末）一个表面涂色的长方体，把它切成若干个体积相等的小正方体（如下图），这些小正方体中，4面涂色的有（　 　 ）个，3三面涂色的有（　 　 ）个，两面涂色的有（　 　 ）个。
7．（2025秋 洛宁县期末）一个棱长为7厘米的正方体，表面涂满红色，把它切成棱长为1厘米的小正方体，两面涂色的有（ 　 　 ）个。
8．（2025秋 赫章县期末）把棱长为6厘米的正方体表面涂上红色，切成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有（ 　 　 ）个，没有涂色的小正方体有（ 　 　 ）个。
9．（2025秋 威宁县期末）如果把一个表面涂色的正方体的每条棱平均分成6份，再切成同样大的小正方体，2面涂色的小正方体有（　 　 ）个。
三．判断题（共4小题）
10．（2025秋 太原期末）一个表面涂色的正方体，把这个正方体的每条棱平均分成相同的份数，再切成同样大小的正方体，3面涂色的正方体一定有8个。　 　 （判断对错）
11．（2024秋 花溪区期末）一个表面涂色的正方体每条棱都平均分成7份，3面涂色的小正方体有8个。（ 　 　 ）（判断对错）
12．（2019春 隆昌市期末）一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体有8个．　 　 （判断对错）
13．（2015春 淮南期末）把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体总是8个．　 　 （判断对错）
四．解答题（共2小题）
14．（2025秋 常熟市期末）明明去蛋糕店买了一个正方体蛋糕，这个蛋糕的四周和上面都涂上奶油（底面不涂）。现在他将蛋糕的每条棱平均分成3份，切成大小相同的小正方体蛋糕。
（1）一共能分成　 　 块小蛋糕，只有一面有奶油的有　 　 块；
（2）妈妈不能吃奶油，她最多可以吃到　 　 块没有奶油的小蛋糕。
15．（2025春 德清县期中）如图是一套房子的平面图，图中的小格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级期末专题训练之染色问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
题号 1 2 3 4 5
答案 C B C C A
一．选择题（共5小题）
1．（2025秋 泰兴市期末）一个正方体木块，表面涂油漆（底面不涂）。王师傅按照如图的方法把它切成若干块棱长相等的小正方体木块。这些小正方体木块中，6个面都没有涂油漆的有（　　）块。
A．4 B．8 C．12 D．16
【考点】染色问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】C
【分析】根据正方体表面涂色的特点，6个面都没有涂油漆的小正方体在大正方体的内部，因为这个大正方体的底面不涂油漆，那么底面最中间只露出一个面的小正方体的6个面也没有涂油漆；
内部每条棱上没有涂色的小正方体有（4﹣2）块，根据正方体的体积公式V＝a3，求出大正方体内部小正方体的块数，再加上底面的4块，即是没有涂色的小正方体的总块数。
【解答】解：由分析可知：
4﹣2＝2（块）
2×2×2＝8（块）
8+4＝12（块）
答：这些小正方体木块中，6个面都没有涂油漆的有12块。
故选：C。
【点评】掌握染色问题的解决方法是解题的关键。
2．（2025秋 崇川区期末）一个表面涂色的正方体，表面积是216平方厘米。把它切成棱长为2厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有（　　）个。
A．6 B．12 C．24 D．48
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】B
【分析】根据表面积是216平方厘米求出正方体的棱长，再求出每条棱上有个小正方体，然后根据在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面涂色求解即可。
【解答】解：216÷6＝36（平方厘米）
36＝6×6，所以棱长是6厘米，
6÷2＝3（个）
（3﹣2）×12＝12（个）
答：其中两面涂色的小正方体有12个。
故选：B。
【点评】本题主要考查了染色问题，注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
3．（2025秋 小店区期末）一个表面涂满蓝色的正方体，把它的每条棱平均分成4份，再切成同样大小的小正方体。在这些小正方体中，只有一面涂色的小正方体有（　　）个。
A．8 B．16 C．24
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】
一面涂色的小正方体位于每个面的中心区域，不接触棱或顶点，据此解答即可。
【解答】解：（4﹣2）×（4﹣2）×6
＝4×6
＝24（个）
答：一面涂色正方体的有24个。
故选：C。
【点评】本题考查了染色问题的灵活应用。
4．（2025 淮安）将一个棱长5厘米的正方体木块表面涂色后切割成棱长1厘米的小正方体（无损耗），其中两面涂色的有（　　）个。
A．8 B．27 C．36 D．54
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】因为5÷1＝5（个），所以大正方体每条棱长上都有5个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为涂色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的小正方体都是两面涂色；在每个面上除去棱上的小正方体都是一面涂色；根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：5÷1＝5（个）
