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2026年中考数学二轮复习：尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交∠ACB的平分线于点D，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E．若CB＝5，BE＝3，则AC的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．如图，已知△ABC．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．
（3）作射线AP交BC于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．
依据以上作图，若AF＝3，CE＝5，，则CD的长是（　　）
A． B．2 C． D．4
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，则线段BE与线段EF的数量关系是（　　）
A．BE＝4EF B．BE＝3EF C．BE＝2EF D．BEEF
4．综合实践课上，小颖画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图1～图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（　　）
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O； （2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO； （3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等
C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等
5．如图，在△ABC中，（1）作AB和BC的垂直平分线交点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：①；②AB＝2AM；③点O是△ABC的外心；④点P是△ABC的内心．所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作如下操作：①在BC，BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部交于点F；③作射线BF交AC于点G．若CG＝1，H为AB上一动点，则GH的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
7．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF和CE，若BF＝3，DC＝3，以下结论正确的个数是（　　）
①四边形AECF是菱形；
②AC＝6；
③S四边形AFCE＝9；
④若点P是直线EF上的一个动点，则PC+PD的最小值是9．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝6，分别以点C、D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，MN与CD交于点E，如果点P为线段AC上一动点，那么PD+PE的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．
9．如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点B和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，若AB＝6，则的长是（　　）
A．π B．2π C．3π D．6π
10．如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，任意长为半径作弧分别交AB和BC于点M，N；分别以点M，N为圆心、以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点H；作射线BH交边AD于点E；作射线CF，交DE于点F，交射线BH于点G，连接GD．若CD＝4，DF＝EF＝1，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．问题：如图1，已知△ABC为钝角三角形，∠B＝30°，用尺规作△ABC的高AD．
作法：如图2，①分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点E；②连接AE，BE；③延长BC交AE于点D．线段AD即为△ABC的高．判定AD为△ABC高的依据是　 　 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若∠A＝42°，则∠CBD的度数为　 　 °．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以O，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交OB于点G，交BC于点H，若直线EF经过顶点A，且AB＝6，则GH的长为　 　 ．
14．如图，在△ABC中，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，∠C＝48°，则∠EAF的度数为　 　 ．
15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点A，B，C均在格点上．
（I）∠ABC＝　 　 （度）；
（Ⅱ）取格点D，连接AD，BD，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段BD上画出点P，使得∠APD＝2∠ABD，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知∠PBQ及BP边上一点C．
（1）在射线BQ上求作点A，使得∠CAQ＝2∠CBQ；（尺和规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点A作AG⊥AB交BC于点G，若AB＝10，BC＝16，求CG的长．
17．如图，点A、B、C都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）．
（1）请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）．
①过点C画直线AB的平行线CD；
②过点C画直线AB的垂线CE，并标出垂足F．
（2）线段　 　 的长就是点C到直线AB的距离；
（3）比较大小：CF　 　 CB．（填“＞”“＜”或“＝”）
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，点D到AB边的距离等于DC，连接AD．
（1）用直尺和圆规作⊙O，点O在AB上，且⊙O经过B、D两点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠B＝30°，CD＝6，则⊙O的半径为　 　 ，⊙O与△ABC的重叠部分面积为　 　 ．（如需画草图，请使用备用图）
19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点E、D．
（1）请用直尺和圆规在图中作出直线DE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求BC的长．
20．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝3，BC＝2．
（1）在图中，作出△ABC的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△ABC的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出该三角形的最小覆盖圆的直径．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交∠ACB的平分线于点D，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E．若CB＝5，BE＝3，则AC的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】如图，过点D作DF⊥AC于点F，连接AD．证明△CDF≌△CDE（AAS），推出CF＝CE＝CB+BE＝5+3＝8，DF＝DE，证明Rt△DFA≌Rt△DEB（HL），推出AF＝BE＝3，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于点F，连接AD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCF＝∠DCE，