两面涂色的有：
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
答：其中两面涂色的有36个。
故选：C。
【点评】此题考查了立方体的染色问题。注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
5．（2025秋 徐州期中）一个表面涂色的正方体，将它的每条棱切分成4等份，其中三面涂色的小正方体有（　　）个。
A．8 B．12 C．16 D．24
【考点】染色问题．
【专题】推理能力；应用意识．
【答案】A
【分析】一个表面涂色的正方体，将它的每条棱切分成4等份，切成同样大的小正方体，共切成了43个，即64个；小正方体组成的大正方体的每个顶点处的小正方体三面涂色，一个正方体有8个顶点，因此，三面涂色的有8块；据此解答即可。
【解答】解：正方体的每个顶点处的小正方体三面涂色，一个正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。
故选：A。
【点评】本题主要考查了染色问题，解答此题的关键是弄清位于什么位置的小正方体三面涂色。
二．填空题（共4小题）
6．（2025秋 平顶山期末）一个表面涂色的长方体，把它切成若干个体积相等的小正方体（如下图），这些小正方体中，4面涂色的有（　4　 ）个，3三面涂色的有（　6　 ）个，两面涂色的有（　2　 ）个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】4；6；2。
【分析】从图中可知，长方体可以分成3行，每行有4个小正方体。根据立体图形表面涂色的特点，得出小正方体涂色面的位置：4面涂色的小正方体在顶点处，3面涂色的小正方体在每条棱上且不在顶点处；两面涂色的小正方体就是去掉在每条棱上的小正方体，也就是中间的2个小正方体；据此判断其涂色的面数。
【解答】解：根据分析可得：
一个表面涂色的长方体，把它切成若干个体积相等的小正方体（如上图），这些小正方体中，4面涂色的有4个，3面涂色的有6个，两面涂色有2个。
故答案为：4；6；2。
【点评】本题考查了立体图形的染色问题。
7．（2025秋 洛宁县期末）一个棱长为7厘米的正方体，表面涂满红色，把它切成棱长为1厘米的小正方体，两面涂色的有（ 　60　 ）个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】60。
【分析】由题意可知，7÷1＝7（个），则大正方体的每条棱上可以切7个小正方体，两面涂色的小正方体位于大正方体每条棱的中间，每条棱上两面涂色的小正方体有7﹣2＝5（个），两面涂色的小正方体一共有（5×12）个，据此解答。
【解答】解：7÷1＝7（个）
7﹣2＝5（个）
5×12＝60（个）
答：两面涂色的有60个。
故答案为：60。
【点评】本题考查了染色问题的灵活运用。
8．（2025秋 赫章县期末）把棱长为6厘米的正方体表面涂上红色，切成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有（ 　48　 ）个，没有涂色的小正方体有（ 　64　 ）个。
【考点】染色问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】48，64。
【分析】先求出每条棱上切成棱长1厘米的小正方体的个数：6÷1＝6（个），根据题意可知，两面涂色的在原来大正方体棱上除去两端的小正方体，所以每条棱上有6﹣2＝4（个），一共12条棱长，即两面涂色的小正方体一共4×12＝48（个）。没有涂色的小正方体位于正方体的内部，内部形成一个棱长为6﹣2＝4（厘米）的小正方体，因为小正方体棱长为1厘米，所以每条棱上没有涂色的小正方体为4个，即这个正方体没有涂色一共有4×4×4＝64（个），据此解答。
【解答】解：每条棱上切成棱长1厘米的小正方体的个数：6÷1＝6（个）
两面涂色的小正方体有：（6﹣2）×12＝48（个）
没有涂色的小正方体有：（6﹣2）×（6﹣2）×（6﹣2）＝64（个）
故答案为：48，64。
【点评】本题考查的是染色问题的应用。
9．（2025秋 威宁县期末）如果把一个表面涂色的正方体的每条棱平均分成6份，再切成同样大的小正方体，2面涂色的小正方体有（　48　 ）个。
【考点】染色问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】48。
【分析】两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上，且不包括顶点处的小正方体。大正方体每条棱被平均分成6份，每条棱上有6﹣2＝4个两面涂色的小正方体，正方体共有12条棱，所以两面涂色的小正方体总数为4×12＝48个。
【解答】解：（6﹣2）×12
＝4×12
＝48（个）
答：2面涂色的小正方体有48个。
故答案为：48。
【点评】两面涂色的小正方体只出现在大正方体的棱上，并且要排除顶点处（三面涂色）的小正方体。每条棱被分成n份时，每条棱上两面涂色的小正方体数量为（n﹣2），正方体有12条棱，两面涂色的小正方体总数为（n﹣2）×12个。
三．判断题（共4小题）
10．（2025秋 太原期末）一个表面涂色的正方体，把这个正方体的每条棱平均分成相同的份数，再切成同样大小的正方体，3面涂色的正方体一定有8个。　√　 （判断对错）
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√。
【分析】根据只有一面涂色的小正方体在每个大正方体的面的中间，只有2面涂色的小正方体在大正方体的棱上（不包括8个顶点处的小正方体），3面涂色的小正方体都在顶点处，没有涂色的在内部，据此即可解答问题。
【解答】解：一个表面涂色的正方体，把这个正方体的每条棱平均分成相同的份数，再切成同样大小的正方体，