∵DE⊥CB，DF⊥CA，
∴∠DFC＝∠DEC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（AAS），
∴CF＝CE＝CB+BE＝5+3＝8，DF＝DE，
∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴Rt△DFA≌Rt△DEB（HL），
∴AF＝BE＝3，
∴AC＝CF+AF＝8+3＝11．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
2．如图，已知△ABC．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．
（3）作射线AP交BC于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．
依据以上作图，若AF＝3，CE＝5，，则CD的长是（　　）
A． B．2 C． D．4
【考点】作图—复杂作图；角平分线的定义；线段垂直平分线的性质．
【答案】A
【分析】根据作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，所以∠EAD＝∠FAD，AE＝DE，AF＝DF，再证明四边形AEDF为菱形得到AE＝AF＝3，然后利用平行线分线段成比例定理计算CD的长．
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
∴∠EAD＝∠FAD，AE＝DE，AF＝DF，∠EAD＝∠EDA，
∴∠FAD＝∠EDA，
∴DE∥AF，
同理可得AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
而AE＝DE，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE＝AF＝3，
由平行线分线段成比例可知，即，
∴CD，
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的定义、垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、平行线分线段成比例定理．熟练掌握以上知识点是关键．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，则线段BE与线段EF的数量关系是（　　）
A．BE＝4EF B．BE＝3EF C．BE＝2EF D．BEEF
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】A
【分析】连接AE．利用直角三角形30度的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，连接AE．
∵AB＝AC，∠CAB＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣∠CAE＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴AF＝2EF，BE＝2AE，
∴BE＝4EF．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．综合实践课上，小颖画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图1～图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（　　）
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O； （2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO； （3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等
C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的判定．
【专题】作图题；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判断即可．
【解答】解：由作图可知OA＝OC，OB＝OD，
故四边形ABCD是平行四边形．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
5．如图，在△ABC中，（1）作AB和BC的垂直平分线交点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：①；②AB＝2AM；③点O是△ABC的外心；④点P是△ABC的内心．所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【考点】作图—基本作图；垂径定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】①正确，利用垂径定理判断即可；
②错误，连接BM，可以证明AM+BM＞AB，即2AM＞AB；
③正确，点O是△ABC各边的垂直平分线的交点；
④正确，可以证明点P是△ABC各个角的角平分线的交点．
【解答】解：∵ON⊥BC，ON是半径，
∴，
∴2，故①正确；
如图，连接BM．
∵OM⊥AB，OM是半径，
∴，
∴AM＝BM，
∵AM+BM＞AB，
∴2AM＞AB，故②错误；
∵点O是线段AB，BC的交点，
∴点O是△ABC的外心，故③正确；
∵，，
∴∠BAN＝∠CAN，∠ACM＝∠BCM，
∴点P是△ABC的内心，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂径定理，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作如下操作：①在BC，BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部交于点F；③作射线BF交AC于点G．若CG＝1，H为AB上一动点，则GH的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【考点】作图—基本作图；垂线段最短；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】如图，过点G作GT⊥AB于点T．证明GT＝GC＝1，再利用垂线段最短解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GT⊥AB于点T．
∵BG平分∠ABC，GC⊥CB，GT⊥AB，
∴GT＝GC＝1，
∵GH≥GT＝1，
∴GH的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
7．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF和CE，若BF＝3，DC＝3，以下结论正确的个数是（　　）
①四边形AECF是菱形；
②AC＝6；
③S四边形AFCE＝9；
④若点P是直线EF上的一个动点，则PC+PD的最小值是9．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】作图—基本作图；线段的性质：两点之间线段最短；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】如图，设AC，EF交于点O．证明△CFO≌△AEO（ASA），推出AE＝CF，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA＝EC，推出四边形AECF是菱形，故①正确，利用勾股定理求出AC，可以判定②正确，利用菱形的面积公式求出菱形的面积，可以判定③错误，连接PD，PC，PA．证明PC+PD＝PA+PD≥AD＝9，推出PC+PD的最小值为9，故④正确．
【解答】解：如图，设AC，EF交于点O．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，∠B＝90°，
∴∠FCO＝∠EAO，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴∠FOA＝∠EOC＝90°，AO＝CO，EA＝EC，
在△CFO和△AEO中，
，
∴△CFO≌△AEO（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EA＝EC，
∴四边形AECF是菱形，故①正确，
∵BF＝3，
∴AF6，
∴AF＝CF＝6，
∴BC＝BF+CF＝9，
∴AC6，故②正确，
∴四边形AFCE的面积＝CF AB＝18，故③错误，
如图，连接PD，PC，PA．
∵PA＝PC，
∴PC+PD＝PA+PD≥AD＝9，
∴PC+PD的最小值为9，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝6，分别以点C、D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，MN与CD交于点E，如果点P为线段AC上一动点，那么PD+PE的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】如图，连接DB，BE，PB．证明PD＝PB，推出PD+PE＝PB+PE≥BE，求出BE即可．
【解答】解：如图，连接DB，BE，PB，．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴△ADB，△BCD都是等边三角形，
∴BD＝BC＝CD＝6，
∵MN垂直平分线段CD，
∴DE＝EC＝3，
∴BE3，
∵D，B关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE≥BE＝3，
∴PD+PE的最小值为3．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
9．如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点B和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，若AB＝6，则的长是（　　）
A．π B．2π C．3π D．6π
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OC和BC，则OC＝OB，根据作图知NM垂直平分OB，则BC＝OC，即可判定△OCB为边长为3的等边三角形，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OC和BC，如图，
根据作图知NM垂直平分OB，则BC＝OC，
则OC＝OB，
∵AB＝6，
∴△OCB为边长为3的等边三角形，
∴∠COB＝60°，
若AB＝6，则的长是，
故选：A．
【点评】本题主要考查作—基本作图，圆的基本概念，垂直平分线的做法，等边三角形的判定和性质以及弧长公式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10．如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，任意长为半径作弧分别交AB和BC于点M，N；分别以点M，N为圆心、以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点H；作射线BH交边AD于点E；作射线CF，交DE于点F，交射线BH于点G，连接GD．若CD＝4，DF＝EF＝1，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；矩形的性质．
【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，根据矩形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD＝4，求得 AE＝AB＝4，得到AD＝BC＝6，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：由作图知，BG平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD＝4，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，4，
∵DF＝EF＝1，
∴AD＝BC＝6，
∵EF∥BC，
∴△GEF∽△GBC，
∴（）2，
∵EF＝DF，
∴S△DEG＝2S△GEF，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．问题：如图1，已知△ABC为钝角三角形，∠B＝30°，用尺规作△ABC的高AD．
作法：如图2，①分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点E；②连接AE，BE；③延长BC交AE于点D．线段AD即为△ABC的高．判定AD为△ABC高的依据是　等腰三角形三线合一　 ．
【考点】作图—基本作图；三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）如图，线段AD即为所求；
（2）如图2中，由作图可知AB＝AE＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EBC＝∠ABC＝30°，
∴BD⊥AE（等腰三角形三线合一），即AD是△ABC的高．
故答案为：等腰三角形三线合一．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，线段AD即为所求；
（2）判断出三角形ABE是等边三角形，利用三线合一的性质判断即可．
【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求；
（2）如图2中，由作图可知AB＝AE＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EBC＝∠ABC＝30°，
∴BD⊥AE（等腰三角形三线合一），即AD是△ABC的高．
故答案为：等腰三角形三线合一．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的角平分线，直线和高，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若∠A＝42°，则∠CBD的度数为　27　 °．
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】27．
【分析】求出∠ABC，∠ABD，再根据∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣42°）＝69°，
∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA＝42°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝69°﹣42°＝27°．
故答案为：27．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以O，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交OB于点G，交BC于点H，若直线EF经过顶点A，且AB＝6，则GH的长为　　 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】．
【分析】根据矩形的性质得到AO＝OC，BO＝ODBD，AC＝BD，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AO，根据等边三角形的性质得到∠BAO＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到BG＝OG，AG⊥OB，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝ODBD，AC＝BD，
∴OA＝BO，
∵EF垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∵EF垂直平分OB，
∴BG＝OG，AG⊥OB，
∴∠BAG＝30°，
∴∠ABG＝60°，
∴∠GBH＝30°，
∴GHBGAB，
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，∠C＝48°，则∠EAF的度数为　28°　 ．
【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题．
【答案】28°．
【分析】根据三角形的内角和可得∠BAC＝94°，由作图可得DE垂直平分AB，AF平分∠CAE，推出BE＝AE，，得到∠BAE＝∠B＝38°，求出∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝56°，即可求解．
【解答】解：∵∠B＝38°，∠C＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣38°﹣48°＝94°，
由作图可得DE垂直平分AB，AF平分∠CAE，
∴BE＝AE，，
∴∠BAE＝∠B＝38°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝94°﹣38°＝56°，
∴，
故答案为：28°．
【点评】本题考查了作图——基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点A，B，C均在格点上．
（I）∠ABC＝　45　 （度）；