因为3面涂色的小正方体都在8个顶点处，所以3面涂色的正方体一定有8个，因此原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上（除去顶点处的），3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
11．（2024秋 花溪区期末）一个表面涂色的正方体每条棱都平均分成7份，3面涂色的小正方体有8个。（ 　√　 ）（判断对错）
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√。
【分析】3面涂色的小正方体处在8个顶点处，据此解答即可。
【解答】解：根据分析可得：
正方体有8个顶点，只有顶点处的小正方体才会3面涂色，只要棱平均分的份数≥2，则3面涂色的小正方体的数量恒为8个；所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】解答本题关键是明确正方体染色的特征。
12．（2019春 隆昌市期末）一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体有8个．　√　 （判断对错）
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色；所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案．
【解答】解：一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体在8个顶点上，
所以共有8个，
所以原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．
13．（2015春 淮南期末）把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体总是8个．　√　 （判断对错）
【考点】染色问题．
【专题】综合判断题；立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，所以总是8个．
【解答】解：由于三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，
所以，把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体总是8个；
故答案为：√．
【点评】此题主要考查了学生观察图形和利用图形解决问题的能力，这里要抓住三面涂色的在顶点处进行解答．
四．解答题（共2小题）
14．（2025秋 常熟市期末）明明去蛋糕店买了一个正方体蛋糕，这个蛋糕的四周和上面都涂上奶油（底面不涂）。现在他将蛋糕的每条棱平均分成3份，切成大小相同的小正方体蛋糕。
（1）一共能分成　27　 块小蛋糕，只有一面有奶油的有　9　 块；
（2）妈妈不能吃奶油，她最多可以吃到　2　 块没有奶油的小蛋糕。
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】（1）27，9；（2）2。
【分析】
根据题意，将蛋糕每条棱平均分成3份，切成大小相同的小正方体蛋糕（如上图所示）。
（1）分割后的大正方体变成小正方体的块数为（3×3×3）块；只有一面有奶油的，在四周每个面上都有2个，再加上最上面一个即可。
（2）一面都不涂奶油的块数，因下底面未涂奶油，即未涂奶油的块数为（3﹣2）×（3﹣2）×（3﹣2）+1，即妈妈最多可以吃到的块数。
【解答】解：（1）3×3×3＝27（块）
2×4+1＝9（块）
答：一共能分成27块小蛋糕，只有一面有奶油的有9块。
（2）（3﹣2）×（3﹣2）×（3﹣2）+1
＝1+1
＝2（块）
答：妈妈不能吃奶油，她最多可以吃到2块没有奶油的小蛋糕。
故答案为：（1）27，9；（2）2。
【点评】本题考了染色问题的灵活应用。
15．（2025春 德清县期中）如图是一套房子的平面图，图中的小格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
【考点】染色问题．
【专题】传统应用题专题；推理能力．
【答案】不能。
【分析】对房间染色，使最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的房染成白色，则图中有7个黑色房间和5个白色房间，如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等。故题中的想法是不能实现的。
【解答】解：见下图
如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等。故题中的想法是不能实现的。
答：他的想法不能实现。
【点评】本题考查染色问题。结合染色作图，直观地分析作答即可。
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1．染色问题
【知识点归纳】
这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．
染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．
两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12
一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6
0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．

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