（Ⅱ）取格点D，连接AD，BD，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段BD上画出点P，使得∠APD＝2∠ABD，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　取格点E，连接CE并延长交BD于点P，则点P即为所求　 ．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）45；
（2）取格点E，连接CE并延长交BD于点P，则点P即为所求．
【分析】（1）利用勾股定理及其逆定理可证明△ABC是等腰直角三角形，据此可得答案；
（2）取格点E，连接CE并延长，交BD于点P，则点P即为所求；可证明AB⊥CE，则CE垂直平分AB，则AP＝BP，可得∠PAB＝∠ABD，再由三角形外角的性质可得∠APD＝2∠ABD．
【解答】解：（1）∵，
，
∴AC＝BC，，，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：45；
（2）如图所示，取格点E，连接CE并延长交BD于点P，则点P即为所求．
故答案为：取格点E，连接CE并延长交BD于点P，则点P即为所求．
【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，证明△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知∠PBQ及BP边上一点C．
（1）在射线BQ上求作点A，使得∠CAQ＝2∠CBQ；（尺和规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点A作AG⊥AB交BC于点G，若AB＝10，BC＝16，求CG的长．
【考点】作图—复杂作图；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）如图，点A即为所求；
（2）CG．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线垂足为D，交BQ于点A，连接AC，点A即为所求；
（2）利用勾股定理求出BD，再利用相似三角形的性质求出BG可得结论．
【解答】解：（1）如图，点A即为所求；
（2）∵AD垂直平分线段BC，
∴BD＝DCBC＝8，
∵AG⊥AB，
∠BAG＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BGA，
∴AB：BG＝BD：AB，
∴10：BG＝8：10，
∴BG，
∴CG＝BC﹣BG＝16．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
17．如图，点A、B、C都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）．
（1）请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）．
①过点C画直线AB的平行线CD；
②过点C画直线AB的垂线CE，并标出垂足F．
（2）线段CF 的长就是点C到直线AB的距离；
（3）比较大小：CF　＜　 CB．（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】作图—应用与设计作图；点到直线的距离；平行线的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）①如图，直线AB，CD即为所求；
②如图，直线CE，点F即为所求；
（2）线段CF的长就是点C到直线AB的距离；
（3）CF＜CB．
【分析】（1）①根据平行线的定义画出图形；
②根据垂线的定义画出图形；
（2）根据点到直线的距离的定义判断即可；
（3）利用垂线段最短解决问题．
【解答】解：（1）①如图，直线AB，CD即为所求；
②如图，直线CE，点F即为所求；
（2）线段CF的长就是点C到直线AB的距离．
故答案为：CF；
（3）CF＜CB．
故答案为：＜．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，点D到AB边的距离等于DC，连接AD．
（1）用直尺和圆规作⊙O，点O在AB上，且⊙O经过B、D两点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠B＝30°，CD＝6，则⊙O的半径为　4　 ，⊙O与△ABC的重叠部分面积为　8π+12　 ．（如需画草图，请使用备用图）
【考点】作图—复杂作图；相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算．
【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】（1）如图，⊙O即为所求；
（2）4，8π+12．
【分析】（1）作线段BD的垂直平分线，垂足为T，交AB于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；
（2）证明AD＝DB＝2CD＝12，解直角三角形求出OD．重叠部分的面积＝扇形ODJ面积+△ODB的面积．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求；
（2）∵∠C＝90，点D到AB边的距离等于DC，
∴AD平分∠CAB，
∵∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠DAB＝30°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴DA＝DB＝2CD＝12，
∵DT＝TBDB＝6，
∴OB4，OTOB＝2，
∵OT垂直平分线段DB，
∴OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B＝30°，
∴∠DOJ＝∠B+∠ODB＝60°，
∴⊙O与△ABC的重叠部分面积12×28π+12．
故答案为：4，8π+12．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，含30度的直角三角形，勾股定理，扇形的面积，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点E、D．
（1）请用直尺和圆规在图中作出直线DE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求BC的长．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）如图，直线DE即为所求；
（2）．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）连接CD．证明BC＝CD＝AD即可．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求；
（2）如图，连接CD．
∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC．
∴∠A＝∠DCA＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B（180°﹣36°）＝72°，
∵∠CDB＝∠A+∠DCA＝72°，
∴∠B＝∠CDB，
∴BC＝CD＝AD．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
20．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝3，BC＝2．
（1）在图中，作出△ABC的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△ABC的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出该三角形的最小覆盖圆的直径．
【考点】作图—应用与设计作图；解直角三角形；勾股定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）如图，⊙O即为所求．
（2）△ABC的外接圆不是它的最小覆盖圆．以AB为直径的⊙O三角形的最小覆盖圆．
三角形ABC的最小覆盖圆的直径为．
【分析】（1）作线段AC，AB的垂直平分线交于点O，连接OB以O为圆心，OB为半径作⊙O即可；
（2）△ABC的外接圆不是它的最小覆盖圆，以AB为直径的圆是最小的小覆盖圆．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求．
（2）△ABC的外接圆不是它的最小覆盖圆．以AB为直径的⊙O三角形的最小覆盖圆．
过点B作BH⊥AC交AC的延长线于点H．
∵∠ACB＝120°，
∴∠BCH＝60°，
∴CH＝BCcos60°＝1，BH＝BCsin60°，
∴AH＝AC+CH＝4，
∴AB，
∴该三角形ABC的最小覆盖圆的直径为．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题．

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